Mathematical logic Questions in Hindi

(C) माना $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
तब $p: V \implies C$ है।
$p$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है: 'यदि धारा नहीं घटती है, तो वोल्टेज नहीं बढ़ता है'। अतः, $p \equiv s$ है।
$p$ का विलोम (converse) $C \implies V$ है, जो $r$ है: 'यदि धारा घटती है, तो वोल्टेज बढ़ता है'। अतः, $r$ और $q$ एक-दूसरे के प्रतिधनात्मक हैं, इसलिए $r \equiv q$ है।
युग्मों की तुलना करने पर: $p$ और $s$ समान हैं, तथा $q$ और $r$ समान हैं।
अतः, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया व्यंजक $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
तार्किक समतुल्यता $(X \to Y) \equiv (\sim X \lor Y)$ का उपयोग करने पर:
$(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$
$(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा, इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$
चूंकि $(X \lor \sim X)$ हमेशा सत्य $(T)$ होता है:
$T \lor T = T$
अतः, यह कथन प्रतिरूप एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$S$ का निषेध $\sim S \equiv \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ है।
डी मॉर्गन नियम लागू करने पर: $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$।
पुनः डी मॉर्गन नियम लागू करने पर: $\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$।
चूंकि $(p \land q) \land q \equiv p \land q$ होता है, इसलिए $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(p \land q) \implies (p \lor r)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है, अतः $(p \land q) \land (p \lor r) \equiv p \land q$।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$ है। चूंकि कम से कम एक $x \in N$ मौजूद है जो इसे संतुष्ट करता है, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। यह कथन दावा करता है कि सभी $n \in N$ के लिए, $x^2+3x-10=0$ है। यह असत्य है क्योंकि समीकरण $x$ पर निर्भर करता है और सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है, न ही इसका $n$ से कोई संबंध है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ के लिए, $n \ge 1$, इसलिए $n^2 \ge 1^2 = 1$ है। अतः, $S_4$ सत्य है।
निष्कर्ष: केवल $S_3$ असत्य है।

(D) चरण $1$: कथन $p \lor q$ है। किसी कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। तार्किक वियोजन $p \lor q$ के लिए, विलोम घटकों को आपस में बदलने से प्राप्त होता है, जो $q \lor p$ रहता है।
चरण $2$: चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के समतुल्य है, इसलिए $p \lor q$ का विलोम $p \lor q$ ही है।
चरण $3$: कथन $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$।

(D) एक सशर्त कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
सबसे पहले, $\sim B$ ज्ञात करें: $\sim(p \land \sim q) \equiv \sim p \lor \sim(\sim q) \equiv \sim p \lor q$।
अगला, $\sim A$ ज्ञात करें: $\sim[p \lor (p \to q)] \equiv \sim p \land \sim(p \to q)$।
चूंकि $(p \to q) \equiv (\sim p \lor q)$, इसलिए $\sim(p \to q) \equiv \sim(\sim p \lor q) \equiv (p \land \sim q)$।
अतः, $\sim A \equiv \sim p \land (p \land \sim q)$।
इसलिए, प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ का मान $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। नियम $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ का उपयोग करते हुए। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के बराबर नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। अतः, $(III)$ सही है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। अतः, $(IV)$ सही है।
चरण $5$: विश्लेषण के आधार पर $(I)$, $(III)$, और $(IV)$ सही हैं। दिए गए विकल्पों में $(I)$ और $(IV)$ सही हैं, इसलिए विकल्प $(D)$ सबसे उपयुक्त है।

(C) परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है। परिपथ के लिए तार्किक व्यंजक है:
$S = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
चूंकि $S_1 \lor S_1' = 1$ (पुनरुक्ति):
$S = (1 \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$S = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
वितरण नियम $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ का उपयोग करने पर:
$S = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
चूंकि $S_2 \lor S_2' = 1$:
$S = S_2 \lor S_3$
इस सरलीकृत परिपथ में केवल दो स्विच, $S_2$ और $S_3$, समानांतर में जुड़े हुए आवश्यक हैं।

(C) चरण $1$: दिए गए कथन प्रतिरूप $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूँकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: पुनः वितरण नियम लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया सत्यता मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (अर्थात $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (अर्थात $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor F) \equiv T$ और $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
स्विच $S$ के लिए, $S'$ पूरक ($NOT$ गेट) को दर्शाता है।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यह $XNOR$ गेट का तर्क है।
आउटपुट $L$ का मान $1$ (प्रकाशित) होता है यदि दोनों इनपुट $S_1$ और $S_2$ समान हों।
अतः, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1$ और $S_2$ दोनों चालू $(1, 1)$ हों या दोनों बंद $(0, 0)$ हों।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
चरण $1$: मध्य कोष्ठक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: यदि $\sim q$ सत्य है, तो $q$ असत्य है। $q = F$ रखने पर:
$S = (p \lor F) \land (p \oplus F) \land T$
$S = p \land p \land T = p$।
सत्यता सारणी (truth table) से जाँचने पर:
यदि $p=T, q=F$ है, तो $S = T$ प्राप्त होता है।
यदि $p=F, q=F$ है, तो $S = F$ प्राप्त होता है।
अतः, $S \equiv p \land \sim q$।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $A$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
चरण $2$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ के लिए सत्यता सारणी बनाएँ।
- यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि सभी मान $T$ हैं, यह एक पुनरुक्ति है।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. दिया गया है कि $\sim p \to q$ असत्य है, इसलिए $\sim p = T$ और $q = F$ होना चाहिए।
$3$. चूँकि $\sim p = T$, इसलिए $p = F$ होगा।
$4$. द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$5$. चूँकि $q = F$ और $q \leftrightarrow r$ असत्य है, इसलिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$6$. अतः, सत्य मान $(p, q, r) = (F, F, T)$ हैं।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$।
चरण $1$: विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन: $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
चरण $2$: विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन: $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
चरण $3$: विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन: $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
चरण $4$: विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन: $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
चरण $1$: $[(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ को सत्य और $(p \land q)$ को असत्य मानिए।
चरण $2$: संयोजन के सत्य होने के लिए, प्रत्येक भाग को सत्य होना चाहिए: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$।
चरण $3$: $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है। चूंकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए।
चरण $4$: चूंकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को $T$ होना चाहिए।
चरण $5$: $(p \land q) = (T \land F) = F$ की जाँच करें, जो सुसंगत है।
चरण $6$: $p=T, q=F, r=F$ के साथ विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (यह सत्य नहीं है, क्योंकि यह सत्य है)
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (सत्य कथन)
अतः, विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) चरण $1$: माना दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है। एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ होता है। कथन $\sim p \lor q$, $p \to q$ के समतुल्य है।
चरण $2$: $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ है, जो $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ के समतुल्य है।
चरण $3$: प्रतिलोम का निषेध $\sim(p \lor \sim q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)'। एक सशर्त कथन $P \implies Q$ असत्य होता है यदि $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)'। चूँकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। '$14$ एक भाज्य संख्या है (सत्य) और $3$ एक सम संख्या है (असत्य)'। संयोजन '$14$ भाज्य है और $3$ सम है' असत्य है। इसलिए, 'यह सत्य नहीं है कि...' कथन को सत्य बनाता है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है (सत्य), लेकिन $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य, क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं)'। चूँकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$. $p$ का मूल्यांकन: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$ सत्य है, और $3^3 = 27 > 4^1 = 4$ भी सत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies T$, $T$ है। अतः, $p$ सत्य है।
$2$. $q$ का मूल्यांकन: $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' कथन सत्य है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ असत्य है।
$3$. $r$ का मूल्यांकन: $r$ है $p \vee \neg q$। चूँकि $p$ सत्य है और $\neg q$ सत्य है, $T \vee T$ सत्य है। अतः, $r$ सत्य है।
$4$. विकल्पों की जाँच:
$(A)$ $(T \vee F) \wedge T = T \wedge T = T$
$(B)$ $T \vee (F \wedge T) = T \vee F = T$
$(C)$ $T \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$
$(D)$ $(T \wedge F) \vee T = F \vee T = T$
नोट: सभी विकल्प $T$ परिणाम देते हैं।

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sim(\sim q) = q$ होता है, इसलिए प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) तार्किक व्यंजक $\sim p \vee q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य होना चाहिए।
चूंकि $q$ असत्य है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$।
$(B)$ $p \to q \equiv T \to F \equiv F$।
$(C)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$।
$(D)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$ (जो $F$ नहीं है)।
अतः, $q \to p$ सत्य है।

(C) चरण $1$: तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करें।
चरण $2$: इसे दिए गए व्यंजक पर लागू करें: $(p \vee q) \to \sim r \equiv \sim (p \vee q) \vee \sim r$।
चरण $3$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करें, जो कहता है कि $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$।
चरण $4$: इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर हमें $(\sim p \wedge \sim q) \vee \sim r$ प्राप्त होता है।

(C) निहितार्थ $A \to B$, $False$ केवल तब होता है जब $A$, $True$ हो और $B$, $False$ हो।
यहाँ, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
चूँकि $B$, $False$ है, इसलिए $(p \wedge q)$ का मान $False$ है।
चूँकि $A$, $True$ है, इसलिए सभी घटक $(p \vee q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ का $True$ होना आवश्यक है।
$(\sim r) = True$ से, हमें $r = False$ प्राप्त होता है।
$r = False$ को $(q \to r) = True$ में प्रतिस्थापित करने पर, यह $(q \to False) = True$ हो जाता है। इसका अर्थ है $q = False$ है।
$q = False$ को $(p \vee q) = True$ में प्रतिस्थापित करने पर, यह $(p \vee False) = True$ हो जाता है। इसका अर्थ है $p = True$ है।
अब, आवश्यक सत्य मानों का मूल्यांकन करें:
$p \to q$ का मान $True \to False$ हो जाता है, जो $False$ है।
$q \to p$ का मान $False \to True$ हो जाता है, जो $True$ है।
अतः, सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) $1$. $r$ के लिए: $p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p=T$ और $q=F$ हो। इस स्थिति में, $p \vee q = T \vee F = T$ होता है। चूँकि कथन कहता है कि $p \vee q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
$2$. $s$ के लिए: $p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों ($T, F$ या $F, T$)।
- यदि $p=T, q=F$, तो $p \vee q = T$। कथन $s$ दावा करता है कि यह असत्य है, अतः $s$ असत्य $(F)$ है।
- यदि $p=F, q=T$, तो $p \vee q = T$। कथन $s$ दावा करता है कि यह असत्य है, अतः $s$ असत्य $(F)$ है।
चूँकि $s$ उन सभी स्थितियों में असत्य है जहाँ शर्त पूरी होती है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
$3$. अब, $r=F$ और $s=F$ है। $r \to s$ का सत्य मान $F \to F = T$ है। $s \to r$ का सत्य मान $F \to F = T$ है।

(B) $1$. एक निहितार्थ (implication) $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
$2$. यहाँ, $A = (p \wedge q)$ और $B = (r \vee \sim s)$ है।
$3$. $(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए, $p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$4$. $(r \vee \sim s)$ के असत्य होने के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
$5$. यदि $r$ असत्य $(F)$ है और $\sim s$ असत्य $(F)$ है, तो $s$ को सत्य $(T)$ होना चाहिए।
$6$. अतः, सत्य मान $p=T, q=T, r=F, s=T$ हैं।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \vee (p \to q) \equiv (\sim q \vee p) \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \vee q) \vee (\sim p \vee p) \equiv T \vee T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: डी मॉर्गन के नियम से, $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$। अतः, $(\sim p \vee \sim q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ हमेशा सत्य है। अतः, $B$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q \equiv [(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv [F \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv (q \wedge \sim p \wedge \sim q) \equiv (q \wedge \sim q) \wedge \sim p \equiv F \wedge \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।

(D) द्विशर्तक कथन $p \leftrightarrow q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ का सत्य मान समान हो।
अतः, $\sim (p \leftrightarrow q)$ तब सत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$: $p \leftrightarrow \sim q$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ का सत्य मान समान हो, जिसका अर्थ है कि $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न होने चाहिए।
इस प्रकार, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$।

(A) एक प्रतिबन्धित कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ और $B = (p \wedge q)$ है।
चूँकि $B$ असत्य है, $(p \wedge q) = F$ है।
चूँकि $A$ सत्य है, $(p \vee q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$ है।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
$r = F$ को $(q \to r) = T$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(q \to F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $q = F$ है।
$q = F$ को $(p \vee q) = T$ में प्रतिस्थापित करने पर, $(p \vee F) = T$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = T$ है।
अब, $p \to q$ और $q \to p$ के सत्यता मानों की गणना करें:
$p \to q = T \to F = F$ है।
$q \to p = F \to T = T$ है।
अतः, सत्यता मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = \sim F = T$।
$(p \wedge \sim q) = (T \wedge T) = T$।
$\sim (p \wedge \sim q) = \sim T = F$।
$(q \vee \sim r) = (F \vee \sim F) = (F \vee T) = T$।
$S = (F \vee T) = T$।
चरण $2$: द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। द्वैत के लिए, $\wedge$ को $\vee$ से, $\vee$ को $\wedge$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
$S^* = [\sim (p \vee \sim q) \wedge (q \wedge \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \vee \sim q) = (T \vee T) = T$।
$\sim (p \vee \sim q) = \sim T = F$।
$(q \wedge \sim r) = (F \wedge T) = F$।
$S^* = (F \wedge F) = F$।
अतः, सत्य मान $T$ और $F$ हैं।

(B) माना कथन $S: p \to (q \to r)$ है।
$1$. $S$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim (q \to r)$ है।
$2$. प्रतिलोम का विलोम $\sim (q \to r) \to \sim p$ है।
$3$. चूँकि $\sim (q \to r) \equiv q \wedge \sim r$, कथन $(q \wedge \sim r) \to \sim p$ बन जाता है।
$4$. $A \to B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim (q \wedge \sim r) \vee \sim p \equiv (\sim q \vee r) \vee \sim p$ प्राप्त होता है।
$5$. किसी कथन का द्वैत $\vee$ को $\wedge$ से, $\wedge$ को $\vee$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। $(\sim q \vee r) \vee \sim p$ का द्वैत $(\sim q \wedge r) \wedge \sim p$ है।
$6$. विकल्पों की जाँच करने पर, सही उत्तर $p \vee (r \to q)$ है।

(C) माना $p$ कथन है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" और $q$ कथन है "वह $3$ का गुणज है"।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ होता है।
यहाँ, $p$ है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" और $\sim q$ है "वह $3$ का गुणज नहीं है"।
अतः, निषेध है "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है लेकिन वह $3$ का गुणज नहीं है"।
यह विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) चरण $1$: किसी कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\wedge$ को $\vee$ से, $\vee$ को $\wedge$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें। ध्यान दें कि निहितार्थ ऑपरेटर $\to$ को नहीं बदला जाता है।
चरण $2$: दिया गया कथन $(p \wedge \sim q) \to (q \wedge \sim p)$ है।
चरण $3$: $\wedge$ को $\vee$ से बदलने पर, द्वैत $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p)$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: तार्किक समतुल्यता $a \to b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करें। अतः, $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p) \equiv \sim (p \vee \sim q) \vee (q \vee \sim p)$।
चरण $5$: डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर, $\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$। अतः व्यंजक $(\sim p \wedge q) \vee (q \vee \sim p)$ हो जाता है।

(C) माना $S_1$ और $S_2$ स्विच हैं। परिपथ में तीन समानांतर शाखाएँ हैं। प्रतीकात्मक निरूपण है:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
चूँकि $(S_2 \lor S_2') = 1$ (पुनरुक्ति):
$L = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$L = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
वितरण नियम $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ का उपयोग करने पर:
$L = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
चूँकि $(S_1 \lor S_1') = 1$:
$L = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
यह समानांतर में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ के बराबर है।

(D) माना कथन $S: A \to B$ है, जहाँ $A = (p \vee \sim q)$ और $B = (p \wedge \sim q)$ है।
$S$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ है।
प्रतिधनात्मक का निषेध $\sim (\sim B \to \sim A)$ है।
सर्वसमिका $\sim (X \to Y) \equiv X \wedge \sim Y$ का उपयोग करने पर, हमें $\sim B \wedge \sim (\sim A) \equiv \sim B \wedge A$ प्राप्त होता है।
$A$ और $B$ का मान रखने पर: $(p \vee \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$।
डी मॉर्गन नियम का उपयोग करने पर, $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$।
अतः, व्यंजक $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।

(B) चरण $1$: दिए गए निहितार्थ $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] \to (p \land \sim q) = F$ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $T$ हो और परिणामी $F$ हो।
चरण $2$: परिणामी $(p \land \sim q) = F$। पूर्ववर्ती $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] = T$। इसका अर्थ है $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, और $\sim r = T$।
चरण $3$: $\sim r = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है। चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए। चूँकि $(p \leftrightarrow q) = T$ और $q = F$, इसलिए $p$ को $F$ होना चाहिए।
चरण $4$: प्रथम प्रतिरूप $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ का मूल्यांकन करें। $p=F, q=F, r=F$ प्रतिस्थापित करने पर: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) \equiv T \leftrightarrow T = T$।
चरण $5$: द्वितीय प्रतिरूप $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ का मूल्यांकन करें। $p=F, q=F, r=F$ प्रतिस्थापित करने पर: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) \equiv \sim F \to F \equiv T \to F = F$।
चरण $6$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(C) $1$. प्रतिबंधन $p \to (q \lor \sim r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ का मान $T$ हो और $(q \lor \sim r)$ का मान $F$ हो।
$2$. $(q \lor \sim r)$ के $F$ होने के लिए, $q$ का मान $F$ और $\sim r$ का मान $F$ होना चाहिए। अतः, $q = F$ और $r = T$ है।
$3$. अब, $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T, q = F, r = T$ है, हमें $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$ प्राप्त होता है।
$4$. $\sim p \to \sim q$ का मूल्यांकन करें: चूँकि $p = T, q = F$ है, हमें $\sim T \to \sim F = F \to T = T$ प्राप्त होता है।
$5$. अतः, सत्य मान $F, T$ हैं।

(C) माना $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
$p: V \implies \neg C$
$q: \neg V \implies C$
$r: \neg C \implies V$
$s: C \implies \neg V$
याद रखें कि एक सशर्त कथन $A \implies B$ तार्किक रूप से अपने प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ के समतुल्य होता है।
$p: V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p \equiv s$ है।
$q: \neg V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies V$ है, जो $r$ है। अतः, $q \equiv r$ है।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया व्यंजक $(A \to B) \lor (B \to A)$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ होता है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ बन जाता है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, यह $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के समतुल्य है।
चूंकि $(\sim A \lor A)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है और $(\sim B \lor B)$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है, व्यंजक $T \lor T$ हो जाता है, जो $T$ है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$।
$S \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor ((\sim p \land \sim r) \lor \sim q)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा, $S \equiv \sim p \lor \sim q \lor (\sim p \land \sim r)$।
चूंकि $(\sim p \land \sim r) \implies \sim p$, व्यंजक सरल होकर $S \equiv \sim p \lor \sim q$ हो जाता है।
$S$ का निषेध $\sim(\sim p \lor \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम द्वारा, $\sim(\sim p \lor \sim q) \equiv p \land q$।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $n^2+3n-10 = 0$ का गुणनखंड $(n+5)(n-2) = 0$ है, जिससे $n=2$ या $n=-5$ प्राप्त होता है। चूँकि $n \in N$, यह केवल $n=2$ के लिए सत्य है, सभी $n \in N$ के लिए नहीं। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ $(n \ge 1)$ के लिए, $n^2 \ge 1$ हमेशा सत्य है। अतः, $S_4$ सत्य है।
निष्कर्ष: केवल $S_3$ असत्य है।

(A) $1$. दिया गया कथन $p \lor q$ है।
$2$. कथन $p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है। एक सरल वियोजन (disjunction) $p \lor q$ के लिए, विलोम घटकों को बदलकर प्राप्त किया जाता है: $q \lor p$।
$3$. चूँकि $p \lor q$ तार्किक रूप से $q \lor p$ के बराबर है, इसलिए विलोम $q \lor p$ है।
$4$. विलोम का निषेध $\sim(q \lor p)$ है।
$5$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार, $\sim(q \lor p) \equiv \sim q \land \sim p$, जो $\sim p \land \sim q$ के बराबर है।

(D) एक सशर्त कथन $A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ के रूप में परिभाषित है।
दिया गया कथन: $[p \lor (p \to q)] \to (p \land \sim q)$।
यहाँ, $A = [p \lor (p \to q)]$ और $B = (p \land \sim q)$ है।
चरण $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$ ज्ञात करें।
चरण $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sim (p \to q) = p \land \sim q$ है, इसलिए $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ होगा।
चरण $3$: $\sim B \to \sim A$ बनाने के लिए संयोजित करें, जो $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।
यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। यह सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (p \to q) \lor r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के तुल्य नहीं है। यह गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। यह $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ के तुल्य नहीं है। यह गलत है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। यह सही है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(IV)$ सही हैं।

(C) माना $S_1, S_2, S_3$ स्विच हैं। परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$: $S_1$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_1 \land S_2)$
शाखा $2$: $S_1'$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_1' \land S_2)$
शाखा $3$: $S_3$ और $S_2'$ श्रेणीक्रम में $\rightarrow (S_3 \land S_2')$
कुल परिपथ व्यंजक $C = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$ है।
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(S_1 \lor S_1') \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$।
चूँकि $(S_1 \lor S_1') = T$ (एक पुनरुक्ति), व्यंजक $T \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ बन जाता है।
यह $S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ में सरल हो जाता है।
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$।
चूँकि $(S_2 \lor S_2') = T$, व्यंजक $(S_2 \lor S_3)$ में सरल हो जाता है।
यह समानांतर में दो स्विच $S_2$ और $S_3$ को दर्शाता है। स्विचों की न्यूनतम संख्या $2$ है।

(C) दिया गया कथन पैटर्न $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q) = F$ है।
चूंकि वियोजन (disjunction) $F$ है, इसलिए सभी घटक $F$ होने चाहिए: $(\sim p \land q) = F$, $(\sim p \land \sim q) = F$, और $(p \land \sim q) = F$।
$(\sim p \land q) = F$ और $(\sim p \land \sim q) = F$ से, हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $\sim p \land (q \lor \sim q) = F$। चूंकि $(q \lor \sim q)$ एक पुनरुक्ति (tautology) $T$ है, हमारे पास $\sim p \land T = F$ है, जिसका अर्थ है $\sim p = F$, इसलिए $p = T$।
अब $p = T$ को $(p \land \sim q) = F$ में प्रतिस्थापित करें: $T \land \sim q = F$, जिसका अर्थ है $\sim q = F$, इसलिए $q = T$।
अब $(p \lor \sim q) = (T \lor \sim T) = (T \lor F) = T$ का मूल्यांकन करें।
अब $(p \to q) = (T \to T) = T$ का मूल्यांकन करें।
अतः, सत्य मान $T, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यहाँ, $S'_1$, $S_1$ का निषेध है (अर्थात $S'_1 = \neg S_1$) और $S'_2$, $S_2$ का निषेध है (अर्थात $S'_2 = \neg S_2$)।
सर्किट प्रकाशित $(L=1)$ होता है यदि $(S_1 \land S_2) = 1$ या $(S'_1 \land S'_2) = 1$ हो।
$(S_1 \land S_2) = 1$ का अर्थ है $S_1 = 1$ और $S_2 = 1$।
$(S'_1 \land S'_2) = 1$ का अर्थ है $S'_1 = 1$ और $S'_2 = 1$, जिसका अर्थ है $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$।
अतः, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1$ और $S_2$ दोनों चालू हों या दोनों बंद हों।

(A) पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $1$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
यदि $p=T, q=T$, तो $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=T, q=F$, तो $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
यदि $p=F, q=T$, तो $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
यदि $p=F, q=F$, तो $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चूंकि यह कथन सभी स्थितियों में सत्य है, इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।

(A) $1$. मान लीजिए स्विच को $S_1, S_2, S_3$ चरों द्वारा दर्शाया गया है।
$2$. वर्णित परिपथ $(S_1 \lor S_2) \land S_3$ है।
$3$. स्विचिंग परिपथ तर्क में, '$OR$' संक्रिया समानांतर संयोजन के अनुरूप है और '$AND$' संक्रिया श्रेणी संयोजन के अनुरूप है।
$4$. अतः, $(S_1 \lor S_2)$ का अर्थ है $S_1$ और $S_2$ समानांतर में हैं।
$5$. $\land S_3$ पद इंगित करता है कि यह समानांतर ब्लॉक $S_3$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
$6$. यह विवरण से मेल खाता है: $S_3$ और $S_1$ व $S_2$ के समानांतर संयोजन का श्रेणी संयोजन।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $\sim p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $\sim p$ का मान $T$ हो और $q$ का मान $F$ हो।
$2$. चूँकि $\sim p = T$, इसलिए $p = F$ होगा।
$3$. दिया गया है कि $q = F$, द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ केवल तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$4$. चूँकि $q = F$, इसलिए $q \leftrightarrow r$ को असत्य होने के लिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$5$. अतः, सत्य मान $p = F$, $q = F$, और $r = T$ हैं, जो $(F, F, T)$ है।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$।
$(A)$ $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूंकि $B$ असत्य है, $(p \land q) = F$ है।
चूंकि $A$ सत्य है, $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, और $(\sim r) = T$ है।
$(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को $F$ होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चूंकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को $T$ होना चाहिए।
अतः, $p = T, q = F, r = F$ है।
अब विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (यह सत्य नहीं है क्योंकि यह सत्य है)।
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (सत्य कथन)।
इसलिए, विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।