MCQ based Question Questions in Hindi

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $180$ है।

(B) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में,यदि उद्देश्य फलन सुसंगत क्षेत्र के दो अलग-अलग शीर्षों पर समान इष्टतम मान प्राप्त करता है,तो यह उन दो शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड पर प्रत्येक बिंदु पर भी वही इष्टतम मान प्राप्त करता है। यह $LPP$ में सुसंगत हलों के उत्तल समुच्चय का एक मूलभूत गुण है।

(D) दी गई बाधाएं $x+y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
ये बाधाएं प्रथम चतुर्थांश में एक सुसंगत क्षेत्र बनाती हैं जिसके कोणीय बिंदु $(0,0)$,$(2,0)$,और $(0,2)$ हैं।
हम इन कोणीय बिंदुओं पर उद्देश्य फलन $Z = 3x+2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$.
$2$. $(2,0)$ पर: $Z = 3(2) + 2(0) = 6$.
$3$. $(0,2)$ पर: $Z = 3(0) + 2(2) = 4$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $6$ है,जो बिंदु $(2,0)$ पर प्राप्त होता है।

(A) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या $(LPP)$ में कथन $(I)$ और कथन $(II)$ दोनों सही हैं:
कथन $(I)$:
$LPP$ में उद्देश्य फलन हमेशा रैखिक होता है,जिसका अर्थ है कि इसे $1$ की घात वाले चरों के साथ एक रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
कथन $(II)$:
$LPP$ में चरों को सीमित करने वाली रैखिक असमिकाओं को बाधाएं (constraints) कहा जाता है।
व्याख्या:
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में,आप कुछ बाधाओं (रैखिक असमिकाओं) का पालन करते हुए एक उद्देश्य फलन (एक रैखिक समीकरण) को अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) करने का प्रयास करते हैं,जो चरों के संभावित मानों को सीमित करते हैं।

(D) उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,2)$ पर: $Z = 4(0) + 6(2) = 12$
$2$. $(3,0)$ पर: $Z = 4(3) + 6(0) = 12$
$3$. $(6,0)$ पर: $Z = 4(6) + 6(0) = 24$
$4$. $(6,8)$ पर: $Z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$5$. $(0,5)$ पर: $Z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूँकि $Z$ का न्यूनतम मान $12$ है,जो $(0,2)$ और $(3,0)$ दोनों कोणीय बिंदुओं पर प्राप्त होता है,इसलिए $Z$ का न्यूनतम मान इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।

(B) $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$(0,2)$ पर: $z = 4(0) + 6(2) = 12$
$(3,0)$ पर: $z = 4(3) + 6(0) = 12$
$(6,0)$ पर: $z = 4(6) + 6(0) = 24$
$(6,8)$ पर: $z = 4(6) + 6(8) = 24 + 48 = 72$
$(0,5)$ पर: $z = 4(0) + 6(5) = 30$
चूंकि न्यूनतम मान $12$ दो कोणीय बिंदुओं $(0,2)$ और $(3,0)$ पर प्राप्त होता है,इसलिए $z$ का न्यूनतम मान इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होगा।
चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
यदि $z$ का न्यूनतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होता है,तो इन बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(3, 0)$ और $(1, 1)$ हैं।
इन बिंदुओं पर $z$ के मानों की तुलना करने पर:
$p(3) + q(0) = p(1) + q(1)$
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$

(D) उद्देश्य फलन $z = 40x + 30y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ पर: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ पर: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ पर: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ पर: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
इन मानों की तुलना करने पर, उद्देश्य फलन का अधिकतम मान $3000$ है।

(D) उद्देश्य फलन $z = 3x + 9y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ पर: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ पर: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ पर: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
इन मानों $(90, 60, 180, 180)$ की तुलना करने पर, न्यूनतम मान $60$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
कोणीय बिंदु $(0, 10)$ पर, $z = p(0) + q(10) = 90$ है।
इसे सरल करने पर $10q = 90$ प्राप्त होता है, जिससे $q = 9$ मिलता है।
कोणीय बिंदु $(5, 5)$ पर, $z = p(5) + q(5) = 60$ है।
इसे सरल करने पर $5p + 5q = 60$ प्राप्त होता है, जो $p + q = 12$ में बदल जाता है।
समीकरण $p + q = 12$ में $q = 9$ का मान रखने पर, $p + 9 = 12$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = 3$ है।
अब, $p = 3$ और $q = 9$ की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि $9 = 3 \times 3$, जिसका अर्थ है $q = 3p$।

(C) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए, $z$ का मान दोनों बिंदुओं पर समान होना चाहिए।
$(3, 0)$ पर, $z = p(3) + q(0) = 3p$ है।
$(1, 1)$ पर, $z = p(1) + q(1) = p + q$ है।
मानों को बराबर करने पर: $3p = p + q$।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$।
अतः, $p = \frac{q}{2}$।

(B) चरण $1$: अवरोधों के संगत रेखाओं की पहचान करें: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
चरण $2$: इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें जो सभी असमिकाओं को संतुष्ट करते हैं।
- $L_1$ और $L_4$ $(y=0)$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। बिंदु: $(2, 0)$।
- $L_1$ और $L_3$ $(y=2)$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। बिंदु: $(8/3, 2)$।
- $L_2$ और $L_3$ $(x=3, y=2)$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु: $(3, 2)$।
- $L_2$ और $L_4$ $(x=3, y=0)$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु: $(3, 0)$।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(2, 0), (8/3, 2), (3, 2),$ और $(3, 0)$ हैं।

(A) चरण $1$: सीमा रेखाओं की पहचान करें:
$(i)$ $y = 2x + 4$
(ii) $y = -x + 5$
(iii) $x = 4$
(iv) $y = 2$
चरण $2$: अवरोधों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
- $y = 2$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $x = 3$ देता है, बिंदु $(3, 2)$।
- $y = 2$ और $y = 2x + 4$ का प्रतिच्छेदन $x = -1$ देता है ($x \geq 0$ के बाहर)।
- $x = 4$ और $y = 2x + 4$ का प्रतिच्छेदन $y = 12$ देता है, बिंदु $(4, 12)$।
- $x = 4$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $y = 1$ देता है, बिंदु $(4, 1)$।
- $y = 2x + 4$ और $y = -x + 5$ का प्रतिच्छेदन $3x = 1$, $x = 1/3$, $y = 14/3$ देता है, बिंदु $(1/3, 14/3)$।
- यह क्षेत्र $(3, 2)$, $(4, 1)$, $(4, 12)$, और $(1/3, 14/3)$ शीर्षों द्वारा परिबद्ध है।
चरण $3$: चूंकि $4$ शीर्ष हैं और क्षेत्र परिबद्ध है, यह $4$ कोणीय बिंदुओं वाला एक उत्तल परिबद्ध क्षेत्र है।

(C) चरण $1$: रेखाओं $2x + 3y = 6$ और $x + y = 1$ को आलेखित करके सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $(0, 1)$, $(0, 2)$, $(3, 0)$, और $(1, 0)$।
चरण $3$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 1)$ पर, $z = 3(0) + 1 = 1$।
$(0, 2)$ पर, $z = 3(0) + 2 = 2$।
$(3, 0)$ पर, $z = 3(3) + 0 = 9$।
$(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 0 = 3$।
चरण $4$: अधिकतम मान $9$ है और न्यूनतम मान $1$ है।
चरण $5$: अंतर $9 - 1 = 8$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
प्रतिबंध $1$: $x + 3y \leq 6$। सीमा रेखा $(6, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
प्रतिबंध $2$: $2x + 6y \leq 18$ को $x + 3y \leq 9$ के रूप में सरल किया जा सकता है। सीमा रेखा $(9, 0)$ और $(0, 3)$ से होकर गुजरती है।
चरण $2$: चूंकि $x + 3y \leq 6$, $x + 3y \leq 9$ की तुलना में अधिक सख्त प्रतिबंध है, इसलिए सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में $x + 3y \leq 6$ द्वारा निर्धारित होता है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
चरण $4$: इन शीर्षों पर $z = 2x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ पर, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ पर, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
चरण $5$: अधिकतम मान $(6, 0)$ बिंदु पर $12$ है। चूंकि अधिकतम मान एक ही शीर्ष पर प्राप्त होता है, इसलिए हल अद्वितीय है।

(C) उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो बिंदुओं पर प्राप्त होने के लिए, दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3, 0)$ पर, $z_1 = p(3) + q(0) = 3p$।
$(1, 1)$ पर, $z_2 = p(1) + q(1) = p + q$।
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3p = p + q$।
दोनों पक्षों से $p$ घटाने पर: $2p = q$।
अतः, शर्त $p = \frac{q}{2}$ है।

(B) चरण $1$: सीमा रेखाओं की पहचान करें: $L_1: 3x - y = 6$, $L_2: x = 3$, $L_3: y = 2$, $L_4: y = 0$, $L_5: x = 0$।
चरण $2$: इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करते हैं।
- $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $3(3) - y = 6 \implies y = 3$। चूँकि $y \leq 2$, यह बिंदु $(3, 3)$ बाहर है।
- $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 2 = 6 \implies 3x = 8 \implies x = 8/3$। बिंदु $(8/3, 2)$ है।
- $L_1$ और $L_4$ का प्रतिच्छेदन: $3x - 0 = 6 \implies x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।
- $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु $(3, 2)$ है।
- $L_2$ और $L_4$ का प्रतिच्छेदन: बिंदु $(3, 0)$ है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $(2, 0), (3, 0), (3, 2), (8/3, 2)$ द्वारा घिरा हुआ है।

(C) $1$. रेखाओं $y = 2x + 4$, $x + y = 5$, $x = 4$, और $y = 2$ को आलेखित करें।
$2$. क्षेत्र $y - 2x \leq 4$, रेखा $y = 2x + 4$ के ऊपर है।
$3$. क्षेत्र $x + y \geq 5$, रेखा $x + y = 5$ के ऊपर है।
$4$. क्षेत्र $x \leq 4$, रेखा $x = 4$ के बाईं ओर है।
$5$. क्षेत्र $y \geq 2$, रेखा $y = 2$ के ऊपर है।
$6$. प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $(0, 4)$, $(1, 6)$, $(4, 6)$, $(4, 2)$, और $(3, 2)$।
$7$. चूंकि सभी प्रतिबंध $5$ शीर्षों वाला एक बंद बहुभुज बनाते हैं, इसलिए सुसंगत क्षेत्र $5$ कोणीय बिंदुओं वाला एक उत्तल परिबद्ध क्षेत्र है।

(D) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$(i)$ $x+y=5$ और $2x+y=7$ से $x=2, y=3$ प्राप्त होता है।
(ii) $2x+y=7$ और $3x+2y=11$ से $x=3, y=1$ प्राप्त होता है।
(iii) अक्षों पर अंतःखंड $(0, 0), (5, 0), (0, 5), (0, 5.5), (3.66, 0)$ हैं।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं पर $z = 4x + y$ का मान ज्ञात करना:
$(0, 0)$ पर, $z = 0$।
$(3.5, 0)$ पर, $z = 4(3.5) + 0 = 14$।
$(3, 1)$ पर, $z = 4(3) + 1 = 13$।
$(2, 3)$ पर, $z = 4(2) + 3 = 11$।
$(0, 5)$ पर, $z = 4(0) + 5 = 5$।
चरण $4$: अधिकतम मान $14$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबन्धों का विश्लेषण करें। प्रतिबन्ध $x + 3y \leq 6$ और $2x + 6y \leq 18$ हैं। ध्यान दें कि $2x + 6y \leq 18$ को $x + 3y \leq 9$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
चरण $2$: चूँकि $x + 3y \leq 6$, $x + 3y \leq 9$ की तुलना में अधिक कठोर शर्त है, इसलिए सुसंगत क्षेत्र केवल $x + 3y \leq 6$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(0, 0)$, $(6, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।
चरण $4$: इन शीर्षों पर $z = 2x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $z = 2(0) + 5(0) = 0$।
$(6, 0)$ पर, $z = 2(6) + 5(0) = 12$।
$(0, 2)$ पर, $z = 2(0) + 5(2) = 10$।
चरण $5$: अधिकतम मान $(6, 0)$ बिंदु पर $12$ है। चूँकि अधिकतम मान केवल एक बिंदु पर प्राप्त होता है, इसलिए हल अद्वितीय है।

(D) $z$ का अधिकतम मान दोनों बिंदुओं $(15, 15)$ और $(0, 20)$ पर प्राप्त होने के लिए, इन दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
निर्देशांकों को उद्देश्य फलन $z = px + qy$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(15, 15)$ पर, $z_1 = p(15) + q(15) = 15p + 15q$।
$(0, 20)$ पर, $z_2 = p(0) + q(20) = 20q$।
$z_1$ और $z_2$ को बराबर करने पर:
$15p + 15q = 20q$।
दोनों पक्षों से $15q$ घटाने पर:
$15p = 5q$।
$5$ से भाग देने पर:
$q = 3p$।

(D) $1$. $LPP$ में, उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ एक रैखिक फलन होता है।
$2$. यदि $Z$ दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान अधिकतम मान प्राप्त करता है, तो रैखिक फलनों के गुणधर्म के अनुसार, $Z$ इन दो कोणीय बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी वही अधिकतम मान प्राप्त करेगा।
$3$. चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए उद्देश्य फलन $Z$ अनंत बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।