Tangent and Normal Questions in Gujarati

(D) આપેલ વક્ર $y^2(x-a)=x^2(x+a)$ છે.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx}(x-a) + y^2 = 2x(x+a) + x^2$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,$y^2 = 3x^2 + 2ax$ મળે.
$y^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{x^2(x+a)}{x-a} = 3x^2 + 2ax$.
$x=0$ માટે $y=0$ મળે છે. અન્ય ઉકેલ માટે $x$ વડે ભાગતા:
$x^2 - ax - a^2 = 0$.
આના ઉકેલ $x = \frac{a \pm a\sqrt{5}}{2}$ મળે.
$y^2 = 5ax + 3a^2$ માં કિંમત મૂકતા,માત્ર ધન કિંમત માટે વાસ્તવિક $y$ મળે છે,તેથી $2$ સ્પર્શકો મળે.

(A) સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y = 3x - 1$ છે,જેને $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આપેલ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
બિંદુ $(1, 1)$ આગળ,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(1)} = \frac{3a}{2}$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{3a}{2} = \frac{3}{2} \implies a = 1$.
બિંદુ $(1, 1)$ એ વક્ર $y^2 = ax^3 + b$ પર આવેલું હોવાથી,$x=1, y=1, a=1$ મૂકતા:
$1^2 = 1(1)^3 + b \implies 1 = 1 + b \implies b = 0$.
આમ,$(a, b) = (1, 0)$.

(B) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે. કારણ કે $(h, k)$ એ વક્ર $y = \sin x$ પર આવેલું છે,તેથી $k = \sin h$ મળે.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \cos x$ છે. $(h, k)$ આગળ ઢાળ $\cos h$ થાય.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - k = \cos h(x - h)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 - k = \cos h(0 - h) \Rightarrow -k = -h \cos h \Rightarrow k = h \cos h$.
$k = \sin h$ પરથી,$\cos h = \frac{k}{h}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin h = k$ અને $\cos h = \frac{k}{h}$ મૂકતા:
$k^2 + \left(\frac{k}{h}\right)^2 = 1
k^2 + \frac{k^2}{h^2} = 1
h^2 k^2 + k^2 = h^2
h^2 - k^2 = h^2 k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 - y^2 = x^2 y^2$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $3 y^2 = 4 x^3$ ...$(i)$ છે.
ધારો કે $P(h, k)$ વક્ર પરનું એક બિંદુ છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$6 y \frac{dy}{dx} = 12 x^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^2}{y}$.
બિંદુ $(h, k)$ પર,ઢાળ $m = \frac{2 h^2}{k}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $T = \left| \frac{k}{m} \right| = \left| \frac{k}{2 h^2 / k} \right| = \frac{k^2}{2 h^2}$.
કારણ કે $3 k^2 = 4 h^3$,તેથી $k^2 = \frac{4}{3} h^3$.
આ કિંમત $T$ માં મૂકતા,$T = \frac{4 h^3}{3(2 h^2)} = \frac{2}{3} h$.
અભિલંબની લંબાઈ $N = |k m| = \left| k \cdot \frac{2 h^2}{k} \right| = 2 h^2$.
આપણે $T$ અને $N$ વચ્ચેનો સંબંધ શોધવો છે.
$N = 2 h^2$ પરથી,$h^2 = \frac{N}{2}$,તેથી $h = \sqrt{\frac{N}{2}}$.
તેથી $T = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{N}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{N}{2} = \frac{2 N}{9}$.
આમ,$9 T^2 = 2 N$,જેને $(3 T)^2 = 2 N$ તરીકે લખી શકાય.
આને $(\beta T)^2 = 2 N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = 3$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3$. બિંદુઓ $(-1, -1)$ અને $(2, 8)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$ છે.
સ્પર્શક રેખા આ જીવાને સમાંતર હોવાથી,તે બિંદુએ વિકલિત $f'(x)$ નું મૂલ્ય જીવાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
$f'(x) = 3$ લેતા,આપણને $3x^2 = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$y = (1)^3 = 1$,જે બિંદુ $(1, 1)$ આપે છે.
$x = -1$ માટે,$y = (-1)^3 = -1$,જે બિંદુ $(-1, -1)$ આપે છે.
$(-1, -1)$ એ જીવાનું અંત્યબિંદુ હોવાથી,વક્ર પરનું માંગેલ બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(D) વક્રો $x^2+4y=0$ અને $xy=2$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$y = \frac{2}{x}$ ને $x^2+4y=0$ માં મૂકતા:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0$
$x^2 + \frac{8}{x} = 0$
$x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ માટે,$y = \frac{2}{-2} = -1$. તેથી,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $x^2+4y=0$ નો ઢાળ:
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x + 4\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
$x = -2$ આગળ,$m_1 = -\frac{-2}{2} = 1$.
બીજા વક્ર $xy=2$ નો ઢાળ:
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $y + x\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ આગળ,$m_2 = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n\left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n\left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ,$x = a$ અને $y = b$ મૂકતા:
$n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{b} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{n}{a} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = m(x - a)$ છે,જ્યાં $m = -\frac{b}{a}$.
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$.
$a(y - b) = -b(x - a)$.
$ay - ab = -bx + ab$.
$bx + ay = 2ab$.
બંને બાજુ $ab$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
પ્રચલિત સમીકરણો $x = a \cos^3 \theta$ અને $y = a \sin^3 \theta$ છે.
વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_T = -\tan \theta$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_N = \frac{-1}{m_T} = \cot \theta$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ $X$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\tan \phi$ છે.
આમ,$\tan \phi = \cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,અથવા $\theta = \frac{\pi}{2} - \phi$.
$\theta$ ની કિંમત પ્રચલિત યામોમાં મૂકતા: $x = a \cos^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \sin^3 \phi$ અને $y = a \sin^3(\frac{\pi}{2} - \phi) = a \cos^3 \phi$.
$(a \sin^3 \phi, a \cos^3 \phi)$ બિંદુએ અને $\tan \phi$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a \cos^3 \phi = \tan \phi (x - a \sin^3 \phi)$
$y \cos \phi - a \cos^4 \phi = x \sin \phi - a \sin^4 \phi$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^4 \phi - \sin^4 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a (\cos^2 \phi - \sin^2 \phi)(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi)$
$y \cos \phi - x \sin \phi = a \cos 2 \phi$.

(A) આપેલ વક્રો:
$x^2 = 3y \quad ...(i)$
$x^2 + y^2 = 4 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $x^2 = 3y$ મૂકતા,આપણને મળે:
$3y + y^2 = 4$
$y^2 + 3y - 4 = 0$
$(y + 4)(y - 1) = 0$
$x^2 = 3y$ હોવાથી,$y$ અઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $y = 1$.
$y = 1$ ને $x^2 = 3y$ માં મૂકતા,$x^2 = 3$,તેથી $x = \pm \sqrt{3}$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(\sqrt{3}, 1)$ અને $(-\sqrt{3}, 1)$ છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(i)$ માટે,$2x = 3 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$.
$(ii)$ માટે,$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 1)$ આગળ:
$m_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} - (-\sqrt{3})}{1 + (\frac{2}{\sqrt{3}})(-\sqrt{3})} \right|$
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{2 + 3}{\sqrt{3}}}{1 - 2} \right| = \left| \frac{5/\sqrt{3}}{-1} \right| = \frac{5}{\sqrt{3}}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{5}{\sqrt{3}} \right)$.

(D) આપેલ વક્રો $C_1: x^2 y = 1$ અને $C_2: y(x^2 + 1) = 2$ છે.
પ્રથમ,બીજા સમીકરણમાં $y = 1/x^2$ મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો: $(1/x^2)(x^2 + 1) = 2 \implies 1 + 1/x^2 = 2 \implies 1/x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
$x = 1$ માટે,$y = 1$. $x = -1$ માટે,$y = 1$. છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(-1, 1)$ છે.
$C_1$ માટે,$y = x^{-2} \implies dy/dx = -2x^{-3} = -2/x^3$. $(1, 1)$ આગળ,$m_1 = -2$.
$C_2$ માટે,$y = 2/(x^2 + 1) \implies dy/dx = -2(2x)/(x^2 + 1)^2 = -4x/(x^2 + 1)^2$. $(1, 1)$ આગળ,$m_2 = -4(1)/(1+1)^2 = -4/4 = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |(-2 - (-1)) / (1 + (-2)(-1))| = |-1 / (1 + 2)| = |-1/3| = 1/3$.
તેથી,$\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(1/3)$.

(D) આપેલ વક્રો છે:
$x^2+p y^2=1$ $(i)$
$q x^2+y^2=1$ (ii)
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_1 = -\frac{x}{py}$
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = m_2 = -\frac{qx}{y}$
વક્રો લંબ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$:
$(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1$
$\frac{qx^2}{py^2} = -1 \implies qx^2 = -py^2$
$(i)$ પરથી,$x^2 = 1 - py^2$. આ કિંમત શરતમાં મૂકતા:
$q(1 - py^2) = -py^2$
$q - qpy^2 = -py^2$
$q = y^2(qp - p) \implies y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$
તે જ રીતે,$x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$. $x^2$ અને $y^2$ ની કિંમત $q x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$q(\frac{p(1-q)}{q-p}) + \frac{q}{p(q-1)} = 1$
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $p+q = 2pq$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$.

(C) આપેલ વક્ર $y^4=a x^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$4 y^3 \frac{d y}{d x} = 3 a x^2$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, a)} = \frac{3 a(a)^2}{4(a)^3} = \frac{3 a^3}{4 a^3} = \frac{3}{4}$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$.
બિંદુ $(a, a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - a = -\frac{4}{3}(x - a)$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y - 3a = -4x + 4a$.
પદોને ગોઠવતા: $4x + 3y = 7a$.

(D) આપેલ વક્રો $y^2=4x+4$ $(i)$ અને $y^2=36(9-x)$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$4x+4 = 324-36x$
$40x = 320 \Rightarrow x=8$.
$x=8$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y^2 = 4(8)+4 = 36 \Rightarrow y = \pm 6$.
તેથી,છેદબિંદુઓ $(8,6)$ અને $(8,-6)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
(ii) નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = -36 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-18}{y}$.
બિંદુ $(8,6)$ પર:
$m_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ અને $m_2 = \frac{-18}{6} = -3$.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = \frac{1}{3} \times (-3) = -1$,સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ છે.
આમ,વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $2y^4 = x^5$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$8y^3 \frac{dy}{dx} = 5x^4$.
તેથી,$(2, 2)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 2)} = \frac{5(2)^4}{8(2)^3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 8} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$.
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
અસ્પર્શકની લંબાઈ $= \frac{2}{5/4} = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$.

(D) વક્રોના સમીકરણો $xy=2$ $\dots(i)$ અને $x^2+4y=0$ $\dots(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(ii)$ માંથી $y = -x^2/4$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x(-x^2/4) = 2 \Rightarrow -x^3 = 8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,આપણને $4 + 4y = 0 \Rightarrow y = -1$ મળે છે.
તેથી,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$y = 2/x$,તેથી $dy/dx = -2/x^2$. $x = -2$ આગળ,$m_1 = -2/(-2)^2 = -2/4 = -1/2$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x^2 + 4y = 0$,તેથી $2x + 4(dy/dx) = 0 \Rightarrow dy/dx = -x/2$. $x = -2$ આગળ,$m_2 = -(-2)/2 = 1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1 - m_2) / (1 + m_1 m_2)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |(-1/2 - 1) / (1 + (-1/2)(1))| = |(-3/2) / (1/2)| = |-3| = 3$.

(B) આપેલ વક્રો $x=y^2$ $(i)$ અને $xy=a^3$ (ii) છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
વક્ર (ii) માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x=y^2$ ને $xy=a^3$ માં મૂકતા: $y^2 \cdot y = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
તેથી $x = a^2$. આમ છેદબિંદુ $(a^2, a)$ છે.
ધારો કે $(a^2, a)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$m_1 = \left(\frac{1}{2y}\right)_{(a^2, a)} = \frac{1}{2a}$.
$m_2 = \left(-\frac{y}{x}\right)_{(a^2, a)} = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ વક્ર $y=x^2+3x+4$ પર હોવાથી,$k=h^2+3h+4$ ... $(i)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x+3$ છે. $(h, k)$ આગળ ઢાળ $m = 2h+3$ થાય.
$(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-k = (2h+3)(x-h)$ છે.
આ સ્પર્શક $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0-k = (2h+3)(0-h) \Rightarrow -k = -2h^2-3h \Rightarrow k = 2h^2+3h$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$h^2+3h+4 = 2h^2+3h$
$h^2 = 4 \Rightarrow h = \pm 2$.
જો $h = -2$,તો $k = (-2)^2+3(-2)+4 = 2$. તેથી,$(\alpha, \beta) = (-2, 2)$.
જો $h = 2$,તો $k = (2)^2+3(2)+4 = 14$. તેથી,$(\gamma, \delta) = (2, 14)$.
આમ,$\beta+\delta = 2+14 = 16$.

(A) આપેલ વક્ર $3y^2 = (x+5)^3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $6y \frac{dy}{dx} = 3(x+5)^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+5)^2}{2y}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $ST = |\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{y}{(x+5)^2 / 2y}| = |\frac{2y^2}{(x+5)^2}|$ થાય.
$y^2 = \frac{(x+5)^3}{3}$ મૂકતા,આપણને $ST = |\frac{2(x+5)^3}{3(x+5)^2}| = |\frac{2(x+5)}{3}|$ મળે છે.
આમ,$(ST)^2 = \frac{4(x+5)^2}{9}$,તેથી $9(ST)^2 = 4(x+5)^2$.
સબનોર્મલની લંબાઈ $SN = |y \frac{dy}{dx}| = |y \cdot \frac{(x+5)^2}{2y}| = |\frac{(x+5)^2}{2}|$ થાય.
તેથી,$8 SN = 8 \cdot \frac{(x+5)^2}{2} = 4(x+5)^2$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણને $9(ST)^2 = 8 SN$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્ર $y = \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt$ છે.
લીબનીઝના સંકલન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x \frac{1}{1+t^3} dt \right) = \frac{1}{1+x^3}$.
$x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ તે બિંદુએ વિકલિતનું મૂલ્ય છે:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)_{x=1} = \frac{1}{1+(1)^3} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ વક્ર $y=4x^4+x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16x^3+1$ મળે.
$(0,0)$ બિંદુ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 16(0)^3+1 = 1$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(a, b)$ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = 16a^3+1$ છે.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$ થાય.
$1 \times (16a^3+1) = -1$.
$16a^3 = -2$ $\Rightarrow a^3 = -\frac{1}{8}$ $\Rightarrow a = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,$b = 4(-\frac{1}{2})^4 + (-\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $y^2=4x$ અને બિંદુ $P(1,2)$ છે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y^2=4x$ નું વિકલન કરીને મેળવી શકાય: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. બિંદુ $(1,2)$ આગળ ઢાળ $m_t = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y-2 = 1(x-1) \Rightarrow y = x+1$ છે.
સ્પર્શક $Y$-અક્ષ $(x=0)$ ને $A(0,1)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -1$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-2 = -1(x-1) \Rightarrow y = -x+3$ છે.
અભિલંબ $Y$-અક્ષ $(x=0)$ ને $B(0,3)$ બિંદુએ છેદે છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(1,2)$,$A(0,1)$ અને $B(0,3)$ છે.
$Y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $A(0,1)$ અને $B(0,3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|3-1| = 2$ એકમ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P(1,2)$ થી $Y$-અક્ષનું લંબ અંતર છે,જે $P$ નો $x$-યામ એટલે કે $1$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે, આપણે $x$ અને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$.
તેથી, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
આપેલ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે, તેથી ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\tan(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{4})$, જેનો અર્થ છે કે $\theta/2 = \frac{\pi}{4}$, તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$.
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
તેથી, બિંદુ $P$ ના યામ $\left[a\left(\frac{\pi}{2}+1\right), a\right]$ છે.

(A) છેદબિંદુ શોધવા માટે, સમીકરણોને સરખાવો: $3x^2-2x-1 = x^3-1$.
$x^3-3x^2+2x = 0$.
$x(x-1)(x-2) = 0$.
તેથી, $x=0, 1, 2$.
$x=0$ માટે, $y=-1$ (પ્રથમ ચરણમાં નથી).
$x=1$ માટે, $y=0$ (અક્ષ પર છે, પ્રથમ ચરણમાં નથી).
$x=2$ માટે, $y=3(2)^2-2(2)-1 = 12-4-1 = 7$.
પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $(2, 7)$ છે.
હવે, $(2, 7)$ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો:
$y=3x^2-2x-1$ માટે, $dy/dx = 6x-2$. $x=2$ પર, $m_1 = 6(2)-2 = 10$.
$y=x^3-1$ માટે, $dy/dx = 3x^2$. $x=2$ પર, $m_2 = 3(2)^2 = 12$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |(m_1-m_2)/(1+m_1m_2)|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = |(10-12)/(1+10 \times 12)| = |-2/121| = 2/121$.
તેથી, $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2/121)$.

(C) આપેલ બિંદુ $P(5,2)$ અને સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{7}{2}$ છે.
$P(5,2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{7}{2}(x - 5) \implies 2y - 4 = 7x - 35 \implies 7x - 2y = 31$ છે.
સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકીને મેળવી શકાય: $7x = 31 \implies x = \frac{31}{7}$. તેથી, સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\frac{31}{7}, 0)$ માં મળે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{2}{7}$ છે.
$P(5,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{2}{7}(x - 5) \implies 7y - 14 = -2x + 10 \implies 2x + 7y = 24$ છે.
અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $y=0$ મૂકીને મેળવી શકાય: $2x = 24 \implies x = 12$. તેથી, અભિલંબ $x$-અક્ષને $B(12, 0)$ માં મળે છે.
ત્રિકોણ બિંદુઓ $P(5,2)$, $A(\frac{31}{7}, 0)$, અને $B(12, 0)$ દ્વારા બને છે.
$x$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $|12 - \frac{31}{7}| = |\frac{84 - 31}{7}| = \frac{53}{7}$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે, જે $2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{53}{7} \times 2 = \frac{53}{7}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x_1, y_1)$ છે. વક્ર $y^2 = x^3 - x + 1$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 1$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{3x_1^2 - 1}{2y_1}$.
$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1}$ છે.
અભિલંબ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. વક્રને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે $m_n = -1$ લઈએ છીએ.
જો $m_n = -1$ હોય, તો $\frac{2y_1}{3x_1^2 - 1} = 1 \implies 2y_1 = 3x_1^2 - 1$.
$y_1^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ અને $y_1 = \frac{3x_1^2 - 1}{2}$ મૂકતા, આપણને $(\frac{3x_1^2 - 1}{2})^2 = x_1^3 - x_1 + 1$ મળે છે. આ ઉકેલતા, $x_1 = 1$ મળે છે, જે $y_1 = 1$ આપે છે. આમ $P = (1, 1)$.
$(1, 1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{3(1)^2 - 1}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ વક્ર $xy^2 + x^2y = 12$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} + 2xy + x^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ, આપણને મળે: $3^2 + 2(1)(3) \frac{dy}{dx} + 2(1)(3) + (1)^2 \frac{dy}{dx} = 0$.
$9 + 6 \frac{dy}{dx} + 6 + \frac{dy}{dx} = 0 \implies 7 \frac{dy}{dx} = -15 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{15}{7}$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{15}{7}(x - 1)$ છે.
$T$ માટે, $y = 0$ લેતા: $-3 = -\frac{15}{7}(x - 1) \implies 21 = 15(x - 1) \implies x - 1 = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} \implies x = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}$. તેથી $T = (\frac{12}{5}, 0)$.
બિંદુ $(1, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{7}{15}(x - 1)$ છે.
$N$ માટે, $y = 0$ લેતા: $-3 = \frac{7}{15}(x - 1) \implies -45 = 7(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{45}{7} \implies x = 1 - \frac{45}{7} = -\frac{38}{7}$. તેથી $N = (-\frac{38}{7}, 0)$.
$TN = |\frac{12}{5} - (-\frac{38}{7})| = |\frac{12}{5} + \frac{38}{7}| = |\frac{84 + 190}{35}| = \frac{274}{35}$.

(C) રેખા $y = x - 3$ નો ઢાળ $m = 1$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ એ વક્ર $y = x^2 - x + 1$ પરનું રેખાથી સૌથી નજીકનું બિંદુ હોવાથી, $P$ આગળનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી, વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2x - 1$ એ $1$ ની બરાબર હોવું જોઈએ.
$2x_1 - 1 = 1 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$.
વક્રના સમીકરણમાં $x_1 = 1$ મૂકતા: $y_1 = (1)^2 - 1 + 1 = 1$.
આમ, બિંદુ $P$ એ $(1, 1)$ છે.
બિંદુ $P(1, 1)$ થી રેખા $3x + 4y - 2 = 0$ નું લંબ અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$d = \frac{|3(1) + 4(1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 4 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.

(B) આપેલ વક્રો $y^2 = 12x - 3$ અને $y^2 = 12 - kx$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$y^2 = 12x - 3$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = 12 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6}{y}$. ધારો કે $m_1 = \frac{6}{y_1}$.
$y^2 = 12 - kx$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા, $2y \frac{dy}{dx} = -k \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{k}{2y}$. ધારો કે $m_2 = -\frac{k}{2y_1}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી, $m_1 m_2 = -1 \implies (\frac{6}{y_1})(-\frac{k}{2y_1}) = -1 \implies \frac{3k}{y_1^2} = 1 \implies y_1^2 = 3k$.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ, $12x_1 - 3 = 12 - kx_1 \implies x_1(12 + k) = 15 \implies x_1 = \frac{15}{12+k}$.
વળી $y_1^2 = 12 - kx_1 = 3k \implies 12 - k(\frac{15}{12+k}) = 3k \implies 12(12+k) - 15k = 3k(12+k) \implies 144 + 12k - 15k = 36k + 3k^2 \implies 3k^2 + 39k - 144 = 0 \implies k^2 + 13k - 48 = 0 \implies (k+16)(k-3) = 0$.
$k > 0$ હોવાથી, $k = 3$.
વક્ર $y^2 = 12 - 3x$ છે. $x = 1$ આગળ, $y^2 = 12 - 3(1) = 9 \implies y = 3$ ($b=3$ લેતા).
$(1, 3)$ આગળ ઢાળ $m = -\frac{3}{2(3)} = -\frac{1}{2}$ છે.
ઉપ-સ્પર્શકની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}| = |\frac{3}{-1/2}| = 6$ થાય.

(C) આપેલ વક્ર $\frac{x^n}{a^n} + \frac{y^n}{b^n} = 2$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર, આપણે ચકાસીએ કે તે વક્ર પર છે કે નહીં: $\frac{a^n}{a^n} + \frac{b^n}{b^n} = 1 + 1 = 2$. આમ, $(a, b)$ વક્ર પર છે.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{n x^{n-1}}{a^n} + \frac{n y^{n-1}}{b^n} \frac{dy}{dx} = 0$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{b^n}{y^{n-1}} = -\frac{b^n x^{n-1}}{a^n y^{n-1}}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર, સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{b^n a^{n-1}}{a^n b^{n-1}} = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $ay - ab = -bx + ab$ એટલે કે $bx + ay = 2ab$ થાય છે.
$ab$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ મળે છે.
આમ, આ રેખા $n > 1$ ની તમામ કિંમતો માટે સ્પર્શક છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=x^3-2x^2+3x-4$ અને રેખા $y=-2$ છે.
છેદબિંદુ $P(h, k)$ આગળ, $x^3-2x^2+3x-4 = -2$.
$\Rightarrow x^3-2x^2+3x-2 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા, $x=1$ માટે, $1-2+3-2 = 0$. તેથી, બિંદુ $P$ એ $(1, -2)$ છે.
હવે, $P(1, -2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-4x+3$.
$x=1$ આગળ, $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2-4(1)+3 = 3-4+3 = 2$.
$(1, -2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-2) = 2(x - 1)$ છે.
$\Rightarrow y+2 = 2x-2
\Rightarrow y = 2x-4$.
આ સ્પર્શક $X$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં મળે છે:
$0 = 2x_1 - 4
\Rightarrow 2x_1 = 4
\Rightarrow x_1 = 2$.

(D) આપેલ વક્ર $y^3=4 x^5$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $3 y^2 \frac{d y}{d x} = 20 x^4$ મળે.
તેથી, $\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^4}{3 y^2}$.
બિંદુ $(4, 16)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{20(4)^4}{3(16)^2} = \frac{20 \times 256}{3 \times 256} = \frac{20}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{20}$ થાય.
બિંદુ $(4, 16)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 16 = -\frac{3}{20}(x - 4)$ છે.
$20$ વડે ગુણતા, $20y - 320 = -3x + 12$ મળે.
પદોને ગોઠવતા, $3x + 20y = 332$ મળે છે.

(C) ધારો કે $m_1$ એ બિંદુ $P$ પર વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ છે. આપેલ છે કે $m_1 = \frac{dy}{dx} = Q(x)$.
ધારો કે $m_2$ એ બિંદુ $P$ પર વક્ર $x=g(y)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ છે. આપેલ છે કે $\frac{dx}{dy} = -Q(x)$, આપણે જાણીએ છીએ કે $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{dx/dy} = \frac{1}{-Q(x)}$.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = Q(x) \times \left(-\frac{1}{Q(x)}\right) = -1$, છેદબિંદુ પર સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ છે.
તેથી, એક વક્ર પર $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક બીજા વક્ર માટે $P$ આગળ અભિલંબ છે.

(B) આપેલ વક્ર: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - 3y - 3x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (3y^2 - 3x) = 3y \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
સમક્ષિતિજ સ્પર્શક માટે, $\frac{dy}{dx} = 0 \implies y = 0$.
$y = 0$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $0^3 - 3x(0) + 2 = 0 \implies 2 = 0$, જે અશક્ય છે. તેથી, $n(A) = 0$.
શિરોલંબ સ્પર્શક માટે, $\frac{dy}{dx} = \infty \implies y^2 - x = 0 \implies x = y^2$.
$x = y^2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0 \implies y^3 - 3y^3 + 2 = 0 \implies -2y^3 = -2 \implies y^3 = 1 \implies y = 1$.
જો $y = 1$ હોય, તો $x = 1^2 = 1$. બિંદુ $(1, 1)$ મળે છે. તેથી, $n(B) = 1$.
આમ, $n(A) + n(B) = 0 + 1 = 1$.

(B) આપેલ વક્ર $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ અને $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ છે.
પ્રથમ, વિકલિતો $\frac{dx}{dt}$ અને $\frac{dy}{dt}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t) = 2(2t \cos 2t - \sin 2t)$.
$\frac{dy}{dt} = 4(2 \cos 2t - \cos 2t + 2t \sin 2t) = 4(\cos 2t + 2t \sin 2t)$.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ:
$\frac{dx}{dt} = 2(2(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 2(0 - 1) = -2$.
$\frac{dy}{dt} = 4(\cos \frac{\pi}{2} + 2(\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0 + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$.
તેથી, સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{-2} = -\pi$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\pi}$ થાય.
$t = \frac{\pi}{4}$ આગળ, $y = 4(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{2}) = 4(1 - 0) = 4$.
અભિલંબની લંબાઈ $|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = |4| \sqrt{1 + (-\pi)^2} = 4 \sqrt{1 + \pi^2}$ થાય.

(C) આપેલ વક્ર $y = \cos(x+y)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$
$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + 2y = k$ છે, જેને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{-\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2}$
$2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y)$
$\sin(x+y) = 1$
કારણ કે $\sin(x+y) = 1$, તેથી $y = \cos(x+y) = \cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) = 0$.
$y = 0$ ને $\sin(x+y) = 1$ માં મૂકતા, આપણને $\sin(x) = 1$ મળે છે, તેથી $x = \frac{\pi}{2}$.
હવે, $x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $x + 2y = k$ માં મૂકતા:
$\frac{\pi}{2} + 2(0) = k$
$k = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = x^3 - 10x^2 + 31x - 30$ છે.
પ્રથમ, વિકલન મેળવો: $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 20x + 31$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ દ્વારા મળે છે.
તેને $-\frac{1}{14}$ સાથે સરખાવતા:
$-\frac{1}{3x^2 - 20x + 31} = -\frac{1}{14} \implies 3x^2 - 20x + 31 = 14$.
$3x^2 - 20x + 17 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3x - 17)(x - 1) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = \frac{17}{3}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ $x$ પૂર્ણાંક હોવાથી, આપણે $x = 1$ લઈશું.
$x = 1$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = (1)^3 - 10(1)^2 + 31(1) - 30 = 1 - 10 + 31 - 30 = -8$.
તેથી, બિંદુ $P$ એ $(1, -8)$ છે.
$x = 1$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3(1)^2 - 20(1) + 31 = 14$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-8) = 14(x - 1) \implies y + 8 = 14x - 14 \implies y = 14x - 22$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે, $y = 0$ લેતા: $0 = 14x - 22 \implies 14x = 22 \implies x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 5$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $y = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C$.
$f(1) = 2$ હોવાથી, $2 = 1^3 - 5(1) + C$, જે આપણને $2 = 1 - 5 + C$ આપે છે, તેથી $C = 6$.
આમ, વક્રનું સમીકરણ $y = x^3 - 5x + 6$ છે.
$(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = 3(1)^2 - 5 = -2$ છે.
$(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2 = -2(x - 1)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $y = -2x + 4$ થાય છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે, વક્રના સમીકરણને સ્પર્શકના સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $x^3 - 5x + 6 = -2x + 4$.
આનું સાદું રૂપ $x^3 - 3x + 2 = 0$ થાય છે.
ઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા, આપણને $(x - 1)^2(x + 2) = 0$ મળે છે.
ઉકેલ $x = 1$ અને $x = -2$ છે.
$x = 1$ માટે, $y = 2$ (સ્પર્શબિંદુ).
$x = -2$ માટે, $y = -2(-2) + 4 = 8$.
તેથી, સ્પર્શક વક્રને $(-2, 8)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) આપેલ વક્રો $x^2 y - x^3 = 8$ $(1)$ અને $y^3 - x y^2 = 32$ $(2)$ છે.
$(1)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy - 3x^2 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2xy}{x^2} = 3 - 2(\frac{y}{x}) = m_1$.
$(2)$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - (x \cdot 2y \frac{dy}{dx} + y^2) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}(3y^2 - 2xy) = y^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{3y^2 - 2xy} = \frac{y}{3y - 2x} = m_2$.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા: $\frac{y^2(y - x)}{x^2(y - x)} = \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow \frac{y^2}{x^2} = 4 \Rightarrow y = 2x$ (કારણ કે $h, k \in N$).
$y = 2x$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $x^2(2x) - x^3 = 8 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$. તેથી, $y = 4$.
$P(2, 4)$ આગળ, $m_1 = 3 - 2(\frac{4}{2}) = 3 - 4 = -1$.
$P(2, 4)$ આગળ, $m_2 = \frac{4}{3(4) - 2(2)} = \frac{4}{12 - 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{1/2 - (-1)}{1 + (-1)(1/2)}| = |\frac{3/2}{1/2}| = 3$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપેલ વક્ર $x = t^2 - 7t + 7$ અને $y = t^2 - 4t - 10$ છે.
પ્રથમ, વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ અને $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{2t - 4}{2t - 7}$.
$(1, 2)$ બિંદુએ, $t^2 - 7t + 7 = 1 \implies t^2 - 7t + 6 = 0 \implies (t-1)(t-6) = 0$, તેથી $t = 1$ અથવા $t = 6$.
વળી, $t^2 - 4t - 10 = 2 \implies t^2 - 4t - 12 = 0 \implies (t-6)(t+2) = 0$, તેથી $t = 6$ અથવા $t = -2$.
સામાન્ય કિંમત $t = 6$ છે.
$t = 6$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2(6) - 4}{2(6) - 7} = \frac{8}{5}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -\frac{1}{8/5} = -\frac{5}{8}$ થાય.
$(1, 2)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{5}{8}(x - 1)$ છે.
$8y - 16 = -5x + 5 \implies 5x + 8y - 21 = 0$.
અહીં $a = 5, b = 8, c = -21$. $(5, 8, -21)$ નો ગુ.સા.અ. $1$ છે.
તેથી $a + b + c = 5 + 8 - 21 = -8$.
અંતે, $m(a + b + c) = (-\frac{5}{8})(-8) = 5$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 10x + 5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 10$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $2$ હોવાથી, $\frac{dy}{dx} = 2$ લેતા:
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 10 = 2$
$4x^3 - 18x^2 + 26x - 12 = 0$
$2$ વડે ભાગતા, $2x^3 - 9x^2 + 13x - 6 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા $(x-1)(x-2)(2x-3) = 0$ મળે છે.
ઉકેલો $x = 1, x = 2, x = 1.5$ છે.
$x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ હોવાથી, આપણે $x_1 = 1$ અને $x_2 = 2$ લઈએ છીએ.
$x_1 = 1$ માટે, $y_1 = 1^4 - 6(1)^3 + 13(1)^2 - 10(1) + 5 = 3$.
$x_2 = 2$ માટે, $y_2 = 2^4 - 6(2)^3 + 13(2)^2 - 10(2) + 5 = 5$.
આમ, $x_1x_2 - y_1y_2 = (1 \times 2) - (3 \times 5) = 2 - 15 = -13$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $\sin y = \sqrt{3} x \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \quad (i)$ છે.
$x = 0$ લેતા, $\sin y = 0$, જેનો અર્થ છે કે $y = 0$.
હવે, સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\cos y \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + y\right) + \sqrt{3} x \cos \left(\frac{\pi}{6} + y\right) \frac{dy}{dx}$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ, $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$\cos(0) \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) + \sqrt{3}(0) \cos \left(\frac{\pi}{6} + 0\right) \frac{dy}{dx}$.
$1 \cdot \frac{dy}{dx} = \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ, સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(0, 0)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 0 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$.
$\sqrt{3}y = -2x$, જેનું સાદું રૂપ $2x + \sqrt{3}y = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ વક્ર $y=x^2$ છે. જ્યારે તેને ધન $X$-અક્ષ પર '$a$' એકમ ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે નવો વક્ર $y=(x-a)^2$ બને છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે, આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$x^2 = (x-a)^2$
$x^2 = x^2 - 2ax + a^2$
$2ax = a^2$
$a \neq 0$ હોવાથી, આપણને $x = \frac{a}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{a}{2}$ ને $y=x^2$ માં મૂકતા, $y = \frac{a^2}{4}$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4})$ છે.
હવે, આ બિંદુએ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધીએ:
$y=x^2$ માટે, $\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=\frac{a}{2}$ આગળ, $m_1 = 2(\frac{a}{2}) = a$.
$y=(x-a)^2$ માટે, $\frac{dy}{dx} = 2(x-a)$. $x=\frac{a}{2}$ આગળ, $m_2 = 2(\frac{a}{2}-a) = -a$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{a - (-a)}{1 + (a)(-a)} \right| = \left| \frac{2a}{1 - a^2} \right| = \frac{2|a|}{|1 - a^2|}$.
આમ, વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2-y^2=4$ અને $y^2=3x$ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y^2=3x$ મૂકતા: $x^2-3x-4=0$.
$(x-4)(x+1)=0$. $y^2=3x$ હોવાથી $x$ ધન હોવો જોઈએ, તેથી $x=4$.
ત્યારબાદ $y^2=12$, તેથી $y=\pm 2\sqrt{3}$. છેદબિંદુ $(4, 2\sqrt{3})$ લો.
$x^2-y^2=4$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x-2y \frac{dy}{dx}=0 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ આગળ, $m_1 = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$y^2=3x$ માટે, $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx}=3 \implies \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2y}$.
$(4, 2\sqrt{3})$ આગળ, $m_2 = \frac{3}{2(2\sqrt{3})} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{4}}{1+(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{\sqrt{3}}{4})} \right| = \left| \frac{\frac{8-3}{4\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{5}{4\sqrt{3}} \times \frac{2}{3} \right| = \frac{5}{6\sqrt{3}}$.