Moment of Inertia of Compound Bodies and Theorem of Moment of Inertia Questions in Hindi

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली पूर्ण डिस्क का उसके केंद्र $O$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $(M.I.)$:
$I_{Total} = \frac{1}{2} M R^2$ --- $(i)$
हटाए गए वृत्ताकार छेद का द्रव्यमान (त्रिज्या $r = R/2$):
$m = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = \frac{M}{4}$
हटाए गए छेद का उसकी अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{M R^2}{32}$
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,मूल डिस्क के केंद्र $O$ के परितः हटाए गए छेद का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{removed} = I_{cm} + m d^2 = \frac{M R^2}{32} + \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^2 = \frac{M R^2}{32} + \frac{M R^2}{16} = \frac{3 M R^2}{32}$
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{remaining} = I_{Total} - I_{removed} = \frac{1}{2} M R^2 - \frac{3 M R^2}{32} = \frac{16 M R^2 - 3 M R^2}{32} = \frac{13}{32} M R^2$

(A) निकाय में $M$ द्रव्यमान और $L = 2R$ लंबाई की एक छड़ है,और सिरों पर जुड़े $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या के दो गोले हैं।
$1$. छड़ के केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{rod}} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2R)^2}{12} = \frac{4MR^2}{12} = \frac{1}{3}MR^2$ है।
$2$. प्रत्येक गोले के लिए,छड़ के केंद्र से गोले के केंद्र तक की दूरी $d = R + \frac{L}{2} = R + R = 2R$ है।
$3$. समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + Md^2 = \frac{2}{5}MR^2 + M(2R)^2 = \frac{2}{5}MR^2 + 4MR^2 = \frac{22}{5}MR^2$ है।
$4$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{rod}} + 2 \times I_{\text{sphere}} = \frac{1}{3}MR^2 + 2 \times \left( \frac{22}{5}MR^2 \right) = \frac{1}{3}MR^2 + \frac{44}{5}MR^2$ है।
$5$. हर $15$ लेने पर,$I = \left( \frac{5 + 132}{15} \right) MR^2 = \frac{137}{15}MR^2$ प्राप्त होता है।

(B) निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I$,$OO'$ अक्ष के परितः तीनों डिस्क के जड़त्व आघूर्ण का योग है।
डिस्क $D_1$ के लिए,$OO'$ अक्ष इसके केंद्र से गुजरती है और इसके तल के लंबवत है। अतः,$I_1 = \frac{1}{2}MR^2$.
डिस्क $D_2$ और $D_3$ के लिए,$OO'$ अक्ष उनके व्यास के समानांतर है और उनके केंद्र से $R$ दूरी पर गुजरती है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{2,3} = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$.
चूंकि ऐसी दो डिस्क हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 2 \times I_{2,3} = \frac{1}{2}MR^2 + 2 \times (\frac{5}{4}MR^2) = \frac{1}{2}MR^2 + \frac{5}{2}MR^2 = 3MR^2$ होगा।

(D) समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष से $x$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Mx^2$ द्वारा दिया जाता है।
एक ठोस गोले के लिए,उसके व्यास के परितः (जो द्रव्यमान केंद्र से गुजरता है) जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
इस मान को समांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर,हमें $I(x) = \frac{2}{5}MR^2 + Mx^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = ax^2 + c$ के रूप में है,जहाँ $a = M$ और $c = \frac{2}{5}MR^2$ है।
चूंकि $c > 0$ है,इसलिए ग्राफ एक परवलय है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरता है,बल्कि $I$-अक्ष पर एक धनात्मक मान $I(0) = \frac{2}{5}MR^2$ से शुरू होता है और ऊपर की ओर खुलता है। यह ग्राफ विकल्प $D$ में दर्शाया गया है।

(A) प्लेट का द्रव्यमान $M$ घनत्व का क्षेत्रफल पर समाकलन करने से प्राप्त होता है: $M = \int_0^R \rho(r) (2\pi r dr) = \int_0^R \rho_0 r (2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^2 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}$.
द्रव्यमान केंद्र $(I_{CM})$ के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I_{CM} = \int_0^R r^2 dm = \int_0^R r^2 (\rho_0 r \cdot 2\pi r dr) = 2\pi \rho_0 \int_0^R r^4 dr = \frac{2\pi \rho_0 R^5}{5}$.
$I_{CM}$ को $M$ के पदों में व्यक्त करने पर: $I_{CM} = (\frac{2\pi \rho_0 R^3}{3}) \cdot \frac{3}{5} R^2 = \frac{3}{5} MR^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्लेट के लंबवत और उसके किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: $I = I_{CM} + MR^2 = \frac{3}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{8}{5} MR^2$.
इसे $I = aMR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 8/5$ प्राप्त होता है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} Mr^2$ होता है।
यहाँ,प्रत्येक गोले की त्रिज्या $r = \frac{R}{2}$ है।
जिस गोले से $yy'$ अक्ष गुजरती है,उसके लिए $yy'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{3} M(\frac{R}{2})^2 = \frac{2}{3} M(\frac{R^2}{4}) = \frac{1}{6} MR^2$ है।
दूसरे गोले के लिए,$yy'$ अक्ष उसके केंद्र से $d = 2R$ की दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{3} M(\frac{R}{2})^2 + M(2R)^2$ है।
$I_2 = \frac{1}{6} MR^2 + 4MR^2 = \frac{1 + 24}{6} MR^2 = \frac{25}{6} MR^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{6} MR^2 + \frac{25}{6} MR^2 = \frac{26}{6} MR^2 = \frac{13}{3} MR^2$ होगा।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
जब इसे $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या की डिस्क में पिघलाया जाता है,तो डिस्क का उसकी केंद्रीय अक्ष (तल के लंबवत) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,डिस्क के तल के लंबवत स्पर्शरेखीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ होता है।
दिया गया है कि $I_{tangent} = I$,इसलिए $\frac{3}{2} Mr^2 = \frac{2}{5} MR^2$ है।
$r$ के लिए हल करने पर: $r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक छड़ के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
समबाहु त्रिभुज के केंद्र से प्रत्येक छड़ के केंद्र तक की दूरी $d = \frac{L}{2\sqrt{3}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,त्रिभुज के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2\sqrt{3}}\right)^2$
$I_{rod} = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L^2}{12}\right) = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{12} = \frac{2ML^2}{12} = \frac{ML^2}{6}$.
चूंकि ऐसी तीन छड़ें हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total}$ होगा:
$I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{ML^2}{6} = \frac{ML^2}{2}$.

(D) मान लीजिए छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $L$ और द्रव्यमान $M$ है। छड़ का द्रव्यमान केंद्र बिंदु $O$ पर है,जो दोनों सिरों से $L/2$ की दूरी पर है।
घूर्णन अक्ष बिंदु $C$ से गुजरती है,जो सिरे $B$ से $L/3$ की दूरी पर है। इसलिए,द्रव्यमान केंद्र $O$ और घूर्णन अक्ष $C$ के बीच की दूरी $d = OC = L/2 - L/3 = L/6$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,बिंदु $C$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{CM} = ML^2/12$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
मान रखने पर: $I = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{6}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36} = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(A) और $b$ भुजाओं वाले फलक के लंबवत और द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः आयताकार ब्लॉक का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{M}{12}(a^2 + b^2)$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से किनारे की अक्ष तक की दूरी है।
आयताकार फलक के केंद्र से कोने (किनारे) तक की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ है।
अतः,$d^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}$ है।
इन मानों को समांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{M}{12}(a^2 + b^2) + M(\frac{a^2 + b^2}{4})$
$I = M(a^2 + b^2) [\frac{1}{12} + \frac{1}{4}] = M(a^2 + b^2) [\frac{1+3}{12}] = M(a^2 + b^2) [\frac{4}{12}] = \frac{M}{3}(a^2 + b^2)$.

(B) $m$ द्रव्यमान और $a$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ma^2}{6}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र से कोने तक की दूरी है।
केंद्र से कोने तक की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$I = \frac{ma^2}{6} + m(\frac{a}{\sqrt{2}})^2$.
$I = \frac{ma^2}{6} + \frac{ma^2}{2} = \frac{ma^2 + 3ma^2}{6} = \frac{4ma^2}{6} = \frac{2}{3}ma^2$.
इसकी तुलना $\alpha ma^2$ से करने पर,हमें $\alpha = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) डिस्क $B$ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_B = \frac{1}{2}Mr^2$ है।
डिस्क $A$ का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{A,cm} = \frac{1}{2}Mr^2$ है।
डिस्क $A$ और डिस्क $B$ के केंद्रों के बीच की दूरी $d = 2r$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क $B$ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः डिस्क $A$ का जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{A,cm} + Md^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + M(2r)^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + 4Mr^2 = 4.5Mr^2$ है।
अतः,दृढ़ पिंड का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_B + I_A = \frac{1}{2}Mr^2 + 4.5Mr^2 = 5Mr^2$ होगा।

(B) $M$ द्रव्यमान,$R$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले एक ठोस बेलन का उसके स्वयं के अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
उसी बेलन का उसके गुरुत्व केंद्र से गुजरने वाले और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{MR^2}{4}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$I_1 = I_2$,इसलिए:
$\frac{1}{2}MR^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{MR^2}{4}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{4}MR^2$ घटाने पर:
$\frac{1}{4}MR^2 = \frac{ML^2}{12}$.
दोनों पक्षों को $12/M$ से गुणा करने पर:
$3R^2 = L^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$L = \sqrt{3}R$.

(D) एक गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ है।
दी गई व्यवस्था में,दो गोले $XX'$ अक्ष पर केंद्रित हैं। इन दो गोलों के लिए,$XX'$ अक्ष उनके व्यास से होकर गुजरती है। अतः,प्रत्येक के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I = \frac{2}{5} MR^2$ है।
अन्य दो गोले इस प्रकार रखे गए हैं कि उनके केंद्र $XX'$ अक्ष से $R$ दूरी पर हैं। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इन गोलों के लिए $XX'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ होगा।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 2(I) + 2(\frac{7}{5} MR^2) = 2(\frac{2}{5} MR^2) + 2(\frac{7}{5} MR^2) = \frac{4}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{18}{5} MR^2$ है।
चूंकि $I = \frac{2}{5} MR^2$,इसलिए $MR^2 = \frac{5}{2} I$ है।
अतः,$I_{total} = \frac{18}{5} (\frac{5}{2} I) = 9I$।

(C) मान लीजिए कि छेद काटने से पहले वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $M$ है। वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल $(4R)^2 = 16R^2$ है। प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{16R^2}$ है।
प्रत्येक छेद का क्षेत्रफल $\pi R^2$ है,इसलिए एक छेद का द्रव्यमान $m = \sigma \times \pi R^2 = \frac{M}{16R^2} \times \pi R^2 = \frac{\pi M}{16}$ है।
$z-$ अक्ष के परितः (जो केंद्र से गुजरता है और प्लेट के लंबवत है) वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{square}} = \frac{M}{12} (a^2 + a^2) = \frac{M}{12} (16R^2 + 16R^2) = \frac{32MR^2}{12} = \frac{8}{3} MR^2$ है।
प्रत्येक छेद $R$ त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क है। $z-$ अक्ष से प्रत्येक छेद के केंद्र की दूरी $d = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z-$ अक्ष के परितः एक छेद का जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + md^2 = \frac{mR^2}{2} + m(R\sqrt{2})^2 = \frac{mR^2}{2} + 2mR^2 = \frac{5}{2} mR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{square}} - 4 I_{\text{hole}} = \frac{8}{3} MR^2 - 4 \left( \frac{5}{2} mR^2 \right) = \frac{8}{3} MR^2 - 10 mR^2$ है।
$m = \frac{\pi M}{16}$ रखने पर,हमें $I = \frac{8}{3} MR^2 - 10 \left( \frac{\pi M}{16} \right) R^2 = \left( \frac{8}{3} - \frac{10\pi}{16} \right) MR^2$ प्राप्त होता है।

(A) तार की लंबाई $l = 2\pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{l}{2\pi}$ है।
लूप का द्रव्यमान $m = \rho l$ है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{2}mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा अक्ष $XX'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{XX'} = I_{diam} + mr^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ होगा।
$m = \rho l$ और $r = \frac{l}{2\pi}$ का मान सूत्र में रखने पर:
$I_{XX'} = \frac{3}{2}(\rho l)(\frac{l}{2\pi})^2 = \frac{3}{2}(\rho l)(\frac{l^2}{4\pi^2}) = \frac{3\rho l^3}{8\pi^2}$.

(D) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ होता है।
मूल डिस्क के लिए: $M_1 = 9M$ और $R_1 = R$. अतः,$I_1 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} M R^2$.
हटाई गई डिस्क के लिए: $M_2 = M$ और $R_2 = \frac{R}{3}$. अतः,$I_2 = \frac{1}{2} M (\frac{R}{3})^2 = \frac{1}{2} M (\frac{R^2}{9}) = \frac{1}{18} M R^2$.
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{net} = I_1 - I_2$ है।
$I_{net} = \frac{9}{2} M R^2 - \frac{1}{18} M R^2 = \frac{81 - 1}{18} M R^2 = \frac{80}{18} M R^2 = \frac{40}{9} M R^2$.

(D) माना वर्ग की भुजा $a$ है। लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,केंद्र $O$ से गुजरने वाली और लैमिना के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = I_x + I_y$ होता है।
वर्गाकार लैमिना के लिए,केंद्र से गुजरने वाली और लैमिना के तल में स्थित किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है।
माना $I_{EF}$ अक्ष $EF$ (जो भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदुओं से गुजरती है) के परितः जड़त्व आघूर्ण है। सममिति के कारण,$I_{EF} = I_{GH}$ जहाँ $GH$ वह अक्ष है जो भुजाओं $AD$ और $BC$ के मध्य बिंदुओं से गुजरती है।
अतः,$I_z = I_{EF} + I_{GH} = 2I_{EF}$।
अब,विकर्ण $AC$ पर विचार करें। विकर्ण $AC$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{AC}$ है। सममिति के कारण,दूसरे विकर्ण $BD$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{BD} = I_{AC}$ है।
चूंकि विकर्ण भी लैमिना के तल में लंबवत अक्ष हैं,इसलिए $I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2I_{AC}$।
$I_z$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $2I_{EF} = 2I_{AC}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $I_{AC} = I_{EF}$।

(B) डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = \frac{MR^2}{2}$ होता है,जहाँ $M$ डिस्क का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
चूंकि डिस्क एक समतलीय वस्तु है,हम लंबवत अक्षों के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए कि $x$ और $y$ अक्ष डिस्क के तल में हैं और केंद्र $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। ये अक्ष डिस्क के दो व्यास का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,$I_z = I_x + I_y$ होता है।
डिस्क की घूर्णी समरूपता के कारण,किसी भी व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण समान होता है,इसलिए $I_x = I_y = I_d$ है।
इसे प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_z = I_d + I_d = 2I_d$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I_d = \frac{I_z}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{MR^2}{2} \right) = \frac{MR^2}{4}$।
अतः,डिस्क का उसके किसी एक व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{MR^2}{4}$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी है।
एक सिरे से गुजरने वाली अक्ष के लिए,दूरी $d = \frac{l}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{Ml^2}{12} + M(\frac{l}{2})^2$.
$I = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.

(D) वलय का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{dia}} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,व्यास के समांतर और स्पर्शरेखा से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{\text{cm}} + MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,व्यास और स्पर्शरेखा के बीच की दूरी वलय की त्रिज्या $R$ के बराबर है।
इसलिए,$I_{\text{tangent}} = I_{\text{dia}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$।

(N/A) गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(M.I.)$ $I_{cm} = \frac{2}{5} M R^{2}$ है।
समांतर अक्षों के प्रमेय के अनुसार,किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + M d^{2}$ होता है,जहाँ $d$ समांतर अक्षों के बीच की दूरी है। स्पर्शरेखा के लिए,$d = R$ है।
अतः,स्पर्शरेखा के परितः $M.I.$ का मान $I = \frac{2}{5} M R^{2} + M R^{2} = \frac{7}{5} M R^{2}$ होगा।
$(b)$ डिस्क का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{d} = \frac{1}{4} M R^{2}$ है।
लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,डिस्क के तल के लंबवत और केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z} = I_{x} + I_{y} = \frac{1}{4} M R^{2} + \frac{1}{4} M R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2}$ है।
डिस्क के लंबवत और उसके किनारे पर स्थित एक बिंदु (केंद्र से $d = R$ की दूरी पर) से गुजरने वाली अक्ष के परितः $M.I.$ ज्ञात करने के लिए समांतर अक्षों के प्रमेय का उपयोग करने पर:
$I = I_{z} + M R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + M R^{2} = \frac{3}{2} M R^{2}$.

(N/A) लंब अक्षों का प्रमेय बताता है कि किसी समतलीय पिंड (पटल) की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उस अक्ष को काटने वाली और पिंड के तल में स्थित दो लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए $O$ केंद्र वाला एक भौतिक पिंड है और $x-y$ तल में $(x, y)$ पर $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु कण है।
$x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{x} = m y^{2}$.
$y$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{y} = m x^{2}$.
$z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,$I_{z} = m(x^{2} + y^{2})$.
अतः,$I_{x} + I_{y} = m y^{2} + m x^{2} = m(x^{2} + y^{2}) = I_{z}$.
इस प्रकार,प्रमेय सिद्ध होता है।
$(b)$ समांतर अक्षों का प्रमेय बताता है कि किसी पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण और पिंड के कुल द्रव्यमान तथा दोनों समांतर अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि एक दृढ़ पिंड $n$ कणों से बना है,जिनके द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}$ हैं और दृढ़ पिंड के द्रव्यमान केंद्र $O$ से उनकी लंबवत दूरियाँ क्रमशः $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ हैं।
बिंदु $O$ से गुजरने वाली अक्ष $RS$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{RS} = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ है।
अक्ष $QP$ से द्रव्यमान $m_{i}$ की लंबवत दूरी $(a + r_{i})$ है।
इसलिए,अक्ष $QP$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{QP} = \sum m_{i}(a + r_{i})^{2} = \sum m_{i}(a^{2} + r_{i}^{2} + 2 a r_{i}) = \sum m_{i} a^{2} + \sum m_{i} r_{i}^{2} + 2 a \sum m_{i} r_{i}$ है।
चूंकि मूल बिंदु द्रव्यमान केंद्र है,इसलिए $\sum m_{i} r_{i} = 0$ है।
साथ ही,$\sum m_{i} = M$,जहाँ $M$ दृढ़ पिंड का कुल द्रव्यमान है।
इसलिए,$I_{QP} = M a^{2} + I_{RS}$.
इस प्रकार,प्रमेय सिद्ध होता है।

(N/A) $1$. लंब अक्षों का प्रमेय:
यह प्रमेय बताता है कि किसी समतलीय पिंड (लैमिना) की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,पिंड के तल में स्थित और उस बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है जहाँ लंबवत अक्ष पिंड से गुजरती है।
गणितीय रूप से,$I_z = I_x + I_y$.
उपपत्ति: $XY$-तल में बिंदु $P(x, y)$ पर $m$ द्रव्यमान का एक कण मानिए। $X$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x = \sum my^2$,$Y$-अक्ष के परितः $I_y = \sum mx^2$ और $Z$-अक्ष के परितः $I_z = \sum mr^2$ है,जहाँ $r^2 = x^2 + y^2$ है। अतः,$I_z = \sum m(x^2 + y^2) = \sum mx^2 + \sum my^2 = I_y + I_x$.
$2$. समांतर अक्षों का प्रमेय:
यह प्रमेय बताता है कि किसी पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण और पिंड के कुल द्रव्यमान तथा दोनों समांतर अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $I_{cm}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ कुल द्रव्यमान है और $d$ दो समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।

(N/A) $1$. लंबवत अक्षों का प्रमेय: यह प्रमेय बताता है कि किसी समतलीय पिंड की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_z)$,उस तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों ($I_x$ और $I_y$) के योग के बराबर होता है,जहाँ ये तीनों अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं। गणितीय रूप में,$I_z = I_x + I_y$.
$2$. समानांतर अक्षों का प्रमेय: यह प्रमेय बताता है कि किसी दृढ़ पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_{cm})$ और पिंड के द्रव्यमान $(M)$ तथा दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी $(d)$ के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है। गणितीय रूप में,$I = I_{cm} + Md^2$.

(B) लंबवत अक्षों का प्रमेय यह बताता है कि किसी समतलीय वस्तु की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उस वस्तु के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है,जहाँ तीनों अक्ष एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
गणितीय रूप से,$I_z = I_x + I_y$।
यह प्रमेय केवल द्वि-आयामी या समतलीय वस्तुओं पर ही लागू होता है क्योंकि इसके लिए तीनों अक्षों का एक ही बिंदु पर होना और उनमें से दो का वस्तु के तल में स्थित होना आवश्यक है।

(B) लंबवत अक्ष का प्रमेय यह बताता है कि किसी समतलीय (द्वि-आयामी) पिंड की उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण,उसी तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः पिंड के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
चूंकि एक ठोस गोला एक त्रि-आयामी वस्तु है,इसलिए लंबवत अक्ष का प्रमेय इस पर लागू नहीं होता है।
यह प्रमेय केवल द्वि-आयामी (समतलीय) वस्तुओं के लिए ही मान्य है।

(B) लंब अक्ष प्रमेय के अनुसार, एक समतलीय पिंड के लिए, तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_z)$, तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों ($I_x$ और $I_y$) के योग के बराबर होता है, जिसे $I_z = I_x + I_y$ द्वारा दर्शाया जाता है। अतः, $(1) \rightarrow (b)$.
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार, किसी पिंड का किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$, द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_C)$ और पिंड के द्रव्यमान $(M)$ तथा दोनों अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग $(d^2)$ के गुणनफल के योग के बराबर होता है, जिसे $I = I_C + Md^2$ द्वारा दर्शाया जाता है। अतः, $(2) \rightarrow (a)$.
अतः, सही मिलान $(1-b, 2-a)$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diameter} = \frac{2}{5}MR^2$ होता है। यह $(1-b)$ के अनुरूप है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + Md^2$ होता है,जहाँ $d = R$ है।
अतः,$I_{tangent} = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$। यह $(2-c)$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही मिलान $(1-b), (2-c)$ है।

(C) $M$ द्रव्यमान,$L = 80 \text{ cm}$ लंबाई और $B = 60 \text{ cm}$ चौड़ाई वाली आयताकार शीट के द्रव्यमान केंद्र $O$ से गुजरने वाली और शीट के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_O = \frac{M}{12} [L^2 + B^2] = \frac{M}{12} [80^2 + 60^2] = \frac{M}{12} [6400 + 3600] = \frac{10000M}{12} = \frac{2500M}{3}$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,कोने के बिंदु $O'$ से गुजरने वाली और शीट के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{O'} = I_O + Md^2$,जहाँ $d$,$O$ और $O'$ के बीच की दूरी है।
दूरी $d = \sqrt{(L/2)^2 + (B/2)^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = 50 \text{ cm}$.
$I_{O'} = \frac{2500M}{3} + M(50)^2 = \frac{2500M}{3} + 2500M = \frac{2500M + 7500M}{3} = \frac{10000M}{3}$.
जड़त्व आघूर्णों का अनुपात:
$\frac{I_O}{I_{O'}} = \frac{2500M/3}{10000M/3} = \frac{2500}{10000} = \frac{1}{4}$.

(B) माना समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा $a$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है।
लैमिना $ABC$ का इसके केंद्रक $G$ से गुजरने वाली और इसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{0} = \frac{ma^{2}}{6}$ है।
त्रिभुज $ADE$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $a/2$ है। इसका द्रव्यमान $m_{1} = m \times \frac{(a/2)^2}{a^2} = \frac{m}{4}$ है।
त्रिभुज $ADE$ का इसके स्वयं के केंद्रक $G'$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{m_{1}(a/2)^2}{6} = \frac{ma^2}{96}$ है।
केंद्रकों $G$ और $G'$ के बीच की दूरी $d = \frac{a}{4\sqrt{3}}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$G$ के परितः $ADE$ का जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = I_{1} + m_{1}d^2 = \frac{ma^2}{96} + \frac{m}{4} \cdot (\frac{a}{4\sqrt{3}})^2 = \frac{ma^2}{64}$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_{rem} = I_{0} - I_{2} = \frac{ma^2}{6} - \frac{ma^2}{64} = \frac{29ma^2}{192}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$N = 11$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए कि चार गोले $b$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर स्थित हैं। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष वर्ग की एक भुजा है।
जिन दो गोलों के केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित हैं,उनकी अक्ष से दूरी $0$ है। प्रत्येक गोले का अपने व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} ma^{2}$ है। चूंकि अक्ष उनके केंद्रों से होकर गुजरती है,इसलिए अक्ष के परितः उनका जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_2 = \frac{2}{5} ma^{2}$ होगा।
अन्य दो गोलों के लिए,उनके केंद्रों की अक्ष से दूरी $b$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,इन गोलों में से प्रत्येक का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_3 = I_4 = I_{cm} + mb^{2} = \frac{2}{5} ma^{2} + mb^{2}$ होगा।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2 \times (\frac{2}{5} ma^{2}) + 2 \times (\frac{2}{5} ma^{2} + mb^{2})$ है।
$I = \frac{4}{5} ma^{2} + \frac{4}{5} ma^{2} + 2 mb^{2} = \frac{8}{5} ma^{2} + 2 mb^{2}$.

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 0.8 \, \text{m}$,त्रिज्या $r = 0.2 \, \text{m}$,जड़त्व आघूर्ण $I = 2.7 \, \text{kg m}^2$.
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष $CD$ के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_{CM} + Md^2$
यहाँ,$I_{CM}$ केंद्रीय अक्ष $AB$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $\frac{Mr^2}{2}$ है,और अक्षों के बीच की दूरी $d = \frac{L}{2}$ है।
$I = \frac{Mr^2}{2} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2$
$2.7 = M \left[ \frac{(0.2)^2}{2} + \left(\frac{0.8}{2}\right)^2 \right]$
$2.7 = M [0.02 + 0.16] = M(0.18)$
$M = \frac{2.7}{0.18} = 15 \, \text{kg}$
घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$.
$\rho = \frac{15}{\pi \times (0.2)^2 \times 0.8} = \frac{15}{\pi \times 0.04 \times 0.8} = \frac{15}{0.032 \pi} \approx 149.2 \, \text{kg/m}^3$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,घनत्व $149 \, \text{kg/m}^3$ है।

(D) मान लीजिए कि वर्गाकार प्लेट $xy$-तल में है,जिसकी दो भुजाएँ $x$ और $y$ अक्ष के अनुदिश हैं,जो मूल बिंदु (वह कोना जहाँ से अक्ष गुजरती है) पर मिलती हैं।
लंबवत अक्षों के प्रमेय के अनुसार,तल के लंबवत अक्ष ($z$-अक्ष) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_z = I_x + I_y$ होता है।
$M$ द्रव्यमान और $l$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट का उसकी एक भुजा से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{M l^2}{3}$ होता है।
यहाँ,$I_x = \frac{M l^2}{3}$ और $I_y = \frac{M l^2}{3}$ है।
इसलिए,$I_z = \frac{M l^2}{3} + \frac{M l^2}{3} = \frac{2}{3} M l^2$ होगा।

(D) माना प्रत्येक डिस्क की त्रिज्या $R = \frac{a}{2}$ है।
$OO'$ अक्ष पर स्थित दो डिस्क के लिए,अक्ष उनके व्यास से होकर गुजरती है। व्यास के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{1}{4} MR^2$ होता है।
अतः,ऊपर और नीचे वाली डिस्क के लिए,$I_1 = I_3 = \frac{1}{4} MR^2$ है।
किनारों पर स्थित दो डिस्क के लिए,$OO'$ अक्ष उनके स्पर्शरेखीय है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने पर,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ (अक्ष व्यास के समांतर है) और $d = R$ है।
अतः,$I_2 = I_4 = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$ है।
निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 2 \times (\frac{1}{4} MR^2) + 2 \times (\frac{5}{4} MR^2) = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{5}{2} MR^2 = 3 MR^2$ है।
$R = \frac{a}{2}$ रखने पर,$I = 3 M(\frac{a}{2})^2 = \frac{3}{4} Ma^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{x}{4} Ma^2 = \frac{3}{4} Ma^2$ की तुलना करने पर,$x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A$ केंद्रीय सिक्के का केंद्र है। $A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः केंद्रीय सिक्के का जड़त्व आघूर्ण $I_{central} = \frac{m r^2}{2}$ है।
आसपास के छह सिक्कों के लिए,उनके केंद्रों की $A$ से दूरी $2r$ है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रत्येक आसपास के सिक्के का जड़त्व आघूर्ण $I_{surrounding} = \frac{m r^2}{2} + m(2r)^2 = \frac{m r^2}{2} + 4mr^2 = \frac{9}{2} mr^2$ है।
$A$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_{central} + 6 \times I_{surrounding} = \frac{m r^2}{2} + 6 \times \frac{9}{2} mr^2 = \frac{m r^2}{2} + 27 mr^2 = \frac{55}{2} mr^2$ है।
अब,हमें बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण चाहिए,जो $A$ से $d = 2r$ की दूरी पर है। समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_P = I_A + M_{total} \times d^2$,जहाँ $M_{total} = 7m$ है।
$I_P = \frac{55}{2} mr^2 + (7m)(2r)^2 = \frac{55}{2} mr^2 + 28 mr^2 = \frac{55 + 56}{2} mr^2 = \frac{111}{2} mr^2$.

(D) मान लीजिए कि चार गोले $A, B, C,$ और $D$ एक $b$ भुजा वाले वर्ग के कोनों पर स्थित हैं। मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष भुजा $AB$ है।
$1$. $M$ द्रव्यमान और $a$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} M a^2$ होता है।
$2$. गोलों $A$ और $B$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से होकर गुजरती है। अतः,प्रत्येक के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_A = I_B = \frac{2}{5} M a^2$ है।
$3$. गोलों $C$ और $D$ के लिए,घूर्णन अक्ष उनके केंद्रों से $b$ लंबवत दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + M d^2$,जहाँ $d = b$ है। अतः,$I_C = I_D = \frac{2}{5} M a^2 + M b^2$ है।
$4$. निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I_A + I_B + I_C + I_D = \frac{2}{5} M a^2 + \frac{2}{5} M a^2 + (\frac{2}{5} M a^2 + M b^2) + (\frac{2}{5} M a^2 + M b^2) = \frac{8}{5} M a^2 + 2 M b^2$ है।

(B) समबाहु त्रिभुज के द्रव्यमान केंद्र की प्रत्येक छड़ से दूरी $d = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ है।
एक छड़ के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके अपने द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{m L^2}{12}$ है।
त्रिभुज के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = I_{cm} + m d^2 = \frac{m L^2}{12} + m \left( \frac{L}{2 \sqrt{3}} \right)^2 = \frac{m L^2}{12} + \frac{m L^2}{12} = \frac{2 m L^2}{12} = \frac{m L^2}{6}$ है।
चूंकि ऐसी तीन छड़ें हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 3 \times I_{rod} = 3 \times \frac{m L^2}{6} = \frac{m L^2}{2}$ होगा।

(C) अर्धवृत्ताकार तार की उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m r^2$ होता है।
माना $I_{cm}$ उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
अर्धवृत्त के केंद्र से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $d = \frac{2r}{\pi}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + md^2$ है।
मान रखने पर,$m r^2 = I_{cm} + m\left(\frac{2r}{\pi}\right)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_{cm} = m r^2 - m\left(\frac{4r^2}{\pi^2}\right) = m r^2\left(1 - \frac{4}{\pi^2}\right)$।

(D) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के समानांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ होता है,जहाँ $d$ अक्षों के बीच की दूरी है।
यहाँ,$d = \frac{2}{3}R$ है।
अतः,$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{2}{3}R\right)^2$.
$I_{AB} = \frac{1}{2}MR^2 + M\left(\frac{4}{9}R^2\right) = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{9}\right)MR^2 = \left(\frac{9+8}{18}\right)MR^2 = \frac{17}{18}MR^2$.
अब,अनुपात $\frac{I_{AB}}{I_{CM}} = \frac{\frac{17}{18}MR^2}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{17}{18} \times 2 = \frac{17}{9}$.
चूंकि अनुपात $x:9$ दिया गया है,इसलिए $x = 17$ है।

(B) $m_1$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + m_1 R^2 = \frac{2}{5} m_1 R^2 + m_1 R^2 = \frac{7}{5} m_1 R^2$। $m_1 = 5 \, kg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\text{sphere}} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$ प्राप्त होता है।
$m_2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + m_2 R^2 = \frac{1}{4} m_2 R^2 + m_2 R^2 = \frac{5}{4} m_2 R^2$। $m_2 = 4 \, kg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\text{disc}} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$ प्राप्त होता है।
डिस्क के जड़त्व आघूर्ण और गोले के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_{\text{disc}}}{I_{\text{sphere}}} = \frac{5 R^2}{7 R^2} = \frac{5}{7}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{7}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(D) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,डिस्क के किनारे पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = R$ दो समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x}{2} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 3$ मिलता है।

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,छड़ के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण (गोले के केंद्र से $d = 20\,cm = 0.2\,m$ की दूरी पर) $I = I_{cm} + md^2$ होगा।
चूंकि दो समान गोले हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 2(I_{cm} + md^2) = 2\left(\frac{2}{5}mr^2 + md^2\right)$ होगा।
दिया गया है $m = 2\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$,और $d = 20\,cm = 0.2\,m$:
$I_{total} = 2 \left[ \frac{2}{5} \times 2 \times (0.1)^2 + 2 \times (0.2)^2 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ \frac{4}{5} \times 0.01 + 2 \times 0.04 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.8 \times 0.01 + 0.08 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.008 + 0.08 \right] = 2 \times 0.088 = 0.176\,kg\,m^2$।
आवश्यक रूप में बदलने पर: $0.176\,kg\,m^2 = 176 \times 10^{-3}\,kg\,m^2$।

(B) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
व्यास के परितः गोले का कोणीय संवेग $L = I_d \omega = \frac{2}{5}mR^2 \omega$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार स्पर्शरेखा के परितः गोले का जड़त्व आघूर्ण: $I_t = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_t = (x \times 10^{-2}) \times L$.
मान रखने पर: $\frac{7}{5}mR^2 = (x \times 10^{-2}) \times (\frac{2}{5}mR^2 \omega)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{5}mR^2$ को काटने पर: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \omega$.
यहाँ $\omega = 10\,rad\,s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \times 10$.
$7 = x \times 10^{-2} \times 20$.
$7 = x \times 0.2$.
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

(D) केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए, छड़ के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण (गोले के केंद्र से $d = 75 \,cm = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ की दूरी पर) है:
$I_{sphere} = I_{cm} + md^2 = \frac{2}{5} mR^2 + md^2$.
यहाँ $m = 2 \,kg$, $R = 50 \,cm = 0.5 \,m = \frac{1}{2} \,m$, और $d = 0.75 \,m = \frac{3}{4} \,m$ दिया गया है।
$I_{sphere} = \frac{2}{5} \times 2 \times (\frac{1}{2})^2 + 2 \times (\frac{3}{4})^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{9}{16} = \frac{1}{5} + \frac{9}{8} = \frac{8 + 45}{40} = \frac{53}{40} \,kg \,m^2$.
चूंकि दो समान गोले हैं, इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{total} = 2 \times I_{sphere} = 2 \times \frac{53}{40} = \frac{53}{20} \,kg \,m^2$.
इसकी तुलना $\frac{x}{20} \,kg \,m^2$ से करने पर, $x = 53$ प्राप्त होता है।

(A) माना वर्ग की भुजा $a = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है। प्रत्येक गोले की त्रिज्या $R = \frac{\sqrt{5}}{2} \ cm = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 10^{-2} \ m$ है। प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$ है।
वर्ग के विकर्ण को घूर्णन अक्ष मानिए। दो गोले इस विकर्ण पर स्थित हैं,और दो गोले विकर्ण से $d = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ cm = 2\sqrt{2} \times 10^{-2} \ m$ की लंबवत दूरी पर हैं।
विकर्ण पर स्थित दो गोलों के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I_2 = \frac{2}{5}mR^2$ है।
विकर्ण से दूर स्थित दो गोलों के लिए,समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_3 = I_4 = \frac{2}{5}mR^2 + md^2$ है।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = 2(\frac{2}{5}mR^2) + 2(\frac{2}{5}mR^2 + md^2) = \frac{8}{5}mR^2 + 2md^2$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{8}{5}(0.5)(\frac{5}{4} \times 10^{-4}) + 2(0.5)(8 \times 10^{-4}) = 1.0 \times 10^{-4} + 8 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-4} \ kg \cdot m^2$। अतः,$N = 9$।

(C) माना छोटी डिस्क का द्रव्यमान $m$ है। चूंकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,इसलिए बड़ी डिस्क (त्रिज्या $2R$) का द्रव्यमान $4m$ होगा।
$I_0$ के लिए:
$O$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{large, O} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} = 8mR^2$ है।
छोटी डिस्क का उसके अपने केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $\frac{mR^2}{2}$ है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$O$ के परितः इसका जड़त्व आघूर्ण $I_{small, O} = \frac{mR^2}{2} + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_0 = 8mR^2 - \frac{3}{2}mR^2 = \frac{13}{2}mR^2$.
$I_P$ के लिए:
$P$ के परितः बड़ी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{large, P} = \frac{(4m)(2R)^2}{2} + (4m)(2R)^2 = 8mR^2 + 16mR^2 = 24mR^2$ है।
$P$ के परितः छोटी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए) $I_{small, P} = \frac{mR^2}{2} + m((2R)^2 + R^2) = \frac{mR^2}{2} + 5mR^2 = \frac{11}{2}mR^2$ है।
अतः,$I_P = 24mR^2 - \frac{11}{2}mR^2 = \frac{37}{2}mR^2$.
अनुपात $\frac{I_P}{I_0} = \frac{37/2}{13/2} = \frac{37}{13} \approx 2.846$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $3$ प्राप्त होता है।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली मूल डिस्क का केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
$r = R/2$ त्रिज्या वाले हटाए गए वृत्ताकार भाग का द्रव्यमान $M' = \frac{M}{\pi R^2} \times \pi (R/2)^2 = M/4$ है।
इस हटाए गए भाग का अपनी स्वयं की केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} M' r^2 = \frac{1}{2} (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,डिस्क की मूल केंद्रीय अक्ष के परितः (इसके स्वयं के केंद्र से $d = R/2$ की दूरी पर) हटाए गए भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + M' d^2 = \frac{1}{32} MR^2 + (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2 + \frac{1}{16} MR^2 = \frac{3}{32} MR^2$ है।
शेष भाग का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3}{32} MR^2 = \frac{16-3}{32} MR^2 = \frac{13}{32} MR^2$ है।

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली मूल छड़ का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$\alpha = \frac{ML^2}{12} \quad \dots (i)$
जब छड़ को दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $M' = M/2$ और लंबाई $L' = L/2$ होती है।
प्रत्येक भाग के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I_{part} = \frac{M'(L')^2}{12} = \frac{(M/2)(L/2)^2}{12} = \frac{ML^2}{96}$
क्रॉस आकार में,प्रत्येक छड़ को इस प्रकार रखा जाता है कि उसका केंद्र क्रॉस के केंद्र के साथ संपाती हो। घूर्णन अक्ष क्रॉस के तल के लंबवत है। प्रत्येक छड़ के लिए,यह अक्ष उसके केंद्र से गुजरती है और उसकी लंबाई के लंबवत है।
इस प्रकार,क्रॉस का कुल जड़त्व आघूर्ण दोनों छड़ों के जड़त्व आघूर्ण का योग है:
$\alpha' = I_{part} + I_{part} = 2 \times \frac{ML^2}{96} = \frac{ML^2}{48}$
समीकरण $(i)$ के साथ तुलना करने पर:
$\alpha' = \frac{1}{4} \left( \frac{ML^2}{12} \right) = \frac{\alpha}{4}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।