Tangent and Normal Questions in Gujarati

(C) વક્રનું સમીકરણ $xy = 4$ છે, જેને $y = \frac{4}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^2}$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે, જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રનો સ્પર્શક હોવાથી, વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$-\frac{4}{x^2} = -\frac{a}{b} \implies \frac{a}{b} = \frac{4}{x^2}$.
બધા $x \neq 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી, $\frac{a}{b} > 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ બંને સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા, $a < 0$ અને $b < 0$ ની શરત $\frac{a}{b} > 0$ નું પાલન કરે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર વક્રો $y^2=x$ અને $x^2=y$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે:
$1$. વક્ર $y^2=x$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર, ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે, જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શક $y$-અક્ષ $(x=0)$ છે.
$2$. વક્ર $x^2=y$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x = \frac{dy}{dx}$ મળે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર, ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ છે, જેનો અર્થ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ $(y=0)$ છે.
$3$. $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે. તેથી, ઉગમબિંદુ પર બંને વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $9y^2 = x^3$ છે. $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા, $18y \frac{dy}{dx} = 3x^2$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{6y}$ મળે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{6y_1}{x_1^2}$ છે.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. વક્રને જોતા, સમાન અંતઃખંડ બનાવવા માટે અભિલંબનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ (એટલે કે $x + y = x_1 + y_1$).
$-\frac{6y_1}{x_1^2} = -1$ લેતા, આપણને $x_1^2 = 6y_1$ મળે છે.
$y_1 = \frac{x_1^2}{6}$ ને વક્રના સમીકરણ $9y_1^2 = x_1^3$ માં મૂકતા:
$9(\frac{x_1^2}{6})^2 = x_1^3 \implies 9(\frac{x_1^4}{36}) = x_1^3 \implies \frac{x_1^4}{4} = x_1^3$ મળે.
$x_1 \neq 0$ હોવાથી, $x_1 = 4$ મળે. ત્યારબાદ $y_1^2 = \frac{4^3}{9} = \frac{64}{9}$, તેથી $y_1 = \pm 8/3$ મળે.
ઢાળની શરત ચકાસતા: જો $x_1 = 4, y_1 = 8/3$ હોય, તો ઢાળ $m = -\frac{6(8/3)}{16} = -1$ થાય. તેથી, બિંદુ $(4, 8/3)$ છે.

(D) પગલું $1$: બિંદુ $(2, 3)$ એ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ પર હોવાથી, $3^2 = a(2)^3 + b$, જે $9 = 8a + b$ માં પરિણમે છે (સમીકરણ $1$).
પગલું $2$: વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
પગલું $3$: બિંદુ $(2, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{3a(2)^2}{2(3)} = \frac{12a}{6} = 2a$ છે. આપેલ રેખા $y = 4x - 5$ નો ઢાળ $4$ છે, તેથી $2a = 4$ લેતા $a = 2$ મળે છે.
પગલું $4$: $a = 2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $9 = 8(2) + b \implies 9 = 16 + b \implies b = -7$.
પગલું $5$: $7a - 2b = 7(2) - 2(-7) = 14 + 14 = 28$ ની ગણતરી કરો.

(D) આપેલ વક્ર $y = \sqrt{9 - 3x^2}$ છે. જે બિંદુએ ભુજ $(x)$ અને કોટિ $(y)$ સમાન હોય, ત્યાં $x = y$ થાય.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા: $x = \sqrt{9 - 3x^2} \implies x^2 = 9 - 3x^2 \implies 4x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{4} \implies x = \frac{3}{2}$ (કારણ કે $y$ ધન હોવું જોઈએ).
તેથી, સ્પર્શક બિંદુ $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
$y^2 = 9 - 3x^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -6x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{y}$.
$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ બિંદુએ, ઢાળ $m = -\frac{3(3/2)}{3/2} = -3$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - \frac{3}{2} = -3(x - \frac{3}{2})$ થાય.
$y - \frac{3}{2} = -3x + \frac{9}{2} \implies 3x + y - 6 = 0$.

(A) આપેલ વક્ર $x = a \sin^3 t$ અને $y = b \cos^3 t$ છે.
વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = -3b \cos^2 t \sin t$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3b \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\frac{b}{a} \cot t$ છે.
$t = \frac{\pi}{2}$ પર, $\frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a} \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx}$ થાય, જે અવ્યાખ્યાયિત (શિરોલંબ રેખા) છે.
જોકે, $t = \frac{\pi}{2}$ પર, બિંદુ $(x, y) = (a \sin^3(\frac{\pi}{2}), b \cos^3(\frac{\pi}{2})) = (a, 0)$ છે.
$(a, 0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા $x = a$ અથવા $x - a = 0$ છે.
$x - a = 0$ ની સરખામણી $x + By + C = 0$ સાથે કરતા, $B = 0$ અને $C = -a$ મળે.
તેથી, $B - C = 0 - (-a) = a$ થાય.

(A) $1$. વક્ર $y = \frac{1}{x}$ છે. કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શકની ઢાળ $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x_1^2} = -y_1^2$ છે.
$2$. $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબની ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{y_1^2} = x_1^2$ છે.
$3$. $(x_1, y_1)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = x_1^2(x - x_1)$ છે, જે $x_1^2 x - y + (y_1 - x_1^3) = 0$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
$4$. આની સરખામણી $ax + by + 5 = 0$ સાથે કરતા, આપણને $\frac{x_1^2}{a} = \frac{-1}{b} = \frac{y_1 - x_1^3}{5}$ મળે છે.
$5$. કારણ કે $x_1^2 > 0$ અને $a = -b x_1^2$, અભિલંબના અસ્તિત્વ માટે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ. તેથી $a > 0$ અને $b < 0$ એ સાચી શરત છે.

(C) પગલું $1$: બિંદુ $(1, -1)$ એ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ પર હોવાથી, $(-1)^2 = a(1)^3 + b$, જે $a + b = 1$ માં પરિણમે છે.
પગલું $2$: વક્રના સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2$ મળે.
પગલું $3$: બિંદુ $(1, -1)$ પર, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(-1)} = -\frac{3a}{2}$ છે.
પગલું $4$: રેખા $x + y = 0$ ને $y = -x$ તરીકે લખી શકાય, જેનો ઢાળ $-1$ છે.
પગલું $5$: ઢાળને સરખાવતા: $-\frac{3a}{2} = -1$, જેથી $a = 2/3$ મળે.
પગલું $6$: $a = 2/3$ ને $a + b = 1$ માં મૂકતા: $2/3 + b = 1$, તેથી $b = 1/3$ મળે.

(C) પગલું $1$: $x = 1$ આગળ $y$-યામ શોધો. $y = 3(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 3 - 3 + 1 = 1$। સ્પર્શ બિંદુ $(1, 1)$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરીને સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો. $\frac{dy}{dx} = 9x^2 - 6x + 1$।
પગલું $3$: $x = 1$ આગળ ઢાળ $m$ ની કિંમત શોધો. $m = 9(1)^2 - 6(1) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$।
પગલું $4$: સમીકરણ શોધવા માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરો. $y - 1 = 4(x - 1)$।
પગલું $5$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો. $y - 1 = 4x - 4 \implies 4x - y - 3 = 0$।

(D) જ્યારે સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \infty$ હોય ત્યારે તે શિરોલંબ હોય છે, જે $\frac{dx}{dy} = 0$ ને સમાન છે.
સમીકરણ $y^2 - xy + 9 = 0$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dy}(y^2) - \frac{d}{dy}(xy) + \frac{d}{dy}(9) = 0$
$2y - (x \cdot 1 + y \cdot \frac{dx}{dy}) = 0$
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે, $\frac{dx}{dy} = 0$ મૂકતા:
$2y - x = 0 \implies x = 2y$
$x = 2y$ ને મૂળ વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 - (2y)y + 9 = 0$
$y^2 - 2y^2 + 9 = 0$
$-y^2 + 9 = 0$
$y^2 = 9$
$y = \pm 3$.

(A) વક્ર $xy + 7 = 0$ આપેલ છે, તેથી $y = -\frac{7}{x}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{7}{x^2}$ મળે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ પર સ્પર્શકની ઢાળ $m_t = \frac{7}{x_0^2}$ છે.
અભિલંબની ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{x_0^2}{7}$ છે.
$(x_0, y_0)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_0 = -\frac{x_0^2}{7}(x - x_0)$ છે.
$7$ વડે ગુણતા, $7y - 7y_0 = -x_0^2 x + x_0^3$ મળે.
પદોને ગોઠવતા: $x_0^2 x + 7y - (7y_0 + x_0^3) = 0$ મળે.
આને $Ax + By + C = 0$ સાથે સરખાવતા, $A = x_0^2$ અને $B = 7$ મળે છે.
કોઈપણ $x_0 \neq 0$ માટે $x_0^2 > 0$ અને $7 > 0$ હોવાથી, $A$ અને $B$ બંને સમાન ચિહ્ન (ધન) ધરાવે છે.
તેથી, $A > 0$ અને $B > 0$ છે.

(C) $2y^3 = x^3 + ax^2$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $6y^2 \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2ax$ મળે.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ, ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{3a^2 + 2a^2}{6a^2} = \frac{5a^2}{6a^2} = \frac{5}{6}$ થાય.
$(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a = \frac{5}{6}(x - a)$ છે.
$6$ વડે ગુણતા, $6y - 6a = 5x - 5a$, જેનું સાદું રૂપ $5x - 6y = -a$ થાય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે, સમીકરણને $\frac{x}{-a/5} + \frac{y}{a/6} = 1$ સ્વરૂપમાં લખો.
આમ, અંતઃખંડ $\alpha = -a/5$ અને $\beta = a/6$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha^2 + \beta^2 = 61$, તેથી $\frac{a^2}{25} + \frac{a^2}{36} = 61$ થાય.
$\frac{36a^2 + 25a^2}{900} = 61 \implies \frac{61a^2}{900} = 61$ મળે.
$a^2 = 900 \implies a = \pm 30$ થાય.

(D) આપેલ રેખા $2x - 2y = 3$ છે, જેને $y = x - 1.5$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને સમાંતર હોવાથી, અભિલંબનો ઢાળ $m_n = 1$ થાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -1 / m_n = -1 / 1 = -1$ થશે.
વક્ર $y = x \log x$ માટે, વિકલન $\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ છે.
સ્પર્શકના ઢાળને વિકલન સાથે સરખાવતા: $\log x + 1 = -1$, જે આપણને $\log x = -2$ આપે છે.
આમ, $x = e^{-2}$ મળે.
$x = e^{-2}$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = e^{-2} \log(e^{-2}) = e^{-2} (-2) = -2e^{-2}$.
તેથી, માંગેલ બિંદુ $(e^{-2}, -2e^{-2})$ છે.