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Dimensions and Dimensional Formula Questions in Hindi
Class 11 Physics · Units, Dimensions and Measurement · Dimensions and Dimensional Formula
244+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 244 questions in Hindi
151
Medium
आवृत्ति की परिभाषा और विमीय सूत्र लिखिए।
Solution
(N/A) परिभाषा: किसी तरंग की आवृत्ति को प्रति इकाई समय में माध्यम के कण द्वारा पूरे किए गए दोलनों या चक्रों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह आवर्तकाल $(T)$ का व्युत्क्रम होता है।
सूत्र: $f = \frac{1}{T}$.
विमीय सूत्र: चूंकि समय $(T)$ की विमा $[T^1]$ है,इसलिए आवृत्ति $(f)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ या $[M^0 L^0 T^{-1}]$ होता है।
यह आवर्तकाल $(T)$ का व्युत्क्रम होता है।
सूत्र: $f = \frac{1}{T}$.
विमीय सूत्र: चूंकि समय $(T)$ की विमा $[T^1]$ है,इसलिए आवृत्ति $(f)$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ या $[M^0 L^0 T^{-1}]$ होता है।
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Easy
डोरी के रैखिक द्रव्यमान घनत्व की परिभाषा और विमीय सूत्र लिखिए।
Solution
(N/A) परिभाषा: डोरी के रैखिक द्रव्यमान घनत्व (जिसे अक्सर $\mu$ द्वारा दर्शाया जाता है) को डोरी की प्रति इकाई लंबाई के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\mu = \frac{M}{L}$,जहाँ $M$ डोरी का द्रव्यमान है और $L$ इसकी लंबाई है।
विमीय सूत्र: चूंकि द्रव्यमान की विमा $[M]$ है और लंबाई की विमा $[L]$ है,इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व का विमीय सूत्र है:
$\mu = \frac{[M]}{[L]} = [M L^{-1} T^0]$.
गणितीय रूप से,$\mu = \frac{M}{L}$,जहाँ $M$ डोरी का द्रव्यमान है और $L$ इसकी लंबाई है।
विमीय सूत्र: चूंकि द्रव्यमान की विमा $[M]$ है और लंबाई की विमा $[L]$ है,इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व का विमीय सूत्र है:
$\mu = \frac{[M]}{[L]} = [M L^{-1} T^0]$.
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$\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ का परिमाण और विमीय सूत्र लिखिए।
Solution
(N/A) व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ निर्वात में प्रकाश की गति को दर्शाता है,जिसे $c$ द्वारा निरूपित किया जाता है।
इसका परिमाण लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।
चूंकि यह गति को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
इसका परिमाण लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।
चूंकि यह गति को दर्शाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
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MediumMCQ
इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ का विमीय सूत्र क्या है और जूल $(J)$ में इसका मान क्या है?
A
$[ML^2T^{-2}]$ और $1.6 \times 10^{-19} \ J$
B
$[MLT^{-2}]$ और $1.6 \times 10^{-19} \ J$
C
$[ML^2T^{-1}]$ और $1.6 \times 10^{-19} \ J$
D
$[ML^2T^{-2}]$ और $1.6 \times 10^{-20} \ J$
Solution
(A) इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ ऊर्जा की एक इकाई है।
ऊर्जा को बल और विस्थापन के गुणनफल या किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा के लिए विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$ है।
एक इलेक्ट्रॉन वोल्ट को उस ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \ V$ के विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त की जाती है।
$1 \ eV = q \times V = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
ऊर्जा को बल और विस्थापन के गुणनफल या किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा के लिए विमीय सूत्र $[M^1L^2T^{-2}]$ है।
एक इलेक्ट्रॉन वोल्ट को उस ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \ V$ के विभवांतर से त्वरित होने पर प्राप्त की जाती है।
$1 \ eV = q \times V = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (1 \ V) = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
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रिडबर्ग नियतांक $(R)$ का विमीय सूत्र लिखिए।
Solution
(N/A) हाइड्रोजन संक्रमण में उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के लिए रिडबर्ग सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
यहाँ, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, जिसकी विमा लंबाई $([L])$ है。
$n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं, जो विमाहीन हैं。
इसलिए, रिडबर्ग नियतांक $(R)$ की विमा तरंगदैर्ध्य की विमा का व्युत्क्रम है。
$[R] = \frac{1}{[L]} = [L^{-1}]$
मूल विमाओं के संदर्भ में, यह $[M^0 L^{-1} T^0]$ है。
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
यहाँ, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, जिसकी विमा लंबाई $([L])$ है。
$n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं, जो विमाहीन हैं。
इसलिए, रिडबर्ग नियतांक $(R)$ की विमा तरंगदैर्ध्य की विमा का व्युत्क्रम है。
$[R] = \frac{1}{[L]} = [L^{-1}]$
मूल विमाओं के संदर्भ में, यह $[M^0 L^{-1} T^0]$ है。
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Medium
$SI/MKS$ के अलावा इकाइयों की एक और उपयोगी प्रणाली है,जिसे $CGS$ (सेंटीमीटर-ग्राम-सेकंड) प्रणाली कहा जाता है। इस प्रणाली में,कूलम्ब का नियम $\vec F = \frac{{Qq}}{{{r^2}}} \cdot \hat r$ द्वारा दिया जाता है जहाँ दूरी $r$ को $cm$ $(= 10^{-2} \ m)$ में,$F$ को $dyne$ $(= 10^{-5} \ N)$ में और आवेश को इलेक्ट्रोस्टैटिक इकाइयों $(esu)$ में मापा जाता है,जहाँ $1 \ esu$ आवेश $= \frac{1}{[3]} \times 10^{-9} \ C$ है। संख्या $[3]$ वास्तव में निर्वात में प्रकाश की गति से उत्पन्न होती है जिसे अब सटीक रूप से $c = 2.99792458 \times 10^8 \ m/s$ के रूप में लिया जाता है। $c$ का अनुमानित मान $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
$(i)$ दिखाएँ कि $CGS$ इकाइयों में कूलम्ब का नियम $1 \ esu$ आवेश $= 1 \ (dyne)^{1/2} \ cm$ देता है। द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$ और समय $T$ के संदर्भ में आवेश की इकाइयों के आयाम प्राप्त करें। दिखाएँ कि यह $M$ और $L$ के भिन्नात्मक घातों के रूप में दिया गया है।
$(ii)$ $1 \ esu$ आवेश $= xC$ लिखें,जहाँ $x$ एक विमाहीन संख्या है। दिखाएँ कि यह $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = \frac{{10^{-9}}}{{{x^2}}} \frac{N \ m^2}{C^2}$ देता है। $x = \frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ के साथ,हमारे पास $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = [3]^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ या $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = (2.99792458)^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ (सटीक) है।
$(i)$ दिखाएँ कि $CGS$ इकाइयों में कूलम्ब का नियम $1 \ esu$ आवेश $= 1 \ (dyne)^{1/2} \ cm$ देता है। द्रव्यमान $M$,लंबाई $L$ और समय $T$ के संदर्भ में आवेश की इकाइयों के आयाम प्राप्त करें। दिखाएँ कि यह $M$ और $L$ के भिन्नात्मक घातों के रूप में दिया गया है।
$(ii)$ $1 \ esu$ आवेश $= xC$ लिखें,जहाँ $x$ एक विमाहीन संख्या है। दिखाएँ कि यह $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = \frac{{10^{-9}}}{{{x^2}}} \frac{N \ m^2}{C^2}$ देता है। $x = \frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ के साथ,हमारे पास $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = [3]^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ या $\frac{1}{{4\pi \epsilon_0}} = (2.99792458)^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ (सटीक) है।
Solution
(A) $(i)$ $CGS$ इकाइयों में,कूलम्ब का नियम $F = \frac{Qq}{r^2}$ है।
$1 \ esu$ आवेश के लिए,$F = 1 \ dyne$ और $r = 1 \ cm$ है।
$1 \ dyne = \frac{(1 \ esu)^2}{(1 \ cm)^2} \implies 1 \ esu = (1 \ dyne)^{1/2} \ cm$.
चूंकि $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ और $[L] = [L^1]$,इसलिए $1 \ esu$ के आयाम $[M^1 L^1 T^{-2}]^{1/2} \times [L^1] = [M^{1/2} L^{3/2} T^{-1}]$ हैं।
अतः,$M$ और $L$ के घात क्रमशः $1/2$ और $3/2$ हैं,जो भिन्नात्मक हैं।
$(ii)$ मान लीजिए $1 \ esu = x \ C$ है। $1 \ cm$ की दूरी पर स्थित दो $1 \ esu$ आवेशों के बीच बल $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$ है।
$SI$ इकाइयों में,$F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ है।
$q_1 = q_2 = x \ C$ और $r = 10^{-2} \ m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10^{-5} \ N = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{x^2}{(10^{-2} \ m)^2}$.
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = \frac{10^{-5} \ N \times 10^{-4} \ m^2}{x^2} = \frac{10^{-9}}{x^2} \frac{N \ m^2}{C^2}$.
$x = \frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = \frac{10^{-9}}{(1/[3] \times 10^{-9})^2} = [3]^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ प्राप्त होता है।
$1 \ esu$ आवेश के लिए,$F = 1 \ dyne$ और $r = 1 \ cm$ है।
$1 \ dyne = \frac{(1 \ esu)^2}{(1 \ cm)^2} \implies 1 \ esu = (1 \ dyne)^{1/2} \ cm$.
चूंकि $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ और $[L] = [L^1]$,इसलिए $1 \ esu$ के आयाम $[M^1 L^1 T^{-2}]^{1/2} \times [L^1] = [M^{1/2} L^{3/2} T^{-1}]$ हैं।
अतः,$M$ और $L$ के घात क्रमशः $1/2$ और $3/2$ हैं,जो भिन्नात्मक हैं।
$(ii)$ मान लीजिए $1 \ esu = x \ C$ है। $1 \ cm$ की दूरी पर स्थित दो $1 \ esu$ आवेशों के बीच बल $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$ है।
$SI$ इकाइयों में,$F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ है।
$q_1 = q_2 = x \ C$ और $r = 10^{-2} \ m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10^{-5} \ N = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{x^2}{(10^{-2} \ m)^2}$.
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = \frac{10^{-5} \ N \times 10^{-4} \ m^2}{x^2} = \frac{10^{-9}}{x^2} \frac{N \ m^2}{C^2}$.
$x = \frac{1}{[3]} \times 10^{-9}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = \frac{10^{-9}}{(1/[3] \times 10^{-9})^2} = [3]^2 \times 10^9 \frac{N \ m^2}{C^2}$ प्राप्त होता है।
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Difficult
$ML^2T^{-2}$ विमीय सूत्र वाली कम से कम छह भौतिक राशियों के नाम लिखिए।
Solution
(N/A) $(i)$ कार्य
$(ii)$ बल आघूर्ण (टॉर्क)
$(iii)$ बल का आघूर्ण
$(iv)$ बल युग्म
$(v)$ स्थितिज ऊर्जा
$(vi)$ गतिज ऊर्जा
$(ii)$ बल आघूर्ण (टॉर्क)
$(iii)$ बल का आघूर्ण
$(iv)$ बल युग्म
$(v)$ स्थितिज ऊर्जा
$(vi)$ गतिज ऊर्जा
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MediumMCQ
क्या द्रव्यमान और भार की विमाएँ समान हैं?
A
हाँ
B
नहीं
C
कभी-कभी
D
निर्धारित नहीं किया जा सकता
Solution
(B) नहीं,द्रव्यमान की विमाएँ $[M^1 L^0 T^0]$ (या केवल $[M]$) होती हैं।
भार एक बल है,जिसे $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
भार की विमाएँ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ होती हैं।
चूँकि विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए द्रव्यमान और भार समान नहीं हैं।
भार एक बल है,जिसे $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
भार की विमाएँ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ होती हैं।
चूँकि विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए द्रव्यमान और भार समान नहीं हैं।
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MediumMCQ
क्या यह संभव है कि किसी भौतिक राशि की विमाएँ हों लेकिन कोई मात्रक न हो?
A
हाँ
B
नहीं
C
कभी-कभी
D
मात्रक प्रणाली पर निर्भर करता है
Solution
(B) नहीं,यह संभव नहीं है। परिभाषा के अनुसार,विमा किसी राशि की भौतिक प्रकृति को दर्शाती है,और मात्रक उस विमा को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक माप है। यदि किसी राशि की विमाएँ हैं,तो उसे मापा जाना संभव होना चाहिए,और इसलिए उसका एक संगत मात्रक होना अनिवार्य है।
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MediumMCQ
$\rho g v$ का विमीय सूत्र ज्ञात कीजिए,जहाँ $\rho = \text{घनत्व}$,$g = \text{त्वरण}$,और $v = \text{वेग}$ है।
A
$[M L^{-1} T^{-3}]$
B
$[M L^{-2} T^{-2}]$
C
$[M L^{-3} T^{-1}]$
D
$[M L^{-1} T^{-2}]$
Solution
(A) घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3}]$ है।
त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[L T^{-2}]$ है।
वेग $v$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}]$ है।
अब,गुणनफल $\rho g v$ का विमीय सूत्र इस प्रकार है:
$[\rho g v] = [\rho] [g] [v]$
$[\rho g v] = [M L^{-3}] [L T^{-2}] [L T^{-1}]$
$[\rho g v] = [M L^{-3+1+1} T^{-2-1}]$
$[\rho g v] = [M L^{-1} T^{-3}]$
त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[L T^{-2}]$ है।
वेग $v$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}]$ है।
अब,गुणनफल $\rho g v$ का विमीय सूत्र इस प्रकार है:
$[\rho g v] = [\rho] [g] [v]$
$[\rho g v] = [M L^{-3}] [L T^{-2}] [L T^{-1}]$
$[\rho g v] = [M L^{-3+1+1} T^{-2-1}]$
$[\rho g v] = [M L^{-1} T^{-3}]$
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Difficult
एक फलन $f(\theta)$ को $f(\theta) = 1 - \theta + \frac{\theta^2}{2!} - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $f(\theta)$ का विमाहीन राशि होना क्यों आवश्यक है?
Solution
(N/A) दिया गया फलन $f(\theta)$ घातांकीय फलन $e^{-\theta}$ का एक पावर श्रेणी विस्तार है।
किसी भी भौतिक समीकरण में,जिन पदों को जोड़ा या घटाया जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि पहला पद एक विमाहीन स्थिरांक $(1)$ है,इसलिए बाद के सभी पद $(\theta, \frac{\theta^2}{2!}, \dots)$ भी विमाहीन होने चाहिए।
इसके अतिरिक्त,विमाओं की समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि ट्रांससेंडेंटल फलनों (जैसे घातांकीय,त्रिकोणमितीय या लघुगणकीय फलन) के तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
अतः,समीकरण के भौतिक रूप से सार्थक होने के लिए $f(\theta)$ का विमाहीन राशि होना आवश्यक है।
किसी भी भौतिक समीकरण में,जिन पदों को जोड़ा या घटाया जाता है,उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
चूँकि पहला पद एक विमाहीन स्थिरांक $(1)$ है,इसलिए बाद के सभी पद $(\theta, \frac{\theta^2}{2!}, \dots)$ भी विमाहीन होने चाहिए।
इसके अतिरिक्त,विमाओं की समांगता का सिद्धांत यह बताता है कि ट्रांससेंडेंटल फलनों (जैसे घातांकीय,त्रिकोणमितीय या लघुगणकीय फलन) के तर्क (arguments) विमाहीन होने चाहिए।
अतः,समीकरण के भौतिक रूप से सार्थक होने के लिए $f(\theta)$ का विमाहीन राशि होना आवश्यक है।
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Easy
एक प्रगामी तरंग का विस्थापन $y = A \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $x$ दूरी है और $t$ समय है। $(i)$ $\omega$ और $(ii)$ $k$ का विमीय सूत्र लिखिए।
Solution
(N/A) त्रिकोणमितीय फलन का तर्क $(\omega t - kx)$ विमाहीन होना चाहिए क्योंकि साइन फलन एक विमाहीन अनुपात है।
$(i)$ $\omega t$ के विमाहीन होने के लिए:
$[\omega][t] = [M^0 L^0 T^0]$
$[\omega][T] = [M^0 L^0 T^0]$
$[\omega] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$
$(ii)$ $kx$ के विमाहीन होने के लिए:
$[k][x] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k][L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] = [L^{-1}] = [M^0 L^{-1} T^0]$
$(i)$ $\omega t$ के विमाहीन होने के लिए:
$[\omega][t] = [M^0 L^0 T^0]$
$[\omega][T] = [M^0 L^0 T^0]$
$[\omega] = [T^{-1}] = [M^0 L^0 T^{-1}]$
$(ii)$ $kx$ के विमाहीन होने के लिए:
$[k][x] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k][L] = [M^0 L^0 T^0]$
$[k] = [L^{-1}] = [M^0 L^{-1} T^0]$
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MediumMCQ
स्प्रिंग के बल नियतांक $k$ का विमीय सूत्र क्या है?
A
$M^1 L^0 T^{-2}$
B
$M^1 L^1 T^{-2}$
C
$M^0 L^1 T^{-2}$
D
$M^1 L^0 T^{-1}$
Solution
(A) स्प्रिंग बल हुक के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = -kx$।
यहाँ,$F$ बल है,$k$ स्प्रिंग नियतांक है,और $x$ विस्थापन है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k = F/x$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
विस्थापन $x$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,$k$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] / [L^1] = [M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
यहाँ,$F$ बल है,$k$ स्प्रिंग नियतांक है,और $x$ विस्थापन है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k = F/x$ प्राप्त होता है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
विस्थापन $x$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,$k$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}] / [L^1] = [M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
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MediumMCQ
स्तंभ-$1$ का स्तंभ-$2$ से मिलान करें।
| स्तंभ-$1$ | स्तंभ-$2$ |
| $(a)$ तरंग सदिश | $(i)$ $M^1L^0T^{-3}$ |
| $(b)$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व | $(ii)$ $M^1L^{-1}T^{-2}$ |
| $(c)$ तरंग की तीव्रता | $(iii)$ $M^0L^{-1}T^0$ |
| $(d)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक | $(iv)$ $M^1L^{-1}T^0$ |
A
$a-iii, b-iv, c-i, d-ii$
B
$a-i, b-ii, c-iii, d-iv$
C
$a-ii, b-iii, c-iv, d-i$
D
$a-iv, b-i, c-ii, d-iii$
Solution
(A) विमीय सूत्रों की गणना इस प्रकार है:
$(a)$ तरंग सदिश $(k = 2\pi / \lambda)$: इसकी विमा $[L^{-1}]$ है, जो $M^0L^{-1}T^0$ $(iii)$ के अनुरूप है।
$(b)$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व $(\mu = \text{द्रव्यमान} / \text{लंबाई})$: इसकी विमा $[ML^{-1}]$ है, जो $M^1L^{-1}T^0$ $(iv)$ के अनुरूप है।
$(c)$ तरंग की तीव्रता $(I = \text{शक्ति} / \text{क्षेत्रफल})$: शक्ति की विमा $ML^2T^{-3}$ है, इसलिए $I = (ML^2T^{-3}) / L^2 = MT^{-3}$, जो $M^1L^0T^{-3}$ $(i)$ के अनुरूप है।
$(d)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B = \text{प्रतिबल} / \text{विकृति})$: प्रतिबल की विमा $ML^{-1}T^{-2}$ है और विकृति विमाहीन है, इसलिए $B$ की विमा $M^1L^{-1}T^{-2}$ $(ii)$ है।
अतः, सही मिलान $(a-iii, b-iv, c-i, d-ii)$ है।
$(a)$ तरंग सदिश $(k = 2\pi / \lambda)$: इसकी विमा $[L^{-1}]$ है, जो $M^0L^{-1}T^0$ $(iii)$ के अनुरूप है।
$(b)$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व $(\mu = \text{द्रव्यमान} / \text{लंबाई})$: इसकी विमा $[ML^{-1}]$ है, जो $M^1L^{-1}T^0$ $(iv)$ के अनुरूप है।
$(c)$ तरंग की तीव्रता $(I = \text{शक्ति} / \text{क्षेत्रफल})$: शक्ति की विमा $ML^2T^{-3}$ है, इसलिए $I = (ML^2T^{-3}) / L^2 = MT^{-3}$, जो $M^1L^0T^{-3}$ $(i)$ के अनुरूप है।
$(d)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(B = \text{प्रतिबल} / \text{विकृति})$: प्रतिबल की विमा $ML^{-1}T^{-2}$ है और विकृति विमाहीन है, इसलिए $B$ की विमा $M^1L^{-1}T^{-2}$ $(ii)$ है।
अतः, सही मिलान $(a-iii, b-iv, c-i, d-ii)$ है।
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Easy
पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र दीजिए।
Solution
(N/A) पृष्ठ तनाव $(T)$ को द्रव की सतह पर प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$T = \frac{F}{L}$,जहाँ $F$ बल है और $L$ लंबाई है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
लंबाई $(L)$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[T] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
गणितीय रूप से,$T = \frac{F}{L}$,जहाँ $F$ बल है और $L$ लंबाई है।
बल $(F)$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
लंबाई $(L)$ का विमीय सूत्र $[L^1]$ है।
अतः,पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[T] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^1]} = [M^1 L^0 T^{-2}]$ है।
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MediumMCQ
श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity) का विमीय सूत्र दीजिए।
A
$M^1 L^{-1} T^{-1}$
B
$M^1 L^1 T^{-1}$
C
$M^1 L^{-1} T^{-2}$
D
$M^1 L^{-2} T^{-1}$
Solution
(A) श्यानता गुणांक $\eta$ को न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा परिभाषित किया जाता है: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
वेग प्रवणता $dv/dx$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\eta = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M^1 L^{-1} T^{-1}]$.
अतः,श्यानता गुणांक का विमीय सूत्र $M^1 L^{-1} T^{-1}$ है।
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
बल $F$ का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
वेग प्रवणता $dv/dx$ का विमीय सूत्र $[L T^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\eta = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M^1 L^{-1} T^{-1}]$.
अतः,श्यानता गुणांक का विमीय सूत्र $M^1 L^{-1} T^{-1}$ है।
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EasyMCQ
स्तंभ-$I$ में विभिन्न भौतिक राशियाँ दी गई हैं और स्तंभ-$II$ में उनके विमीय सूत्र दिए गए हैं। उनका उचित मिलान करें।
| स्तंभ-$I$ | स्तंभ-$II$ |
|---|---|
| $(a)$ श्यान बल (Viscous force) | $(i)$ $[M^1 L^1 T^{-2}]$ |
| $(b)$ श्यानता गुणांक (Coefficient of viscosity) | $(ii)$ $[M^1 L^{-1} T^{-1}]$ |
| $(iii)$ $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ |
A
$(a-i), (b-iii)$
B
$(a-i), (b-ii)$
C
$(a-iii), (b-ii)$
D
$(a-ii), (b-iii)$
Solution
(B) $1$. श्यान बल $(F)$ एक प्रकार का बल है, और बल का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-2}]$ होता है। अतः, $(a)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
$2$. न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$, जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है, $A$ क्षेत्रफल है, और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता है।
$3$. $\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
$4$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[\eta] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M^1 L^{-1} T^{-1}]$. अतः, $(b)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$2$. न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, $F = \eta A \frac{dv}{dx}$, जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है, $A$ क्षेत्रफल है, और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता है।
$3$. $\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
$4$. विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[\eta] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M^1 L^{-1} T^{-1}]$. अतः, $(b)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
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MediumMCQ
कोणीय संवेग और रैखिक संवेग के अनुपात का विमीय सूत्र क्या है?
A
$M^{0}L^{1}T^{0}$
B
$M^{1}L^{1}T^{-1}$
C
$M^{0}L^{0}T^{1}$
D
$M^{1}L^{2}T^{-1}$
Solution
(A) कोणीय संवेग $(L)$ को $L = r \times p$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $r$ स्थिति सदिश है और $p$ रैखिक संवेग है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र $[M^{1}L^{2}T^{-1}]$ है।
रैखिक संवेग $(p)$ का विमीय सूत्र $[M^{1}L^{1}T^{-1}]$ है।
कोणीय संवेग और रैखिक संवेग का अनुपात लेने पर: $\frac{L}{p} = \frac{[M^{1}L^{2}T^{-1}]}{[M^{1}L^{1}T^{-1}]}$.
विमाओं को सरल करने पर: $\frac{M^{1-1}L^{2-1}T^{-1-(-1)}}{1} = M^{0}L^{1}T^{0}$.
अतः,विमीय सूत्र $[L^{1}]$ प्राप्त होता है,जो लंबाई की विमा को दर्शाता है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र $[M^{1}L^{2}T^{-1}]$ है।
रैखिक संवेग $(p)$ का विमीय सूत्र $[M^{1}L^{1}T^{-1}]$ है।
कोणीय संवेग और रैखिक संवेग का अनुपात लेने पर: $\frac{L}{p} = \frac{[M^{1}L^{2}T^{-1}]}{[M^{1}L^{1}T^{-1}]}$.
विमाओं को सरल करने पर: $\frac{M^{1-1}L^{2-1}T^{-1-(-1)}}{1} = M^{0}L^{1}T^{0}$.
अतः,विमीय सूत्र $[L^{1}]$ प्राप्त होता है,जो लंबाई की विमा को दर्शाता है।
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MediumMCQ
पृथ्वी की सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में प्राप्त सौर ऊर्जा को सौर स्थिरांक के रूप में परिभाषित किया जाता है। सौर स्थिरांक की विमा क्या है?
A
$ML^{2}T^{-2}$
B
$MLT^{-2}$
C
$M^{2}L^{0}T^{-1}$
D
$MT^{-3}$
Solution
(D) सौर स्थिरांक $S$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ और प्रति इकाई समय $t$ में प्राप्त ऊर्जा $E$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$S = \frac{E}{A \times t}$
ऊर्जा $E$ की विमा $[ML^{2}T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^{2}]$ है।
समय $t$ की विमा $[T]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{2}] \times [T]}$
$S = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{2}T]}$
$S = [MT^{-3}]$
अतः,सौर स्थिरांक की विमा $[MT^{-3}]$ है।
$S = \frac{E}{A \times t}$
ऊर्जा $E$ की विमा $[ML^{2}T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $A$ की विमा $[L^{2}]$ है।
समय $t$ की विमा $[T]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{2}] \times [T]}$
$S = \frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{2}T]}$
$S = [MT^{-3}]$
अतः,सौर स्थिरांक की विमा $[MT^{-3}]$ है।
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EasyMCQ
प्रतिबल (stress) की विमाएँ क्या हैं?
A
$[M L^{-1} T^{-2}]$
B
$[M L T^{-2}]$
C
$[M L^{2} T^{-2}]$
D
$[M L^{0} T^{-2}]$
Solution
(A) प्रतिबल (stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Area}}$
बल $[M L T^{-2}]$ और क्षेत्रफल $[L^2]$ के विमीय सूत्र रखने पर:
$\text{Stress} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]}$
$\text{Stress} = [M L^{1-2} T^{-2}]$
$\text{Stress} = [M L^{-1} T^{-2}]$
$\text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Area}}$
बल $[M L T^{-2}]$ और क्षेत्रफल $[L^2]$ के विमीय सूत्र रखने पर:
$\text{Stress} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]}$
$\text{Stress} = [M L^{1-2} T^{-2}]$
$\text{Stress} = [M L^{-1} T^{-2}]$
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EasyMCQ
ल्यूमिनस फ्लक्स (Luminous flux) की विमा क्या है?
A
$[cd^1]$
B
$[cd^1 T^{-1}]$
C
$[cd^1 L^{-2}]$
D
$[cd^1 L^1 T^{-1}]$
Solution
(A) ल्यूमिनस फ्लक्स प्रकाश की अनुभव की गई शक्ति का माप है।
अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली $(SI)$ में,ल्यूमिनस इंटेंसिटी (प्रकाश की तीव्रता) की मूल इकाई कैंडेला $(cd)$ है।
चूंकि ल्यूमिनस फ्लक्स,ल्यूमिनस इंटेंसिटी के समानुपाती होता है,इसलिए इसकी विमा को ल्यूमिनस इंटेंसिटी की मूल विमा द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,ल्यूमिनस फ्लक्स की विमा $[cd^1]$ है।
अंतर्राष्ट्रीय इकाई प्रणाली $(SI)$ में,ल्यूमिनस इंटेंसिटी (प्रकाश की तीव्रता) की मूल इकाई कैंडेला $(cd)$ है।
चूंकि ल्यूमिनस फ्लक्स,ल्यूमिनस इंटेंसिटी के समानुपाती होता है,इसलिए इसकी विमा को ल्यूमिनस इंटेंसिटी की मूल विमा द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,ल्यूमिनस फ्लक्स की विमा $[cd^1]$ है।
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MediumMCQ
List-$I$ को List-$II$ के साथ सुमेलित करें:
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
| List-$I$ | List-$II$ |
| $(a)$ $h$ (प्लांक नियतांक) | $(i)$ $[M L T^{-1}]$ |
| $(b)$ $E$ (गतिज ऊर्जा) | $(ii)$ $[M L^2 T^{-1}]$ |
| $(c)$ $V$ (विद्युत विभव) | $(iii)$ $[M L^2 T^{-2}]$ |
| $(d)$ $P$ (रैखिक संवेग) | $(iv)$ $[M L^2 I^{-1} T^{-3}]$ |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
$(a) \rightarrow (iii), (b) \rightarrow (iv), (c) \rightarrow (ii), (d) \rightarrow (i)$
B
$(a) \rightarrow (ii), (b) \rightarrow (iii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$
C
$(a) \rightarrow (i), (b) \rightarrow (ii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (iii)$
D
$(a) \rightarrow (iii), (b) \rightarrow (ii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$
Solution
(B) प्रत्येक भौतिक राशि के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार है:
$1$. प्लांक नियतांक $(h)$: चूंकि $E = h\nu$,इसलिए $h = E / \nu$. इसकी विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$ होती हैं। अतः,$(a) \rightarrow (ii)$.
$2$. गतिज ऊर्जा $(E)$: ऊर्जा की विमाएँ कार्य के समान होती हैं,जो $[M L^2 T^{-2}]$ है। अतः,$(b) \rightarrow (iii)$.
$3$. विद्युत विभव $(V)$: $V = W / q$. इसकी विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [I T] = [M L^2 I^{-1} T^{-3}]$ होती हैं। अतः,$(c) \rightarrow (iv)$.
$4$. रैखिक संवेग $(P)$: $P = m v$. इसकी विमाएँ $[M] [L T^{-1}] = [M L T^{-1}]$ होती हैं। अतः,$(d) \rightarrow (i)$.
इस प्रकार,सही मिलान $(a) \rightarrow (ii), (b) \rightarrow (iii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ है।
$1$. प्लांक नियतांक $(h)$: चूंकि $E = h\nu$,इसलिए $h = E / \nu$. इसकी विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$ होती हैं। अतः,$(a) \rightarrow (ii)$.
$2$. गतिज ऊर्जा $(E)$: ऊर्जा की विमाएँ कार्य के समान होती हैं,जो $[M L^2 T^{-2}]$ है। अतः,$(b) \rightarrow (iii)$.
$3$. विद्युत विभव $(V)$: $V = W / q$. इसकी विमाएँ $[M L^2 T^{-2}] / [I T] = [M L^2 I^{-1} T^{-3}]$ होती हैं। अतः,$(c) \rightarrow (iv)$.
$4$. रैखिक संवेग $(P)$: $P = m v$. इसकी विमाएँ $[M] [L T^{-1}] = [M L T^{-1}]$ होती हैं। अतः,$(d) \rightarrow (i)$.
इस प्रकार,सही मिलान $(a) \rightarrow (ii), (b) \rightarrow (iii), (c) \rightarrow (iv), (d) \rightarrow (i)$ है।
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DifficultMCQ
यदि $e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है,$c$ मुक्त स्थान में प्रकाश की गति है और $h$ प्लांक नियतांक है,तो राशि $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{| e |^{2}}{h c}$ की विमाएँ ....... हैं।
A
$[M^{0} L^{0} T^{0}]$
B
$[L C^{-1}]$
C
$[M L T^{-1}]$
D
$[M L T^{0}]$
Solution
(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $e$ के बीच कूलम्ब बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ की विमा $[F r^{2}] = [M L T^{-2} \cdot L^{2}] = [M L^{3} T^{-2}]$ होती है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है,इसलिए $hc$ की विमा $[E \lambda] = [M L^{2} T^{-2} \cdot L] = [M L^{3} T^{-2}]$ होती है।
इन दोनों राशियों को विभाजित करने पर,विमाएँ $\frac{[M L^{3} T^{-2}]}{[M L^{3} T^{-2}]} = [M^{0} L^{0} T^{0}]$ प्राप्त होती हैं।
अतः,यह राशि विमाहीन है।
इससे,$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ की विमा $[F r^{2}] = [M L T^{-2} \cdot L^{2}] = [M L^{3} T^{-2}]$ होती है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है,इसलिए $hc$ की विमा $[E \lambda] = [M L^{2} T^{-2} \cdot L] = [M L^{3} T^{-2}]$ होती है।
इन दोनों राशियों को विभाजित करने पर,विमाएँ $\frac{[M L^{3} T^{-2}]}{[M L^{3} T^{-2}]} = [M^{0} L^{0} T^{0}]$ प्राप्त होती हैं।
अतः,यह राशि विमाहीन है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित में से कौन सी राशि विमाहीन नहीं है?
A
सापेक्ष चुंबकीय पारगम्यता $(\mu_{r})$
B
शक्ति गुणांक (Power factor)
C
मुक्त आकाश की पारगम्यता $(\mu_{0})$
D
गुणवत्ता कारक (Quality factor)
Solution
(C) सापेक्ष चुंबकीय पारगम्यता $(\mu_{r} = \mu / \mu_{0})$ दो समान राशियों का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ प्रतिरोध और प्रतिबाधा का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
मुक्त आकाश की पारगम्यता $(\mu_{0})$ का $SI$ मात्रक $N A^{-2}$ या $T m A^{-1}$ है। इसका विमीय सूत्र $[M L T^{-2} A^{-2}]$ है। इसलिए,यह एक विमाहीन राशि नहीं है।
गुणवत्ता कारक $(Q)$ को प्रति चक्र संग्रहीत ऊर्जा और व्यय ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो इसे विमाहीन बनाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ प्रतिरोध और प्रतिबाधा का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
मुक्त आकाश की पारगम्यता $(\mu_{0})$ का $SI$ मात्रक $N A^{-2}$ या $T m A^{-1}$ है। इसका विमीय सूत्र $[M L T^{-2} A^{-2}]$ है। इसलिए,यह एक विमाहीन राशि नहीं है।
गुणवत्ता कारक $(Q)$ को प्रति चक्र संग्रहीत ऊर्जा और व्यय ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जो इसे विमाहीन बनाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
यदि $E$ और $G$ क्रमशः ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण नियतांक को दर्शाते हैं,तो $\frac{E}{G}$ की विमाएँ क्या होंगी?
A
$[M][L^{-1}][T^{-1}]$
B
$[M^{2}][L^{-1}][T^{0}]$
C
$[M][L^{0}][T^{0}]$
D
$[M^{2}][L^{-2}][T^{-1}]$
Solution
(B) ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[M L^{2} T^{-2}]$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{3} T^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{E}{G}$ की विमाएँ इस प्रकार होंगी:
$\frac{[E]}{[G]} = \frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]}$
$= [M^{1 - (-1)}] [L^{2 - 3}] [T^{-2 - (-2)}]$
$= [M^{2}] [L^{-1}] [T^{0}]$
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{3} T^{-2}]$ है।
अतः,$\frac{E}{G}$ की विमाएँ इस प्रकार होंगी:
$\frac{[E]}{[G]} = \frac{[M L^{2} T^{-2}]}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]}$
$= [M^{1 - (-1)}] [L^{2 - 3}] [T^{-2 - (-2)}]$
$= [M^{2}] [L^{-1}] [T^{0}]$
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MediumMCQ
समान विमाओं वाली भौतिक राशियों के युग्म की पहचान कीजिए।
A
वेग प्रवणता (velocity gradient) और क्षय नियतांक (decay constant)
B
वीन नियतांक (Wien's constant) और स्टीफन नियतांक (Stefan constant)
C
कोणीय आवृत्ति (angular frequency) और कोणीय संवेग (angular momentum)
D
तरंग संख्या (wave number) और आवोगाद्रो संख्या (Avogadro number)
Solution
(A) वेग प्रवणता की विमा $[T^{-1}]$ होती है।
क्षय नियतांक $\lambda$ को $N = N_0 e^{-\lambda t}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda t$ विमाहीन है। अतः,क्षय नियतांक की विमा $[T^{-1}]$ है।
चूंकि वेग प्रवणता और क्षय नियतांक दोनों की विमाएं समान $[T^{-1}]$ हैं,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
क्षय नियतांक $\lambda$ को $N = N_0 e^{-\lambda t}$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\lambda t$ विमाहीन है। अतः,क्षय नियतांक की विमा $[T^{-1}]$ है।
चूंकि वेग प्रवणता और क्षय नियतांक दोनों की विमाएं समान $[T^{-1}]$ हैं,इसलिए विकल्प $A$ सही है।
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MediumMCQ
एक भौतिक राशि का $SI$ मात्रक पास्कल-सेकंड है। इस राशि का विमीय सूत्र ............. होगा।
A
$[ML^{-1}T^{-1}]$
B
$[ML^{-1}T^{-2}]$
C
$[ML^{2}T^{-1}]$
D
$[M^{-1}L^{3}T^{0}]$
Solution
(A) दिया गया मात्रक पास्कल-सेकंड $(Pa \cdot s)$ है।
पास्कल $(Pa)$ दाब का मात्रक है,जिसे प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $Pa = \frac{N}{m^2} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m^2} = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$.
अतः,पास्कल-सेकंड मात्रक $(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \cdot s = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ होता है।
द्रव्यमान $(kg)$ के लिए विमीय सूत्र $[M]$,लंबाई $(m)$ के लिए $[L]$,और समय $(s)$ के लिए $[T]$ है।
इन मानों को मात्रक के समीकरण में रखने पर,हमें $[M][L]^{-1}[T]^{-1} = [ML^{-1}T^{-1}]$ प्राप्त होता है।
पास्कल $(Pa)$ दाब का मात्रक है,जिसे प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $Pa = \frac{N}{m^2} = \frac{kg \cdot m/s^2}{m^2} = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$.
अतः,पास्कल-सेकंड मात्रक $(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \cdot s = kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ होता है।
द्रव्यमान $(kg)$ के लिए विमीय सूत्र $[M]$,लंबाई $(m)$ के लिए $[L]$,और समय $(s)$ के लिए $[T]$ है।
इन मानों को मात्रक के समीकरण में रखने पर,हमें $[M][L]^{-1}[T]^{-1} = [ML^{-1}T^{-1}]$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं: एक को अभिकथन $A$ और दूसरे को कारण $R$ के रूप में लेबल किया गया है।
अभिकथन $A$ : दाब $(P)$ और समय $(t)$ का गुणनफल श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity) के आयाम के समान होता है।
कारण $R$ : श्यानता गुणांक $= \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{वेग प्रवणता}}$
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
अभिकथन $A$ : दाब $(P)$ और समय $(t)$ का गुणनफल श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity) के आयाम के समान होता है।
कारण $R$ : श्यानता गुणांक $= \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{वेग प्रवणता}}$
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
A
$A$ और $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।
B
$A$ और $R$ दोनों सही हैं,लेकिन $R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$A$ सही है लेकिन $R$ गलत है।
D
$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।
Solution
(A) चरण $1$: अभिकथन $A$ का विश्लेषण करें। दाब $(P)$ के आयाम $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं और समय $(t)$ के आयाम $[T]$ हैं। अतः,$Pt$ का आयाम $[M L^{-1} T^{-2}] \times [T] = [M L^{-1} T^{-1}]$ है।
चरण $2$: श्यानता गुणांक $(\eta)$ के आयाम का विश्लेषण करें। न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,$F = \eta A \frac{dv}{dx}$,इसलिए $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$। इसके आयाम $[M L T^{-2}] / ([L^2] \times [T^{-1}]) = [M L^{-1} T^{-1}]$ हैं। अतः,अभिकथन $A$ सही है।
चरण $3$: कारण $R$ का विश्लेषण करें। श्यानता गुणांक का सूत्र $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$ है। मूल प्रश्न में दिया गया कथन अधूरा था क्योंकि इसमें क्षेत्रफल का पद छूट गया था। सुधार के साथ,कारण $R$ सही है और यह श्यानता के आयाम को स्पष्ट करता है। इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।
चरण $2$: श्यानता गुणांक $(\eta)$ के आयाम का विश्लेषण करें। न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,$F = \eta A \frac{dv}{dx}$,इसलिए $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$। इसके आयाम $[M L T^{-2}] / ([L^2] \times [T^{-1}]) = [M L^{-1} T^{-1}]$ हैं। अतः,अभिकथन $A$ सही है।
चरण $3$: कारण $R$ का विश्लेषण करें। श्यानता गुणांक का सूत्र $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$ है। मूल प्रश्न में दिया गया कथन अधूरा था क्योंकि इसमें क्षेत्रफल का पद छूट गया था। सुधार के साथ,कारण $R$ सही है और यह श्यानता के आयाम को स्पष्ट करता है। इसलिए,$A$ और $R$ दोनों सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सी एक विमाहीन भौतिक राशि है?
A
कोण
B
प्रतिबल (Stress)
C
बल प्रवणता (Force gradient)
D
वेग प्रवणता (Velocity gradient)
Solution
(A) एक भौतिक राशि विमाहीन होती है यदि द्रव्यमान $(M)$,लंबाई $(L)$ और समय $(T)$ के संदर्भ में उसकी कोई विमा न हो।
$1$. कोण को चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\theta = \frac{s}{r}$। चूंकि दोनों लंबाई हैं,इसलिए विमा $[L]/[L] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो इसे विमाहीन बनाती है।
$2$. प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$[M L T^{-2}] / [L^2] = [M L^{-1} T^{-2}]$।
$3$. बल प्रवणता प्रति इकाई लंबाई बल है,$[M L T^{-2}] / [L] = [M T^{-2}]$।
$4$. वेग प्रवणता प्रति इकाई लंबाई वेग है,$[L T^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$।
अतः,कोण सही उत्तर है।
$1$. कोण को चाप की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\theta = \frac{s}{r}$। चूंकि दोनों लंबाई हैं,इसलिए विमा $[L]/[L] = [M^0 L^0 T^0]$ होती है,जो इसे विमाहीन बनाती है।
$2$. प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$[M L T^{-2}] / [L^2] = [M L^{-1} T^{-2}]$।
$3$. बल प्रवणता प्रति इकाई लंबाई बल है,$[M L T^{-2}] / [L] = [M T^{-2}]$।
$4$. वेग प्रवणता प्रति इकाई लंबाई वेग है,$[L T^{-1}] / [L] = [T^{-1}]$।
अतः,कोण सही उत्तर है।
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EasyMCQ
वेग में परिवर्तन की विमाएँ क्या हैं?
A
$[M^0 L^0 T^0]$
B
$[M^0 L^1 T^{-1}]$
C
$[M^1 L^1 T^{-1}]$
D
$[M^0 L^1 T^{-2}]$
Solution
(B) वेग में परिवर्तन को $\Delta v = v_f - v_i$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूँकि वेग की विमा विस्थापन बटा समय होती है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमा वाली भौतिक राशियों को ही एक-दूसरे से घटाया जा सकता है।
इसलिए,वेग में परिवर्तन की विमा भी वेग के समान ही होती है,जो कि $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
चूँकि वेग की विमा विस्थापन बटा समय होती है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
विमाओं की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमा वाली भौतिक राशियों को ही एक-दूसरे से घटाया जा सकता है।
इसलिए,वेग में परिवर्तन की विमा भी वेग के समान ही होती है,जो कि $[M^0 L^1 T^{-1}]$ है।
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View Solution181
MediumMCQ
एक कण की स्थितिज ऊर्जा $U$,एक निश्चित मूल बिंदु से दूरी $x$ के साथ $U = \frac{A \sqrt{x}}{x + B}$ के रूप में बदलती है,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं। $A$ और $B$ की विमाएँ क्रमशः क्या हैं?
A
$[ML^{5/2}T^{-2}], [L]$
B
$[MLT^{-2}], [L^2]$
C
$[ML^{3/2}T^{-2}], [L]$
D
$[L^2], [MLT^{-2}]$
Solution
(A) स्थितिज ऊर्जा $U$ की विमा कार्य या ऊर्जा के समान होती है,जो $[ML^2T^{-2}]$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। हर (denominator) में $x + B$ है,जहाँ $x$ एक दूरी है,इसलिए $B$ की विमा भी लंबाई के समान होनी चाहिए।
अतः,$[B] = [L]$।
अब,समीकरण में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[ML^2T^{-2}] = \frac{[A] \cdot [L^{1/2}]}{[L]}$
$[ML^2T^{-2}] = [A] \cdot [L^{-1/2}]$
$[A] = [ML^2T^{-2}] \cdot [L^{1/2}]$
$[A] = [ML^{5/2}T^{-2}]$
इस प्रकार,$A$ और $B$ की विमाएँ क्रमशः $[ML^{5/2}T^{-2}]$ और $[L]$ हैं। सही विकल्प $A$ है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,केवल समान विमाओं वाली राशियों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है। हर (denominator) में $x + B$ है,जहाँ $x$ एक दूरी है,इसलिए $B$ की विमा भी लंबाई के समान होनी चाहिए।
अतः,$[B] = [L]$।
अब,समीकरण में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[ML^2T^{-2}] = \frac{[A] \cdot [L^{1/2}]}{[L]}$
$[ML^2T^{-2}] = [A] \cdot [L^{-1/2}]$
$[A] = [ML^2T^{-2}] \cdot [L^{1/2}]$
$[A] = [ML^{5/2}T^{-2}]$
इस प्रकार,$A$ और $B$ की विमाएँ क्रमशः $[ML^{5/2}T^{-2}]$ और $[L]$ हैं। सही विकल्प $A$ है।
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MediumMCQ
सौर स्थिरांक (पृथ्वी पर प्रति सेकंड प्रति इकाई क्षेत्रफल पर गिरने वाली ऊर्जा) की विमाएँ हैं:
A
$[M^0 L^0 T^0]$
B
$[MLT^{-2}]$
C
$[ML^2 T^{-2}]$
D
$[MT^{-3}]$
Solution
(D) सौर स्थिरांक $S$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है।
$S = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{समय}}$
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
समय का विमीय सूत्र $[T]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^2] \times [T]} = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^2 T]} = [MT^{-3}]$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
$S = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल} \times \text{समय}}$
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
समय का विमीय सूत्र $[T]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^2] \times [T]} = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^2 T]} = [MT^{-3}]$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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EasyMCQ
लेंस की फोकस शक्ति (power) की विमा क्या है?
A
$[L]$
B
$[ML^2T^{-3}]$
C
$[L^{-1}]$
D
$[ML^{-3}]$
Solution
(C) लेंस की शक्ति $(P)$ को उसकी फोकस दूरी $(f)$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$P = \frac{1}{f}$।
फोकस दूरी $(f)$ की विमा $[L]$ होती है।
इसलिए,शक्ति $(P)$ की विमा $\frac{1}{[L]} = [L^{-1}]$ होगी।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
गणितीय रूप से,$P = \frac{1}{f}$।
फोकस दूरी $(f)$ की विमा $[L]$ होती है।
इसलिए,शक्ति $(P)$ की विमा $\frac{1}{[L]} = [L^{-1}]$ होगी।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
प्रेशर हेड (pressure head) के लिए विमीय सूत्र क्या है?
A
$[M^0 L^0 T^0]$
B
$[ML^{-1} T^{-2}]$
C
$[M^0 L^1 T^{-2}]$
D
$[M^0 L^1 T^0]$
Solution
(D) प्रेशर हेड को $h = \frac{P}{\rho g}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$\rho$ घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दाब $P$ का विमीय सूत्र $= \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{[M]}{[L^3]} = [ML^{-3}]$.
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $= [LT^{-2}]$.
इन मानों को प्रेशर हेड के सूत्र में रखने पर:
$[h] = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}]}$
$[h] = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-2}T^{-2}]}$
$[h] = [M^0 L^1 T^0]$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
दाब $P$ का विमीय सूत्र $= \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
घनत्व $\rho$ का विमीय सूत्र $= \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{[M]}{[L^3]} = [ML^{-3}]$.
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $= [LT^{-2}]$.
इन मानों को प्रेशर हेड के सूत्र में रखने पर:
$[h] = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-3}] \cdot [LT^{-2}]}$
$[h] = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-2}T^{-2}]}$
$[h] = [M^0 L^1 T^0]$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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MediumMCQ
प्रेशर हेड (दाब शीर्ष) के लिए विमीय सूत्र ............ है।
A
$[M^0 L^0 T^0]$
B
$[ML^{-1} T^{-2}]$
C
$[M^0 L^1 T^{-2}]$
D
$[M^0 L^1 T^0]$
Solution
(D) प्रेशर हेड (दाब शीर्ष) को $h = \frac{P}{\rho g}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$1$. दाब $(P)$ का विमीय सूत्र: $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$2$. घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र: $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{[M]}{[L^3]} = [ML^{-3}]$.
$3$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का विमीय सूत्र: $[LT^{-2}]$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{प्रेशर हेड} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-3}] \times [LT^{-2}]}$
$= \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-2}T^{-2}]}$
$= [M^{1-1} L^{-1-(-2)} T^{-2-(-2)}]$
$= [M^0 L^1 T^0]$.
$1$. दाब $(P)$ का विमीय सूत्र: $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$2$. घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र: $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}} = \frac{[M]}{[L^3]} = [ML^{-3}]$.
$3$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का विमीय सूत्र: $[LT^{-2}]$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{प्रेशर हेड} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-3}] \times [LT^{-2}]}$
$= \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[ML^{-2}T^{-2}]}$
$= [M^{1-1} L^{-1-(-2)} T^{-2-(-2)}]$
$= [M^0 L^1 T^0]$.
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EasyMCQ
यदि $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,तो $\frac{G}{g}$ की विमाएँ ................... होंगी।
A
$[M^{-1} L^2]$
B
$[M^{-1} L]$
C
$[M^{-2} L]$
D
$[M^{-1} L^{-2}]$
Solution
(A) सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[L T^{-2}]$ होता है।
अब,अनुपात $\frac{G}{g}$ की विमाओं की गणना करते हैं:
$\frac{G}{g} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[L T^{-2}]}$
$= [M^{-1} L^{3-1} T^{-2 - (-2)}]$
$= [M^{-1} L^2 T^0]$
$= [M^{-1} L^2]$
अतः,सही विकल्प $A$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g$ का विमीय सूत्र $[L T^{-2}]$ होता है।
अब,अनुपात $\frac{G}{g}$ की विमाओं की गणना करते हैं:
$\frac{G}{g} = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}]}{[L T^{-2}]}$
$= [M^{-1} L^{3-1} T^{-2 - (-2)}]$
$= [M^{-1} L^2 T^0]$
$= [M^{-1} L^2]$
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
संबंध $\frac{dy}{dx} = 2\omega \sin(\omega t + \phi_0)$ में,$(\omega t + \phi_0)$ के लिए विमीय सूत्र क्या है?
A
$MLT$
B
$MLT^0$
C
$ML^0T^0$
D
$M^0L^0T^0$
Solution
(D) दिए गए त्रिकोणमितीय फलन $\sin(\omega t + \phi_0)$ में,साइन फलन का तर्क (कोण),जो $(\omega t + \phi_0)$ है,एक विमाहीन राशि होनी चाहिए।
इसका कारण यह है कि त्रिकोणमितीय फलन केवल विमाहीन कोणों (रेडियन) के लिए ही परिभाषित होते हैं।
इसलिए,$(\omega t + \phi_0)$ की विमाएँ $[M^0L^0T^0]$ हैं,जो एक विमाहीन राशि को दर्शाती हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
इसका कारण यह है कि त्रिकोणमितीय फलन केवल विमाहीन कोणों (रेडियन) के लिए ही परिभाषित होते हैं।
इसलिए,$(\omega t + \phi_0)$ की विमाएँ $[M^0L^0T^0]$ हैं,जो एक विमाहीन राशि को दर्शाती हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
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MediumMCQ
सूची-$I$ का सूची-$II$ के साथ मिलान करें।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $(A)$ कोणीय संवेग | $(I)$ $[ML^2T^{-1}]$ |
| $(B)$ बल आघूर्ण | $(II)$ $[ML^2T^{-2}]$ |
| $(C)$ प्रतिबल | $(III)$ $[ML^{-1}T^{-2}]$ |
| $(D)$ दाब प्रवणता | $(IV)$ $[ML^{-2}T^{-2}]$ |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
$(A)-(I), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(IV)$
B
$(A)-(III), (B)-(II), (C)-(III), (D)-(IV)$
C
$(A)-(III), (B)-(II), (C)-(IV), (D)-(I)$
D
$(A)-(IV), (B)-(II), (C)-(I), (D)-(III)$
Solution
(B) दी गई भौतिक राशियों के लिए विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$1$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$: इसकी विमाएँ $[M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। अतः, $(A)-(III)$.
$2$. बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$: इसकी विमाएँ $[L][MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$ हैं। अतः, $(B)-(II)$.
$3$. प्रतिबल $(\sigma = \text{बल} / \text{क्षेत्रफल})$: इसकी विमाएँ $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ हैं। अतः, $(C)-(III)$.
$4$. दाब प्रवणता $(\Delta P / \Delta x)$: इसकी विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$ हैं। अतः, $(D)-(IV)$.
$1$. कोणीय संवेग $(L = mvr)$: इसकी विमाएँ $[M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ हैं। अतः, $(A)-(III)$.
$2$. बल आघूर्ण $(\tau = r \times F)$: इसकी विमाएँ $[L][MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$ हैं। अतः, $(B)-(II)$.
$3$. प्रतिबल $(\sigma = \text{बल} / \text{क्षेत्रफल})$: इसकी विमाएँ $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ हैं। अतः, $(C)-(III)$.
$4$. दाब प्रवणता $(\Delta P / \Delta x)$: इसकी विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$ हैं। अतः, $(D)-(IV)$.
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EasyMCQ
वह भौतिक राशि जिसका विमीय सूत्र दाब के समान है,वह है:
A
बल
B
संवेग
C
यंग मापांक (प्रत्यास्थता)
D
श्यानता गुणांक
Solution
(C) दाब को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए $Y$ का विमीय सूत्र प्रतिबल के विमीय सूत्र के समान होता है।
प्रतिबल को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
अतः,यंग मापांक का विमीय सूत्र दाब के विमीय सूत्र के समान है।
यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए $Y$ का विमीय सूत्र प्रतिबल के विमीय सूत्र के समान होता है।
प्रतिबल को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
अतः,यंग मापांक का विमीय सूत्र दाब के विमीय सूत्र के समान है।
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MediumMCQ
सूची $I$ का मिलान सूची $II$ से करें:
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $A$. स्प्रिंग नियतांक | $I$. $(T^{-1})$ |
| $B$. कोणीय चाल | $II$. $(MT^{-2})$ |
| $C$. कोणीय संवेग | $III$. $(ML^2)$ |
| $D$. जड़त्व आघूर्ण | $IV$. $(ML^2T^{-1})$ |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
$(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$
B
$(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$
C
$(A)-(II), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(IV)$
D
$(A)-(I), (B)-(III), (C)-(II), (D)-(IV)$
Solution
(A) $1$. स्प्रिंग नियतांक $(k)$: $F = kx \implies [k] = [F]/[x] = (MLT^{-2}) / L = MT^{-2}$. अतः,$A-II$.
$2$. कोणीय चाल $(\omega)$: $\omega = \Delta\theta / \Delta t \implies [\omega] = [1] / T = T^{-1}$. अतः,$B-I$.
$3$. कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr \implies [L] = M(LT^{-1})L = ML^2T^{-1}$. अतः,$C-IV$.
$4$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$: $I = mr^2 \implies [I] = ML^2$. अतः,$D-III$.
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ है।
$2$. कोणीय चाल $(\omega)$: $\omega = \Delta\theta / \Delta t \implies [\omega] = [1] / T = T^{-1}$. अतः,$B-I$.
$3$. कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr \implies [L] = M(LT^{-1})L = ML^2T^{-1}$. अतः,$C-IV$.
$4$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$: $I = mr^2 \implies [I] = ML^2$. अतः,$D-III$.
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ है।
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DifficultMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन $(I)$ : प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग की विमाएँ समान होती हैं।
कथन $(II)$ : रैखिक संवेग और बल आघूर्ण की विमाएँ समान होती हैं।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :
कथन $(I)$ : प्लांक नियतांक और कोणीय संवेग की विमाएँ समान होती हैं।
कथन $(II)$ : रैखिक संवेग और बल आघूर्ण की विमाएँ समान होती हैं।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :
A
कथन $I$ सत्य है लेकिन कथन $II$ असत्य है
B
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों असत्य हैं
C
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सत्य हैं
D
कथन $I$ असत्य है लेकिन कथन $II$ सत्य है
Solution
(A) प्लांक नियतांक $(h)$ का विमीय सूत्र $[h] = ML^2 T^{-1}$ है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र $[L] = ML^2 T^{-1}$ है।
चूँकि दोनों की विमाएँ समान हैं,इसलिए कथन $I$ सत्य है।
रैखिक संवेग $(P)$ का विमीय सूत्र $[P] = MLT^{-1}$ है।
बल आघूर्ण $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[\tau] = ML^2 T^{-2}$ है।
चूँकि ये विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,कथन $I$ सत्य है लेकिन कथन $II$ असत्य है।
कोणीय संवेग $(L)$ का विमीय सूत्र $[L] = ML^2 T^{-1}$ है।
चूँकि दोनों की विमाएँ समान हैं,इसलिए कथन $I$ सत्य है।
रैखिक संवेग $(P)$ का विमीय सूत्र $[P] = MLT^{-1}$ है।
बल आघूर्ण $(\tau)$ का विमीय सूत्र $[\tau] = ML^2 T^{-2}$ है।
चूँकि ये विमाएँ अलग-अलग हैं,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,कथन $I$ सत्य है लेकिन कथन $II$ असत्य है।
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DifficultMCQ
कोणीय आवेग (angular impulse) का विमीय सूत्र क्या है?
A
$[M L^2 T^{-1}]$
B
$[M L^2 T^{-2}]$
C
$[M L T^{-1}]$
D
$[M L^2 T^{-1}]$
Solution
(D) कोणीय आवेग को कोणीय संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
कोणीय आवेग का विमीय सूत्र $=$ कोणीय संवेग का विमीय सूत्र।
कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
$m$ की विमा $[M]$,$v$ की $[L T^{-1}]$,और $r$ की $[L]$ है।
अतः,$[L] = [M] \times [L T^{-1}] \times [L] = [M L^2 T^{-1}]$।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।
कोणीय आवेग का विमीय सूत्र $=$ कोणीय संवेग का विमीय सूत्र।
कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
$m$ की विमा $[M]$,$v$ की $[L T^{-1}]$,और $r$ की $[L]$ है।
अतः,$[L] = [M] \times [L T^{-1}] \times [L] = [M L^2 T^{-1}]$।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।
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DifficultMCQ
यदि $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $u$ ऊर्जा घनत्व है,तो निम्नलिखित में से किस राशि का विमीय सूत्र $\sqrt{uG}$ के समान है?
A
प्रति इकाई द्रव्यमान दबाव प्रवणता
B
प्रति इकाई द्रव्यमान बल
C
गुरुत्वीय विभव
D
प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा
Solution
(B) ऊर्जा घनत्व $u$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ की विमा $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
इसलिए,$uG$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^0 L^2 T^{-4}]$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{uG}$ की विमा $[L^1 T^{-2}]$ प्राप्त होती है।
यह विमा $[L T^{-2}]$ त्वरण की विमा है।
प्रति इकाई द्रव्यमान बल $F/m = ma/m = a$ द्वारा दिया जाता है,जिसकी विमा $[L T^{-2}]$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ की विमा $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है।
इसलिए,$uG$ की विमा $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [M^{-1} L^3 T^{-2}] = [M^0 L^2 T^{-4}]$ है।
वर्गमूल लेने पर,$\sqrt{uG}$ की विमा $[L^1 T^{-2}]$ प्राप्त होती है।
यह विमा $[L T^{-2}]$ त्वरण की विमा है।
प्रति इकाई द्रव्यमान बल $F/m = ma/m = a$ द्वारा दिया जाता है,जिसकी विमा $[L T^{-2}]$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।
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DifficultMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $(I)$ : विशिष्ट ऊष्मा की विमाएँ $\left[L^2 \,T^{-2} \,K^{-1}\right]$ हैं।
कथन $(II)$ : गैस नियतांक की विमाएँ $\left[ML^2 \,T^{-1} \,K^{-1}\right]$ हैं।
कथन $(I)$ : विशिष्ट ऊष्मा की विमाएँ $\left[L^2 \,T^{-2} \,K^{-1}\right]$ हैं।
कथन $(II)$ : गैस नियतांक की विमाएँ $\left[ML^2 \,T^{-1} \,K^{-1}\right]$ हैं।
A
कथन $(I)$ गलत है लेकिन कथन $(II)$ सही है।
B
दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ गलत हैं।
C
कथन $(I)$ सही है लेकिन कथन $(II)$ गलत है।
D
दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सही हैं।
Solution
(C) ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $\Delta Q = mS \Delta T$ है,जहाँ $S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
अतः,$S = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$।
इसकी विमाएँ $[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M][K]} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
अतः,कथन $(I)$ सही है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
अतः,$R = \frac{PV}{nT}$।
इसकी विमाएँ $[R] = \frac{[ML^{-1} T^{-2}][L^3]}{[mol][K]} = [ML^2 T^{-2} mol^{-1} K^{-1}]$ हैं।
दिए गए कथन से तुलना करने पर,कथन $(II)$ गलत है।
अतः,$S = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$।
इसकी विमाएँ $[S] = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M][K]} = [L^2 T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
अतः,कथन $(I)$ सही है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
अतः,$R = \frac{PV}{nT}$।
इसकी विमाएँ $[R] = \frac{[ML^{-1} T^{-2}][L^3]}{[mol][K]} = [ML^2 T^{-2} mol^{-1} K^{-1}]$ हैं।
दिए गए कथन से तुलना करने पर,कथन $(II)$ गलत है।
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MediumMCQ
यदि $\varepsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता (permittivity) है और $E$ विद्युत क्षेत्र है,तो $\varepsilon_0 E^2$ की विमाएँ क्या हैं?
A
$[M^0 L^{-2} T A]$
B
$[M L^{-1} T^{-2}]$
C
$[M^{-1} L^{-3} T^4 A^2]$
D
$[M L^2 T^{-2}]$
Solution
(B) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u$,सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं और आयतन की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व की विमाएँ $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ होती हैं।
अतः,$\varepsilon_0 E^2$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं और आयतन की विमाएँ $[L^3]$ हैं।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व की विमाएँ $\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M L^{-1} T^{-2}]$ होती हैं।
अतः,$\varepsilon_0 E^2$ की विमाएँ $[M L^{-1} T^{-2}]$ हैं।
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DifficultMCQ
गुप्त ऊष्मा का विमीय सूत्र क्या है?
A
$[M^0 L^2 T^{-2}]$
B
$[MLT^{-2}]$
C
$[M^0 L^2 T^{-1}]$
D
$[ML^2 T^{-2}]$
Solution
(A) गुप्त ऊष्मा $(L)$ को अवस्था परिवर्तन के लिए प्रति इकाई द्रव्यमान $(m)$ आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$L = \frac{Q}{m}$
चूंकि ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ में कार्य या ऊर्जा के आयाम होते हैं,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
द्रव्यमान $(m)$ का विमीय सूत्र $[M]$ है।
अतः,गुप्त ऊष्मा का विमीय सूत्र है:
$L = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$
$L = \frac{Q}{m}$
चूंकि ऊष्मीय ऊर्जा $(Q)$ में कार्य या ऊर्जा के आयाम होते हैं,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
द्रव्यमान $(m)$ का विमीय सूत्र $[M]$ है।
अतः,गुप्त ऊष्मा का विमीय सूत्र है:
$L = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान और $E$ ऊर्जा वाले कण से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $h / \sqrt{2 m E}$ है। प्लांक नियतांक $h$ का विमीय सूत्र क्या है?
A
$[ML^{-1} T^{-2}]$
B
$[ML^2 T^{-1}]$
C
$[MLT^{-2}]$
D
$[M^2 L^2 T^{-2}]$
Solution
(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है।
$h$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $h = \lambda \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
द्रव्यमान $m$ का विमीय सूत्र $[M]$ है।
ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
इन मानों को $h$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M] \cdot [ML^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M^2 L^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot [MLT^{-1}]$
$[h] = [ML^2 T^{-1}]$.
वैकल्पिक रूप से,$E = h\nu$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\nu$ आवृत्ति $[T^{-1}]$ है:
$[h] = [E] / [\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$.
$h$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $h = \lambda \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
द्रव्यमान $m$ का विमीय सूत्र $[M]$ है।
ऊर्जा $E$ का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है।
इन मानों को $h$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M] \cdot [ML^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot \sqrt{[M^2 L^2 T^{-2}]}$
$[h] = [L] \cdot [MLT^{-1}]$
$[h] = [ML^2 T^{-1}]$.
वैकल्पिक रूप से,$E = h\nu$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\nu$ आवृत्ति $[T^{-1}]$ है:
$[h] = [E] / [\nu] = [ML^2 T^{-2}] / [T^{-1}] = [ML^2 T^{-1}]$.
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MediumMCQ
निम्नलिखित पांच भौतिक मापदंडों में से किन दो के आयाम समान हैं?
$(a)$ ऊर्जा घनत्व
$(b)$ अपवर्तनांक
$(c)$ परावैद्युतांक (Dielectric constant)
$(d)$ यंग मापांक (Young's modulus)
$(e)$ चुंबकीय क्षेत्र
$(a)$ ऊर्जा घनत्व
$(b)$ अपवर्तनांक
$(c)$ परावैद्युतांक (Dielectric constant)
$(d)$ यंग मापांक (Young's modulus)
$(e)$ चुंबकीय क्षेत्र
A
$(a), (d)$
B
$(a), (e)$
C
$(b), (d)$
D
$(c), (e)$
Solution
(A) दिए गए भौतिक मापदंडों के आयाम इस प्रकार हैं:
$(a)$ ऊर्जा घनत्व: $\text{Energy} / \text{Volume} = [ML^2T^{-2}] / [L^3] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$(b)$ अपवर्तनांक: $\text{Ratio of speeds} = \text{Dimensionless} = [M^0L^0T^0]$
$(c)$ परावैद्युतांक: $\text{Ratio of permittivities} = \text{Dimensionless} = [M^0L^0T^0]$
$(d)$ यंग मापांक: $\text{Stress} / \text{Strain} = [ML^{-1}T^{-2}] / [M^0L^0T^0] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$(e)$ चुंबकीय क्षेत्र: $\text{Force} / (\text{Charge} \times \text{Velocity}) = [MLT^{-2}] / ([IT] \times [LT^{-1}]) = [MT^{-2}I^{-1}]$
आयामों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(a)$ ऊर्जा घनत्व और $(d)$ यंग मापांक के आयाम समान हैं,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $(a), (d)$ है।
$(a)$ ऊर्जा घनत्व: $\text{Energy} / \text{Volume} = [ML^2T^{-2}] / [L^3] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$(b)$ अपवर्तनांक: $\text{Ratio of speeds} = \text{Dimensionless} = [M^0L^0T^0]$
$(c)$ परावैद्युतांक: $\text{Ratio of permittivities} = \text{Dimensionless} = [M^0L^0T^0]$
$(d)$ यंग मापांक: $\text{Stress} / \text{Strain} = [ML^{-1}T^{-2}] / [M^0L^0T^0] = [ML^{-1}T^{-2}]$
$(e)$ चुंबकीय क्षेत्र: $\text{Force} / (\text{Charge} \times \text{Velocity}) = [MLT^{-2}] / ([IT] \times [LT^{-1}]) = [MT^{-2}I^{-1}]$
आयामों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $(a)$ ऊर्जा घनत्व और $(d)$ यंग मापांक के आयाम समान हैं,जो $[ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,सही विकल्प $(a), (d)$ है।
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EasyMCQ
लंबाई में $-1$ विमा वाली राशि कौन सी है?
A
बल
B
दाब
C
गुरुत्वाकर्षण नियतांक
D
उपरोक्त सभी
Solution
(B) बल का विमीय सूत्र $[F] = [M^1 L^1 T^{-2}]$ है। यहाँ लंबाई की विमा $1$ है।
दाब का विमीय सूत्र $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है। यहाँ लंबाई की विमा $-1$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक का विमीय सूत्र $[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है। यहाँ लंबाई की विमा $3$ है।
अतः,लंबाई में $-1$ विमा वाली राशि दाब है।
दाब का विमीय सूत्र $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ है। यहाँ लंबाई की विमा $-1$ है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक का विमीय सूत्र $[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$ है। यहाँ लंबाई की विमा $3$ है।
अतः,लंबाई में $-1$ विमा वाली राशि दाब है।
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DifficultMCQ
कुछ पदार्थों में तापमान का अंतर $e.m.f.$ उत्पन्न कर सकता है। मान लीजिए $S$ एक तार के सिरों के बीच प्रति इकाई तापमान अंतर पर उत्पन्न $e.m.f.$ है,$\sigma$ विद्युत चालकता है और $\kappa$ तार के पदार्थ की ऊष्मीय चालकता है। $\text{M, L, T, I}$ और $K$ को क्रमशः द्रव्यमान,लंबाई,समय,विद्युत धारा और तापमान के आयाम मानते हुए,राशि $Z=\frac{S^2 \sigma}{\kappa}$ का विमीय सूत्र क्या है?
A
$\left[M^0 L^0 T^0 I^0 K^{-1}\right]$
B
$\left[M^0 L^0 T^0 I^0 K^0\right]$
C
$\left[M^1 L^2 T^{-2} I^{-1} K^{-1}\right]$
D
$\left[M^1 L^2 T^{-4} I^{-1} K^{-1}\right]$
Solution
(A) $e.m.f.$ का आयाम $[M L^2 T^{-3} I^{-1}]$ है। चूंकि $S$ प्रति इकाई तापमान अंतर पर $e.m.f.$ है,इसलिए $[S] = [M L^2 T^{-3} I^{-1} K^{-1}]$ होगा।
विद्युत चालकता $\sigma$ प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है। चूंकि $R = \rho \frac{l}{A}$,इसलिए $\rho = \frac{R A}{l}$ होगा। प्रतिरोध $R$ का आयाम $[M L^2 T^{-3} I^{-2}]$ है। अतः,$[\rho] = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$ और $[\sigma] = [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]$ होगा।
ऊष्मीय चालकता $\kappa$ को $Q = \frac{\kappa A (T_2 - T_1) t}{d}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $[\kappa] = \frac{[Energy] [Length]}{[Area] [Temperature] [Time]} = [M L T^{-3} K^{-1}]$ होगा।
अब,$Z = \frac{S^2 \sigma}{\kappa}$ का आयाम ज्ञात करते हैं:
$[Z] = \frac{[M L^2 T^{-3} I^{-1} K^{-1}]^2 [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]}{[M L T^{-3} K^{-1}]}$
$[Z] = \frac{[M^2 L^4 T^{-6} I^{-2} K^{-2}] [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]}{[M L T^{-3} K^{-1}]}$
$[Z] = \frac{[M L T^{-3} K^{-2}]}{[M L T^{-3} K^{-1}]} = [K^{-1}] = [M^0 L^0 T^0 I^0 K^{-1}]$.
विद्युत चालकता $\sigma$ प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है। चूंकि $R = \rho \frac{l}{A}$,इसलिए $\rho = \frac{R A}{l}$ होगा। प्रतिरोध $R$ का आयाम $[M L^2 T^{-3} I^{-2}]$ है। अतः,$[\rho] = [M L^3 T^{-3} I^{-2}]$ और $[\sigma] = [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]$ होगा।
ऊष्मीय चालकता $\kappa$ को $Q = \frac{\kappa A (T_2 - T_1) t}{d}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,इसलिए $[\kappa] = \frac{[Energy] [Length]}{[Area] [Temperature] [Time]} = [M L T^{-3} K^{-1}]$ होगा।
अब,$Z = \frac{S^2 \sigma}{\kappa}$ का आयाम ज्ञात करते हैं:
$[Z] = \frac{[M L^2 T^{-3} I^{-1} K^{-1}]^2 [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]}{[M L T^{-3} K^{-1}]}$
$[Z] = \frac{[M^2 L^4 T^{-6} I^{-2} K^{-2}] [M^{-1} L^{-3} T^3 I^2]}{[M L T^{-3} K^{-1}]}$
$[Z] = \frac{[M L T^{-3} K^{-2}]}{[M L T^{-3} K^{-1}]} = [K^{-1}] = [M^0 L^0 T^0 I^0 K^{-1}]$.
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View SolutionUnits, Dimensions and Measurement — Dimensions and Dimensional Formula · Frequently Asked Questions
1Are these Units, Dimensions and Measurement questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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