Fundamentals of Vectors Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બે સદિશોના મૂલ્યો $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે તેઓ સમાન મૂલ્યના છે,તેથી $A = B = x$ લો.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R$ એ સૂત્ર $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સદિશોના મૂલ્યોના ગુણાકારના બમણા એ પરિણામી સદિશના વર્ગ જેટલા છે: $2(AB) = R^2$.
$A = x$ અને $B = x$ મૂકતા,આપણને મળે છે $2(x \cdot x) = x^2 + x^2 + 2(x \cdot x) \cos \theta$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $2x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$ મળે છે.
બંને બાજુથી $2x^2$ બાદ કરતા,$0 = 2x^2 \cos \theta$ મળે.
અહીં $x \neq 0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$ થવું જોઈએ.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) બળ સદિશ $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
બળનું માન $|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બળનો ઘટક $F_x = 4$ છે.
ખૂણા $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{F_x}{|\vec{F}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$.
છેદ અને અંશને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{R} \perp \vec{A}$,તેથી ડોટ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{R} = 0$ થાય.
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = 0 \implies A^2 + AB \cos \theta = 0 \implies AB \cos \theta = -A^2$ ... $(i)$
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \frac{B}{2}$ આપેલ છે,તેથી $R^2 = \frac{B^2}{4}$ થાય.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2(-A^2) = B^2 - A^2$.
તેથી $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,એટલે કે $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$.
હવે $A$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$B(\frac{\sqrt{3}}{2}B) \cos \theta = -(\frac{\sqrt{3}}{2}B)^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} B^2 \cos \theta = -\frac{3}{4} B^2$.
$\cos \theta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = 150^{\circ}$.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
અહીં આપેલ છે કે બંને સદિશોના મૂલ્યો સમાન છે,ધારો કે $A = B = x$.
તેમજ આપેલ છે કે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય પણ તે બંને સદિશોના મૂલ્ય જેટલું જ છે,તેથી $R = x$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$.
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને): $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આ ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ સદિશ $P = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
ધારો કે દિશા દર્શાવતો સદિશ $Q = \hat{i} + 2 \hat{j}$ છે.
સદિશ $P$ નો સદિશ $Q$ ની દિશામાં ઘટક પ્રક્ષેપના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P_{Q} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $P \cdot Q = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j}) = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11$.
ત્યારબાદ,સદિશ $Q$ નું માન શોધો: $|Q| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
તેથી,માંગેલ ઘટક $\frac{P \cdot Q}{|Q|} = \frac{11}{\sqrt{5}}$ થાય.

(B) કોઈપણ સદિશ માટે,દિશા કોસાઇન $\cos \alpha, \cos \beta$ અને $\cos \gamma$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિશા કોસાઇન માટેનું મૂળભૂત નિત્યસમ $\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + \cos ^2 \gamma = 1$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$(1 - \sin ^2 \alpha) + (1 - \sin ^2 \beta) + (1 - \sin ^2 \gamma) = 1$.
$3 - (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma) = 1$.
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma = 2$.
તેથી,$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - \sin ^2 \gamma$.
કારણ કે $\sin ^2 \gamma = 1 - \cos ^2 \gamma$,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta = 2 - (1 - \cos ^2 \gamma) = 1 + \cos ^2 \gamma$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $A$ અને $B$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
અહીં,$R$ મહત્તમ ત્યારે જ હોય જ્યારે $\cos \theta$ મહત્તમ હોય.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\theta = 0^{\circ}$ મૂકતા:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
આમ,જ્યારે બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોય ત્યારે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય મહત્તમ મળે છે.

(A) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_A = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_B = 6 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ સ્થાનમાં થતા ફેરફાર દ્વારા મળે છે: $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$.
$\vec{d} = (6 - 2) \hat{i} + (6 - 2) \hat{j} + (9 - 3) \hat{k}$.
$\vec{d} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$.

(D) સદિશ $\vec{A} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જો તેનું મૂલ્ય $1$ હોય, એટલે કે $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
અહીં આપેલ સદિશ $0.5 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + c \hat{k}$ છે.
તેથી, $\sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
આમ, $c = \sqrt{0.11}$.

(B) જો કોઈ સદિશનું માન $1$ હોય, તો તેને એકમ સદિશ કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{U} = 0.9\hat{i} - 0.2\hat{j} + m\hat{k}$.
$\vec{U}$ નું માન $|\vec{U}| = \sqrt{(0.9)^2 + (-0.2)^2 + m^2}$ દ્વારા મળે છે.
તે એકમ સદિશ હોવાથી, $|\vec{U}| = 1$, તેથી $|\vec{U}|^2 = 1$.
$(0.9)^2 + (-0.2)^2 + m^2 = 1$.
$0.81 + 0.04 + m^2 = 1$.
$0.85 + m^2 = 1$.
$m^2 = 1 - 0.85 = 0.15$.
$m = \sqrt{0.15}$.

(B) જો બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન દિશા ધરાવતા હોય, તો તેઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે, જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} = k\vec{B}$ કોઈ ધન અદિશ $k$ માટે.
આપેલ છે કે $\vec{A} = 6\hat{i} + 9\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - p\hat{k}$.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$6 = k(2) \implies k = 3$
$9 = k(3) \implies k = 3$
$-1 = k(-p) \implies -1 = 3(-p) \implies -1 = -3p$
$p = 1/3$
આમ,'$p$' નું મૂલ્ય $1/3$ છે.

(C) પ્રકાશની તીવ્રતાનો $SI$ પાયાનો એકમ $\text{કેન્ડેલા}$ $(cd)$ છે.
$\text{એમ્પિયર}$ એ વિદ્યુત પ્રવાહનો એકમ છે.
$\text{કુલંબ}$ એ વિદ્યુતભારનો એકમ છે.
$\text{ઓહ્મ}$ એ વિદ્યુત અવરોધનો એકમ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ શોધવાનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ = $6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m)$ = $9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$.
ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v)$ = $2.2 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (2.2 \times 10^6)}$.
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{20.02 \times 10^{-25}}$.
$\lambda = 0.33096 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$\lambda = 3.31 \times 10^{-10} \text{ m}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ, સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta x)$ અને વેગમાનમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta p)$ નો ગુણાકાર નીચે મુજબ છે: $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
અહીં $\Delta p = m_e \cdot \Delta v$ હોવાથી, સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\Delta x \cdot m_e \cdot \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
વેગમાં અનિશ્ચિતતા $(\Delta v)$ માટે સૂત્ર: $\Delta v \geq \frac{h}{4\pi \cdot m_e \cdot \Delta x}$.
આપેલ છે: $\Delta x = 50 \text{ pm} = 50 \times 10^{-12} \text{ m}$, $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$, $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$, $\pi = 3.142$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4 \times 3.142 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 50 \times 10^{-12}}$.
ગણતરી કરતા: $\Delta v \approx 1.16 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકનો જવાબ $0.98 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}$ છે.

(D) ફોટોનની ઊર્જા $(E)$ સમીકરણ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઊર્જા એ તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto \frac{1}{\lambda})$.
દ્રશ્ય પ્રકાશના રંગોમાં, લાલ રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ $(\approx 700 \ nm)$ હોય છે.
લાલ રંગની તરંગલંબાઇ સૌથી વધુ હોવાથી, દ્રશ્ય વર્ણપટના અન્ય રંગોની સરખામણીમાં તેની ઊર્જા સૌથી ઓછી હોય છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E$ એ સમીકરણ $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઉર્જા $E$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto \frac{1}{\lambda})$.
તેથી, જે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી હશે તેની ઉર્જા સૌથી વધુ હશે.
આપેલ તરંગલંબાઈઓની સરખામણી કરતા: $410 \text{ nm}$ (જાંબલી), $470 \text{ nm}$ (વાદળી), $580 \text{ nm}$ (પીળો) અને $750 \text{ nm}$ (લાલ).
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ $410 \text{ nm}$ છે, જે જાંબલી પ્રકાશ માટે છે.
આમ, જાંબલી પ્રકાશની ઉર્જા સૌથી વધુ છે.

(D) વર્ણપટ રેખાના તરંગ આંક માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર આ મુજબ છે: $\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$.
પાશ્ચેન શ્રેણી માટે, સંક્રમણ $n_1 = 3$ ઉર્જા સ્તર પર થાય છે.
સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતું સંક્રમણ તેના પછીના તરત જ ઉર્જા સ્તર એટલે કે $n_2 = 4$ થી થાય છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{1}{9} - \frac{1}{16})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{16 - 9}{144})$
$\bar{\nu} = R_H (\frac{7}{144}) \text{ cm}^{-1}$.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રીડબર્ગનું સૂત્ર: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
લાયમન શ્રેણી માટે, સંક્રમણ ધરાવસ્થિતિમાં થાય છે, તેથી $n_1 = 1$.
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે, સંક્રમણ શક્ય તેટલા ઉચ્ચતમ ઉર્જા સ્તરથી થવું જોઈએ, એટલે કે $n_2 = \infty$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R_H (1 - 0) = R_H$.
તેથી, $\lambda = \frac{1}{R_H} = \frac{1}{109677 \text{ cm}^{-1}}$.
ગણતરી કરતા: $\lambda \approx 9.117 \times 10^{-6} \text{ cm} = 911.7 \times 10^{-8} \text{ cm}$.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર: $E_n = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ J}$ છે.
$H$-પરમાણુ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે.
પ્રથમ કક્ષા $(n = 1)$ માટે, $E_1 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{1^2} = -2.18 \times 10^{-18} \text{ J}$.
બીજી કક્ષા $(n = 2)$ માટે, $E_2 = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1^2}{2^2} = -2.18 \times 10^{-18} \times \frac{1}{4} \text{ J}$.
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
આપેલ છે:
$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$
$m = 9.10938 \times 10^{-31} \text{ kg}$
$v = 2.19 \times 10^6 \text{ m s}^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.10938 \times 10^{-31}) \times (2.19 \times 10^6)}$
$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{19.9495 \times 10^{-25}}$
$\lambda \approx 0.33214 \times 10^{-9} \text{ m}$
$\lambda \approx 332.14 \times 10^{-12} \text{ m}$
કારણ કે $1 \text{ pm} = 10^{-12} \text{ m}$, તેથી તરંગલંબાઈ આશરે $332 \text{ pm}$ થાય.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{n^2}$.
$n = 2$ ને અનુરૂપ સ્થાયી અવસ્થા માટે, આપણે સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકીશું:
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{(2)^2}$
$E_2 = -\frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ J}}{4}$
$E_2 = -0.545 \times 10^{-18} \text{ J}$
$E_2 = -5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$.
તેથી, $n = 2$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $-5.45 \times 10^{-19} \text{ J}$ છે.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહરના મોડેલમાં, $n$-મી કક્ષાની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = \frac{E_1}{n^2}$, જ્યાં $E_1$ એ ધરા અવસ્થા $(n=1)$ ની ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે ધરા અવસ્થાની ઉર્જા $E_1 = -E \text{ J}$ છે.
ત્રીજી સ્થાયી કક્ષા માટે, $n = 3$ લેતા.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{-E}{9} \text{ J}$.
તેથી, ત્રીજી સ્થાયી કક્ષાની ઉર્જા $-E/9 \text{ J}$ છે.

(D) સ્નિગ્ધતા એ પ્રવાહી (પ્રવાહી અને વાયુઓ) નો ગુણધર્મ છે જે વહેવા સામે અવરોધ પેદા કરે છે.
$(A)$ લ્યુબ્રિકન્ટ ઓઈલનું ગ્રેડેશન તેમની સ્નિગ્ધતા પર આધારિત છે.
$(B)$ રક્ત પ્રવાહનો વેગ અને સ્નિગ્ધતાનો ઉપયોગ કાર્ડિયોવેસ્ક્યુલર સ્વાસ્થ્ય સૂચવવા માટે થાય છે.
$(C)$ સાબુની સફાઈ પ્રક્રિયામાં પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવું અને ગંદકી દૂર કરવા માટે માધ્યમની સ્નિગ્ધતામાં ફેરફાર કરવાનો સમાવેશ થાય છે.
$(D)$ જૂની ઇમારતોમાં કાચની બારીઓ નીચેથી જાડી થવી એ એક સામાન્ય ગેરસમજ છે; કાચ એ એક અસ્ફટિકમય ઘન પદાર્થ છે, સુપરકૂલ્ડ પ્રવાહી નથી, અને આ ઘટના સ્નિગ્ધતા સાથે સંબંધિત નથી.

(D) $n$-type સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે, $Ge$ (જર્મેનિયમ) જેવા ટેટ્રાવેલેન્ટ સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ (સમૂહ $15$ ના તત્વ) ઉમેરવામાં આવે છે.
$P$ (ફોસ્ફરસ), $As$ (આર્સેનિક) અને $Sb$ (એન્ટિમની) એ બધા સમૂહ $15$ ના તત્વો છે અને તેનો ઉપયોગ $n$-type સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે ડોપન્ટ તરીકે થઈ શકે છે.
$B$ (બોરોન) એ ટ્રાયવેલેન્ટ તત્વ (સમૂહ $13$) છે. $Ge$ માં ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિ ઉમેરવાથી $p$-type સેમિકન્ડક્ટર મળે છે, $n$-type નહીં.
તેથી, $B$ એ એવો ડોપન્ટ છે જેનો ઉપયોગ $n$-type સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે થતો નથી.

(B, D) ચુંબકીય પદાર્થોને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રત્યેના તેમના પ્રતિભાવના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે આકર્ષાય છે.
$2$. ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
$3$. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રબળ રીતે આકર્ષાય છે.
આ તથ્યોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા:
- વિકલ્પ $(A)$ સાચું છે.
- વિકલ્પ $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો અપાકર્ષાય છે, આકર્ષાતા નથી.
- વિકલ્પ $(C)$ સાચું છે.
- વિકલ્પ $(D)$ ખોટું છે કારણ કે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો પ્રબળ રીતે આકર્ષાતા નથી; તેઓ નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
તેથી, $(B)$ અને $(D)$ બંને વિધાનો ખોટા છે.

(D) $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે, જર્મેનિયમ $(Ge)$ જેવા આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ (આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $15$ નું તત્વ) ઉમેરવી આવશ્યક છે.
$B$ (બોરોન), $In$ (ઇન્ડિયમ), અને $Ga$ (ગેલિયમ) એ ટ્રાયવેલેન્ટ તત્વો (સમૂહ $13$) છે, જેનો ઉપયોગ $p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર બનાવવા માટે થાય છે.
$P$ (ફોસ્ફરસ) એ પેન્ટાવેલેન્ટ તત્વ (સમૂહ $15$) છે, જે જર્મેનિયમમાં ડોપિંગ કરવાથી વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન આપે છે, આમ તે $n$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.
તેથી, સાચો ડોપન્ટ $P$ છે.

(C) ઓપ્ટિકલ ફાઈબર કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં, ઓપ્ટિકલ સિગ્નલોને એમ્પ્લીફાય કરવા માટે અર્બિયમ-ડોપ્ડ ફાઈબર એમ્પ્લીફાયર $(EDFA)$ નો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. સિલિકા ફાઈબરના કોરમાં અર્બિયમ $(Er)$ આયનોનું ડોપિંગ કરવામાં આવે છે. જ્યારે આ આયનોને ચોક્કસ તરંગલંબાઇ (સામાન્ય રીતે $980 \ nm$ અથવા $1480 \ nm$) પર પ્રકાશ દ્વારા પમ્પ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં પહોંચે છે અને $1550 \ nm$ તરંગલંબાઇ પર ઉત્તેજિત ઉત્સર્જન દ્વારા ઓપ્ટિકલ ગેઇન પ્રદાન કરે છે, જે ઓપ્ટિકલ ફાઈબર માટે લો-લોસ વિન્ડો છે. તેથી, સાચો જવાબ અર્બિયમ $(Er)$ છે.