AIPMT 1996 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) संवेग की विमा $p = mv = [M][L][T^{-1}] = [MLT^{-1}]$ द्वारा दी जाती है।
आवेग को बल और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = F \times \Delta t$।
बल की विमा $[MLT^{-2}]$ है और समय की $[T]$ है।
अतः,आवेग की विमा $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ होती है।
चूंकि आवेग और संवेग दोनों की विमाएँ $[MLT^{-1}]$ हैं,इसलिए वे समान हैं।

(C) पहले पिंड के लिए,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
दिया गया है $u = 0$,$v = 3 \ km/h$.
अतः,$3^2 = 0^2 + 2gh \implies 2gh = 9 \ (km/h)^2$.
दूसरे पिंड के लिए,प्रारंभिक गति $u = 4 \ km/h$ है और इसे समान ऊँचाई $h$ से गिराया जाता है।
उसी समीकरण $v'^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
$v'^2 = (4)^2 + 2gh$.
$2gh = 9$ का मान रखने पर:
$v'^2 = 16 + 9 = 25$.
$v' = \sqrt{25} = 5 \ km/h$.
अतः,अंतिम वेग $5 \ km/h$ है।

(B) रैखिक वेग $(v)$,त्रिज्या $(r)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = r \times \omega$.
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
कोणीय वेग $\omega = 10 \,rad/s$.
सूत्र में मान रखने पर:
$v = 0.2 \,m \times 10 \,rad/s = 2 \,m/s$.
अतः,रैखिक वेग $2 \,m/s$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग और गोली चलाने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग = $0$.
अंतिम संवेग = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
यहाँ,$m_B = 200 \,g = 0.2 \,kg$,$v_B = 5 \,m/s$,और $m_G = 1 \,kg$ है।
$0.2 \times 5 + 1 \times v_G = 0$.
$1 + v_G = 0$.
$v_G = -1 \,m/s$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बंदूक गोली की विपरीत दिशा में पीछे की ओर प्रतिक्षिप्त होती है।
अतः,प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $1 \,m/s$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से पहले का कुल संवेग,टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग = $(m \times 3) + (2m \times 0) = 3m \, kg \cdot km/h$.
संयुक्त पिंड का अंतिम द्रव्यमान = $m + 2m = 3m$.
माना संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $V$ है।
अंतिम संवेग = $(3m) \times V$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$3m = 3m \times V$
$V = \frac{3m}{3m} = 1 \, km/h$.
अतः,संयुक्त वेग $1 \, km/h$ है।

(A) जब पृथ्वी की परिक्रमा कर रहे अंतरिक्ष यान से कोई वस्तु गिराई जाती है,तो उसमें छोड़े जाने के क्षण अंतरिक्ष यान के समान ही कक्षीय वेग होता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम (जड़त्व) के अनुसार,वस्तु अंतरिक्ष यान की मूल कक्षा में उसी वेग $v$ के साथ गति करना जारी रखेगी।
चूंकि गेंद की गति की स्थिति को बदलने के लिए उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए यह न तो पृथ्वी पर गिरेगी और न ही अंतरिक्ष में दूर जाएगी; यह बस अंतरिक्ष यान के पथ का ही अनुसरण करेगी।

(A) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
$T = 0 \; K$ पर,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ हो जाती है।
चूंकि वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है,इसलिए $T = 0 \; K$ पर $v_{rms} = 0$ होता है।
अतः,परम शून्य तापमान पर गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $(P)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $PV^\gamma = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ से,हम $V = \frac{RT}{P}$ लिख सकते हैं।
इस मान को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^\gamma = \text{स्थिरांक}$
$P \cdot \frac{T^\gamma}{P^\gamma} = \text{स्थिरांक}$
$P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{स्थिरांक}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 18 + 273 = 291 \ K$,प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,अंतिम आयतन $V_2 = V/8$,और द्वि-परमाणुक गैस के लिए रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1.4$ है।
मान रखने पर: $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma - 1}$.
$T_2 = 291 \times (V / (V/8))^{1.4 - 1} = 291 \times (8)^{0.4}$.
चूंकि $8^{0.4} = (2^3)^{0.4} = 2^{1.2} \approx 2.297$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668.4 \ K$.
अतः,संपीडन के बाद तापमान $668 \ K$ होगा।

(C) $S.H.M.$ में एक कण की अधिकतम गति $v_{\max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है।
किसी भी विस्थापन $y$ पर गति $v = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,गति अधिकतम गति की आधी है,इसलिए $v = \frac{v_{\max}}{2} = \frac{\omega A}{2}$ है।
गति के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{\omega A}{2} = \omega \sqrt{A^2 - y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{A^2}{4} = A^2 - y^2$
$y^2$ के लिए हल करने पर:
$y^2 = A^2 - \frac{A^2}{4} = \frac{3A^2}{4}$
वर्गमूल लेने पर:
$y = \frac{\sqrt{3}A}{2}$

(D) ऑसिलेटर की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = 160 \, J$ दी गई है।
एक रैखिक हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,हार्मोनिक दोलन से जुड़ी ऊर्जा (गतिज ऊर्जा का भाग) $E_{osc} = \frac{1}{2} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर: $E_{osc} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^6) \times (0.01)^2 = 10^6 \times 10^{-4} = 100 \, J$।
यह $100 \, J$ ऑसिलेटर की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ को दर्शाता है।
चूंकि कुल ऊर्जा $160 \, J$ है और दोलन वाला भाग $100 \, J$ है,इसलिए वहां एक अतिरिक्त स्थिर स्थितिज ऊर्जा $U_0 = 160 - 100 = 60 \, J$ होनी चाहिए।
स्थितिज ऊर्जा $U(x) = U_0 + \frac{1}{2} k x^2$ के अनुसार बदलती है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों $(x = \pm A)$ पर होती है,जो $U_{max} = U_0 + \frac{1}{2} k A^2 = 60 + 100 = 160 \, J$ है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$.
दिया गया कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है।
कलांतर को रेडियन में बदलने पर: $\phi = 60^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$.
अतः,पथ अंतर $\lambda / 6$ है।

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin (kx + \omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 0.0015 \sin (62.4x + 316t)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हम तरंग संख्या $k = 62.4 \, \text{rad/unit}$ प्राप्त करते हैं।
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $62.4 = \frac{2 \times 3.14}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए गणना करने पर: $\lambda = \frac{6.28}{62.4} \approx 0.1 \, \text{unit}$।

(C) दिया गया बल सदिश $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ है।
बल का परिमाण $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
दिया गया त्वरण $a = 1\, m/s^2$ है।
इसलिए,$m = \frac{F}{a} = \frac{10\sqrt 2}{1} = 10\sqrt 2 \,kg$ होगा।

(A) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में जोड़े या घटाए गए प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $(P + \frac{a}{V^2}) = \frac{b\theta}{l}$ में,पद $P$ को $\frac{a}{V^2}$ में जोड़ा गया है।
इसलिए,$[P] = [\frac{a}{V^2}]$.
हम जानते हैं कि दाब $P$ का विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है और आयतन $V$ का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
अतः,$[a] = [P] \times [V^2]$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^3]^2$.
$[a] = [ML^{-1}T^{-2}] \times [L^6]$.
$[a] = [ML^5T^{-2}]$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया बल $F$,उसके द्रव्यमान $m$ और त्वरण $a$ के गुणनफल के बराबर होता है,जिसका सूत्र है: $F = m \times a$।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $m = \frac{F}{a}$।
दी गई मान हैं: बल $F = 10 \; N$ और त्वरण $a = 1 \; m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $m = \frac{10 \; N}{1 \; m/s^2} = 10 \; kg$।
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $10 \; kg$ है।

(D) एक घन (cube) का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{L^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र का उपयोग करते हुए,घनत्व में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \frac{\Delta M}{M} \times 100 + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$
यहाँ द्रव्यमान में अधिकतम त्रुटि $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 3\%$ और लंबाई में अधिकतम त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2\%$ दी गई है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\rho$ में प्रतिशत त्रुटि $= 3\% + 3 \times (2\%) = 3\% + 6\% = 9\%$.
अतः,घन के घनत्व के मापन में अधिकतम त्रुटि $9\%$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
द्रव्यमान $M$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$M = \frac{gR^2}{G}$
अतः,सही सूत्र $g \frac{R^2}{G}$ है।

(D) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ प्राप्त होता है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से समान पदों $|\vec{A}|^2$ और $|\vec{B}|^2$ को हटाने पर,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,$|\vec{A}| \neq 0$ और $|\vec{B}| \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा उसे आवेशित करने में किए गए कार्य के बराबर होती है।
यदि $C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है,तो अतिरिक्त आवेश $dq$ लाने के लिए किया गया कार्य $dW = V' dq$ है,जहाँ $V' = q/C$ है।
इसका $0$ से $Q$ (जहाँ $Q = CV$) तक समाकलन करने पर:
$U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
$Q = CV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदुओं $A$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम सर्किट की संरचना का विश्लेषण करते हैं। सर्किट एक सीढ़ीनुमा नेटवर्क है।
$1$. टर्मिनल $B$ और $C$ से जुड़े प्रतिरोधक $A$ और $D$ के बीच के पथ के संदर्भ में ओपन-सर्किट हैं।
$2$. विशेष रूप से,$B$ से जुड़ा $10 \ \Omega$ का प्रतिरोधक किसी के साथ श्रेणी में नहीं है,और $C$ से जुड़ा $10 \ \Omega$ का प्रतिरोधक भी किसी के साथ श्रेणी में नहीं है।
$3$. नेटवर्क को सरल बनाने पर: $A$ से $D$ तक के पथ में पहला $10 \ \Omega$ का प्रतिरोधक,और उसके बाद बीच वाले वर्टिकल $10 \ \Omega$ के प्रतिरोधक और शेष नेटवर्क का समानांतर संयोजन आता है।
$4$. श्रेणी और समानांतर संयोजन के नियमों का उपयोग करके गणना करने पर,$A$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $30 \ \Omega$ प्राप्त होता है।

(D) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $idl$ के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का परिमाण: $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{idl \sin \theta}{r^2}$ होता है।
सदिश रूप में,इसे $d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \widehat{r})}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
चूंकि इकाई सदिश $\widehat{r} = \frac{\overrightarrow{r}}{r}$ है,इसलिए इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$d\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^2 \cdot r} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i(d\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दोनों तारों में धारा $I$ है। एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $AB$ (जो अक्षों के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है) पर किसी भी बिंदु के लिए,$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष से लंबवत दूरी समान है,मान लीजिए $r$ है।
$AB$ पर स्थित बिंदु $(x, y)$ पर $X$-अक्ष के अनुदिश तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है (दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके),जबकि $Y$-अक्ष के अनुदिश तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि दूरियां समान हैं और धाराएं समान हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान है: $B_X = B_Y = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$।
चूंकि दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए रेखा $AB$ के प्रत्येक बिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_X - B_Y = 0$ होगा।

(B) लेंज के नियम के अनुसार,रिंग में प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस कारण का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जब चुंबक रिंग से होकर गिरता है,तो चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन रिंग में emf और धारा प्रेरित करता है।
यह प्रेरित धारा एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है जो चुंबक के पास आ रहे ध्रुव पर ऊपर की ओर प्रतिकर्षण बल और दूर जा रहे ध्रुव पर ऊपर की ओर आकर्षण बल लगाती है।
ये दोनों बल गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप चुंबक पर लगने वाला कुल बल उसके भार से कम हो जाता है।
इसलिए,गिरते हुए चुंबक का त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से कम होता है।
नोट: यदि रिंग टूटी हुई है (बंद लूप नहीं है),तो कोई प्रेरित धारा प्रवाहित नहीं होगी और चुंबक $a = g$ त्वरण के साथ मुक्त रूप से गिरेगा।

(B) जब कोई आवेशित कण ऐसे क्षेत्र से एकसमान वेग से गुजरता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों मौजूद हों और वे एक-दूसरे के तथा वेग सदिश के लंबवत हों,तो कण पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होता है।
यहाँ दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र $E = 20 \ V m^{-1}$ और चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.5 \ T$ है।
कण के एकसमान वेग से गति करने की शर्त विद्युत बल और चुंबकीय बल के संतुलन द्वारा दी जाती है:
$qE = qvB$
$v = \frac{E}{B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \frac{20}{0.5} = 40 \ m s^{-1}$।
अतः,इलेक्ट्रॉनों का वेग $40 \ m s^{-1}$ है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
साथ ही,प्रकाश की गति $c$,आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $c = \nu \lambda$ है।
इस सूत्र को तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{c}{\nu}$ प्राप्त होता है।

(D) $V$ वोल्ट के विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = eV$ द्वारा दी जाती है।
जब यह इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (target) से टकराता है,तो यह $X$-किरणें उत्पन्न करता है। उत्सर्जित $X$-किरण फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की कुल गतिज ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो $E_{max} = h\nu_{max} = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\lambda_{min} \propto \frac{1}{V}$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $K_{\max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0 = h\nu_0$ धातु का कार्य फलन है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,$y = K_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -\phi_0$ (y-अंतःखंड)।
चूंकि ढाल $h$ धनात्मक है और अंतःखंड $-\phi_0$ ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो x-अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होती है और जिसकी ढाल धनात्मक है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ रेखा x-अक्ष को $\nu_0$ पर काटती है और $\nu > \nu_0$ के लिए रैखिक रूप से बढ़ती है।

(D) बोर के हाइड्रोजन परमाणु मॉडल के अनुसार,$n$ वीं स्थिर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
इस व्यंजक में,$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है,$Z$ परमाणु क्रमांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि ये सभी पैरामीटर एक दिए गए परमाणु के लिए स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या $r$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,$r \propto n^2$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = \frac{-13.6 \ eV}{n^2}$।
प्रथम उत्तेजित अवस्था के लिए,क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर:
$E_2 = \frac{-13.6 \ eV}{2^2} = \frac{-13.6 \ eV}{4} = -3.4 \ eV$।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,नाभिक का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों भागों के अंतिम संवेग समान और विपरीत होने चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
दिया गया वेग अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$ है,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$.
चूंकि नाभिकीय पदार्थ का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन $V$ के समानुपाती होता है,जहाँ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। अतः,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^3}{r_1^3}$.
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{2}{1}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_2}{r_1} = 2^{1/3}$.
इसलिए,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 2^{1/3}$ होगा।

(A) एक $NPN$ ट्रांजिस्टर में,एमिटर $N-$प्रकार का,बेस $P-$प्रकार का और कलेक्टर $N-$प्रकार का होता है। जब इसे एम्पलीफायर के रूप में उपयोग किया जाता है,तो एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है और कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स बायस में होता है। $N-$प्रकार के एमिटर में इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,जो बेस में इंजेक्ट किए जाते हैं। बेस क्षेत्र पतला होने के कारण,इनमें से अधिकांश इलेक्ट्रॉन बेस से होकर गुजरते हैं और कलेक्टर द्वारा एकत्र कर लिए जाते हैं। इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन एमिटर से बेस की ओर और फिर बेस से कलेक्टर की ओर गति करते हैं।

(B) दी गई सत्यता सारणी इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \implies Y=1$
$A=1, B=0 \implies Y=0$
$A=0, B=1 \implies Y=0$
$A=1, B=1 \implies Y=0$
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A + B}$ द्वारा परिभाषित होता है।
प्रत्येक स्थिति के लिए गणना करने पर:
$1$. $A=0, B=0$ के लिए: $Y = \overline{0+0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A=1, B=0$ के लिए: $Y = \overline{1+0} = \overline{1} = 0$.
$3$. $A=0, B=1$ के लिए: $Y = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$4$. $A=1, B=1$ के लिए: $Y = \overline{1+1} = \overline{1} = 0$.
यह दी गई सत्यता सारणी से मेल खाता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

$(A)$ दिया गया प्रतीक एक $NAND$ गेट को दर्शाता है जहाँ दो इनपुट $A$ और $B$ को आपस में जोड़कर एक एकल इनपुट बनाया गया है।
$NAND$ गेट के लिए, आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ होता है।
चूँकि इनपुट शॉर्ट किए गए हैं, इसलिए $A = B = X$ होगा।
अतः, आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ हो जाता है।
यह $NOT$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
इस प्रकार, यह संयोजन $NOT$ गेट की तरह कार्य करता है।

(C) $n$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रकाश की चाल $v = c / n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है।
$t$ दूरी तय करने में लगा समय इस सूत्र द्वारा प्राप्त होता है: $\text{समय} = \text{दूरी} / \text{चाल}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{समय} = t / (c / n) = (nt) / c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अपवर्तनांक $\mu$ को निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{c}{v}$.
दिया गया है: $\mu = 1.33$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \frac{c}{\mu}$.
मान रखने पर: $v = \frac{3 \times 10^8}{1.33} \approx 2.25 \times 10^8 \ m/s$.
अतः,पानी में प्रकाश की गति $2.25 \times 10^8 \ m/s$ है।

(C) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण $i$,परावर्तन कोण $r$ के बराबर होता है,इसलिए $i = r$ है।
यह दिया गया है कि परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण $r$,परावर्तित और अपवर्तित किरण के बीच का कोण $(90^{\circ})$ और अपवर्तन कोण $r'$ का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$r + 90^{\circ} + r' = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $r' = 90^{\circ} - r$। चूँकि $i = r$,इसलिए $r' = 90^{\circ} - i$ है।
अंतरापृष्ठ पर स्नेल के नियम को लागू करने पर,विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin r'}{\sin i}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि क्रांतिक कोण $C$,अपवर्तनांक के साथ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ संबंध रखता है।
इसलिए,$\sin C = \frac{\sin i}{\sin r'} = \frac{\sin i}{\sin(90^{\circ} - i)} = \frac{\sin i}{\cos i} = \tan i$ है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}(\tan i)$ होगा।

(D) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $f$ मीटर में है)।
उत्तल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_1 = + 80 \; cm = + 0.8 \; m$ है।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2 = - 50 \; cm = - 0.5 \; m$ है।
संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{0.8} + \frac{1}{-0.5} = 1.25 - 2.0 = - 0.75 \; D$।

(B) किसी माध्यम का अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में बैंगनी प्रकाश के लिए अधिक होता है $(n_V > n_R)$।
उत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$। चूंकि $n_V > n_R$,इसलिए बैंगनी प्रकाश के लिए लेंस की शक्ति अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि फोकस दूरी $f_V$,$f_R$ से कम होती है $(f_V < f_R)$।
अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है। फोकस दूरी का परिमाण $|F|$ उत्तल लेंस के समान ही व्यवहार करता है,जहाँ $|F_V| < |F_R|$ होता है। चूंकि दोनों ऋणात्मक हैं,एक ऋणात्मक संख्या के लिए छोटा परिमाण एक बड़ा मान दर्शाता है: $F_V > F_R$ (उदाहरण के लिए,$-2 > -5$)।

(C) फ्रेनेल बाइप्रिज्म प्रयोग में,दो आभासी स्लिट्स के बीच की वास्तविक दूरी $d$,विस्थापन विधि द्वारा प्राप्त दो दूरियों $d_1$ और $d_2$ के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है।
सूत्र $d = \sqrt{d_1 d_2}$ है।
यहाँ,$d_1 = 16 \; cm$ और $d_2 = 9 \; cm$ दिया गया है।
मान रखने पर,$d = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \; cm$ प्राप्त होता है।
अतः,स्लिट्स के बीच की वास्तविक दूरी $12 \; cm$ है।

(B) प्रतिरोध $R$ की विमा $[M L^2 T^{-3} I^{-2}]$ है।
प्रेरकत्व $L$ की विमा $[M L^2 T^{-2} I^{-2}]$ है।
धारिता $C$ की विमा $[M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]$ है।
विकल्प $B$ की जाँच करने पर:
$\frac{L}{R} = \frac{[M L^2 T^{-2} I^{-2}]}{[M L^2 T^{-3} I^{-2}]} = [T^1] = T$.
विकल्प $C$ की जाँच करने पर:
$\sqrt{LC} = \sqrt{[M L^2 T^{-2} I^{-2}] \cdot [M^{-1} L^{-2} T^4 I^2]} = \sqrt{[T^2]} = [T^1] = T$.
अतः,$\frac{L}{R}$ और $\sqrt{LC}$ दोनों की विमाएँ समय के समान हैं।

(A) फोटॉन विद्युत चुंबकीय विकिरण के क्वांटा होते हैं।
निर्वात में,सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें,जिनमें फोटॉन भी शामिल हैं,प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ से चलती हैं।
निर्वात में प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक स्थिरांक है और यह विकिरण की आवृत्ति $\nu$ या तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से स्वतंत्र होती है।
अतः,फोटॉन का वेग आवृत्ति $\nu$ से स्वतंत्र होता है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = e V$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,अंतिम गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} m v^2 = e V$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{2 e V}{m}$।
अतः,अंतिम वेग $v = \sqrt{\frac{2 e V}{m}}$ होगा।

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = 10 \; eV = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 1.6 \times 10^{-18} \; J$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके, हम वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-18}}{9.1 \times 10^{-31}}} \approx 1.876 \times 10^6 \; m/s$ प्राप्त करते हैं।
चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
अतः, त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$।
मान रखने पर: $r = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \; kg) \times (1.876 \times 10^6 \; m/s)}{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (10^{-4} \; T)}$।
$r \approx 0.1067 \; m \approx 10.67 \; cm \approx 11 \; cm$।

(B) सिलिकॉन $(Si)$ समूह-$14$ का एक तत्व है जिसमें $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
आर्सेनिक $(As)$ समूह-$15$ का एक तत्व है जिसमें $5$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
जब सिलिकॉन में अशुद्धि के रूप में आर्सेनिक मिलाया जाता है (डोपिंग),तो इसके $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन आसपास के सिलिकॉन परमाणुओं के साथ सहसंयोजक बंध बनाते हैं।
$5$वां संयोजी इलेक्ट्रॉन मुक्त रहता है और आवेश वाहक के रूप में कार्य करता है।
चूंकि बहुसंख्यक आवेश वाहक इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक आवेश) होते हैं,इसलिए प्राप्त पदार्थ $n$-प्रकार का अर्धचालक होता है।

(C) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$।
दिया गया है:
$h = 6.6 \times 10^{-34}\; Js$
$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$
$E = 100\; eV = 100 \times 1.6 \times 10^{-19}\; J = 1.6 \times 10^{-17}\; J$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-17}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{29.12 \times 10^{-48}}}$
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{5.396 \times 10^{-24}}$
$\lambda \approx 1.22 \times 10^{-10}\; m$।
चूंकि $1\; \mathring{A} = 10^{-10}\; m$,इसलिए तरंगदैर्ध्य लगभग $1.2\; \mathring{A}$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार, किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$, सतह द्वारा घेरे गए कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से, $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
इस प्रश्न में, बिंदु आवेश $+q$ को घन के केंद्र में रखा गया है, जो एक बंद सतह है।
इसलिए, घन से निकलने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होगा।