Mathematical logic Questions in Hindi

(B) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है, जो $p \to q$ के समतुल्य है।
चरण $2$: $p \to q$ का प्रतिलोम $\sim p \to \sim q$ होता है।
चरण $3$: $\sim p \to \sim q$ को $\sim (\sim p) \lor \sim q$ अर्थात $p \lor \sim q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चरण $4$: इस प्रतिलोम का निषेध $\sim (p \lor \sim q)$ है।
चरण $5$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land \sim (\sim q) = \sim p \land q$।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)।' एक सशर्त कथन $P \implies Q$ केवल तब असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)।' चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। 'यह सत्य नहीं है कि ($14$ भाज्य है (सत्य) और $3$ सम है (असत्य))।' आंतरिक संयोजन असत्य है, इसलिए इसका निषेध सत्य है। अतः, $III$ सत्य है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ अपरिमेय है (सत्य) और $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य, क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र होती हैं)।' चूंकि दोनों सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(D) चरण $1$: $p$ का मूल्यांकन करें। $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$, पूर्ववर्ती सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$ है। चूँकि $27 > 256$ असत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies F$, $F$ है। अतः, $p$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: $q$ का मूल्यांकन करें। $x^2 - 2x + 2 = 0$ के लिए, विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। कथन 'मुंबई महाराष्ट्र में है' सत्य $(T)$ है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$, $F$ है। अतः, $q$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r$ का मूल्यांकन करें। $r$ है '$p$ सत्य है या $q$ असत्य है'। चूँकि $p$ असत्य है और $q$ असत्य है, '$q$ असत्य है' सत्य $(T)$ है। अतः, $F \lor T$, $T$ है। इसलिए, $r$ सत्य $(T)$ है।
चरण $4$: विकल्पों की जाँच करें। $p=F, q=F, r=T$ है।
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$।
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$।
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$।
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$।
अतः, विकल्प $D$ सही है।

(A) एक सशर्त कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा, जो $\sim p \to \sim(\sim q)$ बन जाता है।
द्वि-निषेध नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(\sim q) = q$ होता है।
इस प्रकार, प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) $1$. तार्किक व्यंजक $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ असत्य हो और $q$ भी असत्य हो।
$2$. यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
$3$. चूँकि $q$ असत्य $(F)$ है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
$4$. अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(a)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F = F$
$(b)$ $p \rightarrow q \equiv T \rightarrow F = F$
$(c)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$(d)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$5$. अतः, $q \rightarrow p$ सत्य है।

(C) तार्किक समतुल्यता $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर:
$(p \lor q) \to \sim r \equiv \sim (p \lor q) \lor \sim r$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim (p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ होता है।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\sim p \land \sim q \lor \sim r$ प्राप्त होता है, जो कि $( \sim p \land \sim q) \lor \sim r$ है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब $False$ होता है जब $A$ का मान $True$ हो और $B$ का मान $False$ हो।
यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चूँकि $B$ का मान $False$ है, इसलिए $(p \land q) = False$ है।
चूँकि $A$ का मान $True$ है, इसलिए $(p \lor q) = True$, $(q \to r) = True$, और $(\sim r) = True$ है।
$(\sim r) = True$ से, हमें $r = False$ प्राप्त होता है।
$r = False$ को $(q \to r) = True$ में रखने पर: $(q \to False) = True$, जिसका अर्थ है $q = False$ है।
$q = False$ को $(p \lor q) = True$ में रखने पर: $(p \lor False) = True$, जिसका अर्थ है $p = True$ है।
अब, $(p \land q) = (True \land False) = False$ की जाँच करें, जो हमारी शर्त से मेल खाता है।
अतः, $p = True$ और $q = False$ है।
तब, $p \to q = (True \to False) = False$ है।
और $q \to p = (False \to True) = True$ है।
सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(A) चरण $1$: कथन $r$ का विश्लेषण करें।
$p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $p = T$ और $q = F$ हो। इस स्थिति में, $p \lor q = T \lor F = T$ है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $r$ असत्य $(F)$ है।
चरण $2$: कथन $s$ का विश्लेषण करें।
$p \leftrightarrow q$ तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्य मान भिन्न हों ($p=T, q=F$ या $p=F, q=T$)।
यदि $p=T, q=F$, तो $p \lor q = T$ है। यदि $p=F, q=T$, तो $p \lor q = T$ है। दोनों स्थितियों में, $p \lor q$ सत्य है। चूँकि कथन दावा करता है कि $p \lor q$ असत्य है, इसलिए $s$ असत्य $(F)$ है।
चरण $3$: $r \to s$ और $s \to r$ का मूल्यांकन करें।
चूँकि $r = F$ और $s = F$, इसलिए $r \to s = F \to F = T$ और $s \to r = F \to F = T$ है। अतः, सत्य मान $T, T$ हैं।

(B) $1$. एक सशर्त कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. यहाँ, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ असत्य है, इसलिए $(p \land q) = T$ और $(r \lor \sim s) = F$ है।
$3$. $(p \land q) = T$ के लिए, $p$ और $q$ दोनों का $T$ होना आवश्यक है।
$4$. $(r \lor \sim s) = F$ के लिए, $r$ और $\sim s$ दोनों का $F$ होना आवश्यक है।
$5$. चूँकि $r = F$ और $\sim s = F$ है, इसलिए $s = T$ होगा।
$6$. अतः, सत्य मान $p = T, q = T, r = F, s = T$ हैं।

(B) चरण $1$: $A$ का विश्लेषण: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। अतः, $A$ एक पुनरुक्ति है।
चरण $2$: $B$ का विश्लेषण: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। डी मॉर्गन नियम के अनुसार, $\sim p \lor \sim q \equiv \sim (p \land q)$। अतः, $B$ का रूप $X \leftrightarrow X$ है, जो एक पुनरुक्ति है।
चरण $3$: $C$ का विश्लेषण: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। अतः, $C$ एक व्याघात है।
चरण $4$: $D$ का विश्लेषण: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। अतः, $D$ एक व्याघात है।
निष्कर्ष: $A$ और $B$ पुनरुक्ति हैं, $C$ और $D$ व्याघात हैं।

(D) द्विशर्तक कथन $p \leftrightarrow q$, $(p \to q) \land (q \to p)$ के समतुल्य है।
अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv ∼ ((p \to q) \land (q \to p))$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर, यह $∼ (p \to q) \lor ∼ (q \to p)$ हो जाता है।
चूँकि $p \to q \equiv ∼ p \lor q$, इसलिए $∼ (p \to q) \equiv p \land ∼ q$।
इसी प्रकार, $∼ (q \to p) \equiv q \land ∼ p$।
अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land ∼ q) \lor (q \land ∼ p)$।
अब, विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $p \leftrightarrow ∼ q \equiv (p \to ∼ q) \land (∼ q \to p) \equiv (∼ p \lor ∼ q) \land (q \lor p) \equiv (p \land q) \lor (∼ p \land ∼ q)$।
सत्यता सारणी के अनुसार, $p \leftrightarrow ∼ q$ और $∼ (p \leftrightarrow q)$ के मान सभी स्थितियों में समान हैं। अतः, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow ∼ q$।

(A) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ और $B = (p \land q)$ है।
चरण $3$: $B = (p \land q)$ के असत्य होने के लिए, $p$ या $q$ में से कम से कम एक का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $4$: $A$ के सत्य होने के लिए, $(p \lor q)$ सत्य होना चाहिए, $(q \to r)$ सत्य होना चाहिए, और $(\sim r)$ सत्य होना चाहिए।
चरण $5$: $(\sim r) = T$ से, हमें $r = F$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, इसलिए $q$ को असत्य होना चाहिए।
चरण $7$: चूँकि $(p \lor q) = T$ और $q = F$ है, इसलिए $p$ को सत्य होना चाहिए।
चरण $8$: अब, $p \to q$ का मूल्यांकन करें: $T \to F = F$।
चरण $9$: $q \to p$ का मूल्यांकन करें: $F \to T = T$।
चरण $10$: सत्य मान $(F, T)$ हैं।

(B) दिया गया है: $p = T, q = F, r = F$।
चरण $1$: कथन $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ का मूल्यांकन करें।
$\sim q = T$, इसलिए $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। अतः, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, इसलिए $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
चरण $2$: द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से, और $F$ को $T$ से बदलें।
द्वैत $S^*$ है $[\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
चरण $3$: $S^*$ का मूल्यांकन करें।
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$, इसलिए $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
सत्य मान क्रमशः $T$ और $F$ हैं।

(A) चरण $1$: दिया गया कथन $S = p \to (q \to r)$ है।
चरण $2$: $S$ का प्रतिलोम $∼ p \to ∼ (q \to r)$ है।
चरण $3$: प्रतिलोम का विलोम $∼ (q \to r) \to ∼ p$ है।
चरण $4$: $q \to r \equiv ∼ q \lor r$ का उपयोग करने पर, व्यंजक $∼ (∼ q \lor r) \to ∼ p$ हो जाता है, जो $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ है।
चरण $5$: किसी कथन का द्वैत $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलकर प्राप्त किया जाता है। निहितार्थ $A \to B$ का अर्थ $∼ A \lor B$ है। अतः, $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ का अर्थ $∼ (q \land ∼ r) \lor ∼ p \equiv (∼ q \lor r) \lor ∼ p$ है।
चरण $6$: $(∼ q \lor r) \lor ∼ p$ का द्वैत $(∼ q \land r) \land ∼ p$ है।
चरण $7$: विकल्प $∼ [p \lor (r \to q)]$ का मान $∼ [p \lor (∼ r \lor q)] \equiv ∼ p \land (r \land ∼ q)$ है, जो द्वैत रूप से मेल खाता है।

(C) माना $p$ कथन "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $q$ कथन "वह $3$ का गुणज है" है।
दिया गया कथन "यदि $p$, तो $q$" के रूप में है, जिसे $p \implies q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $p$ "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है" है और $\sim q$ "वह $3$ का गुणज नहीं है" है।
अतः, निषेध "एक पूर्णांक $4$ से बड़ा और $5$ से छोटा है और वह $3$ का गुणज नहीं है" है।
यह विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) चरण $1$: किसी कथन पैटर्न का द्वैत ज्ञात करने के लिए, $\land$ को $\lor$ से, $\lor$ को $\land$ से, $T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें। निहितार्थ $A \to B$, $\sim A \lor B$ के समतुल्य है।
चरण $2$: दिया गया कथन $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ है।
चरण $3$: द्वैत रूपांतरण लागू करने पर, हमें $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: चूंकि $(p \lor \sim q) \equiv \sim p \to \sim q$ और $(q \lor \sim p) \equiv p \to q$, व्यंजक $(\sim p \to \sim q) \land (p \to q)$ है।
चरण $5$: विकल्पों का विश्लेषण करने पर, सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $S_1$ वह स्विच है जिसे $p$ द्वारा दर्शाया गया है और $S_2$ वह स्विच है जिसे $q$ द्वारा दर्शाया गया है।
समांतर सर्किट में, स्विच इस प्रकार जुड़े होते हैं कि यदि $p$ या $q$ में से कोई भी बंद हो तो धारा प्रवाहित होती है।
इसे तार्किक वियोजन $p \lor q$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यदि सर्किट दो स्विचों का एक सरल समांतर संयोजन है, तो सरलतम रूप $p \lor q$ है।

(D) माना $S$ कथन $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ है।
$A \to B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \to \sim A$ होता है।
अतः, $S$ का प्रतिधनात्मक $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करने पर, यह $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ है।
एक निहितार्थ $P \to Q$ का निषेध $P \land \sim Q$ होता है।
यहाँ, $P = (\sim p \lor q)$ और $Q = (\sim p \land q)$ है।
निषेध $= (\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$।
दूसरे भाग पर डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$।
इसलिए, निषेध $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ है।

(B) चरण $1$: दिए गए निहितार्थ का विश्लेषण करें। एक निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो।
चरण $2$: यहाँ, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ और $B = (p \land \sim q)$ है। चूँकि $B$ असत्य है, $(p \land \sim q)$ का मान $F$ है।
चरण $3$: चूँकि $A$ सत्य है, सभी घटक सत्य होने चाहिए: $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, और $\sim r = T$। अतः $r = F$ है।
चरण $4$: चूँकि $(q \to r) = T$ और $r = F$ है, तो $q$ का मान $F$ होना चाहिए (क्योंकि $T \to F$ असत्य होता है)।
चरण $5$: चूँकि $(p \leftrightarrow q) = T$ और $q = F$ है, तो $p$ का मान $F$ होना चाहिए।
चरण $6$: पहले प्रतिरूप का मूल्यांकन करें: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
चरण $7$: दूसरे प्रतिरूप का मूल्यांकन करें: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
चरण $8$: सत्य मान $(T, F)$ हैं।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $p \to (q \lor \sim r)$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य $(T)$ हो और $(q \lor \sim r)$ असत्य $(F)$ हो।
$2$. $(q \lor \sim r)$ के असत्य होने के लिए, $q$ का $F$ होना और $\sim r$ का $F$ होना आवश्यक है। अतः $q = F$ और $r = T$ है।
$3$. हमारे पास $p = T$, $q = F$, और $r = T$ हैं।
$4$. $(p \leftrightarrow q) \land r$ का मान ज्ञात करें: $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$।
$5$. $\sim p \to \sim q$ का मान ज्ञात करें: $\sim T \to \sim F = F \to T = T$।
$6$. सत्य मान $F, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $V$ कथन 'वोल्टेज बढ़ता है' है और $C$ कथन 'धारा घटती है' है।
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. एक सशर्त कथन $A \implies B$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ होता है, और वे तार्किक रूप से समतुल्य होते हैं।
$2$. $p: V \implies C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg C \implies \neg V$ है, जो $s$ है। अतः, $p$ और $s$ समतुल्य हैं।
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ के लिए, प्रतिधनात्मक $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ है, जो सरल होकर $C \implies V$ बनता है, जो $r$ है। अतः, $q$ और $r$ समतुल्य हैं।
इसलिए, समान अर्थ वाले युग्म $(p, s)$ और $(q, r)$ हैं।

(B) माना $A = (p \land q)$ और $B = (\sim p \lor r)$ है।
दिया गया कथन पैटर्न $(A \to B) \lor (B \to A)$ है।
हम जानते हैं कि $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ और $(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$ होता है।
अतः, व्यंजक $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ बन जाता है।
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा, यह $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ के समतुल्य है।
चूँकि $(\sim A \lor A) \equiv T$ (पुनरुक्ति) और $(\sim B \lor B) \equiv T$ होता है, व्यंजक $T \lor T$ बन जाता है, जो $T$ है।
इसलिए, कथन पैटर्न एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया कथन $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \to B \equiv \sim A \lor B$ का उपयोग करने पर, $S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
$S$ का निषेध $\sim S = \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ है।
डी मॉर्गन नियम $\sim (A \lor B) = \sim A \land \sim B$ का उपयोग करने पर, $\sim S = (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ प्राप्त होता है।
पुनः डी मॉर्गन नियम लागू करने पर, $\sim S = (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(p \land q) \land q = p \land q$, इसलिए $\sim S = (p \land q) \land (p \lor r) = q \land (p \land (p \lor r))$ है।
अवशोषण नियम (absorption law) द्वारा, $p \land (p \lor r) = p$, अतः $\sim S = q \land p = p \land q$ है।

(C) चरण $1$: $S_1$ का विश्लेषण करें। $n=1$ के लिए, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, जो $4$ से विभाज्य है। अतः, $S_1$ सत्य है।
चरण $2$: $S_2$ का विश्लेषण करें। $x=1$ के लिए, $1-17 = -16 < 20$। अतः, $S_2$ सत्य है।
चरण $3$: $S_3$ का विश्लेषण करें। समीकरण $x^2+3x-10=0$ का गुणनखंड $(x+5)(x-2)=0$ है, जिससे $x=-5$ या $x=2$ प्राप्त होता है। यह सभी $n \in N$ के लिए सत्य नहीं है। अतः, $S_3$ असत्य है।
चरण $4$: $S_4$ का विश्लेषण करें। सभी $n \in N$ (जहाँ $N = \{1, 2, 3, ...\}$) के लिए, $n \geq 1$, इसलिए $n^2 \geq 1$। अतः, $S_4$ सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल $S_3$ असत्य है।

(D) चरण $1$: दिया गया कथन $p \lor q$ है। एक कथन $p \to q$ का विलोम $q \to p$ होता है। तर्कशास्त्र के प्रश्नों के संदर्भ में, $p \lor q$ का विलोम $p \to q$ के विलोम के रूप में लिया जाता है, जो $q \to p$ है।
चरण $2$: निहितार्थ $q \to p$ का निषेध $\sim(q \to p)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $3$: तार्किक तुल्यता $\sim(q \to p) \equiv q \land \sim p$ का उपयोग करते हुए।
चरण $4$: अतः, निषेध $q \land \sim p$ है, जो $\sim p \land q$ के समतुल्य है।

(D) एक सशर्त कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होता है।
यहाँ, $P = [p \lor (p \to q)]$ और $Q = (p \land \sim q)$ है।
सबसे पहले, $\sim Q$ ज्ञात करें: $\sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$।
अगला, $\sim P$ ज्ञात करें: $\sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q) = \sim p \land \sim (\sim p \lor q) = \sim p \land (p \land \sim q)$।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ का मान $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $(D)$ सही रूप है।

(D) चरण $1$: $(I)$ का विश्लेषण करें। नियम $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ का उपयोग करते हुए। अतः, $(I)$ सही है।
चरण $2$: $(II)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। यह $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ के तुल्य नहीं है। अतः, $(II)$ गलत है।
चरण $3$: $(III)$ का विश्लेषण करें। $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। यह $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ के तुल्य नहीं है। अतः, $(III)$ गलत है।
चरण $4$: $(IV)$ का विश्लेषण करें। $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor \sim q \lor r$। साथ ही, $q \to (p \to r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv \sim q \lor \sim p \lor r$। दोनों तुल्य हैं। अतः, $(IV)$ सही है।
निष्कर्ष: $(I)$ और $(IV)$ सही हैं।

(C) माना $S_1, S_2, S_3$ स्विच हैं। परिपथ तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$: $S_1$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_1 \land S_2$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $2$: $S_1'$ और $S_2$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_1' \land S_2$ द्वारा दर्शाया गया है।
शाखा $3$: $S_3$ और $S_2'$ श्रेणीक्रम में, जिसे $S_3 \land S_2'$ द्वारा दर्शाया गया है।
कुल परिपथ इन शाखाओं का समानांतर संयोजन है:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
प्रथम दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
चूंकि $S_1 \lor S_1' = T$ (एक पुनरुक्ति, हमेशा बंद):
$L = (T \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$L = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
पुनः वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$L = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
चूंकि $S_2 \lor S_2' = T$:
$L = S_2 \lor S_3$
इस सरलीकृत परिपथ के लिए $2$ स्विच ($S_2$ और $S_3$) की आवश्यकता है।

(C) चरण $1$: दिए गए कथन पैटर्न $( \sim p \land q) \lor ( \sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ को सरल करें।
चरण $2$: पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करें: $( \sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$।
चरण $3$: चूंकि $(q \lor \sim q) \equiv T$, व्यंजक $( \sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ बन जाता है।
चरण $4$: वितरण नियम को फिर से लागू करें: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$।
चरण $5$: दिया गया है कि सत्य मान $F$ है, अतः $\sim p \lor \sim q \equiv F$। इसका अर्थ है $\sim p \equiv F$ (इसलिए $p \equiv T$) और $\sim q \equiv F$ (इसलिए $q \equiv T$)।
चरण $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ का मूल्यांकन करें।
चरण $8$: सत्य मान $T, T$ हैं।

(C) मान लीजिए $1$ चालू स्थिति को दर्शाता है और $0$ बंद स्थिति को दर्शाता है।
मान लीजिए $S_1$ और $S_2$ स्विच की स्थितियाँ हैं।
$S'_1$ और $S'_2$ क्रमशः $S_1$ और $S_2$ के पूरक हैं।
सर्किट को बूलियन व्यंजक द्वारा दर्शाया गया है: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
यह व्यंजक $XNOR$ गेट ऑपरेशन के बराबर है, जो केवल तब $1$ (प्रकाशित) आउटपुट देता है जब दोनों इनपुट समान हों।
इसलिए, कमरा तब प्रकाशित होता है जब $S_1 = S_2$ हो, जिसका अर्थ है कि दोनों चालू हैं या दोनों बंद हैं।

(A) चरण $1$: एक पुनरुक्ति (tautology) वह कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए सत्य होता है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ का विश्लेषण करें: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
चरण $3$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ के लिए सत्यता सारणी बनाएं:
- यदि $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- यदि $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- यदि $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
चरण $4$: चूंकि सभी सत्य मान $T$ हैं, इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(A) माना दिया गया व्यंजक $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ है।
साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $S = (p \lor q) \land \sim q \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
सबसे पहले, $(p \lor q) \land \sim q$ का मूल्यांकन करें। वितरण नियम द्वारा, यह $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ है। चूँकि $(q \land \sim q) = F$ (एक व्याघात) है, यह सरल होकर $(p \land \sim q) \lor F = (p \land \sim q)$ हो जाता है।
अब इसे $S$ में वापस प्रतिस्थापित करें: $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
माना $A = (p \land \sim q)$ है। तब $S = A \land [(\sim p \land q) \lor A]$ होगा।
अवशोषण नियम के अनुसार, $A \land (B \lor A) = A$ होता है।
अतः, $S = A = (p \land \sim q)$।

(C) $1$. प्रतिबन्ध $\sim p \to q$ केवल तब असत्य होता है जब $\sim p$ का मान $T$ हो और $q$ का मान $F$ हो।
$2$. चूँकि $\sim p = T$ है, इसलिए $p = F$ होगा।
$3$. द्वि-प्रतिबन्ध $q \leftrightarrow r$ तब असत्य होता है जब $q$ और $r$ के सत्य मान भिन्न हों।
$4$. हम जानते हैं कि $q = F$ है, इसलिए $q \leftrightarrow r$ को असत्य होने के लिए $r$ का मान $T$ होना चाहिए।
$5$. अतः, सत्य मान $p = F$, $q = F$, और $r = T$ हैं।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T$, $q = F$, $r = T$।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूँकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) चरण $1$: निहितार्थ $A \to B$ के असत्य होने के लिए, $A$ का सत्य होना और $B$ का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $2$: $B = (p \land q)$ असत्य है, इसलिए $p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य है।
चरण $3$: $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ सत्य है। इसका अर्थ है $(p \lor q)$ सत्य है, $(q \to r)$ सत्य है, और $(\sim r)$ सत्य है।
चरण $4$: चूँकि $(\sim r)$ सत्य है, $r$ असत्य है। चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, इसलिए $q$ का असत्य होना आवश्यक है।
चरण $5$: चूँकि $(p \lor q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, इसलिए $p$ का सत्य होना आवश्यक है।
चरण $6$: अतः, $p = T, q = F, r = F$ है।
चरण $7$: विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (सत्य कथन)।
$(C)$ $(\sim q) \to p = T \to T = T$ (असत्य कथन, क्योंकि यह सत्य है)।
$(D)$ $(\sim p) \land r = F \land F = F$ (सत्य कथन)।
चरण $8$: विकल्प $(C)$ वह है जो सत्य नहीं है।

(B) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor q$ है।
चरण $2$: कथन $p \implies q$ का प्रतिलोम $\sim p \implies \sim q$ होता है, जो $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ के बराबर है।
चरण $3$: इस प्रतिलोम का निषेध $\sim(p \lor \sim q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ है। अतः सही विकल्प $B$ है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। मान लें $P$ है '$1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है' (सत्य) और $Q$ है '$2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है' (असत्य)। निहितार्थ $P \implies Q$ का मान $T \implies F$ है, जो असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है' सत्य है और '$12 \times 3 = 36$' सत्य है। चूँकि दोनों सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। मान लें $P$ है '$14$ एक भाज्य संख्या है' (सत्य) और $Q$ है '$3$ एक सम संख्या है' (असत्य)। संयोजन $P \land Q$ असत्य है। कथन 'यह सत्य नहीं है कि $P \land Q$' का मान $\neg(F)$ है, जो सत्य है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है' सत्य है। '$3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है' सत्य है (क्योंकि सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र होती हैं)। चूँकि दोनों सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$. $p$ का मूल्यांकन करें: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$, इसलिए $3^4 > 4^3$ सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$, इसलिए $3^3 > 4^4$ असत्य है। निहितार्थ $T \implies F$ असत्य है। अतः, $p$ का मान $F$ है।
$2$. $q$ का मूल्यांकन करें: $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ है। मूल सम्मिश्र हैं, वास्तविक नहीं। अतः, पहला भाग $F$ है। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' $T$ है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ का मान $F$ है।
$3$. $r$ का मूल्यांकन करें: $r$ का अर्थ $p \lor \neg q$ है। चूँकि $p$ का मान $F$ है और $\neg q$ का मान $T$ है $(F \lor T)$, इसलिए $r$ का मान $T$ है।
$4$. विकल्पों की जाँच करें:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
अतः, विकल्प $(D)$ सत्य है।

(A) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है।
यहाँ, $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
द्वि-निषेध नियम का उपयोग करते हुए, $\sim(\sim q) = q$ होता है।
अतः, प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।

(C) तार्किक कथन $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
यदि $\sim p$ असत्य है, तो $p$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
यदि $q$ असत्य है, तो $q$ असत्य $(F)$ है।
अब, $p = T$ और $q = F$ के साथ विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ का मान $T \leftrightarrow F$ होगा, जो $F$ है।
$(B)$ $p \to q$ का मान $T \to F$ होगा, जो $F$ है।
$(C)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ होगा, जो $T$ है।
$(D)$ $q \to p$ असत्य $(F)$ है, जो गलत है क्योंकि यह $T$ है।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।

(A) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें। व्यंजक $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$, $p \oplus q$ (exclusive $OR$) की परिभाषा है।
चरण $2$: इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $(p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$।
चरण $3$: $\sim q$ के साथ संयोजन का मूल्यांकन करें। यदि $\sim q$ सत्य है, तो $q$ असत्य होना चाहिए। $q = F$ प्रतिस्थापित करने पर: $(p \lor F) \land [(\sim p \land F) \lor (p \land \sim F)] \land \sim F$।
चरण $4$: सरल करने पर: $p \land [F \lor (p \land T)] \land T = p \land p \land T = p$।
चरण $5$: सत्यता सारणी का उपयोग करते हुए, यह $p \land \sim q$ के समतुल्य है।

(A) दिया गया परिपथ समानांतर क्रम में दो स्विच $S_1$ और $S_2$ से बना है। मान लीजिए $p$ वह कथन है कि स्विच $S_1$ बंद है और $q$ वह कथन है कि स्विच $S_2$ बंद है।
चूंकि स्विच समानांतर में हैं, परिपथ के लिए तार्किक व्यंजक $(p \lor q)$ है।
हमें विकल्पों में से समतुल्य व्यंजक ज्ञात करना है।
विकल्पों को सरल करते हैं:
$(A)$ $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \lor q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor F] \to \sim p \equiv (\sim p \land \sim q) \to \sim p \equiv \sim(\sim p \land \sim q) \lor \sim p \equiv (p \lor q) \lor \sim p \equiv (p \lor \sim p) \lor q \equiv T \lor q \equiv T$.
$(B)$ $(p \to q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \lor q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \land p \land \sim q) \lor (q \land p \land \sim q) \equiv (F \land \sim q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$.
$(C)$ $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$.
$(D)$ व्यंजक में $r$ शामिल है, जो परिपथ में नहीं है।
नोट: प्रश्न के लिए दिया गया चित्र समानांतर में दो स्विच दिखाता है, जो $(p \lor q)$ के अनुरूप है। यदि प्रश्न का अर्थ किसी ऐसे परिपथ को खोजना है जो एक विशिष्ट तार्किक रूप में सरल हो जाता है, तो दिए गए विकल्प सीधे $(p \lor q)$ से मेल नहीं खाते हैं।

(C) चरण $1$: $\sim p \to q$ असत्य है का विश्लेषण करें। एक प्रतिबंधात्मक कथन $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य $(T)$ हो और $B$ असत्य $(F)$ हो। अतः, $\sim p = T$ (जिसका अर्थ है $p = F$) और $q = F$ है।
चरण $2$: $q \leftrightarrow r$ असत्य है का विश्लेषण करें। एक द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $A \leftrightarrow B$ तब असत्य होता है जब $A$ और $B$ के सत्य मान भिन्न हों। चूँकि $q = F$ है, इसलिए $r$ का $T$ होना आवश्यक है।
चरण $3$: इन्हें संयोजित करने पर, हमें $p = F$, $q = F$, और $r = T$ प्राप्त होता है। सत्य मान $(F, F, T)$ है।

(C) दिए गए सत्य मान: $p = T, q = F, r = T$ हैं।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
चूंकि विकल्प $(C)$ का परिणाम $F$ है, इसलिए यह एक सत्य कथन नहीं है।

(C) निहितार्थ $A \to B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
$1$. माना $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ सत्य है और $B = (p \land q)$ असत्य है।
$2$. $A$ के सत्य होने के लिए, $(p \lor q)$, $(q \to r)$, और $(\sim r)$ सभी को सत्य होना चाहिए।
$3$. चूँकि $(\sim r)$ सत्य है, $r$ असत्य है।
$4$. चूँकि $(q \to r)$ सत्य है और $r$ असत्य है, $q$ को असत्य होना चाहिए।
$5$. चूँकि $(p \lor q)$ सत्य है और $q$ असत्य है, $p$ को सत्य होना चाहिए।
$6$. $B = (p \land q) = (T \land F) = False$ की जाँच करें। यह हमारी स्थिति से मेल खाता है।
$7$. विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(a)$ $p \to q = T \to F = False$ (सत्य कथन)
$(b)$ $p \to r = T \to F = False$ (सत्य कथन)
$(c)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = True$ (यह सत्य नहीं है क्योंकि यह सत्य है)
$(d)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = False$ (सत्य कथन)
अतः, विकल्प $(c)$ सही उत्तर है।

(C) चरण $1$: दिया गया कथन $S = \sim p \lor \sim q$ है।
चरण $2$: किसी कथन $A \lor B$ का प्रतिलोम $\sim A \lor \sim B$ होता है। अतः $\sim p \lor \sim q$ का प्रतिलोम $\sim(\sim p) \lor \sim(\sim q)$ होगा, जो सरल होकर $p \lor q$ बन जाता है।
चरण $3$: प्रतिलोम $p \lor q$ का निषेध $\sim(p \lor q)$ है।
चरण $4$: डी मॉर्गन के नियम (De Morgan's Law) के अनुसार, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ होता है।

(B) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। 'यदि $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (सत्य), तो $2$ एक अभाज्य संख्या नहीं है (असत्य)'। एक सशर्त कथन $P \implies Q$ असत्य होता है यदि $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अतः, $I$ सत्य नहीं है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। '$e$ एक स्वर है (सत्य) और $12 \times 3 = 36$ (सत्य)'। चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए संयोजन सत्य है।
चरण $3$: कथन $III$ का विश्लेषण करें। '$14$ एक भाज्य संख्या है (सत्य) और $3$ एक सम संख्या है (असत्य)'। संयोजन 'सत्य और असत्य' असत्य होता है। कथन कहता है 'यह सत्य नहीं है कि (असत्य)', जो पूरे कथन को सत्य बनाता है।
चरण $4$: कथन $IV$ का विश्लेषण करें। '$\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है (सत्य), लेकिन $3 + \sqrt{5}$ एक सम्मिश्र संख्या है (सत्य)'। चूंकि दोनों भाग सत्य हैं, इसलिए कथन सत्य है।
चरण $5$: निष्कर्ष। केवल कथन $I$ सत्य नहीं है। अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) $1$. कथन $p$ का विश्लेषण: $3^4 = 81$ और $4^3 = 64$ है। चूँकि $81 > 64$, पूर्ववर्ती सत्य है। $3^3 = 27$ और $4^4 = 256$ है। चूँकि $27 > 256$ असत्य है, इसलिए निहितार्थ $T \implies F$ असत्य है। अतः, $p$ का मान $F$ है।
$2$. कथन $q$ का विश्लेषण: समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ है। चूँकि $D < 0$, मूल वास्तविक नहीं हैं। 'मुंबई महाराष्ट्र में है' कथन सत्य है। द्वि-प्रतिबंध $F \iff T$ असत्य है। अतः, $q$ का मान $F$ है।
$3$. कथन $r$ का विश्लेषण: $r$ का मान $p \lor \neg q$ है। चूँकि $p$ असत्य है और $q$ असत्य है, इसलिए $\neg q$ सत्य है। अतः, $r = F \lor T = T$ है।
$4$. विकल्पों का मूल्यांकन:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
अतः, विकल्प $(D)$ सत्य है।

(D) एक प्रतिबंधात्मक कथन $P \to Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $\sim q \to p$ है, जहाँ $P = \sim q$ और $Q = p$ है।
इसका प्रतिधनात्मक $\sim Q \to \sim P$ होगा।
मान रखने पर, हमें $\sim p \to \sim(\sim q)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sim(\sim q) = q$ होता है, इसलिए प्रतिधनात्मक $\sim p \to q$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी $\sim p \to q$ से मेल नहीं खाता है।

(C) तार्किक कथन $\sim p \lor q$ केवल तभी असत्य होता है जब $\sim p$ और $q$ दोनों असत्य हों।
चूंकि $\sim p$ असत्य है, इसलिए $p$ सत्य होना चाहिए।
चूंकि $q$ असत्य है, हमारे पास $p = T$ और $q = F$ है।
अब, विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ का मान $T \leftrightarrow F$ है, जो $F$ है।
$(B)$ $p \to q$ का मान $T \to F$ है, जो $F$ है।
$(C)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ है, जो $T$ है।
$(D)$ $q \to p$ का मान $F \to T$ है, जो $T$ है (न कि $F$)।
अतः, सही विकल्प $(C)$ है।