Ellipse Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે નાભિ $S(ae, 0) = (4, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 4/5$ છે.
તેથી, $ae = 4 \implies a(4/5) = 4 \implies a = 5$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
બિંદુ $P(3, \alpha)$ ઉપવલય પર હોવાથી, આપણે સમીકરણમાં $x=3$ અને $y=\alpha$ મૂકીએ:
$\frac{3^2}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{9}{25} + \frac{\alpha^2}{9} = 1 \implies \frac{\alpha^2}{9} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\alpha^2 = \frac{16 \times 9}{25} \implies \alpha = \pm \frac{12}{5}$.
$\alpha = 12/5$ લેતા, યામ $O(0, 0)$, $S(4, 0)$, અને $P(3, 12/5)$ મળે છે.
$\triangle POS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_O(y_S - y_P) + x_S(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_S)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - 12/5) + 4(12/5 - 0) + 3(0 - 0)| = \frac{1}{2} |48/5| = 24/5$.

(B) y-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલય માટે, $y^2$ પદનો છેદ $x^2$ પદના છેદ કરતા મોટો હોવો જોઈએ અને બંને ધન હોવા જોઈએ: $f(3a+15) > f(a^2+7a+3) > 0$.
કારણ કે $f$ એ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે, તેથી $f(x_1) > f(x_2) \implies x_1 < x_2$.
તેથી, $3a+15 < a^2+7a+3$.
અસમતાને ગોઠવતા $a^2 + 4a - 12 > 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા, $(a+6)(a-2) > 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ હોય.
$a$ ની કિંમતોનો ગણ $R - [-6, 2]$ છે.
$R - [\alpha, \beta]$ સાથે સરખાવતા, $\alpha = -6$ અને $\beta = 2$ મળે છે.
આમ, $\alpha^2 + \beta^2 = (-6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે, જ્યાં $a < b$ છે.
$a < b$ હોવાથી, ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2}$ થાય.
અહીં $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ આપેલ છે, તેથી $e^2 = \frac{5}{9}$.
આમ, $1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
ધારો કે $a^2 = 4k$ અને $b^2 = 9k$, જ્યાં $k > 0$ અચળાંક છે.
ઉપવલય બિંદુ $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $\frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$.
કિંમતો મૂકતા, $\frac{16}{4k} + \frac{9}{9k} = 1 \implies \frac{4}{k} + \frac{1}{k} = 1 \implies \frac{5}{k} = 1 \implies k = 5$.
તેથી, $a^2 = 4(5) = 20$ અને $b^2 = 9(5) = 45$.
આથી $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ અને $b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ મળે.
$a < b$ હોય તેવા ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ થાય.
લંબાઈ $= \frac{2(20)}{3\sqrt{5}} = \frac{40}{3\sqrt{5}} = \frac{40\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$.

(C) પરવલય $P : y^2 = 4x$ નું નાભિ $(1, 0)$ પર છે અને તેનો નાભિલંબ $x = 1$ રેખા છે.
$P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ બંનેનો નાભિલંબ હોવાથી, $x = 1$ રેખા એ ઉપવલય $E$ નો નાભિલંબ હોવો જોઈએ.
ઉપવલય માટે, નાભિલંબ $x = ae$ પર હોય છે, તેથી $ae = 1$.
છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે. આ બિંદુઓ ઉપવલય પર હોવાથી, આપણે $x = 1$ અને $y = 2$ ને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં મૂકીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $b^2$ ને બદલીએ:
$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.
$a = 1/e$ હોવાથી, $a^2 = 1/e^2$ થાય, તેથી $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$.
$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ માટે ઉકેલતા: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
$e < 1$ હોવાથી, $e^2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
તેથી $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 288$ છે. $288$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{18} = 1$ મળે છે. અહીં $a^2 = 32$ અને $b^2 = 18$ છે.
ઢાળ $m$ વાળી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
સ્પર્શક રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ $m = -1$ અથવા $m = 1$ હોવો જોઈએ. તે અક્ષો પર અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી આપણે $\frac{x}{c} + \frac{y}{c} = 1$ સ્વરૂપ વિચારીએ છીએ, જેનો અર્થ છે $y = -x + c$, તેથી $m = -1$ છે.
સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે. $m = -1$ મૂકતા, $c^2 = 32(-1)^2 + 18 = 32 + 18 = 50$ મળે છે.
આમ, $c = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$ છે.
અંતઃખંડો $A(5\sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, 5\sqrt{2})$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |5\sqrt{2}| \times |5\sqrt{2}| = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ ચોરસ એકમ છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે, $m$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં, $a^2 = 16$, $b^2 = 9$, અને ખૂણો $30^\circ$ છે, તેથી $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \pm \sqrt{16(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16}{3} + 9}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{16 + 27}{3}}$
$y = \frac{x}{\sqrt{3}} \pm \sqrt{\frac{43}{3}}$
$\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y = x \pm \sqrt{43}$
$x - \sqrt{3}y \pm \sqrt{43} = 0$.

(D) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે. $144$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા, $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
રેખા $3x + 4y + k = 0$ ને $4y = -3x - k$ તરીકે લખતા, $y = -\frac{3}{4}x - \frac{k}{4}$ મળે છે.
અહીં, $m = -\frac{3}{4}$ અને $c = -\frac{k}{4}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $(-\frac{k}{4})^2 = 16(-\frac{3}{4})^2 + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 16(\frac{9}{16}) + 9$।
$\frac{k^2}{16} = 9 + 9 = 18$।
$k^2 = 18 \times 16 = 288$।
$k = \pm \sqrt{288} = \pm 12\sqrt{2}$।

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે, જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ છે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
$m = -1/2$ આપેલ હોવાથી, સમીકરણ $y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(-\frac{1}{2})^2 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = -\frac{1}{2}x \pm 2$ થશે.
$X$-અંતઃખંડ $(A)$ માટે, $y = 0$ લેતા: $0 = -\frac{1}{2}x \pm 2 \implies x = \pm 4$. તેથી $A = (\pm 4, 0)$.
$Y$-અંતઃખંડ $(B)$ માટે, $x = 0$ લેતા: $y = \pm 2$. તેથી $B = (0, \pm 2)$.
$\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |x_A| \times |y_B| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે, જેને $\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં, $a^2 = 1/4$ અને $b^2 = 1/9$ છે. $a^2 > b^2$ હોવાથી, મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/9}{1/4}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
નાભિઓ $S$ અને $S'$ એ $(\pm ae, 0)$ પર છે, તેથી $S = (\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ અને $S' = (-\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$ છે.
ઉપવલય ધન $Y$-અક્ષને $A(0, 1/3)$ પર છેદે છે.
$\Delta SAS'$ નો પાયો $SS' = \frac{\sqrt{5}}{6} - (-\frac{\sqrt{5}}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $A$ નો $y$-યામ છે, જે $1/3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{5}}{18}$ ચોરસ એકમ.

(D) ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે. કારણ કે રેખા $3x + 2y - 6 = 0$ એ નાભિસ્થ જીવા છે, તે નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ માંથી કોઈ એકમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
આપેલ છે $e = 2/3$, તેથી નાભિઓ $(\pm \frac{2a}{3}, 0)$ છે.
કિસ્સો $1$: રેખા $(\frac{2a}{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે $\implies 3(\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies 2a = 6 \implies a = 3$.
કિસ્સો $2$: રેખા $(-\frac{2a}{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે $\implies 3(-\frac{2a}{3}) + 2(0) - 6 = 0 \implies -2a = 6 \implies a = -3$ (શક્ય નથી કારણ કે $a > 0$).
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા, $b^2 = 3^2(1 - (2/3)^2) = 9(1 - 4/9) = 9(5/9) = 5$.
આમ, $a^2 + b^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.

(A) પગલું $1$: $x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને સમીકરણ ફરીથી લખો.
$7(x^2 - 2x) + 16(y^2 + 4y) = 377$
પગલું $2$: વર્ગ પૂર્ણ કરવા માટે અચળ ઉમેરો.
$7(x^2 - 2x + 1) + 16(y^2 + 4y + 4) = 377 + 7(1) + 16(4)$
$7(x - 1)^2 + 16(y + 2)^2 = 377 + 7 + 64 = 448$
પગલું $3$: પ્રમાણિત સ્વરૂપ મેળવવા માટે $448$ વડે ભાગો.
$\frac{7(x - 1)^2}{448} + \frac{16(y + 2)^2}{448} = 1$
$\frac{(x - 1)^2}{64} + \frac{(y + 2)^2}{28} = 1$
પગલું $4$: $a^2$ અને $b^2$ ઓળખો. અહીં $a^2 = 64$ અને $b^2 = 28$ છે.
પગલું $5$: ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ ની ગણતરી કરો.
$e = \sqrt{1 - \frac{28}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 28}{64}} = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે, જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ છે. તેથી $a = 5$ અને $b = 3$ છે.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુને $(a \cos \theta, b \sin \theta) = (5 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી આ બિંદુનું અંતર $5$ આપેલું છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(5 \cos \theta - 0)^2 + (3 \sin \theta - 0)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા: $25(1 - \sin^2 \theta) + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$25 - 25 \sin^2 \theta + 9 \sin^2 \theta = 25$.
$-16 \sin^2 \theta = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 0$.
તેથી, $\theta = 0$ અથવા $\pi$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે. $400$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં, $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$, તેથી $a = 5$ અને $b = 4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નાભિઓ $S(ae, 0) = (3, 0)$ અને $S'(-ae, 0) = (-3, 0)$ છે.
ધારો કે $P = (x_0, y_0)$ છે. $\Delta PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_0| = 9$ છે.
અંતર $SS' = 2ae = 2(3) = 6$ છે.
તેથી, $\frac{1}{2} \times 6 \times |y_0| = 9 \implies 3|y_0| = 9 \implies |y_0| = 3$ છે.
કારણ કે $P$ ઉપવલય પર આવેલું છે, $16x_0^2 + 25(3)^2 = 400$ છે.
$16x_0^2 + 225 = 400 \implies 16x_0^2 = 175 \implies x_0^2 = \frac{175}{16}$ છે.
$x_0 = \pm \frac{\sqrt{25 \times 7}}{4} = \pm \frac{5\sqrt{7}}{4}$ છે.
આમ, યામ (abscissa) $\frac{5\sqrt{7}}{4}$ છે.