Torque and Couple Questions in Gujarati

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ અને $\vec{F} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 4\hat{k}$ આપેલ છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 7 & 4 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 \times 4 - 1 \times 7) - \hat{j}(2 \times 4 - 1 \times 3) + \hat{k}(2 \times 7 - 2 \times 3)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(8 - 7) - \hat{j}(8 - 3) + \hat{k}(14 - 6)$
$\vec{\tau} = 1\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}$.

(C) પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 10\,cm = 0.1\,m$ છે.
$1$. $S$ બિંદુ પર $12\,N$ બળને કારણે ટોર્ક: આ બળ સ્પર્શક છે,તેથી $\tau_1 = F_1 \times r = 12 \times 0.1 = 1.2\,Nm$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં).
$2$. $P$ બિંદુ પર $5\,N$ બળને કારણે ટોર્ક: $C$ થી બળની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર $r \sin(30^\circ) = 0.1 \times 0.5 = 0.05\,m$ છે. તેથી,$\tau_2 = 5 \times 0.05 = 0.25\,Nm$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં).
$3$. $Q$ બિંદુ પર $8\,N$ બળને કારણે ટોર્ક: બળની કાર્યરેખા કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\tau_3 = 0$.
$4$. $R$ બિંદુ પર $4\,N$ બળને કારણે ટોર્ક: આ બળ સ્પર્શક છે,તેથી $\tau_4 = F_4 \times r = 4 \times 0.1 = 0.4\,Nm$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
કુલ ટોર્ક $\tau_{net} = \tau_1 + \tau_2 - \tau_4 = 1.2 + 0.25 - 0.4 = 1.05\,Nm$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં).

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં લંબ બળ $\vec{N}$ ના કાર્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ છે.
જો લંબ બળ સીધું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય,તો ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
જો કે,ઘણી ભૌતિક પરિસ્થિતિઓમાં,જેમ કે ઢળતા પાટિયા પર રહેલો બ્લોક અથવા પદાર્થનું પલટી ખાવું (toppling),લંબ બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂરના બિંદુ પર લાગે છે.
આવા કિસ્સાઓમાં,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ શૂન્યતર હોય છે અને તે લંબ બળ $\vec{N}$ ને સમાંતર હોતો નથી,જેના પરિણામે ટોર્ક શૂન્યતર મળે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં લંબ પ્રતિક્રિયાને કારણે લાગતું ટોર્ક બળના કાર્યબિંદુના આધારે શૂન્યતર હોઈ શકે છે.

(B) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે બળની મોમેન્ટ $\tau = \pm F \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $d$ એ ધરીથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર છે। પ્રણાલી મુજબ, વિષમઘડી મોમેન્ટ ધન $(+)$ અને સમઘડી મોમેન્ટ ઋણ $(-)$ લેવામાં આવે છે.
$(i)$ બળ $F$ માટે: બળ $F$ એ $A$ થી $2a$ અંતરે નીચેની તરફ લાગે છે. આ સમઘડી મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
મોમેન્ટ $= -F \cdot (2a) = -2Fa$.
$(ii)$ બળ $2F$ માટે: બળ $2F$ એ $A$ થી $a$ અંતરે ઉપરની તરફ લાગે છે. આ વિષમઘડી મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
મોમેન્ટ $= +(2F) \cdot a = +2Fa$.
$(iii)$ બળ $3F$ માટે: બળ $3F$ એ $B$ બિંદુ પર ($A$ થી $4a$ અંતરે) સળિયા સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે. $A$ થી લંબ અંતર $d = 4a \sin 30^{\circ} = 4a \cdot (1/2) = 2a$ છે. આ બળ વિષમઘડી મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
મોમેન્ટ $= +(3F) \cdot (2a) = +6Fa$.
આમ, મોમેન્ટ $-2Fa, +2Fa, +6Fa$ છે.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = 7\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{F} = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર ગણીએ:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j}(7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k}(7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(15 - 1) - \hat{j}(35 + 3) + \hat{k}(7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14\hat{i} - 38\hat{j} + 16\hat{k}$

(B) પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 20\, cm = 0.2\, m$ છે.
ટોર્ક $\tau = r \cdot F \cdot \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. $A$ પર $4\, N$ ના બળ માટે: બળ સ્પર્શક છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$. તે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે: $\tau_A = 0.2 \times 4 \times \sin 90^{\circ} = 0.8\, N-m$ (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં).
$2$. $B$ પર $8\, N$ ના બળ માટે: ત્રિજ્યા રેખા અને બળ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે: $\tau_B = 0.2 \times 8 \times \sin 30^{\circ} = 1.6 \times 0.5 = 0.8\, N-m$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
$3$. $C$ પર $6\, N$ ના બળ માટે: બળ કેન્દ્ર તરફ છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$. $\tau_C = 0.2 \times 6 \times \sin 0^{\circ} = 0\, N-m$.
$4$. $D$ પર $9\, N$ ના બળ માટે: બળ સ્પર્શક છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$. તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે: $\tau_D = 0.2 \times 9 \times \sin 90^{\circ} = 1.8\, N-m$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
પરિણામી ટોર્ક $\tau_{net} = \tau_A - \tau_B - \tau_D = 0.8 - 0.8 - 1.8 = -1.8\, N-m$.
ઋણ નિશાની ઘડિયાળના કાંટાની દિશા સૂચવે છે. આમ,પરિણામી ટોર્ક $1.8\, N-m$ (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) છે.

(C) ટોર્ક $\vec \tau$ એ સ્થાન સદિશ $\vec r$ અને બળ સદિશ $\vec F$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\vec \tau = \vec r \times \vec F$
અહીં $\vec r = 3\hat i + 2\hat j + 3\hat k$ અને $\vec F = 2\hat i - 3\hat j + 4\hat k$ આપેલ છે,તેથી નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\vec \tau = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec \tau = \hat i(2 \times 4 - 3 \times (-3)) - \hat j(3 \times 4 - 3 \times 2) + \hat k(3 \times (-3) - 2 \times 2)$
$\vec \tau = \hat i(8 + 9) - \hat j(12 - 6) + \hat k(-9 - 4)$
$\vec \tau = 17\hat i - 6\hat j - 13\hat k$

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
અહીં $\vec{r} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{F} = 7 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{vmatrix}$
$\vec{\tau} = \hat{i}((-1)(-5) - (1)(3)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(7)) + \hat{k}((1)(3) - (-1)(7))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(5 - 3) - \hat{j}(-5 - 7) + \hat{k}(3 + 7)$
$\vec{\tau} = 2 \hat{i} + 12 \hat{j} + 10 \hat{k}$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક દ્રઢ પદાર્થ પર લાગતું બળયુગ્મ ધ્યાનમાં લો. બળો $F$ અને $-F$ અનુક્રમે બિંદુઓ $B$ અને $A$ પર લાગે છે. ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં આ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $r_1$ અને $r_2$ છે.
ચાલો ઉગમબિંદુ $O$ ની આસપાસ બળોની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરીએ.
બળયુગ્મની ચાકમાત્રા એ બળયુગ્મ બનાવતા બે બળોની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$\text{ચાકમાત્રા} = r_1 \times (-F) + r_2 \times F$
$= r_2 \times F - r_1 \times F$
$= (r_2 - r_1) \times F$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$r_1 + AB = r_2$,જેનો અર્થ છે કે $AB = r_2 - r_1$.
આ કિંમતને ચાકમાત્રાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{ચાકમાત્રા} = AB \times F$
અહીં $AB$ એ બે બળો વચ્ચેનું અંતર દર્શાવતો સદિશ છે,તેથી બળયુગ્મની ચાકમાત્રા માત્ર બળો અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે,તે ઉગમબિંદુ $O$ પર આધારિત નથી. આમ,બળયુગ્મની ચાકમાત્રા તે બિંદુથી સ્વતંત્ર છે જેની આસપાસ ચાકમાત્રા લેવામાં આવે છે.

(N/A) ચાકગતિમાં ટોર્કનું કાર્ય એ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં બળના કાર્ય જેવું જ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતા કણ $P$ પર બળ $\vec{F}$ લાગે છે. $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\therefore \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
ટોર્કનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$\tau = r F \sin \theta$
જ્યાં $|\vec{r}| = r$ અને $|\vec{F}| = F$ છે.
$\tau = r F \sin \theta$ હોવાથી,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tau = (r \sin \theta) F = r_{\perp} F$
જ્યાં $r_{\perp} = r \sin \theta$ એ ઉગમબિંદુથી બળની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર છે.
વૈકલ્પિક રીતે:
$\tau = r (F \sin \theta) = r F_{\perp}$
જ્યાં $F_{\perp} = F \sin \theta$ એ સ્થાન સદિશને લંબ બળનો ઘટક છે.
આમ,ટોર્ક એ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બળની ચાકમાત્રા છે.

(N/A) બળયુગ્મ એટલે કે કપલ એ પદાર્થ પર લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી છે,જેની કાર્યરેખાઓ અલગ-અલગ હોય છે. બળયુગ્મ પદાર્થમાં સ્થાનાંતર વગર ભ્રમણ ઉત્પન્ન કરે છે.
ઉદાહરણ $1$:
આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,જ્યારે આપણે બોટલનું ઢાંકણું ફેરવીને ખોલીએ છીએ,ત્યારે આપણી આંગળીઓ ઢાંકણા પર બળયુગ્મ લગાડે છે. ઢાંકણું સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં (પરિણામી બળ શૂન્ય) હોય છે પરંતુ ભ્રમણીય સંતુલનમાં હોતું નથી.
ઉદાહરણ $2$:
આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોકાયંત્રની સોયના ધ્રુવો પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળો લગાડે છે. ઉત્તર ધ્રુવ પર લાગતું બળ ઉત્તર દિશા તરફ અને દક્ષિણ ધ્રુવ પર લાગતું બળ દક્ષિણ દિશા તરફ હોય છે.
જ્યારે સોય ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ન હોય,ત્યારે આ બંને બળોની કાર્યરેખાઓ અલગ-અલગ હોય છે. તેથી,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે સોય પર બળયુગ્મ લાગે છે,જેના લીધે તે સ્થાનાંતરિત ગતિ વગર ભ્રમણીય ગતિ કરે છે.

(B) બળયુગ્મ (couple) એટલે કે દ્રઢ પદાર્થ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી.
પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી $(F_{net} = F - F = 0)$,તેમાં સ્થાનાંતરીય ગતિ થતી નથી.
જોકે,આ બે બળો કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ચોખ્ખું ટોર્ક (torque) ઉત્પન્ન કરે છે,જે પદાર્થને ફેરવે છે.
તેથી,બળયુગ્મ શુદ્ધ ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિમાં જડત્વની ચાકમાત્રા અને ટોર્કની ભૂમિકા એ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં દળ અને બળની ભૂમિકા જેવી જ છે.
દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિમાં,માત્ર ભ્રમણાક્ષને સમાંતર ટોર્કના ઘટકો જ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ,કારણ કે આ ઘટકો પદાર્થને અક્ષની સાપેક્ષે ફેરવવા માટે જવાબદાર છે.
ભ્રમણાક્ષને લંબ ટોર્કના ઘટકો અક્ષને તેની સ્થિતિમાંથી ફેરવવાનો પ્રયત્ન કરે છે. આ લંબ ઘટકોની અસરને નાબૂદ કરવા માટે,આધાર દ્વારા જરૂરી પ્રતિક્રિયા ટોર્ક ઉત્પન્ન થાય છે,જેથી અક્ષ સ્થિર રહે છે. તેથી,ટોર્કના લંબ ઘટકોને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ નહીં.
ટૂંકમાં,ટોર્કની ગણતરી માટે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં રાખવી જોઈએ:
$(1)$ આપણે ફક્ત તે જ બળોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે અક્ષને લંબ સમતલમાં હોય છે.
$(2)$ આપણે ફક્ત સ્થાન સદિશના તે જ ઘટકોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે અક્ષને લંબ હોય છે.

(B) કોઈ પદાર્થને સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ કરવા માટે, તેના પર ટોર્ક $(\tau)$ લાગવું આવશ્યક છે.
ટોર્કને $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{r}$ એ ભ્રમણ અક્ષથી બળ લાગવાના બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે અને $\vec{F}$ એ લાગતું બળ છે.
જો બળની કાર્યરેખા ભ્રમણ અક્ષમાંથી પસાર થાય, તો લંબ અંતર (લીવર આર્મ) શૂન્ય થાય છે, જેના પરિણામે ટોર્ક શૂન્ય મળે છે.
તેથી, ભ્રમણ ગતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે, બળની કાર્યરેખા એવી હોવી જોઈએ કે જે ભ્રમણ અક્ષને છેદે નહીં, જેથી શૂન્ય ન હોય તેવું ટોર્ક લાગી શકે.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કોઈ ચોક્કસ અક્ષની આસપાસ ટોર્કની ગણતરી કરવામાં આવે છે,ત્યારે આપણે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ના તે ઘટકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે પરિભ્રમણની અક્ષને લંબ હોય છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નો કોઈપણ ઘટક જે પરિભ્રમણની અક્ષ પર હોય છે તે અક્ષને સમાંતર હોય છે.
કોઈપણ સદિશનો અક્ષને સમાંતર સદિશ સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ એવો ઘટક આપે છે જે અક્ષને લંબ હોય છે,તેથી $\vec{r}$ ના સમાંતર ઘટકો તે અક્ષ પરના ટોર્ક ઘટકમાં ફાળો આપતા નથી.
તેથી,આપેલ અક્ષની આસપાસ ટોર્ક નક્કી કરવા માટે માત્ર સ્થાન સદિશના લંબ ઘટકો જ મહત્વપૂર્ણ છે.

(C) રેખીય ગતિમાં,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ મુજબ,પદાર્થની ગતિની અવસ્થા બદલવા માટે બળ $(F)$ જવાબદાર છે.
ચાકગતિમાં,બળને સમાન ભાગ ભજવતી ભૌતિક રાશિ ટોર્ક $(\tau)$ છે.
ટોર્ક એ બળનું ચાકગતિનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે અને તે પદાર્થની કોણીય ગતિની અવસ્થા બદલવા માટે જવાબદાર છે,જે સંબંધ $\tau = I\alpha$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ ની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો આપણે જમણા હાથના સ્ક્રૂને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની દિશામાંથી બળ સદિશ $\vec{F}$ ની દિશામાં નાના ખૂણે ફેરવીએ,તો સ્ક્રૂ જે દિશામાં આગળ વધે છે તે દિશા ટોર્ક સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તે $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.

(C) દઢ પદાર્થની $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ માટે ટોર્કનો માત્ર $Z$-ઘટક જ જવાબદાર હોય છે.
ટોર્ક સદિશ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોર્કનો $Z$-ઘટક $\tau_{z} = (x F_{y} - y F_{x})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ માટે જવાબદાર ઘટક $\tau_{z}$ છે.

(N/A) બળયુગ્મની ચાકમાત્રા એટલે બેમાંથી એક બળનું મૂલ્ય અને બે બળોની કાર્યરેખાઓ વચ્ચેના લંબઅંતરનો ગુણાકાર.
સૂત્ર: $\tau = F \times d$
જ્યાં:
$\tau$ એ બળયુગ્મની ચાકમાત્રા છે,
$F$ એ બેમાંથી એક બળનું મૂલ્ય છે,
$d$ એ બે બળો વચ્ચેનું લંબઅંતર છે.

(B) ટોર્કને બળના ચાકગતિના સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે કોઈ અક્ષની આસપાસ પદાર્થની ચાકગતિની સ્થિતિ બદલવામાં બળની અસરકારકતાનું માપ દર્શાવે છે. ગાણિતિક રીતે,તે સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશનો સદિશ ગુણાકાર છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,તે બળની પરિભ્રમણીય અસર (ચાકમાત્રા) દર્શાવે છે.

(B) ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = \vec{r} \times \vec{F}$ છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ સ્થાન સદિશ (હાથાની લંબાઈ) છે અને $\vec{F}$ એ લાગુ પાડેલું બળ છે.
હાથાની લંબાઈ વધારવાથી સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું મૂલ્ય વધે છે.
જેમ કે $\tau \propto r$,તેથી હાથાની લંબાઈ વધારવાથી સ્ક્રૂ પર લાગતું ટોર્ક વધે છે.
આનાથી ઓછા પ્રયત્ને સ્ક્રૂને ફેરવવાનું સરળ બને છે.

(B) ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = \vec{r} \times \vec{F}$ છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ પરિભ્રમણની અક્ષ (મીજાગરા) થી બળ $\vec{F}$ લગાડવાના બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે.
હેન્ડલને મીજાગરાની વિરુદ્ધ બાજુએ લગાડવાથી અંતર $r$ મહત્તમ થાય છે.
જેથી $\tau = rF \sin \theta$ મુજબ,$r$ વધવાથી સમાન બળ માટે ટોર્કનું મૂલ્ય વધે છે.
આનાથી ઓછા બળના ઉપયોગથી બારી કે બારણાને સરળતાથી ખોલી કે બંધ કરી શકાય છે.

(B) ના,તે કોઈપણ મનસ્વી બિંદુની સાપેક્ષે શૂન્ય હોય તે જરૂરી નથી.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau}_P = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_P) \times \vec{F}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે બિંદુને $P'$ પર ખસેડીએ,તો નવું ટોર્ક $\vec{\tau}_{P'} = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_{P'}) \times \vec{F}_i = \sum (\vec{r}_i - \vec{r}_P + \vec{r}_P - \vec{r}_{P'}) \times \vec{F}_i$ થશે.
આનું સાદું રૂપ $\vec{\tau}_{P'} = \vec{\tau}_P + (\vec{r}_P - \vec{r}_{P'}) \times \sum \vec{F}_i$ મળે છે.
અહીં કુલ બળ $\sum \vec{F}_i \neq 0$ હોવાથી,ટોર્ક $\vec{\tau}_{P'}$ ત્યારે જ શૂન્ય થશે જો સદિશ $(\vec{r}_P - \vec{r}_{P'})$ એ કુલ બળના સદિશ $\sum \vec{F}_i$ ને સમાંતર હોય.

(N/A) ના,દરવાજાનું વજન પરિભ્રમણની ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ કોઈ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરતું નથી.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં,પરિભ્રમણની ઉર્ધ્વ અક્ષ એ $Y$-અક્ષ છે. દરવાજાનું વજન $W$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ઋણ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે (એટલે કે,$\vec{F} = -W \hat{j}$).
દરવાજા પરના કોઈપણ બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ $XY$ સમતલમાં આવેલો છે. કારણ કે બળ સદિશ $\vec{F}$ એ પરિભ્રમણની અક્ષ ($Y$-અક્ષ) ને સમાંતર છે,તેથી વજનની કાર્યરેખા પરિભ્રમણની અક્ષમાંથી પસાર થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,પરિભ્રમણની અક્ષથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર શૂન્ય છે. તેથી,ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.

(B) બિંદુ $\vec{r}_2$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,પરિભ્રમણ બિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશની ગણતરી કરો:
$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(3) - (-2)(2)) - \hat{j}(3(3) - (-2)(1)) + \hat{k}(3(2) - 1(1))$
$= \hat{i}(3 + 4) - \hat{j}(9 + 2) + \hat{k}(6 - 1) = 7\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{7^2 + (-11)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 121 + 25} = \sqrt{195}$.
આને $\sqrt{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 195$ મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $\vec{F} = 3 \hat{j} \text{ N}$ અને $\vec{r} = 2 \hat{k} \text{ m}$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (2 \hat{k}) \times (3 \hat{j})$.
એકમ સદિશોના સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
તેથી,$\vec{\tau} = 6 (\hat{k} \times \hat{j}) = 6(-\hat{i}) = -6 \hat{i} \text{ Nm}$.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(5, 5 \sqrt{3})$ cm છે. બિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0)$ અને બિંદુ $Q$ ના યામ $(10, 0)$ છે.
આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$.
$O$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_1 = 5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$O$ ની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}_O = \overrightarrow{r}_1 \times \overrightarrow{F} = (5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (-15 \hat{k} - 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (-15 - 20 \sqrt{3}) \hat{k}$.
$Q$ ની સાપેક્ષે $P$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_2 = (5-10) \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j} = -5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$Q$ ની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}_Q = \overrightarrow{r}_2 \times \overrightarrow{F} = (-5 \hat{i} + 5 \sqrt{3} \hat{j}) \times (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = (15 \hat{k} + 20 \sqrt{3} \hat{k}) = (15 + 20 \sqrt{3}) \hat{k}$.
આમ,મૂલ્યો $(-15 - 20 \sqrt{3})$ અને $(15 + 20 \sqrt{3})$ છે.

(B) સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ પરિભ્રમણ બિંદુ $(2, 3, 4)$ થી બળ લગાડવાના બિંદુ સુધીનો સદિશ છે.
$x = 2$ સમતલ અને $x$-અક્ષનું છેદબિંદુ $(2, 0, 0)$ છે.
તેથી,$\vec{r} = (2 - 2)\hat{i} + (0 - 3)\hat{j} + (0 - 4)\hat{k} = -3\hat{j} - 4\hat{k}$.
બળ $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -4 \\ 4 & 3 & 4 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(-12 - (-12)) - \hat{j}(0 - (-16)) + \hat{k}(0 - (-12))$.
$\vec{\tau} = 0\hat{i} - 16\hat{j} + 12\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{0^2 + (-16)^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ થાય છે.

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(1)(-2) - (2)(4)] - \hat{j} [(2)(-2) - (2)(3)] + \hat{k} [(2)(4) - (1)(3)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-2 - 8] - \hat{j} [-4 - 6] + \hat{k} [8 - 3]$
$\vec{\tau} = -10 \hat{i} + 10 \hat{j} + 5 \hat{k}$

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
સદિશ ગુણાકાર માટે નિશ્ચાયક (determinant) પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -7 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} [(2)(-7) - (1)(3)] - \hat{j} [(2)(-7) - (1)(5)] + \hat{k} [(2)(3) - (2)(5)]$
$\vec{\tau} = \hat{i} [-14 - 3] - \hat{j} [-14 - 5] + \hat{k} [6 - 10]$
$\vec{\tau} = -17 \hat{i} + 19 \hat{j} - 4 \hat{k}$

(B) પરિણામી ટોર્ક $\tau_{\text{net}}$ એ કેન્દ્રિય ધરીની આસપાસ દરેક બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કનો સરવાળો છે.
$1$. બહારની રીમ પર $45^{\circ}$ ના ખૂણે લાગતા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક: આ બળનો સ્પર્શકીય ઘટક $F \cos(45^{\circ})$ છે. ટોર્ક $\tau_1 = R \cdot F \cos(45^{\circ}) = R \cdot F \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 RF$ છે.
$2$. અંદરની ધરી પર લાગતા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક: આ બળ $R/2$ ત્રિજ્યા પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે. ટોર્ક $\tau_2 = \frac{R}{2} \cdot F = 0.5 RF$ છે.
$3$. બહારની રીમ પર લાગતા બળ $2F$ ને કારણે ટોર્ક: આ બળ $R$ ત્રિજ્યા પર સ્પર્શકની દિશામાં લાગે છે. ટોર્ક $\tau_3 = R \cdot 2F = 2 RF$ છે.
આ તમામ ટોર્ક એક જ પરિભ્રમણની દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગે છે. તેથી,પરિણામી ટોર્ક:
$\tau_{\text{net}} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = 0.707 RF + 0.5 RF + 2 RF = 3.207 RF$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,પરિણામી ટોર્કનું મૂલ્ય આશરે $3.2 FR$ છે.

(C) ટોર્ક (બળની ચાકમાત્રા) એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
અહીં,બળ સદિશ $\vec{F} = 20 \hat{i} \, N$ છે.
બિંદુ $(0, 2, 0)$ ની સાપેક્ષે બળ લાગવાના બિંદુ $(3, 0, 0)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (3 - 0) \hat{i} + (0 - 2) \hat{j} + (0 - 0) \hat{k} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \, m$ થાય.
હવે,સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{\tau} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \times (20 \hat{i})$
$\vec{\tau} = 3 \hat{i} \times 20 \hat{i} - 2 \hat{j} \times 20 \hat{i}$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ હોવાથી:
$\vec{\tau} = 0 - 40 (-\hat{k}) = 40 \hat{k} \, N \cdot m$.
આમ,ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = 40 \, N \cdot m$ મળે છે.

(D) બળ લાગવાના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$,જે બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક શોધવાનું છે તેના સંદર્ભમાં $\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{r} = (2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 7 \hat{k}) - (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} \, m$.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ ની વ્યાખ્યા $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -5 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા: $\vec{\tau} = \hat{i} [ (2)(-5) - (4)(3) ] - \hat{j} [ (1)(-5) - (4)(2) ] + \hat{k} [ (1)(3) - (2)(2) ]$.
$\vec{\tau} = \hat{i} [ -10 - 12 ] - \hat{j} [ -5 - 8 ] + \hat{k} [ 3 - 4 ]$.
$\vec{\tau} = -22 \hat{i} + 13 \hat{j} - \hat{k} \, N m$.

(C) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ નું સૂત્ર $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે.
અહીં,બળ $\vec{F} = -P \hat{k}$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર લાગે છે.
બિંદુ $(2, -3)$ ની સાપેક્ષે ઉગમબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = (0 - 2)\hat{i} + (0 - (-3))\hat{j} = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
હવે,સદિશ ગુણાકાર ગણતા:
$\vec{\tau} = (-2\hat{i} + 3\hat{j}) \times (-P\hat{k})$
$\vec{\tau} = -P [(-2)(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{j} \times \hat{k})]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,તેથી:
$\vec{\tau} = -P [(-2)(-\hat{j}) + 3(\hat{i})]$
$\vec{\tau} = -P [2\hat{j} + 3\hat{i}] = P(-3\hat{i} - 2\hat{j})$.
આને $P(a\hat{i} + b\hat{j})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -3$ અને $b = -2$ મળે છે.
ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,તેથી $\frac{3}{2} = \frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 1) - \hat{j}(1 \times 2 - 1 \times 2) + \hat{k}(1 \times 1 - 1 \times 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 - 2)$
$\vec{\tau} = \hat{i} - 0\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} - \hat{k}$.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ m$ અને $\vec{F} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 1\hat{k}) \ N$.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$\vec{\tau} = \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2)$
$\vec{\tau} = 2\hat{i} - 2\hat{k} \ N \cdot m$
$z$-દિશામાં ટોર્ક એ $\hat{k}$ એકમ સદિશ સાથે જોડાયેલ ઘટક છે,જે $-2 \ N \cdot m$ છે.
આ ઘટકનું મૂલ્ય $|-2| = 2 \ N \cdot m$ થાય.

(A) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે.
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i} (3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j} (7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k} (7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i} (15 - 1) - \hat{j} (35 + 3) + \hat{k} (7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14 \hat{i} - 38 \hat{j} + 16 \hat{k}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક બાજુનું લંબ અંતર $r$ છે.
બળ $F$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક $\tau = F \cdot r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
આકૃતિમાં બળોની દિશાઓ જોતા,બળો $\overrightarrow{F}_{1}$ અને $\overrightarrow{F}_{2}$ બિંદુ $O$ ની આસપાસ સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યારે $\overrightarrow{F}_{3}$ વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
બિંદુ $O$ પર કુલ ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tau_{1} + \tau_{2} - \tau_{3} = 0$
$rF_{1} + rF_{2} - rF_{3} = 0$
$r$ વડે ભાગતા (કારણ કે $r \neq 0$):
$F_{1} + F_{2} - F_{3} = 0$
$F_{3} = F_{1} + F_{2}$

(C) બળયુગ્મ (couple) એટલે એકબીજાથી અમુક અંતરે કાર્ય કરતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના બળોની જોડી.
બંને બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો (પરિણામી બળ) શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ રેખીય (સ્થાનાંતરીય) પ્રવેગ ઉત્પન્ન થતો નથી.
જોકે,આ બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કાર્ય કરતા હોવાથી,તેઓ કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે પદાર્થ ભ્રમણ કરે છે.
તેથી,બળયુગ્મ માત્ર ભ્રમણીય ગતિ ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
અહીં $\vec{r} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ અને $\vec{F} = (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$ આપેલ છે:
$\vec{\tau} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (5 \hat{i} - 10 \hat{j})$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = 4 \hat{i} \times (5 \hat{i}) - 4 \hat{i} \times (10 \hat{j}) - 3 \hat{j} \times (5 \hat{i}) + 3 \hat{j} \times (10 \hat{j})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$,તેમજ $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$:
$\vec{\tau} = 0 - 40(\hat{k}) - 15(-\hat{k}) + 0$
$\vec{\tau} = -40 \hat{k} + 15 \hat{k}$
$\vec{\tau} = -25 \hat{k} \text{ N m}$

(C) દરવાજાને ખોલવા કે બંધ કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ અચળ રહેશે.
ટોર્કની વ્યાખ્યા મુજબ, $\tau = r_1 \times F_1 = r_2 \times F_2$.
અહીં $r_1 = 1.2 \,m$, $F_1 = 1 \,N$, અને $r_2 = 0.2 \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1.2 \,m \times 1 \,N = 0.2 \,m \times F_2$.
તેથી, $F_2 = \frac{1.2}{0.2} \,N = 6 \,N$.

(A) બિંદુ $P$ એ $(1, -1)$ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_P = \hat{i} - \hat{j}$ છે.
બળ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર લાગતું હોવાથી,બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે બળ લાગવાના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{r}_O - \vec{r}_P = 0 - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + \hat{j}$ થશે.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક (બળની ચાકમાત્રા) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{\tau} = F[(\hat{i} \times \hat{k}) - (\hat{j} \times \hat{k})]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના સંબંધો $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = F[-\hat{j} - \hat{i}] = -F(\hat{i} + \hat{j})$.

(C) બળયુગ્મની ચાકમાત્રા એ કોઈ એક બળનું મૂલ્ય અને બે બળોની કાર્યરેખાઓ વચ્ચેના લંબ અંતરના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
ધારો કે સળિયા અને બળની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$l$ લંબાઈના સળિયાના છેડે લાગતા બે સમાંતર બળો $F$ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d = l \sin \theta$ છે.
બળયુગ્મની ચાકમાત્રા $\tau$ નીચે મુજબ મળે:
$\tau = F \times d = F \times l \sin 30^{\circ}$
આપેલ છે કે $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = F \times l \times \frac{1}{2}$
$\tau = \frac{F l}{2}$
$F$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$F = \frac{2 \tau}{l}$

(A) આપેલ છે: $\vec{F} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{r} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 2 & -5 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{\tau} = \hat{i}((-2)(-5) - (1)(2)) - \hat{j}((1)(-5) - (1)(5)) + \hat{k}((1)(2) - (-2)(5))$
$\vec{\tau} = \hat{i}(10 - 2) - \hat{j}(-5 - 5) + \hat{k}(2 + 10)$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} - (-10)\hat{j} + 12\hat{k}$
$\vec{\tau} = 8\hat{i} + 10\hat{j} + 12\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે,
$F_1 = A \hat{j}, r_1 = a \hat{i}$
$F_2 = B \hat{i}, r_2 = b \hat{j}$
બળની મોમેન્ટ (ટોર્ક) નું સૂત્ર $\tau = r \times F$ છે.
પ્રથમ બળ માટે:
$\tau_1 = r_1 \times F_1 = (a \hat{i}) \times (A \hat{j}) = a A (\hat{i} \times \hat{j}) = a A \hat{k}$
બીજા બળ માટે:
$\tau_2 = r_2 \times F_2 = (b \hat{j}) \times (B \hat{i}) = b B (\hat{j} \times \hat{i}) = b B (-\hat{k}) = -b B \hat{k}$
$O$ ની સાપેક્ષમાં કુલ મોમેન્ટ:
$\tau = \tau_1 + \tau_2 = a A \hat{k} - b B \hat{k} = (a A - b B) \hat{k}$

(C) ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે, એટલે કે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.
અહીં $\vec{r} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{F} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ આપેલ છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(-1 - (-2)) - \hat{j}(-1 - (-3)) + \hat{k}(2 - 3)$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(1) - \hat{j}(2) + \hat{k}(-1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \text{ N m}$ થાય.