Differentiation of implicit function Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 1} \int_4^{f(x)} \frac{2 t}{x-1} dt$.
સંકલનનું મૂલ્યાંકન કરતા, આપણને મળે છે:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x-1} [t^2]_4^{f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{[f(x)]^2 - 16}{x-1}$.
કારણ કે $f(1) = 4$, આ પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
$L'H\hat{o}pital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} ([f(x)]^2 - 16)}{\frac{d}{dx} (x-1)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 f(x) f^{\prime}(x)}{1}$.
$f(1) = 4$ અને $f^{\prime}(1) = 2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times f(1) \times f^{\prime}(1) = 2 \times 4 \times 2 = 16$.

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ છે.
$y=0$ લેતા, આપણને $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ મળે છે, જે સૂચવે છે કે $f(0)=1$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ મળે છે.
$x=0$ લેતા, આપણને $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ મળે છે.
કારણ કે $f^{\prime}(0)=p$, તેથી $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$.
મૂળ સમીકરણનું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ થાય છે.
$y=0$ માટે, $\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$, તેથી $f^{\prime}(x) = p f(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જેનો ઉકેલ $f(x) = e^{px}$ છે.
તેથી $f^{\prime}(x) = p e^{px}$.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(5) = q$, તેથી $p e^{5p} = q$, એટલે કે $e^{5p} = \frac{q}{p}$.
આપણે $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ મેળવવાનું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$x + y \frac{dy}{dx} = 0$
તેથી, $y \frac{dy}{dx} + x = 0$.

(B) આપેલ છે $y = \frac{1}{1 + x + \ln x}$.
વ્યસ્ત લેતા, $\frac{1}{y} = 1 + x + \ln x$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{y^{2}} \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{2}(x + 1)}{x}$.
હવે વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $x \frac{dy}{dx} = y(y \ln x - 1)$.
અહીં $y \ln x - 1 = y \ln x - y(1 + x + \ln x) = y(\ln x - 1 - x - \ln x) = -y(1 + x)$.
તેથી, $y(y \ln x - 1) = -y^{2}(1 + x)$.
આમ, $x \frac{dy}{dx} = -y^{2}(1 + x)$ સાચું છે.

(C) આપેલ છે $y = \sqrt{\cos x^2 + y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $y^2 = \cos x^2 + y$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\sin x^2 \cdot (2x) + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = -2x \sin x^2$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x \sin x^2}{2y - 1}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{2y - 1}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $f(x) = -2x \sin x^2$ મળે છે.
હવે, $\int f(x) dx = \int -2x \sin x^2 dx$.
ધારો કે $u = x^2$, તો $du = 2x dx$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને $\int -\sin u du = \cos u + c$ મળે છે.
$u = x^2$ પાછું મૂકતા, આપણને $\cos x^2 + c$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: બિંદુ $(1, 1)$ એ વક્ર $xy + ax + by = 0$ પર આવેલું હોવાથી, $(1)(1) + a(1) + b(1) = 0$, જેનો અર્થ છે $1 + a + b = 0$, અથવા $a + b = -1$ થાય.
પગલું $2$: સમીકરણ $xy + ax + by = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $y + x \frac{dy}{dx} + a + b \frac{dy}{dx} = 0$ મળે.
પગલું $3$: $(1, 1)$ આગળ, ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \tan(\tan^{-1} 2) = 2$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $1 + (1)(2) + a + b(2) = 0$ મળે.
પગલું $4$: આનું સાદું રૂપ $1 + 2 + a + 2b = 0$ થાય, તેથી $a + 2b = -3$ મળે.
પગલું $5$: સમીકરણો $a + b = -1$ અને $a + 2b = -3$ ને ઉકેલતા, બીજામાંથી પહેલું સમીકરણ બાદ કરતા: $(a + 2b) - (a + b) = -3 - (-1) \implies b = -2$ મળે. તેથી $a = -1 - (-2) = 1$ થાય.
પગલું $6$: $\frac{ab}{a + b} = \frac{(1)(-2)}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$ ની ગણતરી કરો.

(A) આપેલ છે $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies 2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2 \implies \sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $y^2 - x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2 \implies -x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y \implies c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $c^2 \frac{dy}{dx} = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$.
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ પરથી, આપણી પાસે $\frac{c^2}{2} = y + \sqrt{y^2 - x^2}$ છે.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(y + \sqrt{y^2 - x^2})} = \frac{x}{y + \sqrt{y^2 - x^2}} = \frac{x}{y + y\sqrt{1 - (x/y)^2}} = \frac{x/y}{1 + \sqrt{1 - (x/y)^2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{1 - (1 - (x/y)^2)} = \frac{x/y (1 - \sqrt{1 - (x/y)^2})}{(x/y)^2} = \frac{1 - \sqrt{1 - (x/y)^2}}{x/y} = \frac{y}{x} - \sqrt{(y/x)^2 - 1}$.
$\frac{dy}{dx} = f(x) - \sqrt{[f(x)]^2 - 1}$ સાથે સરખાવતા, $f(x) = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $x = 0$ આગળ $y$ શોધો. $e^y + xy = e$ માં $x = 0$ મૂકતા, $e^y + 0 = e$, તેથી $y = 1$ મળે છે.
પગલું $2$: $e^y + xy = e$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$.
પગલું $3$: $x = 0, y = 1$ ને વિકલિતમાં મૂકતા: $e^1 \frac{dy}{dx} + 1 + 0 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
પગલું $4$: $e^y \frac{dy}{dx} + y + x \frac{dy}{dx} = 0$ નું ફરીથી વિકલન કરતા: $e^y (\frac{dy}{dx})^2 + e^y \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} + x \frac{d^2y}{dx^2} = 0$.
પગલું $5$: $x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ ને દ્વિતીય વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $e^1(-\frac{1}{e})^2 + e^1 \frac{d^2y}{dx^2} + 2(-\frac{1}{e}) + 0 = 0$.
પગલું $6$: સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{e} + e \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{e} = 0 \implies e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
પગલું $7$: ક્રમિત જોડ $(-\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2})$ છે.

(A) આપેલ છે $y^m + y^{-m} = 2x$।
$x$ ની સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$m y^{m-1} \frac{dy}{dx} - m y^{-m-1} \frac{dy}{dx} = 2$।
$\frac{dy}{dx} (m y^{m-1} - m y^{-m-1}) = 2$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{m(y^{m-1} - y^{-m-1})} = \frac{2y}{m(y^m - y^{-m})}$।
આપેલ સમીકરણ પરથી, $(y^m - y^{-m})^2 = (y^m + y^{-m})^2 - 4 = (2x)^2 - 4 = 4(x^2 - 1)$।
તેથી, $y^m - y^{-m} = 2\sqrt{x^2 - 1}$।
આ કિંમત વિકલિતમાં મૂકતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{m(2\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{y}{m\sqrt{x^2 - 1}}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2(x^2 - 1)}$।
તેથી, $(x^2 - 1) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{y^2}{m^2}$।

(B) આપેલ સમીકરણ: $x e^{xy} = y + \sin^2 x$ છે.
પગલું $1$: $x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $0 \cdot e^{0} = y + \sin^2(0) \implies 0 = y + 0 \implies y = 0$ મળે.
પગલું $2$: ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx}(x e^{xy}) = \frac{d}{dx}(y + \sin^2 x)$
$e^{xy} + x \cdot e^{xy} \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin x \cos x$ મળે.
પગલું $3$: વિકલિત સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$e^{0} + 0 \cdot e^{0} \cdot (0 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} + 2 \sin(0) \cos(0)$
$1 + 0 = \frac{dy}{dx} + 0$
$\frac{dy}{dx} = 1$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3y^2 - 2xy - x = 0$ છે.
સૌ પ્રથમ, જ્યારે $y = 2$ હોય ત્યારે $x$ ની કિંમત શોધો: $3(2)^2 - 2x(2) - x = 0 \implies 12 - 4x - x = 0 \implies 12 = 5x \implies x = \frac{12}{5}$.
સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\frac{d}{dx}(3y^2) - \frac{d}{dx}(2xy) - \frac{d}{dx}(x) = 0$.
$6y \frac{dy}{dx} - (2y + 2x \frac{dy}{dx}) - 1 = 0$.
$y = 2$ અને $x = \frac{12}{5}$ મૂકતા: $6(2) \frac{dy}{dx} - 2(2) - 2(\frac{12}{5}) \frac{dy}{dx} - 1 = 0$.
$12 \frac{dy}{dx} - 4 - \frac{24}{5} \frac{dy}{dx} - 1 = 0$.
$(12 - \frac{24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$.
$(\frac{60 - 24}{5}) \frac{dy}{dx} = 5$.
$\frac{36}{5} \frac{dy}{dx} = 5$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{25}{36}$.

(D) આપેલ છે $\sqrt{y + x} + \sqrt{y - x} = c$। બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(y + x) + (y - x) + 2\sqrt{(y + x)(y - x)} = c^2$
$2y + 2\sqrt{y^2 - x^2} = c^2$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$y^2 - x^2 = (\frac{c^2}{2} - y)^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y + y^2$
$-x^2 = \frac{c^4}{4} - c^2y$
$c^2y = x^2 + \frac{c^4}{4}$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$c^2 \frac{dy}{dx} = 2x$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{c^2}$
$\sqrt{y^2 - x^2} = \frac{c^2}{2} - y$ પરથી, $c^2 = 2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx}$ માં $c^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2(\sqrt{y^2 - x^2} + y)} = \frac{x}{\sqrt{y^2 - x^2} + y}$
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{y^2 - (y^2 - x^2)} = \frac{x(y - \sqrt{y^2 - x^2})}{x^2} = \frac{y - \sqrt{y^2 - x^2}}{x} = \frac{y}{x} - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$
$\frac{dy}{dx} = K - \sqrt{\frac{y^2}{x^2} - 1}$ સાથે સરખાવતા, $K = \frac{y}{x}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 6$।
$\sqrt{xy}$ વડે ગુણતા: $x + y = 6\sqrt{xy}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + y)^2 = 36xy$।
$x^2 + 2xy + y^2 = 36xy \implies x^2 - 34xy + y^2 = 0$।
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(x^2) - 34\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(y^2) = 0$।
$2x - 34(y + x\frac{dy}{dx}) + 2y\frac{dy}{dx} = 0$।
$2$ વડે ભાગતા: $x - 17y - 17x\frac{dy}{dx} + y\frac{dy}{dx} = 0$।
$x - 17y = \frac{dy}{dx}(17x - y)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{x - 17y}{17x - y}$।

(B) આપેલ છે કે $y = (\tan x + y)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન લેતા: $y^3 = \tan x + y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$.
$3y^2 \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$.
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 1) = \sec^2 x$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{3y^2 - 1}$.

(C) આપેલ છે $x^{1/2} y^{1/3} = (x + y)^n$।
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{3} \ln y = n \ln(x + y)$।
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} \frac{dy}{dx} = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{dy}{dx})$।
આપેલ છે $x \frac{dy}{dx} - y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$।
વિકલિત સમીકરણમાં $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} (\frac{y}{x}) = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{y}{x})$।
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{n}{x + y} (\frac{x + y}{x})$।
$\frac{3 + 2}{6x} = \frac{n}{x}$।
$\frac{5}{6x} = \frac{n}{x} \implies n = \frac{5}{6}$।