Dimensions and Dimensional Formula Questions in Hindi

(C) किसी भौतिक राशि की विमाएँ वे घातें हैं जिन्हें मूल मात्रकों पर चढ़ाया जाता है ताकि उस भौतिक राशि को व्यक्त किया जा सके।
परिभाषा के अनुसार,एक मात्रकहीन राशि वह है जिसका कोई मापन मात्रक नहीं होता है।
चूंकि मात्रक मूल राशियों से प्राप्त होते हैं,यदि किसी राशि का कोई मात्रक नहीं है,तो इसका अर्थ है कि सभी मूल राशियों $(M, L, T)$ की घातें शून्य हैं।
इसलिए,एक मात्रकहीन राशि हमेशा विमाहीन होती है।
उदाहरणों में कोण (चाप की लंबाई और त्रिज्या का अनुपात),प्रत्यास्थ विकृति (लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात),और प्वासों अनुपात शामिल हैं।

(C) श्यानता गुणांक $\eta$ का सूत्र न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv}$ प्राप्त होता है।
विमाएं इस प्रकार हैं: बल $F = [MLT^{-2}]$,क्षेत्रफल $A = [L^2]$,दूरी $dx = [L]$,और वेग $dv = [LT^{-1}]$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\eta = \frac{[MLT^{-2}][L]}{[L^2][LT^{-1}]}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\eta = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{dy}{dt} = 2\omega \sin(\omega t + \theta_0)$ है।
किसी भी त्रिकोणमितीय फलन में,उसका तर्क (argument) विमाहीन होना चाहिए।
चूंकि $\sin(\omega t + \theta_0)$ एक त्रिकोणमितीय फलन है,इसलिए इसका तर्क $(\omega t + \theta_0)$ विमाहीन होना चाहिए।
विमाहीन राशि की विमाएँ $[M^{0}L^{0}T^{0}]$ होती हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) तीव्रता $(I)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $(A)$ संचारित शक्ति $(P)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I = \frac{P}{A}$
शक्ति प्रति इकाई समय $(t)$ ऊर्जा $(E)$ है,इसलिए $P = \frac{E}{t}$।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[E] = [M^1L^2T^{-2}]$ है।
समय का विमीय सूत्र $[t] = [T^1]$ है।
क्षेत्रफल का विमीय सूत्र $[A] = [L^2]$ है।
अतः,तीव्रता का विमीय सूत्र होगा:
$[I] = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[T^1] \cdot [L^2]}$
$[I] = [M^1L^0T^{-3}]$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{ऊर्जा घनत्व} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}}$
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$ है और आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
$\text{ऊर्जा घनत्व} = \frac{[M^1L^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1L^{2-3}T^{-2}] = [M^1L^{-1}T^{-2}]$

(B) चुंबकीय बल $F = BIL$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$I$ विद्युत धारा है और $L$ लंबाई है।
इसलिए,$B$ की विमा $[B] = \frac{[F]}{[I][L]} = \frac{[MLT^{-2}]}{[I][L]} = [MT^{-2}I^{-1}]$ है।
अब,$P$ के व्यंजक में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[P] = \frac{[B]^2 [l]^2}{[m]} = \frac{[MT^{-2}I^{-1}]^2 [L]^2}{[M]}$.
$[P] = \frac{[M^2 T^{-4} I^{-2}] [L^2]}{[M]}$.
$[P] = [ML^2 T^{-4} I^{-2}]$.

(C) ओम के नियम के अनुसार,$V = RI$,जिसका अर्थ है $R = \frac{V}{I}$।
विभवांतर $V$ की विमाएं $V = \frac{W}{q}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $W$ कार्य है और $q$ आवेश है।
कार्य $W$ की विमाएं $[ML^2T^{-2}]$ और आवेश $q$ की विमाएं $[IT]$ हैं।
अतः,$V$ की विमाएं $= \frac{[ML^2T^{-2}]}{[IT]} = [ML^2T^{-3}I^{-1}]$।
अब,प्रतिरोध के व्यंजक में इसका मान रखने पर: $R = \frac{[ML^2T^{-3}I^{-1}]}{[I]} = [ML^2T^{-3}I^{-2}]$।

(D) दाब का विमीय सूत्र $P = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर,हमें $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए रूप $M^a L^b T^c$ से करने पर,हमें $a=1, b=-1, c=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,जब $a=1, b=-1, c=-2$ होता है,तो वह भौतिक राशि दाब है।

(C) डैम्पिंग बल $F$,वेग $v$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $F = kv$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $k$ आनुपातिकता का स्थिरांक है।
इस समीकरण से,हम $k$ को $k = \frac{F}{v}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
बल $F$ की $SI$ इकाई न्यूटन $(N)$ है,जो $kg\ m\ s^{-2}$ के बराबर है।
वेग $v$ की $SI$ इकाई $m\ s^{-1}$ है।
इन इकाइयों को $k$ के समीकरण में रखने पर:
$k = \frac{kg\ m\ s^{-2}}{m\ s^{-1}} = kg\ s^{-1}$.
अतः,आनुपातिकता के स्थिरांक की इकाई $kg\ s^{-1}$ है।

(C) निर्वात में प्रकाश की चाल को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$
चूंकि $c$ प्रकाश की चाल को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमाएँ वेग के समान होती हैं।
वेग का विमीय सूत्र $[LT^{-1}]$ है।
अतः,$(\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ हैं।

(D) निर्वात में प्रकाश की गति को $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ प्रकाश की गति को दर्शाता है,इसकी विमाएँ $[L T^{-1}]$ हैं।
इसलिए,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ की विमाएँ $c^2$ की विमाओं के बराबर होंगी,जो $[L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0 hc}$ है।
हम जानते हैं कि कूलम्ब बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{e^2}{4\pi \varepsilon _0}$ की विमाएँ $[F][r^2] = [MLT^{-2}][L^2] = [ML^3T^{-2}]$ होती हैं।
प्लांक नियतांक $h$ की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं।
प्रकाश का वेग $c$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ होती हैं।
अतः,व्यंजक की विमाएँ $\frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^2T^{-1}][LT^{-1}]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[ML^3T^{-2}]} = [M^0 L^0 T^0]$ होंगी।
इस राशि को फाइन-स्ट्रक्चर नियतांक के रूप में जाना जाता है,जो एक विमाहीन राशि है।

(A) दो समानांतर धारावाही चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $(F/l)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F/l = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2I_1 I_2}{d}$
$\mu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\mu_0 = \frac{F \cdot d}{l \cdot 2I_1 I_2}$
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[F] = [MLT^{-2}]$
$[d] = [L]$
$[l] = [L]$
$[I] = [A]$
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}] \cdot [L]}{[L] \cdot [A]^2} = [MLT^{-2} A^{-2}]$
अतः, मुक्त आकाश की पारगम्यता की विमाएँ $[MLT^{-2} A^{-2}]$ हैं।

(A) दी गई इकाई $kg \cdot m^2 \cdot A^{-2} \cdot s^{-3}$ है।
इस इकाई के लिए विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिरोध $(R)$ को $V/I$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। विभवांतर $(V)$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है और विद्युत धारा $(I)$ का विमीय सूत्र $[A]$ है।
अतः,प्रतिरोध का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}] / [A] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ होता है।
दी गई इकाई के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि यह प्रतिरोध के अनुरूप है।

(A) व्यंजक $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ मुक्त आकाश की आंतरिक प्रतिबाधा (intrinsic impedance) को दर्शाता है।
इसका मान लगभग $376.7 \ \Omega$ होता है।
चूंकि यह एक प्रतिबाधा है,इसलिए इसका मात्रक ओम $(\Omega)$ है,जो कि प्रतिरोध के मात्रक के समान है।
अतः,$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ की विमा प्रतिरोध की विमा के समान है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच बल $F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{R^2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतशीलता के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें ${\varepsilon _0} = \frac{{{q_1}{q_2}}}{{4\pi F{R^2}}}$ प्राप्त होता है।
आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[AT]$,बल $F$ का $[MLT^{-2}]$ और दूरी $R$ का $[L]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $[{\varepsilon _0}] = \frac{{[AT][AT]}}{{[MLT^{-2}][L^2]}} = \frac{{[A^2T^2]}}{{[ML^3T^{-2}]}}$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $[{\varepsilon _0}] = [M^{-1}L^{-3}T^4A^2]$ प्राप्त होता है।

(D) $\int {e^{ax}} dx$ व्यंजक में,घातांक $ax$ विमाहीन होना चाहिए। चूंकि $x$ की विमा $L^1$ है,इसलिए $a$ की विमा $L^{-1}$ होनी चाहिए।
$\int {e^{ax}} dx$ का समाकलन $\frac{1}{a} e^{ax} + C$ होता है। दिए गए रूप $a^m e^{ax} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $a^m = \frac{1}{a} = a^{-1}$,जिसका अर्थ है कि $m = -1$ है।
चूंकि समाकलन का परिणाम $dx$ (जो $L^1$ है) की विमा के समान होना चाहिए,इसलिए स्थिरांक $C$ की विमा भी $L^1$ होनी चाहिए।
विकल्पों का मूल्यांकन करने पर:
$1$. $m = -1$ सही है।
$2$. $C$ की विमा $= L^1$ सही है।
$3$. $a$ की विमा $= L^{-1}$ सही है।
अतः,सभी कथन सही हैं,इसलिए गलत कथन 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) स्थितिज ऊर्जा $V$ की विमा कार्य या ऊर्जा के समान होती है,जो $[M L^2 T^{-2}]$ है।
हर में $(x + B)$ होने के कारण,चूंकि $x$ एक दूरी है,इसलिए $B$ की विमा $x$ की विमा के समान होनी चाहिए। अतः,$[B] = [L]$.
समीकरण $V = \frac{A\sqrt{x}}{x + B}$ है। $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{V(x + B)}{\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[A] = \frac{[M L^2 T^{-2}] [L]}{[L^{1/2}]} = [M L^2 T^{-2}] [L^{1/2}] = [M L^{5/2} T^{-2}]$.
अब,$AB$ की विमा $[A][B] = [M L^{5/2} T^{-2}] [L] = [M L^{7/2} T^{-2}]$ होगी।

(A) प्रत्येक युग्म की विमाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$. बल: $[MLT^{-2}]$; आवेग: $[MLT^{-1}]$। ये समान नहीं हैं।
$2$. कोणीय संवेग: $[ML^2T^{-1}]$; प्लांक नियतांक: $[ML^2T^{-1}]$। ये समान हैं।
$3$. ऊर्जा: $[ML^2T^{-2}]$; बल आघूर्ण: $[ML^2T^{-2}]$। ये समान हैं।
$4$. प्रत्यास्थता गुणांक: $[ML^{-1}T^{-2}]$; दाब: $[ML^{-1}T^{-2}]$। ये समान हैं।
अतः,बल और आवेग का युग्म समान विमाओं वाला नहीं है।

(D) एक विमाहीन राशि वह राशि है जिसकी कोई भौतिक विमा नहीं होती है,अर्थात इसका विमीय सूत्र $M^0 L^0 T^0$ होता है।
$1$. बल की विमा $[MLT^{-2}]$ है और त्वरण की $[LT^{-2}]$ है। इनका अनुपात $[M]$ है,जो विमाहीन नहीं है।
$2$. वेग की विमा $[LT^{-1}]$ है और त्वरण की $[LT^{-2}]$ है। इनका अनुपात $[T]$ है,जो विमाहीन नहीं है।
$3$. आयतन की विमा $[L^3]$ है और क्षेत्रफल की $[L^2]$ है। इनका अनुपात $[L]$ है,जो विमाहीन नहीं है।
$4$. ऊर्जा और कार्य दोनों का विमीय सूत्र समान है,जो $[ML^2T^{-2}]$ है। इसलिए,इनका अनुपात $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[ML^2T^{-2}]} = [M^0L^0T^0]$ होता है,जो विमाहीन है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दाब $P$ की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
त्रिज्या $r$ और दूरी $x$ की विमाएँ $[L]$ हैं।
वेग $v$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ हैं।
लंबाई $l$ की विमाएँ $[L]$ हैं।
दिए गए सूत्र $\eta = \frac{P(r^2 - x^2)}{4vl}$ में विमाएँ रखने पर:
$\eta = \frac{[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2]}{[LT^{-1}] \cdot [L]}$
$\eta = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2T^{-1}]}$
$\eta = [ML^{-1}T^{-1}]$

(A) दिया गया है: $w = [M]$,$x = [L]$,$y = [T]$,$z = [A]$.
इन विमाओं को व्यंजक $\frac{x^2w}{y^3z}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{x^2w}{y^3z}\right] = \frac{[L]^2 [M]}{[T]^3 [A]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
हम जानते हैं कि विद्युत विभव $V = \frac{\text{कार्य}}{\text{आवेश}} = \frac{[M][L]^2[T]^{-2}}{[A][T]} = \frac{[M][L]^2}{[T]^3 [A]}$.
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{x^2w}{y^3z}$ का विमीय सूत्र विद्युत विभव के विमीय सूत्र के समान है।

(B) $1$. विद्युत प्रतिरोध $(R)$: $R = V/I$. $V$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है और $I$ का $[A]$ है। अतः,$R = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$। इस प्रकार,$A \to q$।
$2$. विद्युत विभव $(V)$: विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ है। विकल्पों में यह नहीं है,अतः $B \to s$।
$3$. विशिष्ट प्रतिरोध $(\rho)$: $\rho = R A / l$। विमाएँ: $[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2] / [L] = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$। इस प्रकार,$C \to p$।
$4$. विशिष्ट चालकता $(\sigma)$: $\sigma = 1 / \rho$। विमाएँ: $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$। विकल्पों में यह नहीं है,अतः $D \to s$।
अतः,सही मिलान $A \to q, B \to s, C \to p, D \to s$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $B$ सबसे उपयुक्त है।

(A) मान लीजिए कि द्रव्यमान मूल राशियों से $M \propto T^x C^y h^z$ के रूप में संबंधित है।
द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है।
दी गई राशियों के विमीय सूत्र हैं: $[T] = [T]$,$[C] = [L T^{-1}]$,और $[h] = [M L^2 T^{-1}]$।
इन मानों को समानुपाती समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^x [L T^{-1}]^y [M L^2 T^{-1}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z] [L^{y+2z}] [T^{x-y-z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $z = 1$
$L$ के लिए: $y + 2z = 0 \implies y + 2(1) = 0 \implies y = -2$
$T$ के लिए: $x - y - z = 0 \implies x - (-2) - 1 = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$
अतः,द्रव्यमान की विमाएँ $[M] = [T^{-1} C^{-2} h^1]$ हैं।

(A) विद्युत प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\rho = \frac{R a}{l}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध $R$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $a$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
लंबाई $l$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
इन मानों को $\rho$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.
विद्युत चालकता $\sigma$ प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $\sigma = \frac{1}{\rho}$।
अतः,$\sigma$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ है।

(B) चरघातांकी फलन (exponential function) का घातांक विमाहीन होना चाहिए।
अतः,$[\frac{x^2}{\alpha kt}] = [M^0L^0T^0]$.
चूंकि $[x^2] = L^2$ और $[kt] = [Energy] = ML^2T^{-2}$,हमारे पास है:
$[\alpha] = \frac{[x^2]}{[kt]} = \frac{L^2}{ML^2T^{-2}} = M^{-1}T^2$.
बल $F$ को $F = \alpha \beta \exp(\dots)$ द्वारा दिया गया है। चूंकि चरघातांकी पद विमाहीन है,इसलिए $F$ की विमाएं $\alpha \beta$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[F] = [\alpha][\beta]$
$MLT^{-2} = (M^{-1}T^2) [\beta]$
$[\beta] = \frac{MLT^{-2}}{M^{-1}T^2} = M^2LT^{-4}$.

(C) मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ की विमाएँ $[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$ होती हैं।
मुक्त आकाश की चुंबकशीलता $\mu_0$ की विमाएँ $[M L T^{-2} A^{-2}]$ होती हैं।
अतः,$\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$ की विमाएँ होंगी:
$\left[ \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \right] = \left[ \frac{M^{-1} L^{-3} T^4 A^2}{M L T^{-2} A^{-2}} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-1-1} L^{-3-1} T^{4-(-2)} A^{2-(-2)} \right]^{1/2}$
$= \left[ M^{-2} L^{-4} T^6 A^4 \right]^{1/2}$
$= [M^{-1} L^{-2} T^3 A^2]$।

(D) यदि किसी भौतिक राशि का विमीय सूत्र $[M^0L^0T^0]$ है,तो वह विमाहीन है।
सापेक्ष वेग दो वेगों का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन और मात्रकहीन है।
सापेक्ष घनत्व किसी पदार्थ के घनत्व और पानी के घनत्व का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन और मात्रकहीन है।
विकृति आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन और मात्रकहीन है।
कोण को चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\theta = \frac{s}{r}$।
चूंकि चाप की लंबाई और त्रिज्या दोनों की विमा लंबाई $[L]$ होती है,इसलिए कोण विमाहीन है: $[M^0L^0T^0]$।
हालाँकि,कोण का $SI$ मात्रक रेडियन है,जो एक मात्रक है।
इसलिए,कोण वह भौतिक राशि है जिसका मात्रक होता है लेकिन विमा नहीं होती है।

(D) ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $U = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$.
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है और आयतन का $[L^3]$ है।
अतः,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = \frac{F}{A}$. इसका विमीय सूत्र $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\sigma = \frac{F}{A}$. इसका विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
यंग मापांक प्रतिबल और विकृति का अनुपात है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$. चूंकि विकृति विमाहीन है,इसलिए $Y$ का विमीय सूत्र प्रतिबल के समान ही $[ML^{-1}T^{-2}]$ होता है।
चूंकि दी गई सभी राशियों का विमीय सूत्र $[ML^{-1}T^{-2}]$ समान है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) प्रतिरोधकता $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{R A}{l}$ है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है,$A$ क्षेत्रफल है और $l$ लंबाई है।
प्रतिरोध $R = \frac{V}{I} = \frac{W}{qI} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[A T] [A]} = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$.
क्षेत्रफल $A = [L^2]$.
लंबाई $l = [L]$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] \times [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.

(C) तीव्रता को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में प्रवाहित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{तीव्रता} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{समय}}$
ऊर्जा $[ML^2T^{-2}]$,क्षेत्रफल $[L^2]$ और समय $[T]$ की विमाओं को रखने पर:
$\text{तीव्रता} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^2][T]} = [ML^0T^{-3}]$
अतः,विमीय सूत्र $[ML^0T^{-3}]$ तीव्रता को दर्शाता है।

(D) $1$. प्रति इकाई आयतन ऊर्जा: $\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$2$. प्रति इकाई क्षेत्रफल बल: $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$3$. प्रति इकाई आयतन वोल्टेज और आवेश का गुणनफल: वोल्टेज $\times$ आवेश = ऊर्जा। अतः,$\frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$4$. प्रति इकाई द्रव्यमान कोणीय संवेग: कोणीय संवेग $[ML^2T^{-1}]$ होता है। इसे द्रव्यमान $[M]$ से विभाजित करने पर $[L^2T^{-1}]$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रति इकाई द्रव्यमान कोणीय संवेग की विमा $[L^2T^{-1}]$ है,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ से भिन्न है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $(M)$,धारा $(I)$ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $M = I \times A$.
धारा $(I)$ की विमा $[A]$ है।
क्षेत्रफल $(A)$ की विमा $[L^2]$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण की विमा $[M] = [A][L^2] = [L^2A]$ है।

(A) धारिता $C$ को $C = \frac{Q}{V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभवांतर है।
चूँकि विभवांतर $V = \frac{W}{Q}$ होता है,जहाँ $W$ कार्य है,हम $C = \frac{Q^2}{W}$ लिख सकते हैं।
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $[C] = \frac{[Q^2]}{[ML^2T^{-2}]}$ प्राप्त होता है।
अतः,$[C] = [M^{-1}L^{-2}T^2Q^2]$।

(D) $1$. $Q$ के सापेक्ष वस्तु $P$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q$ के रूप में परिभाषित होता है। चूंकि यह दो वेगों का सदिश घटाव है,इसलिए परिणाम भी एक वेग ही होता है। अतः,इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है,जो वेग और वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$ के विमीय सूत्र के समान है। इस प्रकार,कथन सही है.
$2$. कारण में कहा गया है कि सापेक्ष वेग,वेगों का अनुपात है,जो भौतिक रूप से गलत है। सापेक्ष वेग दो वेगों का अंतर होता है,न कि अनुपात। अतः,कारण गलत है.

(A) व्यंजक $\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ चुंबकीय ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है,जो प्रति इकाई आयतन में संचित चुंबकीय ऊर्जा है।
ऊर्जा घनत्व का सूत्र $u = \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}}$ है।
ऊर्जा की विमा $[M L^{2} T^{-2}]$ है और आयतन की विमा $[L^{3}]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व की विमा $\frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[L^{3}]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ की विमा $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण बल का सूत्र $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ है।
$G$ को सूत्र का कर्ता बनाने पर,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ प्राप्त होता है।
$1$. $MKS$ मात्रक: बल का मात्रक $Newton$ $(N)$,दूरी का मात्रक $meter$ $(m)$ और द्रव्यमान का मात्रक $kilogram$ $(kg)$ है। अतः,मात्रक $N \cdot m^2 / kg^2$ या $kg^{-1} \cdot m^3 \cdot s^{-2}$ है।
$2$. $CGS$ मात्रक: बल का मात्रक $dyne$ $(dyn)$,दूरी का मात्रक $centimeter$ $(cm)$ और द्रव्यमान का मात्रक $gram$ $(g)$ है। अतः,मात्रक $dyn \cdot cm^2 / g^2$ या $g^{-1} \cdot cm^3 \cdot s^{-2}$ है।
$3$. विमीय सूत्र: बल $[MLT^{-2}]$,दूरी $[L]$ और द्रव्यमान $[M]$ की विमाओं को $G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$ में रखने पर,हमें $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ प्राप्त होता है।

(N/A) किसी भौतिक राशि की विमाएँ वे घातें (या घातांक) हैं जिन्हें उस राशि को व्यक्त करने के लिए मूल राशियों पर लगाया जाता है।
किसी भी भौतिक राशि को $7$ मूल (आधारभूत) राशियों के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इनके प्रतीक इस प्रकार हैं:
द्रव्यमान: $M$
लंबाई: $L$
समय: $T$
विद्युत धारा: $A$
ऊष्मागतिक ताप: $K$
ज्योति तीव्रता: $cd$
पदार्थ की मात्रा: $mol$
उदाहरण $1$: आयतन
$\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$
$= L \times L \times L = L^3$
विमाओं के संदर्भ में,आयतन को $[M^0 L^3 T^0]$ के रूप में दर्शाया जाता है। यहाँ,लंबाई की विमा $3$ है,जबकि द्रव्यमान और समय की विमा $0$ है।
उदाहरण $2$: बल
$\text{बल} = \text{द्रव्यमान} \times \text{त्वरण}$
$= M \times (L T^{-2}) = [M^1 L^1 T^{-2}]$
यहाँ,बल की विमाएँ द्रव्यमान में $1$,लंबाई में $1$ और समय में $-2$ हैं।

(N/A) विमीय सूत्र: वह व्यंजक जो यह दर्शाता है कि किसी भौतिक राशि की विमाओं में कौन-सी मूल राशियाँ और किस प्रकार सम्मिलित हैं,उसे विमीय सूत्र कहते हैं।
उदाहरण:
आयतन का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{3} T^{0}]$ है।
चाल (या वेग) का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ है।
त्वरण का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$ है।
घनत्व का विमीय सूत्र $[M^{1} L^{-3} T^{0}]$ है।
विमीय समीकरण: जब किसी भौतिक राशि को उसके विमीय सूत्र के बराबर रखा जाता है,तो प्राप्त समीकरण को उस भौतिक राशि का विमीय समीकरण कहते हैं।
उदाहरण:
आयतन $[V] = [M^{0} L^{3} T^{0}]$
चाल या वेग $[v] = [M^{0} L^{1} T^{-1}]$
बल $[F] = [M^{1} L^{1} T^{-2}]$
घनत्व $[\rho] = [M^{1} L^{-3} T^{0}]$

(B) विमा: किसी व्युत्पन्न राशि को दर्शाने के लिए मूल राशियों पर जो घात या घातांक लगाए जाते हैं,उसे उस राशि की विमा कहा जाता है।
उदाहरण: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
चूंकि लंबाई,चौड़ाई और ऊंचाई तीनों लंबाई के ही प्रकार हैं,इसलिए उनका विमीय निरूपण $L$ है।
$\text{आयतन} = L \times L \times L = L^{3}$.
इस प्रकार,आयतन की लंबाई में विमा $3$ है।

(A) विमीय सूत्रों की गणना इस प्रकार है:
$(1)$ बल आघूर्ण $(\tau) = \text{बल} \times \text{दूरी} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$। अतः, $(1) - (c)$।
$(2)$ कोणीय संवेग $(L) = \text{जड़त्व आघूर्ण} \times \text{कोणीय वेग} = [ML^2] \times [T^{-1}] = [ML^2T^{-1}]$। अतः, $(2) - (b)$।
$(3)$ रैखिक संवेग $(p) = \text{द्रव्यमान} \times \text{वेग} = [M] \times [LT^{-1}] = [MLT^{-1}]$। अतः, $(3) - (a)$।
अतः, सही मिलान $1-c, 2-b, 3-a$ है।

(N/A) विमीय सूत्र: वह व्यंजक जो यह दर्शाता है कि किसी भौतिक राशि की विमाओं में कौन-सी और कितनी मूल राशियाँ शामिल हैं,उसे विमीय सूत्र कहते हैं।
घनत्व को प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\rho = \frac{M}{V}$.
द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है।
आयतन का विमीय सूत्र $[M^0 L^3 T^0]$ है।
अतः,घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[M^1 L^0 T^0]}{[M^0 L^3 T^0]} = [M^1 L^{-3} T^0]$ होगा।
विमीय समीकरण: जब किसी भौतिक राशि को उसके विमीय सूत्र के बराबर रखा जाता है,तो प्राप्त समीकरण को उस भौतिक राशि का विमीय समीकरण कहते हैं।
इस प्रकार,घनत्व के लिए विमीय समीकरण $[\rho] = [M^1 L^{-3} T^0]$ है।

(IMPULSE) $1$. $Ns$ (न्यूटन-सेकंड) आवेग (Impulse) या संवेग में परिवर्तन का मात्रक है।
$2$. आवेग को बल और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $J = F \times \Delta t$.
$3$. संवेग $(p)$ को द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $p = m \times v$.
$4$. द्रव्यमान का विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^0]$ है और वेग का विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
$5$. अतः,संवेग का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-1}]$ होता है।

(A) आवेग $(J)$ को बल $(F)$ और उस समय अंतराल $(\Delta t)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए बल कार्य करता है।
गणितीय रूप से,$J = F \times \Delta t$।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
समय $(\Delta t)$ का विमीय सूत्र $[T^1]$ है।
इसलिए,आवेग का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] \times [T^1] = [M^1 L^1 T^{-1}]$ होगा।
अतः,सही विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-1}]$ है।

(A) स्प्रिंग बल $F = -kx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
अतः,$k$ की विमाएँ $[k] = [F/x] = [MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ हैं।
द्रव्यमान $m$ की विमाएँ $[m] = [M]$ हैं।
इस प्रकार,$\frac{k}{m}$ का विमीय सूत्र $[k/m] = [MT^{-2}] / [M] = [T^{-2}] = [M^0 L^0 T^{-2}]$ है।

(N/A) शक्ति $(P)$ को कार्य करने की दर या ऊर्जा के स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,$P = \frac{W}{t}$।
कार्य $(W)$ का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
समय $(t)$ का विमीय सूत्र $[T]$ है।
अतः,शक्ति का विमीय सूत्र:
$[P] = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T]} = [ML^2T^{-3}]$ होगा।
शक्ति एक अदिश राशि है क्योंकि यह बल और वेग का अदिश गुणनफल $(P = \vec{F} \cdot \vec{v})$ है,और इसका केवल परिमाण होता है,दिशा नहीं।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{GM_e}{gr^2}$ है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM_e}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{GM_e}{r^2} = g$।
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $\frac{GM_e}{gr^2} = \frac{g}{g} = 1$।
चूंकि $1$ एक विमाहीन राशि है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $M^0L^0T^0$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $PV = \mu RT$ है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{PV}{\mu T}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P$ दाब है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है और $T$ तापमान है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
$[V] = [L^3]$
$[\mu] = [M^0 L^0 T^0] = [1]$ (विमाहीन)
$[T] = [K^1]$
इन मानों को $R$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$[R] = \frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}] [L^3]}{[1] [K^1]}$
$[R] = [M^1 L^2 T^{-2} K^{-1}]$

(N/A) स्प्रिंग नियतांक $(k)$ स्प्रिंग की कठोरता का माप है। हुक के नियम के अनुसार,इसे स्प्रिंग के प्रति इकाई विस्तार या संपीड़न के लिए आवश्यक प्रत्यानयन बल (restoring force) के रूप में परिभाषित किया जाता है: $F = -kx$
$1$. मात्रक: स्प्रिंग नियतांक का $SI$ मात्रक $N/m$ (न्यूटन प्रति मीटर) या $kg/s^2$ है।
$2$. विमीय सूत्र: चूंकि $F = kx$,इसलिए $k = F/x$ होता है।
- बल $(F)$ की विमा $[MLT^{-2}]$ है।
- विस्थापन $(x)$ की विमा $[L]$ है।
- अतः,$k$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}] / [L] = [MT^{-2}]$ है।