Mathematical logic Questions in Hindi

(C) चरण $1$: तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करें।
चरण $2$: इसे दिए गए व्यंजक $(p \lor q) \to \sim r$ पर लागू करें, जहाँ $A = (p \lor q)$ और $B = \sim r$ है।
चरण $3$: व्यंजक $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ बन जाता है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ को लागू करें।
चरण $5$: इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. एक सशर्त कथन $A \to B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
$2$. यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
$3$. चूँकि $B = (p \land q)$ का मान $False$ है, इसलिए $p \land q = F$ है।
$4$. चूँकि $A$ का मान $True$ है, इसलिए सभी घटक $True$ होने चाहिए: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$।
$5$. $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$6$. $(q \to r) = T$ में $r = F$ रखने पर, हमें $(q \to F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $q = F$।
$7$. $(p \lor q) = T$ में $q = F$ रखने पर, हमें $(p \lor F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = T$।
$8$. अब, $p \land q = T \land F = F$ की जाँच करें, जो हमारी शर्त से मेल खाता है।
$9$. अंत में, $p \to q = T \to F = F$ और $q \to p = F \to T = T$ है।
$10$. अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) चरण $1$: कथन $r$ का विश्लेषण करें।
$p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p=T$ और $q=F$ हो। इस स्थिति में, $p \lor q = T \lor F = T$ होता है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: कथन $s$ का विश्लेषण करें।
$p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों (अर्थात $(T, F)$ या $(F, T)$)।
यदि $(p, q) = (T, F)$ है, तो $p \lor q = T$ है। यदि $(p, q) = (F, T)$ है, तो $p \lor q = T$ है। दोनों स्थितियों में, $p \lor q$ सत्य है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r \to s$ और $s \to r$ का मूल्यांकन करें।
चूँकि $r = F$ और $s = F$ है, इसलिए निहितार्थ $F \to F$ का मान $T$ होता है।
अतः, $r \to s = T$ और $s \to r = T$ है।

(B) एक प्रतिबन्धात्मक कथन $P \to Q$ केवल तभी असत्य होता है जब $P, T$ हो और $Q, F$ हो।
यहाँ, $P = (p \land q)$ और $Q = (r \lor \sim s)$ है।
$(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ के असत्य होने के लिए, $(p \land q)$ का $T$ होना और $(r \lor \sim s)$ का $F$ होना आवश्यक है।
$(p \land q)$ के $T$ होने के लिए, $p$ और $q$ दोनों का $T$ होना आवश्यक है।
$(r \lor \sim s)$ के $F$ होने के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
यदि $\sim s, F$ है, तो $s, T$ होगा।
अतः, $p = T, q = T, r = F, s = T$।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (p \lor \sim p) \lor (q \lor \sim q) \equiv T \lor T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। डी मॉर्गन के नियम से, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। अतः, $B$ का रूप $X \leftrightarrow X$ है, जो एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।
निष्कर्ष: $A$ और $B$ पुनरुक्ति हैं, $C$ और $D$ व्याघात हैं।

(D) द्विशर्तक कथन के लिए तार्किक समतुल्यता $(p \leftrightarrow q) \equiv (p \to q) \land (q \to p)$ है।
हम जानते हैं कि $\sim (p \leftrightarrow q)$, $p \leftrightarrow \sim q$ या $\sim p \leftrightarrow q$ के समतुल्य है।
आइए $\sim (p \leftrightarrow q)$ के लिए सत्यता सारणी की जाँच करें:
यदि $p=T, q=T$, तो $\sim (T \leftrightarrow T) = \sim (T) = F$ है।
यदि $p=T, q=F$, तो $\sim (T \leftrightarrow F) = \sim (F) = T$ है।
यदि $p=F, q=T$, तो $\sim (F \leftrightarrow T) = \sim (F) = T$ है।
यदि $p=F, q=F$, तो $\sim (F \leftrightarrow F) = \sim (T) = F$ है।
अब विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $p \leftrightarrow \sim q$।
यदि $p=T, q=T$, तो $T \leftrightarrow F = F$ है।
यदि $p=T, q=F$, तो $T \leftrightarrow T = T$ है।
यदि $p=F, q=T$, तो $F \leftrightarrow F = T$ है।
यदि $p=F, q=F$, तो $F \leftrightarrow T = F$ है।
चूँकि सत्यता मान मेल खाते हैं, इसलिए $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ है।

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूँकि $B = (p \land q)$ असत्य है, $p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए।
चूँकि $A$ सत्य है, सभी घटक $(p \lor q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \to r) = T$ में रखने पर, यह $(q \to F) = T$ हो जाता है। इसका अर्थ है $q = F$।
अब $q = F$ को $(p \lor q) = T$ में रखने पर, यह $(p \lor F) = T$ हो जाता है। इसका अर्थ है $p = T$।
संगति की जाँच: $p=T, q=F, r=F$। $B = (T \land F) = F$ (सही)।
अब सत्य मानों की गणना करें:
$p \to q = T \to F = F$।
$q \to p = F \to T = T$।
अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिया है: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = T$, इसलिए $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। अतः, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, इसलिए $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
चरण $2$: द्वैत $S^*$ ज्ञात करें। $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$। अतः, $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
सत्य मान $T$ और $F$ हैं।

(B) माना कथन $S: p \to (q \to r)$ है।
$1$. $S$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim (q \to r)$ है।
$2$. प्रतिलोम का विलोम $\sim (q \to r) \to \sim p$ है।
$3$. चूँकि $\sim (q \to r) \equiv q \land \sim r$, कथन $(q \land \sim r) \to \sim p$ बन जाता है।
$4$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim (q \land \sim r) \lor \sim p \equiv (\sim q \lor r) \lor \sim p$ प्राप्त होता है।
$5$. किसी कथन का द्वैत $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। $(\sim q \lor r) \lor \sim p$ का द्वैत $(\sim q \land r) \land \sim p$ है।
$6$. विकल्पों की जाँच करने पर, हम प्रतिलोम के विलोम के द्वैत का मूल्यांकन करते हैं: $p \to (q \to r)$ के प्रतिलोम का विलोम $(q \to r) \to p$ है। $(q \to r) \to p$ का द्वैत $(\sim q \lor r) \lor p$ है, जो $p \lor (r \to q)$ है।

(A) माना $p$ कथन "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $q$ कथन "यह $3$ का गुणज है" है।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेधन $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ होता है।
यहाँ, $p \land \sim q$ का अर्थ है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है और वह $3$ का गुणज नहीं है"।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, विकल्प $(A)$ और $(D)$ समान तार्किक कथन को दर्शाते हैं। चूँकि विकल्प $(A)$ मानक रूप है, इसलिए यह सही विकल्प है।

(C) चरण $1$: कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें। चूँकि $\to$ एक मूल संयोजक नहीं है, इसलिए हम पहले कथन को $\land, \lor, \sim$ का उपयोग करके फिर से लिखते हैं।
चरण $2$: कथन $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ है। चूँकि $A \to B \equiv \sim A \lor B$, कथन $\sim (p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ बन जाता है।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर, $\sim (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor q$। अतः कथन $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ है।
चरण $4$: $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ का द्वैत $(\sim p \land q) \land (q \lor \sim p)$ है।
चरण $5$: यह $(\sim p \land q) \land (\sim p \lor q)$ में सरल हो जाता है। यह $\sim p \land q$ के समतुल्य है, जो $\sim (p \lor \sim q)$ है।
चरण $6$: विकल्पों की जाँच करने पर, मूल अभिव्यक्ति $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ का द्वैत $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ है ($\to$ को $\lor$ से और $\land$ को $\lor$ से बदलकर)।
चरण $7$: सही द्वैत $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ है, जो $(\sim p \to q) \land (q \to p)$ के समतुल्य है।

(B) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ और $B = (p \land \sim q)$ है। चूँकि $B$ असत्य है, $(p \land \sim q)$ का मान $F$ है।
चरण $3$: चूँकि $A$ सत्य है, $(p \leftrightarrow q)$ सत्य है, $(q \to r)$ सत्य है, और $\sim r$ सत्य है। अतः, $r$ का मान $F$ है।
चरण $4$: चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, तो $q$ को असत्य होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चरण $5$: चूँकि $(p \leftrightarrow q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, तो $p$ को भी असत्य होना चाहिए।
चरण $6$: संगतता की जाँच: $p=F, q=F, r=F$। तब $p \land \sim q = F \land T = F$। यह $B$ के असत्य होने से मेल खाता है।
चरण $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ का मूल्यांकन: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
चरण $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ का मूल्यांकन: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
चरण $9$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(A) माना $S$ कथन $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ है।
$1$. $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
$2$. $S$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ है।
$3$. डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर, यह $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ है।
$4$. $P \to Q$ का निषेध $P \land \sim Q$ होता है।
$5$. प्रतिधनात्मक का निषेध $(\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$ है।
$6$. डी मॉर्गन के नियम को पुनः लागू करने पर, $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$7$. अतः, परिणाम $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ है।

(C) चरण $1$: दिए गए असत्य निहितार्थ $p \to (q \lor \sim r) \equiv F$ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A, T$ हो और $B, F$ हो।
चरण $2$: अतः, $p = T$ और $(q \lor \sim r) = F$ है।
चरण $3$: $(q \lor \sim r)$ के $F$ होने के लिए, $q = F$ और $\sim r = F$ दोनों का होना आवश्यक है। इसलिए, $q = F$ और $r = T$ है।
चरण $4$: $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मूल्यांकन करें। मान प्रतिस्थापित करने पर: $(T \leftrightarrow F) \land T \equiv F \land T \equiv F$।
चरण $5$: $\sim p \to \sim q$ का मूल्यांकन करें। मान प्रतिस्थापित करने पर: $\sim T \to \sim F \equiv F \to T \equiv T$।
चरण $6$: सत्य मान $F, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
तब कथन इस प्रकार हैं:
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. एक निहितार्थ $A \implies B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ होता है, और वे तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं।
$2$. $p: V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p \equiv s$।
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ है, जो सरल होकर $C \implies V$ बनता है, जो $r$ है। अतः, $q \equiv r$।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया कथन पैटर्न $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि प्रतिबन्धन $(A \to B)$ तार्किक रूप से $(\sim A \lor B)$ के समतुल्य है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ हो जाता है।
तर्क के साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, हम इसे $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं।
चूंकि $(\sim A \lor A)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है और $(\sim B \lor B)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है, व्यंजक $T \lor T$ हो जाता है।
दो पुनरुक्तियों का वियोजन एक पुनरुक्ति $(T)$ होता है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया कथन $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, हमें $S \equiv \sim(p \land q) \lor ((p \lor r) \to \sim q)$ प्राप्त होता है।
दूसरे भाग पर पुनः नियम लागू करने पर: $S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$S$ का निषेध $\sim S \equiv \sim(\sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q))$ है।
डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim(\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$।
चूंकि $(p \land q) \land q \equiv p \land q$, इसलिए $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$।
चूंकि $(p \land q) \implies p$, और $p \implies (p \lor r)$, व्यंजक सरल होकर $p \land q$ हो जाता है।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $1^2+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $x^2+3x-10=0$ का गुणनखंड $(x+5)(x-2)=0$ है, जिससे $x=-5$ या $x=2$ प्राप्त होता है। यह सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ के लिए, $n \ge 1$, इसलिए $n^2 \ge 1$। अतः, $S_4$ सत्य है।
चरण $5$: केवल $S_3$ असत्य है। इसलिए, सही विकल्प $C$ है।

(A) $1$. दिया गया कथन $p \lor q$ है।
$2$. एक कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। हालाँकि, एक साधारण वियोजन (disjunction) $p \lor q$ के लिए, विलोम को $q \lor p$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$3$. चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के समतुल्य है (क्रमविनिमेय नियम), इसलिए $p \lor q$ का विलोम स्वयं $p \lor q$ ही है।
$4$. $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$।

(D) कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
चरण $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = (\sim p \lor \sim (\sim q)) = (\sim p \lor q)$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sim (p \to q) = (p \land \sim q)$, इसलिए $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ है।
चरण $3$: प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ है, जो $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। निर्यात के नियम का उपयोग करते हुए, $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के बराबर नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। अतः, $(III)$ सही है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। अतः, $(IV)$ सही है।
नोट: दिए गए विकल्पों में $(I)$, $(III)$ और $(IV)$ का संयोजन नहीं है। विकल्पों का पुनर्मूल्यांकन करने पर, $(I)$ और $(IV)$ निश्चित रूप से सही हैं। इसलिए, $(D)$ सबसे उपयुक्त विकल्प है।

(C) चरण $1$: दिए गए व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूंकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: वितरण नियम को पुनः लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया सत्य मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (अर्थात $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (अर्थात $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $8$: सत्य मान $T, T$ हैं।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि सभी मान $T$ हैं, विकल्प $A$ एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
चरण $1$: मध्य कोष्ठक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे $S$ में प्रतिस्थापित करें: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: $\sim q$ को व्यंजक में वितरित करें। चूँकि $(p \lor q) \land \sim q$, $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ के समतुल्य है, और $(q \land \sim q)$ का मान $F$ (असत्य) है, यह $(p \land \sim q)$ में सरल हो जाता है।
चरण $4$: अब हमारे पास $S = (p \land \sim q) \land (p \oplus q)$ है।
चरण $5$: $p \oplus q$ को $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ के रूप में विस्तारित करें। अतः, $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$।
चरण $6$: वितरण नियम द्वारा, $S = [(p \land \sim q) \land (\sim p \land q)] \lor [(p \land \sim q) \land (p \land \sim q)]$।
चरण $7$: पहला भाग $(p \land \sim q \land \sim p \land q)$, $F$ है क्योंकि $(p \land \sim p)$ का मान $F$ है। दूसरा भाग $(p \land \sim q)$ है। अतः, $S = F \lor (p \land \sim q) = p \land \sim q$।