Adiabatic Process Questions in Hindi

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ होता है।
चूंकि गैस पर कार्य किया जा रहा है, इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = -45 \,J$ है।
इन मानों को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर:
$0 = \Delta U + (-45 \,J)$
$\Delta U = 45 \,J$ प्राप्त होता है।
अतः, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $45 \,J$ है और गैस में प्रवाहित ऊष्मा $0$ है।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
यह दिया गया है कि गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के $1/8$ भाग तक संकुचित किया जाता है, इसलिए $V_1 = V$ और $V_2 = \frac{V}{8}$ है।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
मान रखने पर: $T_1 V^{\frac{5}{3}-1} = T_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{5}{3}-1}$।
$T_1 V^{\frac{2}{3}} = T_2 \left(\frac{V}{8}\right)^{\frac{2}{3}}$।
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V}{V/8}\right)^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$।
गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\langle E \rangle = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है कि $\langle E \rangle \propto T$।
इसलिए, $\frac{\langle E_2 \rangle}{\langle E_1 \rangle} = \frac{T_2}{T_1} = 4$।

(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$dU = n C_v dT$
चूंकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$, इसलिए सूत्र इस प्रकार होगा:
$dU = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
दी गई मान:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ पर)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$dU = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$dU = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$dU = 5 \times 8.3 \times 1000$
$dU = 41500 \, J$
किलो जूल में बदलने पर:
$dU = 41.50 \, kJ$

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $pV^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma = C_p / C_V$ है।
दिया गया है कि $p \propto T^3$, इसलिए हम $p = k T^3$ लिख सकते हैं।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $T = \frac{pV}{nR}$ है।
इस मान को दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$p = k \left( \frac{pV}{nR} \right)^3$
$p = k \frac{p^3 V^3}{(nR)^3}$
$1 = \left( \frac{k}{(nR)^3} \right) p^2 V^3$
$p^2 V^3 = \text{constant}'$
$p V^{3/2} = \text{constant}''$
इसकी तुलना मानक रुद्धोष्म समीकरण $pV^\gamma = \text{constant}$ से करने पर, हमें $\gamma = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः, $C_p / C_V$ का मान $3/2$ है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अवस्था का समीकरण $p V^\gamma = \text{constant}$ होता है।
आदर्श गैस नियम $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम $V = \frac{nRT}{p}$ को रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$p \left( \frac{nRT}{p} \right)^\gamma = \text{constant}$
$p \cdot p^{-\gamma} \cdot T^\gamma = \text{constant}$
$p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$।
अतः, विकल्प $A$ सही है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $P$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे संपीड़न के दौरान आयतन $V$ घटता है, गुणनफल को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को बढ़ना चाहिए।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार, चूंकि $P$ बढ़ता है और $V$ घटता है, इसलिए तापमान $T$ को बढ़ना चाहिए क्योंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस पर किया गया कार्य उसकी आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है ($Q = 0$, $\Delta U = -W$)।
इसलिए, रुद्धोष्म संपीड़न में, तापमान और दबाव दोनों बढ़ते हैं।

(B) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में, निकाय परिवेश के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं करता है, इसलिए $Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta U = Q - W$।
चूंकि $Q = 0$, इसलिए $\Delta U = -W$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रसार में, गैस परिवेश पर कार्य करती है, इसलिए $W > 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\Delta U < 0$, जिसका मतलब है कि निकाय की आंतरिक ऊर्जा घटती है।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(U \propto T)$, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में कमी आने से निकाय का तापमान घट जाता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और घनत्व $\rho$ (या $d$) के बीच का संबंध $P \propto \rho^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
दिया गया है कि $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ और $\gamma = \frac{7}{5}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$, इसलिए $\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
$2^7 = 128$ की गणना करने पर।
अतः, अनुपात $\frac{P^{\prime}}{P} = 128$ है।

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ का सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
दिया गया है: $n = 5 \ mol$, $\gamma = \frac{7}{5}$, $R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
किलो-जूल में बदलने पर: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $41.55 \ kJ$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $P$ और घनत्व $d$ के बीच का संबंध $P \propto d^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{7}{5}$ और $\frac{d^{\prime}}{d} = 32$ है।
हमारे पास संबंध है: $\frac{P^{\prime}}{P} = \left(\frac{d^{\prime}}{d}\right)^\gamma$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (32)^{7/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$, इसलिए:
$\frac{P^{\prime}}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^7$.
मान की गणना करने पर: $2^7 = 128$.
अतः, अनुपात $\frac{P^{\prime}}{P}$ का मान $128$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, किए गए कार्य का सूत्र है: $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
दिया गया है: $P_1 = 2 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$, $V_1 = 2 \ m^3$, $V_2 = 0.5 \ m^3$।
रुद्धोष्म संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है $P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = 2 \times 10^5 \times \left(\frac{2}{0.5}\right)^{1.4} = 2 \times 10^5 \times (4)^{1.4}$।
दिया गया है $(4)^{1.4} = 6.96$, इसलिए $P_2 = 2 \times 10^5 \times 6.96 = 13.92 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
अब, इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 2) - (13.92 \times 10^5 \times 0.5)}{1.4 - 1}$
$W = \frac{4 \times 10^5 - 6.96 \times 10^5}{0.4} = \frac{-2.96 \times 10^5}{0.4} = -7.4 \times 10^5 \ J$।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि संपीडन के दौरान गैस पर कार्य किया गया है।

(B) दी गई आंतरिक ऊर्जा $U = A P^2 V$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $dQ = dU + dW = 0$ बताता है, जिसका अर्थ है $dU = -dW = -P dV$.
अतः, $dU = -P dV$.
$V$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करने पर: $dU = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$dU$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-P dV = A P^2 dV + 2 A P V dP$.
$P$ से विभाजित करने पर (मान लें $P \neq 0$): $-dV = A P dV + 2 A V dP$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $-dV - A P dV = 2 A V dP \Rightarrow -(1 + A P) dV = 2 A V dP$.
चरों को अलग करने पर: $-\frac{dV}{V} = \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int \frac{dV}{V} = \int \frac{2 A dP}{1 + A P}$.
$-\ln V = 2 \ln(1 + A P) + C$.
यह सरल होकर $\ln V + \ln(1 + A P)^2 = \text{स्थिरांक}$ हो जाता है।
अतः, $V(1 + A P)^2 = \text{स्थिरांक}$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि रुद्धोष्म संपीड़न के बाद तापमान $T$ है। तो, $T_{0} V_{0}^{\gamma-1} = T \left(\frac{V_{0}}{2}\right)^{\gamma-1}$.
$T$ के लिए हल करने पर, हमें $T = T_{0} 2^{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
जब गैस को $\frac{V_{0}}{2}$ के स्थिर आयतन पर आसपास के वातावरण के साथ तापीय संतुलन में आने दिया जाता है, तो मुक्त होने वाली ऊष्मा $\Delta Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है: $\Delta Q = n C_{V} \Delta T$.
$C_{V} = \frac{R}{\gamma-1}$ और आदर्श गैस नियम $n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\Delta Q = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T - T_{0}) = \frac{n R T_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$.
$n R T_{0} = p_{0} V_{0}$ प्रतिस्थापित करने पर, मुक्त होने वाली ऊष्मा $\frac{p_{0} V_{0}}{\gamma-1} (2^{\gamma-1} - 1)$ है।

(D) एक उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है: $V_2 = 8V_1$ और $T_2 = T_1/4$.
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
मान रखने पर: $T_1 V_1^{\gamma-1} = (T_1/4) (8V_1)^{\gamma-1}$.
दोनों पक्षों को $T_1 V_1^{\gamma-1}$ से विभाजित करने पर: $1 = (1/4) \cdot 8^{\gamma-1}$.
$4 = 8^{\gamma-1}$.
$2$ के आधार में व्यक्त करने पर: $2^2 = (2^3)^{\gamma-1} = 2^{3\gamma-3}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $2 = 3\gamma - 3$.
$3\gamma = 5$, जिससे $\gamma = 5/3$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 5/3$ रुद्धोष्म सूचकांक वाली गैस एकपरमाणुक (monoatomic) गैस होती है।
दिए गए विकल्पों में से, हीलियम (He) एकपरमाणुक गैस है। इसलिए, सही विकल्प $D$ है।

(B) दाईं ओर का कक्ष रुद्धोष्म संपीड़न (adiabatic compression) से गुजरता है क्योंकि पिस्टन रुद्धोष्म और घर्षणहीन है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ होता है।
दिया गया है $\gamma = 1.5 = 3/2$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(P, V_1 = 9)$ है और अंतिम स्थिति $(P_2 = \frac{27}{8}P, V_2)$ है।
चूंकि पिस्टन घर्षणहीन है, इसलिए संतुलन पर दोनों तरफ का दबाव समान होना चाहिए। अतः, दाईं ओर का अंतिम दबाव भी $\frac{27}{8}P$ होगा।
रुद्धोष्म संबंध का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P(9)^{3/2} = \frac{27}{8}P(V_2)^{3/2}$.
$(9)^{3/2} = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$27 = \frac{27}{8} V_2^{3/2}$.
$V_2^{3/2} = 8$.
$V_2 = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4 \text{ litres}$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $PV^\gamma = \text{constant}$ होता है।
मोनोएटोमिक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$ है।
दी गई प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = P, V_1 = V$।
अंतिम आयतन: $V_2 = 27V$।
रुद्धोष्म संबंध $P_1V_1^\gamma = P_2V_2^\gamma$ का उपयोग करके, हम अंतिम दबाव $P_2$ ज्ञात करते हैं:
$P_2 = P(V_1/V_2)^\gamma = P(V/27V)^{5/3} = P(1/27)^{5/3} = P(1/3^3)^{5/3} = P(1/3^5) = P/243$।
आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} (P_2V_2 - P_1V_1)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
मोनोएटोमिक गैस के लिए, $f = 3$ है।
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{3}{2} ((\frac{P}{243}) \cdot 27V - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P}{9} - PV) = \frac{3}{2} (\frac{P - 9P}{9}) = \frac{3}{2} (\frac{-8P}{9}) = -\frac{4}{3}PV$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = c_p / c_v = 3R / 2R = 1.5$ है।
प्रारंभिक अवस्था: $P_i = 8 \ \text{bar} = 8 \times 10^5 \ \text{Pa}$, $V_i = 0.15 \ \text{m}^3$.
अंतिम अवस्था: $P_f = 1 \ \text{bar} = 1 \times 10^5 \ \text{Pa}$.
रुद्धोष्म संबंध $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ का उपयोग करके, हम अंतिम आयतन $V_f$ ज्ञात करते हैं:
$V_f = V_i (P_i / P_f)^{1/\gamma} = 0.15 \times (8/1)^{1/1.5} = 0.15 \times (8)^{2/3} = 0.15 \times 4 = 0.6 \ \text{m}^3$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
$W = \frac{(8 \times 10^5 \times 0.15) - (1 \times 10^5 \times 0.6)}{1.5 - 1} = \frac{120000 - 60000}{0.5} = \frac{60000}{0.5} = 120000 \ \text{J} = 120 \ \text{kJ}$.

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, एक आदर्श गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$।
दिए गए मान हैं: $n = 1 \text{ mole}$, $T_1 = 60 \text{ K}$, $T_2 = 50 \text{ K}$, $\gamma = 5/3$, और $R = 8.3 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = \frac{1 \times 8.3 \times (60 - 50)}{(5/3) - 1}$
$W = \frac{8.3 \times 10}{2/3}$
$W = \frac{83}{2/3} = 83 \times 1.5 = 124.5 \text{ J}$।
अतः, गैस द्वारा किया गया कार्य $124.5 \text{ J}$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $P \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ प्राप्त होता है।
एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
रुद्धोष्म घातांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{5} = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
$x$ के व्यंजक में $\gamma$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2} = 3.5$.

(C) ऊष्मारोधी पात्र के लिए, प्रक्रिया रुद्धोष्म (adiabatic) होती है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक आयतन $V_1$ है और अंतिम आयतन $V_2 = \frac{V_1}{8}$ है।
संबंध $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{V_1}{V_2})^{\gamma} = (\frac{V_1}{V_1/8})^{\gamma} = 8^{\gamma}$.
$\gamma = \frac{5}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P_2}{P_1} = 8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
अतः, अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $32:1$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}\text{C} = 27 + 273 = 300\text{ K}$.
अंतिम आयतन $V_2 = (8/27) V_1$.
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$, इसलिए $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
मान रखने पर: $300 \times V_1^{2/3} = T_2 \times ((8/27) V_1)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times (8/27)^{2/3}$.
$300 = T_2 \times ((2/3)^3)^{2/3} = T_2 \times (2/3)^2 = T_2 \times (4/9)$.
$T_2 = 300 \times (9/4) = 75 \times 9 = 675\text{ K}$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675\text{ K} - 300\text{ K} = 375\text{ K}$ है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ और $\gamma = 3/2$ है।
अतः, $\gamma - 1 = 3/2 - 1 = 1/2$.
$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ का उपयोग करने पर, $T(V)^{1/2} = T_2(2V)^{1/2}$ प्राप्त होता है।
$T_2 = T \times (V/2V)^{1/2} = T / \sqrt{2}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में किया गया कार्य $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $n = 1$ मोल है, तो $W = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{3/2 - 1} = \frac{R(T - T/\sqrt{2})}{1/2} = 2R(T - T/\sqrt{2}) = 2RT(1 - 1/\sqrt{2})$.
$W = 2RT - \frac{2RT}{\sqrt{2}} = 2RT - \sqrt{2}RT = RT(2 - \sqrt{2})$.

(B) गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $v_{rms}$ को $3$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ को $3^2 = 9$ गुना कम होना चाहिए।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ है।
इसलिए, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
मान रखने पर, $T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$.
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$.
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$.
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(D) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, $r.m.s.$ चाल को $3$ गुना कम करने का अर्थ है कि तापमान $T$ में $3^2 = 9$ गुना की कमी होनी चाहिए।
अतः, $T_f = \frac{T_i}{9}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ होता है।
इसलिए, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
$T_f = \frac{T_i}{9}$ और $\gamma = 1.5$ (या $\frac{3}{2}$) रखने पर:
$T_i V_i^{1.5-1} = \frac{T_i}{9} V_f^{1.5-1}$
$V_i^{0.5} = \frac{1}{9} V_f^{0.5}$
$\sqrt{V_i} = \frac{1}{9} \sqrt{V_f}$
$\frac{V_f}{V_i} = 9^2 = 81$.
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(B) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $v_{rms}$ को $2$ गुना कम करने के लिए, तापमान $T$ को $4$ गुना कम करना होगा (अर्थात $T_f = T_i / 4$)।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$ होता है।
अतः, $T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = 1/2$.
मान रखने पर: $T_i V_i^{1/2} = (T_i / 4) V_f^{1/2}$.
$4 = (V_f / V_i)^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $16 = V_f / V_i$.
इसलिए, गैस का $16$ गुना प्रसार किया जाना चाहिए।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया में, परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, अर्थात $dQ = 0$।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $dQ = dU + dW$।
चूंकि $dQ = 0$ है, इसलिए $dU = -dW$ होगा।
जब किसी निकाय को संपीड़ित किया जाता है, तो निकाय पर कार्य किया जाता है, इसलिए $dW < 0$ होता है।
अतः, $dU = -dW > 0$, जिसका अर्थ है कि निकाय की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।
चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा उसके तापमान के सीधे आनुपातिक होती है $(U \propto T)$, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होने से निकाय का तापमान बढ़ जाता है।

(A) रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \ K$ (सामान्य तापमान)।
अंतिम आयतन $V_2 = V_1 / 4$ है।
दिया गया है $\gamma = 1.5$, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5$ है।
मान रखने पर: $273 \times V_1^{0.5} = T_2 \times (V_1 / 4)^{0.5}$।
$T_2 = 273 \times (V_1 / (V_1 / 4))^{0.5} = 273 \times (4)^{0.5} = 273 \times 2 = 546 \ K$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 - 273 = 273 \ K$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $(T)$ और आयतन $(V)$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $TV^x = \text{constant}$ के साथ तुलना करने पर, हम $V$ के घातांकों की तुलना कर सकते हैं।
अतः, $x = \gamma - 1$.
दिया गया है कि एक दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 7/5 = 1.4$.
$\gamma$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x = 1.4 - 1 = 0.4$.
इस प्रकार, $x$ का मान $0.4$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, तापमान $(T)$ और आयतन $(V)$ के बीच का संबंध $T V^{\gamma - 1} = \text{नियतांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$.
यहाँ $\gamma = 7/5$ दिया गया है, इसलिए $\gamma - 1 = 7/5 - 1 = 2/5$.
अंतिम आयतन $V_f = V_i/32$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T_i V_i^{2/5} = (x T_i) (V_i/32)^{2/5}$.
दोनों पक्षों को $T_i V_i^{2/5}$ से विभाजित करने पर: $1 = x (1/32)^{2/5}$.
$1 = x (1/(2^5))^{2/5}$.
$1 = x (1/2^2) = x (1/4)$.
अतः, $x = 4$.