Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $g' = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g' = 9 m s^{-2}$ અને $h = R/20$,તેથી:
$9 = g(1 - 2(R/20)/R) = g(1 - 1/10) = g(9/10)$.
આથી,$g = 10 m s^{-2}$.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $g'' = g(1 - d/R)$ છે.
સમાન ઊંડાઈ $d = h = R/20$ માટે:
$g'' = 10(1 - (R/20)/R) = 10(1 - 1/20) = 10(19/20) = 9.5 m s^{-2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાણે ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં આપેલ છે કે ગુરુત્વપ્રવેગ $40 \%$ ઘટે છે,તેથી $d$ ઊંડાણે તેનું મૂલ્ય $g_d = g - 0.40g = 0.60g$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0.60g = g(1 - \frac{d}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $0.60 = 1 - \frac{d}{R}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - 0.60 = 0.40$.
તેથી,$d = 0.40 \times R$.
$R = 6400 \ km$ આપેલ હોવાથી,$d = 0.40 \times 6400 \ km = 2560 \ km$ મળે છે.

(A) ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 1600 \ km$ અને $R = 6400 \ km$ લેતા,$g_h = g(1 - 2 \times 1600 / 6400) = g(1 - 0.5) = 0.5g$.
ઊંડાઈ $d$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_d = 0.5 g_h = 0.5 \times 0.5g = 0.25g$.
તેથી,$0.25g = g(1 - d/R)$.
$0.25 = 1 - d/R \Rightarrow d/R = 0.75$.
$d = 0.75 \times 6400 \ km = 4800 \ km = 4.8 \times 10^6 \ m$.

(C) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^\circ$ હોય છે. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $g' = g - \omega^2 R \cos^2(90^\circ) = g - 0 = g$ મળે છે.
ધ્રુવો પર $g'$ નું મૂલ્ય કોણીય વેગ $\omega$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,જો પૃથ્વી પોતાની ધરી પર ફરતી બંધ થઈ જાય તો પણ શરીરનું વજન $(w = mg')$ બદલાશે નહીં.
તેથી,ધ્રુવો પર આપણા શરીરના વજનમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R_e)$ $= 6400 \,km$,મંગળની ત્રિજ્યા $(R_m)$ $= 3200 \,km$.
પૃથ્વીનું દળ $(M_e)$ $= 10 M_m$,જ્યાં $M_m$ એ મંગળનું દળ છે.
ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મંગળ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_m)$ અને પૃથ્વી પર $(g_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2 = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે.
પૃથ્વી પર આપેલ વજન $W_e = m g_e = 200 \,N$.
મંગળ પર વજન $W_m = m g_m = m \left(\frac{2}{5} g_e\right) = \frac{2}{5} W_e$.
$W_m = \frac{2}{5} \times 200 \,N = 80 \,N$.

(B) આપેલ છે કે,અક્ષાંશનો ખૂણો $\lambda = 45^{\circ}$ છે.
અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\lambda} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બિંદુએ $m$ દળ ધરાવતા માણસનું આભાસી વજન $w = m g_{\lambda} = m(g - \omega^2 R \cos^2 \lambda)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,માણસ વજનહીનતા અનુભવે છે,તેથી $w = 0$.
તેથી,$m(g - \omega^2 R \cos^2 45^{\circ}) = 0$.
કારણ કે $m \neq 0$,આપણને $g - \omega^2 R (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $g - \frac{\omega^2 R}{2} = 0$ થાય છે.
આનાથી $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ અથવા $\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ મળે છે.
દિવસનો સમયગાળો (સમયગાળો $T$) $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi}{\sqrt{2g/R}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}} = \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
$h \ll R_e$ માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે તેને આ રીતે અંદાજિત કરી શકીએ છીએ:
$g' \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જેમ ઊંચાઈ $h$ વધે છે,તેમ $\frac{2h}{R_e}$ પદ વધે છે,જેના કારણે $g'$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે.

(B) ધારો કે $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે。
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
પ્રશ્ન મુજબ, $g_h = \frac{g}{2}$ છે。
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g}{2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
$(1 + \frac{h}{R_e})^2 = 2$
$1 + \frac{h}{R_e} = \sqrt{2}$
$h = (\sqrt{2} - 1) R_e$
$R_e \approx 6400 \,km$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા:
$h = (1.414 - 1) \times 6400 \,km$
$h = 0.414 \times 6400 \,km$
$h = 2649.6 \,km$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ઊંચાઈ આશરે $2625 \,km$ છે。

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_h = g_d$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
બંને બાજુથી $g$ દૂર કરતા:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-\frac{2h}{R_e} = -\frac{d}{R_e}$
$-R_e$ વડે ગુણતા:
$2h = d$ અથવા $d = 2h$.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g^{\prime}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$
જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^{\circ}$ હોય છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e (0)^2 = g$
વિષુવવૃત્ત પર,$\lambda = 0^{\circ}$ હોય છે,તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$,જે $g^{\prime} = g - \omega^2 R_e$ આપે છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ આપેલી છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
વજન $w = mg$ હોવાથી,$d$ ઊંડાઈએ નવું વજન $w' = m g_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2} = \frac{w}{2}$ થાય.
આમ,પૃથ્વીના કેન્દ્ર સુધીના અડધા અંતરે પદાર્થનું વજન $\frac{w}{2}$ હશે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r < R_e)$ રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMmr}{R_e^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F \propto -r$ હોવાથી,બળ એ કેન્દ્રથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ દર્શાવે છે,જે પોતે એક સાચું વિધાન છે $(F \propto 1/r^2)$.
જો કે,પૃથ્વીની અંદરની ગતિ એ ગોળાની અંદરના અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં બળ $r$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$1/r^2$ ના નહીં. તેથી,કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g$ શૂન્ય હોય છે.
વજન $w$ એ પદાર્થના દળ $m$ અને ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g$ નો ગુણાકાર છે, તેથી $w = m \times g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા, $w = 10 \,kg \times 0 \,m/s^2 = 0 \,N$.
આમ, પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર બિંદુવત દળનું વજન શૂન્ય થાય છે.

(C) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે વિષુવવૃત્ત પરનો આભાસી ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g^{\prime} = g_0 - \omega^2 R$
આપેલ છે કે આભાસી $g^{\prime}$ એ તેના મૂળ મૂલ્ય $g_0$ ના $(1/6)$ ગણો છે,તેથી:
$g^{\prime} = \frac{g_0}{6}$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{g_0}{6} = g_0 - \omega^2 R$
$\omega^2 R$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\omega^2 R = g_0 - \frac{g_0}{6} = \frac{5}{6} g_0$
$\omega = \sqrt{\frac{5 g_0}{6 R}}$
$g_0 = 9.8 \ m/s^2$ અને $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{5 \times 9.8}{6 \times 6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{49}{38.4 \times 10^6}} = \sqrt{1.276 \times 10^{-6}}$
$\omega \approx 1.13 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$
આમ,કોણીય ઝડપ આશરે $1.14 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$ છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી માટે,$g_e = \frac{GM}{R^2}$.
નવા ગ્રહ માટે,દળ $M' = 100M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 10R$ છે.
તેથી,નવા ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_p = \frac{G(100M)}{(10R)^2} = \frac{100GM}{100R^2} = \frac{GM}{R^2} = g_e$ થાય.
ઊંચાઈ $h$ સમાન હોવાથી અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ સમાન હોવાથી,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h$ અને $g$ બંને માટે સમાન હોવાથી,લાગતો સમય $t$ સમાન રહેશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_0 = \frac{G M_e m}{R^2}$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર આ બળ $F_h = \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$ થાય છે.
વજનમાં થતી ભૂલ એ બળોનો તફાવત છે: $\Delta F = F_0 - F_h = \frac{G M_e m}{R^2} - \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$.
$\Delta F = \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 + \frac{h}{R})^{-2} \right]$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે $h \ll R$ હોય,ત્યારે $(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$ મળે છે.
તેથી,$\Delta F \approx \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 - \frac{2h}{R}) \right] = \frac{G M_e m}{R^2} \left( \frac{2h}{R} \right) = \frac{2 G M_e m h}{R^3}$.
પૃથ્વીની ઘનતા $\rho = \frac{M_e}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ હોવાથી,$M_e = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા: $\Delta F = \frac{2 G m h}{R^3} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{8}{3} \pi \rho G m h$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g / (1 + \frac{h}{R})^2}} = T(1 + \frac{h}{R})$ મળે છે.
આપેલ છે કે $T' = 2T$, તેથી $2T = T(1 + \frac{h}{R})$.
$2 = 1 + \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{h}{R} = 1$.
તેથી, $h = R = 6400 \text{ km}$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g'$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,જે $g' = g (\frac{R_E}{R_E + h} )^2$ છે.
તેથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g'}} \propto \frac{R_E + h}{R_E}$.
ઊંચાઈ $h_1 = 2 R_E$ પર,આવર્તકાળ $T_1 \propto \frac{R_E + 2 R_E}{R_E} = \frac{3 R_E}{R_E} = 3$ છે.
ઊંચાઈ $h_2 = 3 R_E$ પર,આવર્તકાળ $T_2 \propto \frac{R_E + 3 R_E}{R_E} = \frac{4 R_E}{R_E} = 4$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{4}$ અથવા $3: 4$ થાય છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $R = 6400 \ km$.
$h_1 = 1280 \ km$ માટે:
$g_1 = g \left( \frac{6400}{6400 + 1280} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{7680} \right)^2 = g \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{25}{36} g$.
$h_2 = 3200 \ km$ માટે:
$g_2 = g \left( \frac{6400}{6400 + 3200} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2}$:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{25/36 g}{4/9 g} = \frac{25}{36} \times \frac{9}{4} = \frac{25}{16}$.
આમ,ગુણોત્તર $25:16$ છે.

(D) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $g_h$ એ કેન્દ્રથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ વધતા $g_h$ ઘટે છે.
સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જે પૃથ્વીના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ પૃથ્વીની સાપેક્ષ સ્થિર રહેવા માટે ચોક્કસ $24 \ h$ હોવો જોઈએ.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R}) = g(\frac{R-d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ઊંડાઈ $d$ વધે છે,તેમ $(\frac{R-d}{R})$ પદ ઘટે છે,તેથી ઊંડાઈ વધવાની સાથે $g_d$ ઘટે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $(r)$ સાથે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R_e)$: ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM r}{R_e^3}$ છે. અહીં $G, M, R_e$ અચળ હોવાથી,$g' \propto r$ થાય. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R_e)$: ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ છે. તેથી,$g' \propto \frac{1}{r^2}$ થાય. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R_e)$,$g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે. આ બંનેને જોડતા,આલેખ $r = R_e$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટાડો દર્શાવે છે. તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $R_e$ પર ટોચ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ વક્ર દર્શાવે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
અહીં દળ $M$ અચળ હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ મળે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $1 \%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ મળે.
તેથી,$g$ માં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.02 \times 100 = 2 \%$ છે.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $2 \%$ નો વધારો થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ સમાન છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા:
$1 - \frac{2h}{R} = 1 - \frac{d}{R}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$
$-R$ વડે ગુણતા:
$2h = d$
તેથી,ઊંચાઈ અને ઊંડાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{h}{d} = \frac{1}{2} = 0.5$

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$ છે, જ્યાં $\rho$ એ સરેરાશ ઘનતા છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $g \propto \rho R$.
ગ્રહ $(1)$ અને પૃથ્વી $(2)$ માટે આપેલ છે:
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$
ઘનતાનો ગુણોત્તર: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{1}$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ: $g_2 = 9.8 \,ms^{-2}$.
પ્રમાણસરતા $g_1 / g_2 = (\rho_1 / \rho_2) \times (R_1 / R_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2$.
તેથી, $g_1 = 2 \times g_2 = 2 \times 9.8 \,ms^{-2} = 19.6 \,ms^{-2}$.

(D) પૃથ્વીનું આંતરિક બંધારણ એવા સ્તરોનું બનેલું છે કે જેમાં કેન્દ્ર તરફ જતાં ઘનતા અને દબાણ વધતું જાય છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રમાં (આંતરિક ગર્ભમાં), ઉપરના સ્તરો દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણીય દબાણને કારણે દબાણ સૌથી વધુ હોય છે.
તીવ્ર દબાણ અને કિરણોત્સર્ગી ક્ષય તેમજ ગ્રહના નિર્માણની બાકી રહેલી ગરમીને કારણે, તાપમાન પણ કેન્દ્રમાં સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી, પૃથ્વીનું કેન્દ્ર તાપમાન, ઘનતા અને દબાણ માટે સૌથી વધુ મૂલ્યો દર્શાવે છે.

(B) પદાર્થનું દળ એ તેમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો છે અને તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
બ્રહ્માંડમાં પદાર્થનું સ્થાન ગમે તે હોય, પછી તે પૃથ્વીની સપાટી પર હોય, સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ હોય કે સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ હોય, દળ હંમેશા અચળ રહે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માં ફેરફાર થવાને કારણે પદાર્થનું વજન બદલાય છે, પરંતુ પદાર્થનું દળ બદલાતું નથી.
તેથી, દળમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને તે અચળ રહે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
આપેલ છે કે $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ સપાટી પરના મૂલ્યના $1 \%$ છે, તેથી $g' = \frac{1}{100} g$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{100} = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
$\frac{1}{100} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{10} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-1}$
$1 + \frac{h}{R} = 10$
$\frac{h}{R} = 9$
$h = 9 R$.
તેથી, ઊંચાઈ $9 R$ છે.

(B) ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $d = 16 \text{ km}$ ઊંડાઈથી $h = 16 \text{ km}$ ઊંચાઈ પર જઈ રહ્યા છીએ.
$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g = g_h - g_d = g(1 - \frac{2h}{R}) - g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta g = g(1 - \frac{2 \times 16}{6400}) - g(1 - \frac{16}{6400}) = g(1 - \frac{32}{6400} - 1 + \frac{16}{6400}) = g(-\frac{16}{6400}) = -\frac{g}{400}$.
ટકાવારી ફેરફાર $\alpha = |\frac{\Delta g}{g}| \times 100 = |-\frac{1}{400}| \times 100 = 0.25 \%$ થાય.
આમ, $\alpha$ નું મૂલ્ય $0.25$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
આપેલ છે કે $g' = g/9$, તેથી આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$R + h = 3R$.
તેથી, $h = 3R - R = 2R$.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પૃથ્વીની સપાટી પર મહત્તમ હોય છે અને ઊંચાઈ $(h)$ તથા ઊંડાઈ $(d)$ બંને સાથે ઘટે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે. $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ (જ્યારે $h \ll R$) દ્વારા અને $d$ ઊંડાઈએ $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $h = d$ હોય, તો $g_h = g(1 - 2h/R)$ અને $g_d = g(1 - h/R)$ થાય.
સ્પષ્ટપણે, $h = d$ માટે $g_h \neq g_d$ થાય (જ્યાં $h, d > 0$).
તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = g - \omega^2 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પર વજન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $(3/5)$ ગણું થાય છે, તેથી $g' = (3/5)g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(3/5)g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = (2g)/(5R)$.
તેથી, $\omega = \sqrt{(2g)/(5R)}$ અથવા $(2g/5R)^{1/2}$.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે, $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન તેના વર્તમાન વજનના $3/5$ ગણું થાય છે, તેથી $g' = (3/5)g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(3/5)g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = 2g / (5R)$, જે આપણને $\omega = \sqrt{2g/5R}$ આપે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$, જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = 2R$ ઊંચાઈ પર, ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ એ $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$h = 2R$ મૂકતા, આપણને $g_h = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{g}{9}$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h$ પર આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g_h} = 2\pi \sqrt{l/(g/9)} = 2\pi \sqrt{9l/g} = 3 \times 2\pi \sqrt{l/g} = 3T_1$ થાય છે.
તેથી, ગુણોત્તર $T_1 : T_2 = T_1 : 3T_1 = 1:3$ થાય.

(A) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \text{ s}$ છે.
લોલકની લંબાઈનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ છે, જેનો અર્થ થાય છે $l = g(T/2\pi)^2$.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $l_s = g(T/2\pi)^2$.
'$h$' ઊંચાઈ પર, $l_h = g_h(T/2\pi)^2$, જ્યાં $g_h$ એ '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ગુણોત્તર લેતા, $l_h/l_s = g_h/g = (R/(R+h))^2$, જ્યાં '$R$' એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, $\sqrt{l_h/l_s} = R/(R+h)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $(R+h)\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$.
$R\sqrt{l_h} + h\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$.
$h\sqrt{l_h} = R(\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h})$.
તેથી, $R = \frac{h\sqrt{l_h}}{\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h}}$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g(1 - 2h/R)$ છે, જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી '$d$' ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g(1 - d/R)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $d = 90 \text{ km}$ ઊંડાઈએ $g_h = g_d$ છે.
તેથી, $g(1 - 2h/R) = g(1 - d/R)$.
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$1 - 2h/R = 1 - d/R$
$-2h/R = -d/R$
$2h = d$
$h = d/2$
અહીં $d = 90 \text{ km}$ આપેલ હોવાથી:
$h = 90 / 2 = 45 \text{ km}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે, તેથી $h$ ઊંચાઈએ વજન $W_h = mg_h = mg(1 - 2h/R)$ થાય.
વજનમાં થતો ઘટાડો $\Delta W = W - W_h = mg - mg(1 - 2h/R) = mg(2h/R)$ છે.
વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $(\Delta W / W) \times 100 = (2h/R) \times 100$ છે.
અહીં $h = 48 \text{ km}$ અને $R = 6400 \text{ km}$ આપેલ છે.
ટકાવારી ઘટાડો $= (2 \times 48 / 6400) \times 100 = (96 / 6400) \times 100 = 96 / 64 = 1.5\%$.

(A) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ અને $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ છે.
બંને કિસ્સામાં ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા ઓછો હોવાથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વિકલ્પ $B$ માટે, $g_h = g_d$ થવા માટે $2h = d$ હોવું જરૂરી છે, તેથી $h=d$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે, આંશિક ફેરફાર $\Delta g/g = 2h/R = 2(640)/6400 = 0.2 = 20\%$ થાય, તેથી $10\%$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $D$ માટે, પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગમાં કોઈ ઘટાડો થતો નથી કારણ કે ત્યાં કેન્દ્રત્યાગી બળ શૂન્ય હોય છે ($r=0$ હોવાથી). તેથી વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી, આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
તેથી, $g_p$ અને $g_e$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \frac{\rho_p}{\rho_e}$.
અહીં $\frac{R_p}{R_e} = 2.5$ અને $\frac{\rho_p}{\rho_e} = 3$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{g_p}{g_e} = 2.5 \times 3 = 7.5$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર, $g = \frac{GM}{R^2}$, તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{LR^2}{GM}}$.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર, ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$h = R$ મૂકતા, $g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2T$.
$T' = 2T$ ને $T' = xT$ સાથે સરખાવતા, $x = 2$ મળે છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કારણ કે $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$, આપણે લખી શકીએ $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
પૃથ્વી માટે, $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
નવા ગ્રહ માટે, $g' = \frac{4}{3} \pi G \rho (2R) = 2 \times (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 2g$।
તેથી, $g' = 2g$।