Composition of Functions Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2} + 2x - 3$ અને $g(x) = x + 1$.
આપણે $x$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે કે જેના માટે $f(g(x)) = g(f(x))$ થાય.
પ્રથમ, $f(g(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^{2} + 2(x + 1) - 3 = (x^{2} + 2x + 1) + 2x + 2 - 3 = x^{2} + 4x$.
હવે, $g(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(f(x)) = g(x^{2} + 2x - 3) = (x^{2} + 2x - 3) + 1 = x^{2} + 2x - 2$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$x^{2} + 4x = x^{2} + 2x - 2$.
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા:
$4x = 2x - 2$.
$4x - 2x = -2$.
$2x = -2$.
$x = -1$.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = 5 - x^2$ અને $g(x) = 3x - 4$ છે.
$(f \circ g)(-1)$ શોધવા માટે, આપણે વિધેયોના સંયોજનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
સૌ પ્રથમ, $g(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$g(-1) = 3(-1) - 4 = -3 - 4 = -7$.
હવે, આ કિંમતને $f(x)$ માં મૂકો:
$(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(-7)$.
$f(x)$ ની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-7) = 5 - (-7)^2 = 5 - 49 = -44$.
આમ, $(f \circ g)(-1)$ ની કિંમત $-44$ છે.

(C) ધારો કે $x_1, x_2 \in S$ એવા છે કે જેથી $f(x_1) = f(x_2)$.
બંને બાજુ $g$ લાગુ પાડતા, આપણને $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ મળે છે.
આ $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ ને સમાન છે.
કારણ કે $g \circ f$ એ એક એક વિધેય આપેલ છે, તેથી $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ મળે છે.
આમ, $f(x_1) = f(x_2)$ પરથી $x_1 = x_2$ સાબિત થાય છે, તેથી વિધેય $f$ એક એક વિધેય હોવું જ જોઈએ.
તેથી, $f$ અનિવાર્યપણે એક એક વિધેય છે.

(B) આપણને આપેલ છે કે $g \circ f: S \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ, દરેક ઘટક $z \in U$ માટે, ઓછામાં ઓછો એક ઘટક $x \in S$ એવો મળે કે જેથી $(g \circ f)(x) = z$ થાય.
આને $g(f(x)) = z$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = f(x)$. કારણ કે $x \in S$ અને $f: S \rightarrow T$ છે, તેથી $y \in T$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $g(y) = z$ મળે છે.
દરેક $z \in U$ માટે, આપણને $T$ માં એક એવો ઘટક $y$ મળે છે કે જેથી $g(y) = z$ થાય, તેથી $g: T \rightarrow U$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
જોકે, $f$ નું વ્યાપ્ત હોવું જરૂરી નથી કારણ કે $T$ ના જે ઘટકો $f$ ના વિસ્તારમાં નથી, તે $g \circ f$ ની વ્યાપ્તતાને અસર કરતા નથી, જ્યાં સુધી $f$ નો વિસ્તાર $g$ દ્વારા $U$ ના તમામ ઘટકોને આવરી લેતો હોય.

(C) આપેલ છે કે $f: R \rightarrow R$ જ્યાં $f(x) = e^{x}$ અને $g: R \rightarrow R$ જ્યાં $g(x) = x^{2}$.
આપણે સંયોજિત વિધેય $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^{x}) = (e^{x})^{2} = e^{2x}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$(g \circ f)(x) = e^{2x}$ માટે, જો $(g \circ f)(x_{1}) = (g \circ f)(x_{2})$ હોય, તો $e^{2x_{1}} = e^{2x_{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $2x_{1} = 2x_{2}$, તેથી $x_{1} = x_{2}$. આમ, $g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે.
જોકે, $g \circ f$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે, જે સહપ્રદેશ $R$ જેટલો નથી, તેથી $g \circ f$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
$g(x) = x^{2}$ માટે, $g(-1) = 1$ અને $g(1) = 1$, તેથી $g$ એ ઇન્જેક્ટિવ નથી. ઉપરાંત, $g$ નો વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે, તેથી $g$ એ સૂરજેક્ટિવ નથી.
તેથી, $g \circ f$ એ ઇન્જેક્ટિવ છે પણ $g$ એ બાયજેક્ટિવ નથી.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{x}{x+1}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$f_1(x) = \frac{x}{x+1}$
$f_2(x) = f(f(x)) = \frac{x}{2x+1}$
$f_3(x) = f(f_2(x)) = \frac{x}{3x+1}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા, $f_n(x) = \frac{x}{nx+1}$.
$x = -2$ માટે મૂલ્ય શોધતા:
$f_n(-2) = \frac{-2}{n(-2)+1} = \frac{2}{2n-1}$.
ગુણાકાર $P = f_1(-2) \cdot f_2(-2) \cdot \ldots \cdot f_n(-2) = \prod_{k=1}^{n} \frac{2}{2k-1} = \frac{2^n}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}$.

(C) આપેલ છે $g(x) = 3x^{2} + 2x - 3$. પ્રથમ, $g(2)$ ની ગણતરી કરો:
$g(2) = 3(2)^{2} + 2(2) - 3 = 12 + 4 - 3 = 13$.
આપણે $f(g(2)) = f(13)$ શોધવાનું છે.
આપેલ છે $4g(f(x)) = 3x^{2} - 32x + 72$, $g(f(x)) = 3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3$ મૂકતા:
$4[3(f(x))^{2} + 2f(x) - 3] = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - 12 = 3x^{2} - 32x + 72$
$12(f(x))^{2} + 8f(x) - (3x^{2} - 32x + 84) = 0$.
$f(x)$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(12)(-(3x^{2} - 32x + 84))}}{24} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 48(3x^{2} - 32x + 84)}}{24}$
$f(x) = \frac{-8 \pm \sqrt{144x^{2} - 1536x + 4096}}{24} = \frac{-8 \pm (12x - 64)}{24}$.
$f(0) = -3$ હોવાથી, $x=0$ માટે ચિહ્નો તપાસતા:
જો આપણે ધન ચિહ્ન લઈએ: $f(0) = \frac{-8 + (-64)}{24} = -3$ (સાચું).
તેથી, $f(x) = \frac{-8 + 12x - 64}{24} = \frac{12x - 72}{24} = \frac{x - 6}{2}$.
અંતે, $f(13) = \frac{13 - 6}{2} = \frac{7}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = x^2 + x - 2$ અને $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$.
ધારો કે $f(x) = y$. તો $g(y) = y^2 + y - 2 = 2x^2 - 5x + 2$.
$y^2 + y - (2x^2 - 5x + 4) = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a=1, b=1, c=-(2x^2 - 5x + 4)$ છે:
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8x^2 - 20x + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{8x^2 - 20x + 17}}{2}$.
આપેલા વિકલ્પો આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતા નથી, તેથી પ્રશ્નના વિકલ્પો ખોટા છે.

(A) પગલું $1$: $(f \circ f)(x)$ ની ગણતરી કરો.
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{4(\frac{4x+3}{6x-4}) + 3}{6(\frac{4x+3}{6x-4}) - 4}$.
પગલું $2$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો.
$= \frac{16x + 12 + 18x - 12}{24x + 18 - 24x + 16} = \frac{34x}{34} = x$.
પગલું $3$: કારણ કે $(f \circ f)(x) = x$, તેથી $g(x) = x$.
પગલું $4$: સંયોજન $(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(x)$ એ $g(g(g(g(g(x)))))$ ને સમાન છે.
કારણ કે $g(x) = x$, તેથી $g(g(g(g(g(x))))) = x$.
પગલું $5$: $x = 3$ માટે કિંમત શોધો.
$(g \circ g \circ g \circ g \circ g)(3) = 3$.

(D) પગલું $1$: ચોક્કસ કિંમતો માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ની ગણતરી કરો.
$x \ge 0$ માટે, $f(x) = 2x - x = x$ અને $g(x) = 2x + x = 3x$ છે.
$x < 0$ માટે, $f(x) = 2x - (-x) = 3x$ અને $g(x) = 2x + (-x) = x$ છે.
પગલું $2$: $(fog)(2)$ અને $(gof)(2)$ ની કિંમત શોધો.
$(fog)(2) = f(g(2)) = f(3(2)) = f(6) = 6$.
$(gof)(2) = g(f(2)) = g(2) = 3(2) = 6$.
પગલું $3$: $(fog)(-2)$ અને $(gof)(-2)$ ની કિંમત શોધો.
$(fog)(-2) = f(g(-2)) = f(-2) = 3(-2) = -6$.
$(gof)(-2) = g(f(-2)) = g(3(-2)) = g(-6) = -6$.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો.
વિકલ્પ $(D)$: $(gof)(2) + (gof)(-2) = 6 + (-6) = 0$. તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$.
પ્રથમ, $f(\cos x) = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ ની ગણતરી કરો.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $f(\cos x) = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{2 \cos^2 (x/2)} = \tan^2 \frac{x}{2}$ મળે છે.
હવે, $f(f(\cos x)) = f(\tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1 - \tan^2 (x/2)}{1 + \tan^2 (x/2)}$ ની ગણતરી કરો.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $\theta = \frac{x}{2}$ છે, આપણને $f(f(\cos x)) = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: $f(g(x)) = f(cx + d) = a(cx + d) + b = acx + ad + b$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: $g(f(x)) = g(ax + b) = c(ax + b) + d = cax + cb + d$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $3$: બંને પદોને સરખાવો: $acx + ad + b = cax + cb + d$.
પગલું $4$: આ બધા $x$ માટે સાચું હોવાથી, અચળ પદો સમાન હોવા જોઈએ: $ad + b = cb + d$.
પગલું $5$: સમીકરણને ફરીથી ગોઠવો: $ad - d = cb - b$, જે $d(a - 1) = b(c - 1)$ છે.
પગલું $6$: વૈકલ્પિક રીતે, જુઓ કે $f(d) = ad + b$ અને $g(b) = cb + d$ છે. સમાનતા $ad + b = cb + d$ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f(d) = g(b)$ છે.

(C) પગલું $1$: $(f \circ g)(\frac{3}{2}) = f(g(\frac{3}{2}))$ ની ગણતરી કરો.
$g(\frac{3}{2}) = [(\frac{3}{2})^2] = [\frac{9}{4}] = [2.25] = 2$.
$f(g(\frac{3}{2})) = f(2) = 2^2 = 4$.
પગલું $2$: $(g \circ f)(\frac{3}{2}) = g(f(\frac{3}{2}))$ ની ગણતરી કરો.
$f(\frac{3}{2}) = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$g(f(\frac{3}{2})) = [2.25^2] = [5.0625] = 5$.
પગલું $3$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$(f \circ g)(\frac{3}{2}) + (g \circ f)(\frac{3}{2}) = 4 + 5 = 9$.

(B) આપેલ છે કે $g(x) = 1 - \sqrt{x}$.
આપણે $f(6)$ ની કિંમત શોધવી છે, તેથી $g(x) = 6$ લો.
$1 - \sqrt{x} = 6 \implies -\sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x} = -5$.
કારણ કે $\sqrt{x}$ ની કિંમત ઋણ ન હોઈ શકે, તેથી $x = 25$ મળે.
$f(g(x))$ ના પદમાં $\sqrt{x} = -5$ મૂકતા:
$f(6) = 5 + 4(-5) + (-5)^2$.
$f(6) = 5 - 20 + 25$.
$f(6) = 10$.