Area bounded by region of multi curve Questions in Gujarati

(B) પગલું $1$: સમીકરણોને $y^2 = \frac{9}{4}x$ અને $x^2 = \frac{16}{3}y$ તરીકે લખો, જેનો અર્થ છે $y = \frac{3}{2}\sqrt{x}$ અને $y = \frac{3}{16}x^2$।
પગલું $2$: $y = \frac{3}{16}x^2$ ને $4y^2 = 9x$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $4(\frac{3}{16}x^2)^2 = 9x \Rightarrow 4(\frac{9}{256}x^4) = 9x \Rightarrow \frac{9}{64}x^4 = 9x \Rightarrow x^4 = 64x$।
પગલું $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ ઉકેલતા $x = 0$ અને $x = 4$ મળે છે. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $0$ અને $3$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{16}x^2) dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $A = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4} = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4$ ચોરસ એકમ।

(D) પ્રદેશ $y = x^2$, $y = 8/x$, અને $y = 1$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
છેદબિંદુઓ શોધો:
$1$. $y = x^2$ અને $y = 1 \implies x = \pm 1$। કારણ કે $xy \leq 8$ અને $y \geq 1$, આપણે $x > 0$ લઈએ છીએ, તેથી $x = 1$।
$2$. $y = 8/x$ અને $y = 1 \implies x = 8$।
$3$. $y = x^2$ અને $y = 8/x \implies x^3 = 8 \implies x = 2$।
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ છે.
$A = [x^3/3 - x]_{1}^{2} + [8 \ln|x| - x]_{2}^{8}$।
$A = (8/3 - 2) - (1/3 - 1) + (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2)$।
$A = (2/3) - (-2/3) + 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2$।
$A = 4/3 + 24 \ln 2 - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 16 \ln 2 - 14/3$।

(B) $1$. $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2 = 8x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। $x \geq 0$ હોવાથી, $x = 1$ મળે. તેથી $y^2 = 8$, એટલે કે $y = \pm 2\sqrt{2}$।
$2$. ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
$3$. પ્રથમ સંકલન: $2\sqrt{2} \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$।
$4$. દ્વિતીય સંકલન: $\int_{1}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} \, dx = [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3})]_{1}^{3} = (0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})) = \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
$5$. કુલ ક્ષેત્રફળ $= 2 [\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2} \sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9 \sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) પગલું $1$: વક્રોનું વિશ્લેષણ કરો. વક્ર $y = |x| - 1$ એ $(0, -1)$ શિરોબિંદુ ધરાવતો $V$-આકાર છે. વક્ર $y = -|x| + 1$ એ $(0, 1)$ શિરોબિંદુ ધરાવતો ઉલટો $V$-આકાર છે.
પગલું $2$: છેદબિંદુઓ શોધો. $|x| - 1 = -|x| + 1$ લેતા, આપણને $2|x| = 2$ મળે છે, તેથી $|x| = 1$, જે $x = 1$ અને $x = -1$ આપે છે. છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $3$: આકૃતિ ઓળખો. આ બે વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. ચોરસના વિકર્ણોની લંબાઈ $d_1 = 2$ (ઊભી) અને $d_2 = 2$ (આડી) છે. ચોરસ (અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ) નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ છે.

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ $x = 2\pi$ થી $x = \frac{9\pi}{4}$ સુધી $y = \sin x$ અને $x = \frac{9\pi}{4}$ થી $x = \frac{5\pi}{2}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} \sin x \, dx + \int_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{\frac{9\pi}{4}} + [\sin x]_{\frac{9\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}}$
$A = -(\cos \frac{9\pi}{4} - \cos 2\pi) + (\sin \frac{5\pi}{2} - \sin \frac{9\pi}{4})$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$
$A = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.

(C) પગલું $1$: $y = kx$ ને $y^2 = 4kx$ માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો.
$(kx)^2 = 4kx \implies k^2x^2 - 4kx = 0 \implies kx(kx - 4) = 0$।
તેથી, $x = 0$ અને $x = \frac{4}{k}$।
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4/k} (\sqrt{4kx} - kx) \, dx = \frac{2}{3}$।
પગલું $3$: સંકલન કરતા: $2\sqrt{k} \int_{0}^{4/k} x^{1/2} \, dx - k \int_{0}^{4/k} x \, dx = \frac{2}{3}$।
$2\sqrt{k} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4/k} - k [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4/k} = \frac{2}{3}$।
$\frac{32}{3k} - \frac{8}{k} = \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3k} = \frac{2}{3}$।
પગલું $4$: $k$ માટે ઉકેલતા, $2k = 8 \implies k = 4$।

(B) પગલું $1$: સમીકરણોને $y^2 = \frac{9}{4}x$ અને $x^2 = \frac{16}{3}y$ તરીકે ફરીથી લખો.
પગલું $2$: પ્રથમ સમીકરણમાં $y = \frac{3x^2}{16}$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $(\frac{3x^2}{16})^2 = \frac{9}{4}x \implies \frac{9x^4}{256} = \frac{9}{4}x \implies x^4 = 64x$.
પગલું $3$: $x(x^3 - 64) = 0$ ને ઉકેલતા $x = 0$ અને $x = 4$ મળે છે. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $0$ અને $3$ છે.
પગલું $4$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{4} (\sqrt{\frac{9}{4}x} - \frac{3x^2}{16}) dx$ દ્વારા મળે છે.
પગલું $5$: $A = \int_{0}^{4} (\frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{3}{16}x^2) dx = [\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{3}{16} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4} = [x^{3/2} - \frac{x^3}{16}]_{0}^{4}$.
પગલું $6$: $A = (4^{3/2} - \frac{4^3}{16}) = (8 - 4) = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) પગલું $1$: છેદબિંદુઓ શોધો. વક્ર $y = 2x^2$ છે. આપેલી રેખાઓ $x = 1$ અને $y = 4$ છે. $x = 1$ પર, $y = 2(1)^2 = 2$ મળે. $y = 4$ પર, $2x^2 = 4 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}$ મળે.
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $x=1$ થી $x=\sqrt{2}$ સુધી રેખા $y=4$ ની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી વક્ર $y=2x^2$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પગલું $3$: ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2) \, dx$.
પગલું $4$: સંકલન કરતા: $A = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{1}^{\sqrt{2}}$.
પગલું $5$: સીમાઓ મૂકતા: $A = (4\sqrt{2} - \frac{2(\sqrt{2})^3}{3}) - (4(1) - \frac{2(1)^3}{3}) = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (4 - \frac{2}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 10}{3}$.

(A) $1$. પ્રદેશ $y = x^2$, $y = 8/x$, અને $y = 1$ દ્વારા મર્યાદિત છે.
$2$. છેદબિંદુઓ: $x^2 = 1 \implies x = 1$, $8/x = 1 \implies x = 8$, અને $x^2 = 8/x \implies x = 2$ છે.
$3$. ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (8/x - 1) dx$ છે.
$4$. $\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [x^3/3 - x]_{1}^{2} = 4/3$.
$5$. $\int_{2}^{8} (8/x - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = 16 \ln 2 - 6$.
$6$. કુલ ક્ષેત્રફળ $= 16 \ln 2 - 14/3$.

(A) પગલું $1$: $x^2 + y^2 = 9$ અને $y^2 = 8x$ ના છેદબિંદુઓ શોધો. $y^2 = 8x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 8x - 9 = 0 \implies (x+9)(x-1) = 0$। $x \geq 0$ હોવાથી, $x = 1$ મળે. તેથી $y^2 = 8$, એટલે કે $y = \pm 2\sqrt{2}$।
પગલું $2$: ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે. ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{8x} \, dx + \int_{1}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx \right]$।
પગલું $3$: પ્રથમ સંકલનની ગણતરી: $2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{2} x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} [\frac{2}{3} x^{3/2}]_0^1 = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।
પગલું $4$: બીજા સંકલનની ગણતરી: $2 [\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{3})]_1^3 = 2 [(\frac{3}{2}(0) + \frac{9}{2}\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3}))] = 2 [\frac{9\pi}{4} - \sqrt{2} - \frac{9}{2}\sin^{-1}(\frac{1}{3})] = \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।
પગલું $5$: કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{9\pi}{2} - 2\sqrt{2} - 9\sin^{-1}(\frac{1}{3})$।

(B) પગલું $1$: વક્રોને ઓળખો. વક્ર $y = |x| - 1$ એ $(0, -1)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો $V$-આકાર દર્શાવે છે. વક્ર $y = -|x| + 1$ એ $(0, 1)$ પર શિરોબિંદુ ધરાવતો ઉલટો $V$-આકાર દર્શાવે છે.
પગલું $2$: છેદબિંદુઓ શોધો. $|x| - 1 = -|x| + 1$ લેતા, આપણને $2|x| = 2$ મળે છે, તેથી $|x| = 1$, જેનો અર્થ છે $x = 1$ અથવા $x = -1$। $x = 1$ પર, $y = 0$। $x = -1$ પર, $y = 0$। છેદબિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $3$: ઘેરાયેલો પ્રદેશ એક ચોરસ (અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ) છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0, 1), (1, 0), (0, -1),$ અને $(-1, 0)$ છે.
પગલું $4$: વિકર્ણો $d_1$ અને $d_2$ ધરાવતા સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે. અહીં, $d_1$ (ઊભો) $= 1 - (-1) = 2$ અને $d_2$ (આડો) $= 1 - (-1) = 2$ છે.
પગલું $5$: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) છાયાંકિત પ્રદેશ $x = 2\pi$ થી $x = \frac{9\pi}{4}$ સુધી $y = \sin x$ દ્વારા અને $x = \frac{9\pi}{4}$ થી $x = \frac{5\pi}{2}$ સુધી $y = \cos x$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
છેદબિંદુ ત્યાં છે જ્યાં $\sin x = \cos x$, એટલે કે $\tan x = 1$, તેથી $x = \frac{9\pi}{4}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_{2\pi}^{9\pi/4} \sin x \, dx + \int_{9\pi/4}^{5\pi/2} \cos x \, dx$
$A = [-\cos x]_{2\pi}^{9\pi/4} + [\sin x]_{9\pi/4}^{5\pi/2}$
$A = -(\cos(9\pi/4) - \cos(2\pi)) + (\sin(5\pi/2) - \sin(9\pi/4))$
$A = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$
$A = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$ ચોરસ એકમ.