Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = 2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः $\tan \alpha = \tan(\frac{\pi}{12})$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
समीकरण $\cos(\theta - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4})$ बन जाता है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \cos ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin ^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 - 2 \sin ^2 x + 3 \sin x - 3 = 0$
$2 \sin ^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$
अतः $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 1$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}$.
$\sin x = 1$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$.
त्रिभुज के दो कोण $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{2}$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $\pi$ होता है।
तीसरा कोण $= \pi - (\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$
सर्वसमिका $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2 \tan x + 2 = 0$
$(1 + \tan^2 x)$ से गुणा करने पर:
$(1 - \tan^2 x) - 2 \tan x(1 + \tan^2 x) + 2(1 + \tan^2 x) = 0$
$1 - \tan^2 x - 2 \tan x - 2 \tan^3 x + 2 + 2 \tan^2 x = 0$
$2 \tan^3 x - \tan^2 x + 2 \tan x - 3 = 0$
माना $\tan x = t$,तब $2t^3 - t^2 + 2t - 3 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$t = 1$ एक मूल है।
$(t - 1)(2t^2 + t + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ $2t^2 + t + 3$ के लिए विविक्तकर $D < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसलिए,$\tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$.
व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$
$\sin 2x(2 \cos x - 1) = 2 \cos x(\cos x - 1)$
$\cos x = 0$ के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(0, \pi)$ में हलों की संख्या $1$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin \theta - 3 \sin 2 \theta + \sin 3 \theta = \cos \theta - 3 \cos 2 \theta + \cos 3 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin \theta + \sin 3 \theta) - 3 \sin 2 \theta = (\cos \theta + \cos 3 \theta) - 3 \cos 2 \theta$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin 2 \theta \cos \theta - 3 \sin 2 \theta = 2 \cos 2 \theta \cos \theta - 3 \cos 2 \theta$
$\sin 2 \theta (2 \cos \theta - 3) = \cos 2 \theta (2 \cos \theta - 3)$
$(\sin 2 \theta - \cos 2 \theta)(2 \cos \theta - 3) = 0$
चूंकि $2 \cos \theta - 3 = 0 \Rightarrow \cos \theta = \frac{3}{2}$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin 2 \theta - \cos 2 \theta = 0$
$\sin 2 \theta = \cos 2 \theta \Rightarrow \tan 2 \theta = 1$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$2 \theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}$।

(A) हमारे पास समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ है।
चूंकि $\sin^2(ax) \geq 0$,इसलिए $1+\sin^2(ax) \geq 1$ है।
साथ ही,हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\cos(x) \leq 1$ होता है।
समीकरण $1+\sin^2(ax)=\cos(x)$ के सत्य होने के लिए,दोनों पक्षों का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$\cos(x) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x = 2n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
$x = 2n\pi$ को समीकरण में रखने पर,$1+\sin^2(a(2n\pi)) = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin^2(2an\pi) = 0$।
इसका मतलब है $\sin(2an\pi) = 0$,तो $2an\pi = k\pi$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है),जो $a = \frac{k}{2n}$ में सरल हो जाता है।
यदि $n \neq 0$ है,तो $a$ एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $a$ अपरिमेय है।
इसलिए,$n$ के लिए केवल $0$ संभव है,जो $x = 0$ देता है।
$x=0$ के लिए जाँच करने पर: $1+\sin^2(a \cdot 0) = 1+0 = 1$ और $\cos(0) = 1$।
अतः,$x=0$ ही एकमात्र हल है।

(B) दिया गया समीकरण $\cos 2 \theta = \sin \theta$ है।
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta - \sin \theta - 1 = 0$
$2 \sin \theta (\sin \theta + 1) - 1 (\sin \theta + 1) = 0$
$(\sin \theta + 1)(2 \sin \theta - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \sin \theta = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3 \pi}{2}$
$2) \sin \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$
चूँकि $\theta \in (0, 2 \pi)$,इसलिए तीनों मान $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ मान्य हल हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $3$ है.

(B) दिया गया समीकरण: $\sec x \cos 5x + 1 = 0$.
चूंकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,हमारे पास $\frac{\cos 5x}{\cos x} + 1 = 0$ है,जिसका अर्थ है $\cos 5x + \cos x = 0$ जहाँ $\cos x \neq 0$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 3x \cos 2x = 0$.
इसका अर्थ है $\cos 3x = 0$ या $\cos 2x = 0$.
$[0, 2\pi]$ में $\cos 3x = 0$ के लिए,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}$,अतः $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
$[0, 2\pi]$ में $\cos 2x = 0$ के लिए,$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}$,अतः $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
हमें उन मानों को हटाना होगा जहाँ $\cos x = 0$,अर्थात $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
मान्य हल $x \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $8$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$
$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ से भाग देने पर।
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,$\sin \frac{\pi}{12} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{12} \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{4}$.
व्यापक हल: $\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,जहाँ $n \in Z$.

(B) दिया गया समीकरण है: $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$
सर्वसमिका $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,व्यापक हल $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos^2 2x + \sin^2 3x = 1$
$\Rightarrow \sin^2 3x = 1 - \cos^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x = \sin^2 2x$
$\Rightarrow \sin^2 3x - \sin^2 2x = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \sin(3x + 2x) \sin(3x - 2x) = 0$
$\Rightarrow \sin 5x \sin x = 0$
स्थिति $1$: $\sin 5x = 0$ $\Rightarrow 5x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$
स्थिति $2$: $\sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$
चूंकि $n\pi$,$\frac{n\pi}{5}$ का उपसमुच्चय है,इसलिए सामान्य हल $x = \frac{n\pi}{5}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \cos \theta = 0$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर ($\cos \theta \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 1 = 0$
$\tan \theta = -1$
चूंकि $0 < \theta < \pi$, $\theta$ का वह मान जहाँ $\tan \theta = -1$ होता है, वह द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः, $\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\tan (\pi \tan x) = \cot (\pi \cot x)$
सर्वसमिका $\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\tan (\pi \tan x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$
इसका अर्थ है $\pi \tan x = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
मुख्य स्थिति $n=0$ लेने पर:
$\pi \tan x = \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$
$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$
$\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{1}{2}$
$\sin 2x = 4$
चूँकि $\sin 2x$ का मान $[-1, 1]$ के बीच होता है, इसलिए $\sin 2x = 4$ संभव नहीं है।
अतः, हल समुच्चय $\phi$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ $G.P.$ में हैं, इसलिए $\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$x = \cos \theta$ लेने पर, $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर, $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $(2 \cos \theta - 1)$ एक गुणनखंड है।
$6x^3 + x^2 - 1$ को $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर $3x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$3x^2 + 2x + 1$ का विविक्तकर $D = 4 - 12 = -8 < 0$ है, इसलिए यहाँ कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, $\cos \theta = \frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 6 \theta + \sin 4 \theta + \sin 2 \theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 6 \theta + \sin 2 \theta) + \sin 4 \theta = 0$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 2 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0$ $\Rightarrow 4 \theta = n \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3}$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2 n \pi \pm \alpha$ होता है:
$2 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$
अतः, $\theta = \frac{n \pi}{4}$ या $\theta = n \pi \pm \frac{\pi}{3}$, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
चूंकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, समीकरण होगा:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\sin x + 1 = 2 - 2 \sin^2 x$
$2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए, $\sin x = \frac{1}{2}$ से $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
$\sin x = -1$ के लिए $x = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है, जो अंतराल $[0, \pi]$ के बाहर है।
अतः, हलों की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ के रूप में है, जहाँ $a = 2$, $b = 1$, और $c = 3$ है।
समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ का हल होने के लिए, शर्त $|c| \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ पूरी होनी चाहिए।
यहाँ, $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ है।
चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$, इसलिए $c = 3 > \sqrt{5}$ है।
चूँकि $2 \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{5}$ है, यह कभी भी $3$ के मान तक नहीं पहुँच सकता है।
अतः, समीकरण का कोई हल नहीं है।

(D) सबसे पहले, हम व्यंजक $f(a) = a^2 - 4a + 6$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने पर, $f(a) = (a-2)^2 + 2$ प्राप्त होता है।
$(a-2)^2 + 2$ का न्यूनतम मान $2$ है जब $a=2$ हो।
अतः, $\min_{a \in \mathbb{R}} \{1, a^2 - 4a + 6\} = \min \{1, 2\} = 1$ है।
अब, समीकरण $\sin x + \cos x = 1$ को हल करते हैं।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से भाग देने पर, $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
इसे $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin \theta = \sin \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
इसलिए, $x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$।
$x$ के लिए हल करने पर, $x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $5 \cos 2 \theta + 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 1 = 0$
सर्वसमिका $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$5 \cos 2 \theta + (1 + \cos \theta) + 1 = 0$
$5(2 \cos^2 \theta - 1) + \cos \theta + 2 = 0$
$10 \cos^2 \theta + \cos \theta - 3 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(5 \cos \theta - 3)(2 \cos \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $5 \cos \theta - 3 = 0 \implies \cos \theta = \frac{3}{5} \implies \theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(D) हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का मान अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में होता है।
यहाँ, $a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अतः, $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि व्यंजक का अधिकतम मान $2$ है, इसलिए यह कभी भी $4$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः, समीकरण $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 4$ का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan x \tan(x-50^{\circ})$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें $\sin(4x + 100^{\circ}) = \sin(-40^{\circ})$ प्राप्त होता है।
व्यापक हल: $4x + 100^{\circ} = n \cdot 180^{\circ} + (-1)^n (-40^{\circ})$।
अंतराल $[0, 180^{\circ}]$ में हल $x = 30^{\circ}, 55^{\circ}, 120^{\circ}, 145^{\circ}$ हैं।
अतः, कुल $4$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3}\cos 2\theta + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3}(2\cos^2 \theta - 1) + 8\cos \theta + 3\sqrt{3} = 0$
$2\sqrt{3}\cos^2 \theta + 8\cos \theta + 2\sqrt{3} = 0$
$2$ से विभाजित करने पर: $\sqrt{3}\cos^2 \theta + 4\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
गुणनखंड करने पर: $(\sqrt{3}\cos \theta + 1)(\cos \theta + \sqrt{3}) = 0$
अतः $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ या $\cos \theta = -\sqrt{3}$.
$\cos \theta = -\sqrt{3}$ संभव नहीं है।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $[-3\pi, 2\pi]$ अंतराल में कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = -1$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta = -\frac{1}{2}$.
इसे $\cos(\theta + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $\alpha = \theta + \frac{\pi}{3}$ है। चूंकि $\theta \in (-2\pi, 2\pi)$, इसलिए $\alpha \in (-2\pi + \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}) = (-\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3})$.
$\cos\alpha = -\frac{1}{2}$ के लिए, हल $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ या $\alpha = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ हैं।
$n=0$ के लिए: $\alpha = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
$n=1$ के लिए: $\alpha = \frac{8\pi}{3}$ (सीमा से बाहर), $\alpha = \frac{10\pi}{3}$ (सीमा से बाहर)।
$n=-1$ के लिए: $\alpha = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$, $\alpha = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$.
अतः, $\theta = \alpha - \frac{\pi}{3}$ लेने पर $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, -\frac{5\pi}{3}, -\pi$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों का योग $\frac{\pi}{3} + \pi - \frac{5\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos \theta \cos \frac{5\theta}{2} = 2 \cos 7\theta \cos \frac{7\theta}{2}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\frac{7\theta}{2}) + \cos(-\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2}) + \cos(\frac{7\theta}{2})$.
यह सरल होकर $\cos(\frac{3\theta}{2}) = \cos(\frac{21\theta}{2})$ हो जाता है।
व्यापक हल: $\frac{21\theta}{2} = 2n\pi \pm \frac{3\theta}{2}$.
स्थिति $1$: $\frac{21\theta}{2} - \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 9\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{9}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए, $n \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ($9$ मान)।
स्थिति $2$: $\frac{21\theta}{2} + \frac{3\theta}{2} = 2n\pi \implies 12\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{n\pi}{6}$. $\theta \in [-\pi, \pi]$ के लिए, $n \in \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($13$ मान)।
दोनों समुच्चयों को मिलाने और पुनरावृत्त मानों को हटाने पर, कुल $13$ भिन्न मान प्राप्त होते हैं।
अतः $n(S) = 13$।

(A) दिया गया समीकरण $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$ है।
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने के लिए दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2 \sin x \cos x = 2 \times \frac{1}{4}$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ होता है।
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
यहाँ, $\theta = 2x$ और $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः, $2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$।
$2$ से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 3x \cdot \tan 5x = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x} = \sin 7x$
$\cos 3x \cdot \sin 5x = \sin 7x \cdot \cos 5x$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} [\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)]$
$\sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x$
$\sin 12x = \sin 8x$
$\sin 12x - \sin 8x = 0$
$2 \cos(10x) \sin(2x) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$। $[0, \frac{\pi}{2})$ में, $x = 0$।
स्थिति $2$: $\cos 10x = 0 \implies 10x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2n+1)\pi}{20}$।
$x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए, $n = 0, 1, 2, 3, 4 \implies x = \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$।
प्रांत की जाँच: $\tan 5x$ का मान $5x = (2k+1)\frac{\pi}{2} \implies x = \frac{(2k+1)\pi}{10}$ पर अपरिभाषित है।
$k=0, 1, 2$ के लिए, ये मान प्राप्त हलों में नहीं हैं।
कुल वैध हल: $x = 0, \frac{\pi}{20}, \frac{3\pi}{20}, \frac{5\pi}{20}, \frac{7\pi}{20}, \frac{9\pi}{20}$। कुल $6$ हल।

(A) समीकरण $\cos \theta - \sin \theta = 1$ को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos x = \cos \alpha$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ होता है:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
स्थिति $1$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi$
स्थिति $2$: $\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{\pi}{4} \implies \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
अतः, $\theta = 2n\pi, 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया है $\cos(p\theta) + \cos(q\theta) = 0$।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) \cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $\cos(\frac{(p+q)\theta}{2}) = 0$ या $\cos(\frac{(p-q)\theta}{2}) = 0$।
$\cos x = 0$ के लिए, व्यापक हल $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ होता है।
स्थिति $1$: $\frac{(p+q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p+q}$।
स्थिति $2$: $\frac{(p-q)\theta}{2} = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{p-q}$।
अतः, $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{p \pm q}$।

(C) दिया है $\frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$।
$LCM$ लेने पर: $\frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{2 \sin 3\theta \sin \theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$।
$\sin 3\theta \sin \theta = \cos 4\theta \cos 2\theta$।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}(\cos 2\theta - \cos 4\theta) = \frac{1}{2}(\cos 2\theta + \cos 6\theta)$।
$-\cos 4\theta = \cos 6\theta \implies \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$।
$2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$।
स्थिति $1$: $\cos 5\theta = 0 \implies 5\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{(2n+1)\pi}{10} = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।
स्थिति $2$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$।
अतः, $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}, \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cot \theta \cdot \cot 2\theta = 1$
$\implies \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} = 1$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta = \sin \theta \cdot \sin 2\theta$
$\implies \cos \theta \cdot \cos 2\theta - \sin \theta \cdot \sin 2\theta = 0$
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\implies \cos(\theta + 2\theta) = 0$
$\implies \cos 3\theta = 0$
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।
अतः, $3\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$
$\implies \theta = (2n+1)\frac{\pi}{6}, n \in Z$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin 3\theta - \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$।
$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3\sin \theta - 4\sin^3 \theta - (1 - \sin^2 \theta) = \frac{1}{4}$।
$-4\sin^3 \theta + \sin^2 \theta + 3\sin \theta - 1 = \frac{1}{4}$।
$-4$ से गुणा करने पर: $16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 4 = -1$।
$16\sin^3 \theta - 4\sin^2 \theta - 12\sin \theta + 5 = 0$।
माना $x = \sin \theta$। चूंकि $\theta \in [0, \pi]$, $x \in [0, 1]$।
$f(x) = 16x^3 - 4x^2 - 12x + 5 = 0$।
$f(0) = 5$ और $f(1) = 5$।
$f'(x) = 48x^2 - 8x - 12 = 4(12x^2 - 2x - 3)$।
$f'(x) = 0$ के मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{12}$ हैं।
चूंकि $x \in [0, 1]$, $x_0 = \frac{1 + \sqrt{37}}{12} \approx 0.59$ पर विचार करें।
$f(0.59) < 0$ है।
चूंकि $f(0) > 0$, $f(x_0) < 0$, और $f(1) > 0$, $(0, 1)$ में $x$ के दो मूल हैं।
प्रत्येक $x$ के लिए, $[0, \pi]$ में $\theta$ के दो मान हैं।
अतः, कुल $4$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x - \sin x = -1$।
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर, $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$।
$x \in [0, 6\pi]$ के लिए, $n=0, 1, 2$ पर $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{3\pi}{4} \implies x = 2n\pi - \pi$।
$x \in [0, 6\pi]$ के लिए, $n=1, 2, 3$ पर $x = \pi, 3\pi, 5\pi$ प्राप्त होते हैं।
दिया है $x = k(\frac{\pi}{3})$, अतः $k = \frac{3x}{\pi}$।
$x = \frac{\pi}{2}$ के लिए, $k = 1.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \frac{5\pi}{2}$ के लिए, $k = 7.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \frac{9\pi}{2}$ के लिए, $k = 13.5$ (प्राकृत संख्या नहीं है)।
$x = \pi$ के लिए, $k = 3$।
$x = 3\pi$ के लिए, $k = 9$।
$x = 5\pi$ के लिए, $k = 15$।
अतः, $k \in \{3, 9, 15\}$। मानों की संख्या $3$ है।

(B) चरण $1$: प्रथम समीकरण $2 \sin^2 \theta - 2 \cos^2 \theta + 1 = 0$ को हल करें।
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर, हमें $2 \sin^2 \theta - 2(1 - \sin^2 \theta) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$2 \sin^2 \theta - 2 + 2 \sin^2 \theta + 1 = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$।
चरण $2$: द्वितीय समीकरण $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ को हल करें।
माना $x = \sin \theta$ है। तब $2x^2 + 3x - 2 = 0 \implies (2x - 1)(x + 2) = 0$।
अतः, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -2$। चूँकि $-1 \le \sin \theta \le 1$, इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$।
चरण $3$: उभयनिष्ठ हल ज्ञात करें।
उभयनिष्ठ स्थिति $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ का मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
अतः $2$ उभयनिष्ठ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x + \sin x = \cos 2x + \sin 2x$
$\cos x - \cos 2x = \sin 2x - \sin x$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ और $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}$
$2 \sin \frac{x}{2} (\sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) = 0$
स्थिति $1$: $\sin \frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi$। यहाँ $p=2$ है।
स्थिति $2$: $\sin \frac{3x}{2} = \cos \frac{3x}{2} \implies \tan \frac{3x}{2} = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\frac{3x}{2} = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$। यहाँ $q=2$ है।
अतः, $p:q = 2:2 = 1:1$।

(C) दिया गया है $\text{cosec}(\theta) = -2$, जिसका अर्थ है $\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\sin(\theta)$ ऋणात्मक है, इसलिए $\theta$ तीसरे या चौथे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
संदर्भ कोण $\alpha$ ऐसा है कि $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$, अतः $\alpha = \frac{\pi}{6}$।
तीसरे चतुर्थांश में, $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$।
चौथे चतुर्थांश में, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$।
अतः, मुख्य हल $\frac{7\pi}{6}$ और $\frac{11\pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 4\theta = \cos 3\theta$ है।
$\cos x = \cos y$ के व्यापक हल का सूत्र उपयोग करने पर, जो $x = 2n\pi \pm y$ है, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
यहाँ, $x = 4\theta$ और $y = 3\theta$ है।
स्थिति $1$: $4\theta = 2n\pi + 3\theta \implies \theta = 2n\pi$ है।
स्थिति $2$: $4\theta = 2n\pi - 3\theta \implies 7\theta = 2n\pi \implies \theta = \frac{2n\pi}{7}$ है।
अतः, व्यापक हल $\theta = 2n\pi$ या $\theta = \frac{2n\pi}{7}$ है, जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।