Dimensional Analysis, Uses and Limitations Questions in Hindi

(D) दक्षता $\eta$ एक विमाहीन राशि है। लघुगणकीय फलन का तर्क भी विमाहीन होना चाहिए, इसलिए $\frac{\beta x}{kT} = 1$ (विमाहीन)।
चूंकि $\eta$ विमाहीन है, $[\eta] = [M^0 L^0 T^0]$।
$\frac{\beta x}{kT} = 1$ से, हमें $\beta = \frac{kT}{x}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $k = [M L^2 T^{-2} K^{-1}]$ और $T = [K]$, इसलिए $\beta = \frac{[M L^2 T^{-2} K^{-1}][K]}{[L]} = [M L T^{-2}]$।
यह बल की विमा है, इसलिए विकल्प $A$ सही है।
चूंकि $\eta = \frac{\alpha \beta}{\sin \theta} \cdot \text{स्थिरांक}$, और $\eta$ तथा $\sin \theta$ विमाहीन हैं, $[\alpha \beta] = [1]$, जिसका अर्थ है $[\alpha] = [\beta^{-1}] = [M^{-1} L^{-1} T^2]$।
विकल्प $D$ कहता है कि $[\alpha] = [\beta]$, जो गलत है।
विकल्प $B$ के लिए, $[\alpha^{-1} x] = [\beta x] = [M L T^{-2}][L] = [M L^2 T^{-2}]$, जो ऊर्जा की विमा है। अतः, $B$ सही है।
विकल्प $C$ के लिए, $[\eta^{-1} \sin \theta] = [1] = [\alpha \beta]$, जो सही है।

(D) विमीय विश्लेषण के अनुसार समीकरण के दोनों पक्षों की विमाएँ समान होनी चाहिए और किसी भी घातांकीय फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
$(A) E = 2 E_0 \frac{L}{L_0}$
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times \frac{[L]}{[L]} = [M L^2 T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से सही।
$(B) E = E_0 e^{-\frac{2 L}{L_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$ (विमाहीन)। सही।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $[M L^2 T^{-2}] \times [1] = [M L^2 T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से सही।
$(C) E = 2 L e^{-\frac{L}{E_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[M L^2 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-1} T^2]$। चूंकि घातांक विमाहीन नहीं है, इसलिए यह व्यंजक अमान्य है।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
प्री-फैक्टर: $[L]$
स्थिति: विमीय रूप से गलत।
$(D) E = 2 \left( \frac{E_0}{L_0} \right) e^{-\frac{L}{L_0}}$
घातांक: $\frac{[L]}{[L]} = [1]$। सही।
$LHS$: $[M L^2 T^{-2}]$
$RHS$: $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$
स्थिति: विमीय रूप से गलत।
अतः, समीकरण $(C)$ और $(D)$ गलत हैं।

(B) माना घनत्व $\rho = k C^a G^b h^c$ है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[\rho] = M L^{-3}$
$[C] = L T^{-1}$
$[G] = M^{-1} L^3 T^{-2}$
$[h] = M L^2 T^{-1}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$M^1 L^{-3} T^0 = (L T^{-1})^a (M^{-1} L^3 T^{-2})^b (M L^2 T^{-1})^c$
$M^1 L^{-3} T^0 = M^{-b+c} L^{a+3b+2c} T^{-a-2b-c}$
$M, L$ और $T$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$1$) $-b + c = 1 \implies c = 1 + b$
$2$) $a + 3b + 2c = -3$
$3$) $-a - 2b - c = 0 \implies a = -2b - c$
$c = 1 + b$ को $(3)$ में रखने पर: $a = -2b - (1 + b) = -3b - 1$
$a$ और $c$ को $(2)$ में रखने पर: $(-3b - 1) + 3b + 2(1 + b) = -3$
$-3b - 1 + 3b + 2 + 2b = -3$
$2b + 1 = -3 \implies 2b = -4 \implies b = -2$
अब $c$ का मान: $c = 1 + (-2) = -1$
अब $a$ का मान: $a = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$
अतः, घनत्व की विमा $[\rho] = C^5 G^{-2} h^{-1}$ है।

(B) दिया गया है कि दोलन का आवर्तकाल $T$ है, $T \propto p^\alpha S^\beta E^\gamma$ या $T = k p^\alpha S^\beta E^\gamma$ है।
$T, p, S$ और $E$ के आयामों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^0 L^0 T^1] = [ML^{-1} T^{-2}]^\alpha [ML^{-3}]^\beta [ML^2 T^{-2}]^\gamma$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{\alpha+\beta+\gamma} L^{-\alpha-3\beta+2\gamma} T^{-2\alpha-2\gamma}]$
दोनों पक्षों पर $M, L$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$1) \alpha + \beta + \gamma = 0$
$2) -\alpha - 3\beta + 2\gamma = 0$
$3) -2\alpha - 2\gamma = 1$
समीकरण $(3)$ से, $\alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$।
इसे समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर, $-\frac{1}{2} + \beta = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$।
अब, $\beta = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\alpha - 3(\frac{1}{2}) + 2\gamma = 0 \implies -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$।
हमारे पास प्रणाली है:
$i) \alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$
$ii) -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर, $3\gamma = 1 \implies \gamma = \frac{1}{3}$।
$\gamma = \frac{1}{3}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर, $\alpha + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \implies \alpha = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$।
अतः, $\alpha = -\frac{5}{6}, \beta = \frac{1}{2}, \gamma = \frac{1}{3}$।

(B) अधिकतम द्रव्यमान $m_{\max}$ का मान $v, g$ और $\rho$ पर निर्भर करता है। द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है।
चरों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
दिया गया है $m_{\max} = k v^x g^y \rho^z$, विमीय समीकरण लिखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L^{-3}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z L^{x+y-3z} T^{-x-2y}]$
दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $z = 1$
$T$ के लिए: $-x - 2y = 0 \Rightarrow x = -2y$
$L$ के लिए: $x + y - 3z = 0$
$x = -2y$ और $z = 1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर:
$-2y + y - 3(1) = 0$
$-y = 3 \Rightarrow y = -3$
अब, $x = -2(-3) = 6$
अतः, $x, y$ और $z$ के मान $6, -3, 1$ हैं।

(A) $F = A \cos(Bx) + C \cos(Dt)$ व्यंजक में, त्रिकोणमितीय फलन का तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
अतः, $Bx$ और $Dt$ की विमाएँ एक नियतांक (विमाहीन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[Bx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [B] = [x^{-1}] = [L^{-1}]$.
$[Dt] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D] = [t^{-1}] = [T^{-1}]$.
अब, हम $\left(\frac{D}{B}\right)$ की विमा ज्ञात करते हैं:
$\left[\frac{D}{B}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
चूँकि $[L T^{-1}]$ वेग की विमा को दर्शाता है, इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण $F = \frac{X}{\text{रैखिक घनत्व}}$ है।
$X$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $X = F \times \text{रैखिक घनत्व}$ प्राप्त होता है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है।
रैखिक घनत्व (प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान) का विमीय सूत्र $[ML^{-1}]$ है।
इन मानों को $X$ के समीकरण में रखने पर:
$X = [MLT^{-2}] \times [ML^{-1}]$
$X = [M^{1+1} L^{1-1} T^{-2}]$
$X = [M^2 L^0 T^{-2}]$.

(B) माना द्रव्यमान $M$ को $M = C^a h^b G^c$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
विमीय सूत्र:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = [M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}]$
दोनों पक्षों में $M, L, T$ के घातों की तुलना करने पर:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $b + c = 0$, अतः $b = -c$.
$b = -c$ को $(i)$ में रखने पर: $-c - c = 1 \Rightarrow -2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$.
अतः $b = 1/2$.
$b = 1/2$ और $c = -1/2$ को (iii) में रखने पर: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \Rightarrow -a - 1/2 + 1 = 0 \Rightarrow a = 1/2$.
इस प्रकार, $M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(B) दी गई राशि $\frac{E J^2}{M^5 G^2}$ है।
हम जानते हैं कि दी गई राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$E$ की विमा $= [M L^2 T^{-2}]$
$J$ की विमा $= [M L^2 T^{-1}]$
$M$ की विमा $= [M]$
$G$ की विमा $= [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
इन विमाओं को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{[M L^2 T^{-2}] [M L^2 T^{-1}]^2}{[M]^5 [M^{-1} L^3 T^{-2}]^2} = \frac{[M L^2 T^{-2}] [M^2 L^4 T^{-2}]}{[M^5] [M^{-2} L^6 T^{-4}]} = \frac{[M^3 L^6 T^{-4}]}{[M^3 L^6 T^{-4}]} = [M^0 L^0 T^0]$
चूंकि परिणामी विमा $[M^0 L^0 T^0]$ है, इसलिए यह राशि विमाहीन है।
दिए गए विकल्पों में से, कोण एक विमाहीन राशि है।

(B) विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार, एक भौतिक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिया गया समीकरण $F = at + bt^2$ है, जहाँ $F$ बल है और $t$ समय है।
बल $F$ की विमा $[MLT^{-2}]$ होती है।
प्रथम पद के लिए: $[at] = [F]$
$[a] = [F] / [t] = [MLT^{-2}] / [T] = [MLT^{-3}]$.
द्वितीय पद के लिए: $[bt^2] = [F]$
$[b] = [F] / [t^2] = [MLT^{-2}] / [T^2] = [MLT^{-4}]$.
अतः, $a$ और $b$ की विमाएँ क्रमशः $[MLT^{-3}]$ और $[MLT^{-4}]$ हैं।

(D) दिया गया तरंग समीकरण: $y = a \sin (bt - cx)$ है।
त्रिकोणमितीय फलन $\sin(\theta)$ में, कोण $\theta$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए, $bt$ और $cx$ दोनों विमाहीन हैं।
$(a)$ $\frac{y}{a}$ दो लंबाइयों का अनुपात है, इसलिए यह विमाहीन है।
$(b)$ $bt$ साइन फलन का कोण है, इसलिए यह विमाहीन है।
$(c)$ $cx$ साइन फलन का कोण है, इसलिए यह विमाहीन है।
$(d)$ $b$ की विमा $[T^{-1}]$ है और $c$ की विमा $[L^{-1}]$ है।
अतः, $\frac{b}{c}$ की विमा $\frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [LT^{-1}]$ होती है, जो वेग की विमा को दर्शाती है।
इसलिए, $\frac{b}{c}$ एक विमायुक्त राशि है।

(A) माना कि प्लांक नियतांक $h$ को $h = k G^x L^y E^z$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $k$ एक विमाहीन नियतांक है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[L] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M^1 L^2 T^{-1}]^y [M^1 L^2 T^{-2}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-x+y+z} L^{3x+2y+2z} T^{-2x-y-2z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$(i)$ $-x + y + z = 1$
(ii) $3x + 2y + 2z = 2$
(iii) $-2x - y - 2z = -1$
समीकरण $(i)$ और (iii) को जोड़ने पर:
$(-x + y + z) + (-2x - y - 2z) = 1 - 1$
$-3x - z = 0 \implies z = -3x$
$z = -3x$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-x + y - 3x = 1 \implies y - 4x = 1 \implies y = 1 + 4x$
$y$ और $z$ के मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$3x + 2(1 + 4x) + 2(-3x) = 2$
$3x + 2 + 8x - 6x = 2$
$5x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$
अतः, $h$ के सूत्र में $G$ की विमा $0$ है।

(C) दो पद्धतियों के बीच रूपांतरण के लिए सूत्र $n_2 = n_1 \left[ \left( \frac{M_1}{M_2} \right)^a \left( \frac{L_1}{L_2} \right)^b \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^c \right]$ है।
बल की विमा $[M L T^{-2}]$ है, इसलिए $a=1, b=1, c=-2$ है।
यहाँ $n_1 = 100$, $M_1 = 1 \ g$, $L_1 = 1 \ cm$, $T_1 = 1 \ s$ है।
नई पद्धति में, $M_2 = 1 \ kg = 1000 \ g$, $L_2 = 1 \ m = 100 \ cm$, $T_2 = 1 \ min = 60 \ s$ है।
इन मानों को रखने पर:
$n_2 = 100 \left[ \left( \frac{1 \ g}{1000 \ g} \right)^1 \left( \frac{1 \ cm}{100 \ cm} \right)^1 \left( \frac{1 \ s}{60 \ s} \right)^{-2} \right]$
$n_2 = 100 \left[ \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times (60)^2 \right]$
$n_2 = 100 \times \frac{1}{1000} \times \frac{1}{100} \times 3600$
$n_2 = 3.6$.

(A) दिया गया समीकरण $V = -\frac{GM}{r} + \frac{A}{r^2}$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार, समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए, $\frac{A}{r^2}$ की विमा $\frac{GM}{r}$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[V] = [\frac{GM}{r}] = [\frac{A}{r^2}]$
इससे, $[A] = [\frac{GM}{r}] \times [r^2] = [GM] \times [r]$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण विभव $V$ की विमा प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा के समान होती है, जो $[L^2 T^{-2}]$ है।
साथ ही, $\frac{GM}{r}$ गुरुत्वाकर्षण विभव को दर्शाता है, इसलिए $[\frac{GM}{r}] = [L^2 T^{-2}]$।
चूंकि प्रकाश की गति $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ है, इसलिए $c^2$ की विमा $[L^2 T^{-2}]$ होगी।
अतः, $[\frac{GM}{r}] = [c^2]$।
$[r] = \frac{[GM]}{[c^2]}$ को $[A]$ के व्यंजक में रखने पर:
$[A] = [GM] \times \frac{[GM]}{[c^2]} = \frac{G^2 M^2}{c^2}$।

(A) चरों के आयाम हैं: $[t] = T^1$, $[\rho] = ML^{-3}$, $[r] = L^1$, $[\eta] = ML^{-1}T^{-1}$, और $[\sigma] = ML^{-3}$.
दिए गए संबंध $t = A \rho^{a} r^{b} \eta^{c} \sigma^{d}$ के लिए, दोनों पक्षों के आयामों की तुलना करने पर:
$T^1 = (ML^{-3})^a (L)^b (ML^{-1}T^{-1})^c (ML^{-3})^d$
$T^1 = M^{a+c+d} L^{-3a+b-c-3d} T^{-c}$
$M, L,$ और $T$ के घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a+c+d = 0$
$L$ के लिए: $-3a+b-c-3d = 0$
$T$ के लिए: $-c = 1 \implies c = -1$
$c = -1$ को $M$ के समीकरण में रखने पर: $a+d-1 = 0 \implies a+d = 1$.
$c = -1$ को $L$ के समीकरण में रखने पर: $-3a+b+1-3d = 0 \implies b - 3(a+d) + 1 = 0$.
चूंकि $a+d = 1$, इसलिए $b - 3(1) + 1 = 0 \implies b - 2 = 0 \implies b = 2$.
अंत में, मान की गणना करने पर: $\frac{b+c}{a+d} = \frac{2 + (-1)}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

(B) विमीय विश्लेषण का उपयोग करते हुए, हम मूल नियतांकों $h$, $G$, और $c$ के आधार पर प्लांक मात्रकों को परिभाषित करते हैं:
$1$. प्लांक लंबाई $(L)$, $l_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^3}}$ द्वारा दी जाती है, जो $A-IV$ के अनुरूप है।
$2$. प्लांक समय $(S)$, $t_p = \sqrt{\frac{Gh}{c^5}}$ द्वारा दिया जाता है, जो $B-II$ के अनुरूप है।
$3$. प्लांक द्रव्यमान $(M)$, $m_p = \sqrt{\frac{hc}{G}}$ द्वारा दिया जाता है, जो $C-I$ के अनुरूप है।
$4$. शेष विकल्प $D$, $III$ के अनुरूप है।
अतः, सही मिलान $A-IV, B-II, C-I, D-III$ है।

(B) दी गई राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
$[C] = M^{-1}L^{-2}T^4A^2$
$[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$
अब, $\frac{R^2}{L}$ व्यंजक की विमाओं का मूल्यांकन करते हैं:
$[R^2] = (ML^2T^{-3}A^{-2})^2 = M^2L^4T^{-6}A^{-4}$
$[L] = ML^2T^{-2}A^{-2}$
अतः, $\frac{R^2}{L}$ की विमाएँ हैं:
$\frac{[R^2]}{[L]} = \frac{M^2L^4T^{-6}A^{-4}}{ML^2T^{-2}A^{-2}} = ML^2T^{-4}A^{-2}$
यह दिए गए विमीय सूत्र से मेल खाता है। इसलिए, सही व्यंजक $\frac{R^2}{L}$ है।

(D) दूरी $x$ की विमा $[L]$ है।
स्थितिज ऊर्जा $V$ की विमा $[ML^2T^{-2}]$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार, हर $(x + B)$ में, $B$ की विमा $x$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। अतः, $[B] = [L]$.
दिया गया समीकरण $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[ML^2T^{-2}] = \frac{[A][L^{1/2}]}{[L]}$.
$[ML^2T^{-2}] = [A][L^{-1/2}]$.
इसलिए, $[A] = [ML^2T^{-2}] \times [L^{1/2}] = [ML^{5/2}T^{-2}]$.
अब, $AB$ की विमा $[AB] = [ML^{5/2}T^{-2}] \times [L] = [ML^{7/2}T^{-2}]$ है।

(B) विमीय सूत्र इस प्रकार हैं: $[H] = [M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}]$, $[x] = [L^1]$, $[\epsilon] = [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$, $[E] = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$, और $[t] = [T^1]$.
समीकरण $H = x^p \epsilon^q E^r t^{-s}$ में इन मानों को रखने पर:
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = [L]^p [M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]^q [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^r [T]^{-s}$
$[M^1 L^0 T^{-2} A^{-1}] = M^{-q+r} L^{p-3q+r} T^{4q-3r-s} A^{2q-r}$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$A$ के लिए: $2q - r = -1$ $(i)$
$M$ के लिए: $-q + r = 1$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $q = 0$. (ii) में $q=0$ रखने पर, $r = 1$ प्राप्त होता है।
$L$ के लिए: $p - 3q + r = 0 \Rightarrow p - 0 + 1 = 0 \Rightarrow p = -1$.
$T$ के लिए: $4q - 3r - s = -2 \Rightarrow 4(0) - 3(1) - s = -2 \Rightarrow -3 - s = -2 \Rightarrow s = -1$.
चूँकि समीकरण $H = \frac{x^p \epsilon^q E^r}{t^s}$ है, $t$ का घातांक $-s$ है। यदि दिया गया रूप $t^{-s}$ है, तो $s = -1$ है। लेकिन यदि रूप $t^s$ है, तो $s = 1$ है। विकल्पों के अनुसार, $p=-1, q=1, r=1, s=1$ विकल्प $B$ से मेल खाता है।