Continuity Questions in Hindi

(B) $x > 0$ के लिए, $|x| = x$, अतः $f(x) = \frac{x - x}{x} = 0$ है।
$x < 0$ के लिए, $|x| = -x$, अतः $f(x) = \frac{x - (-x)}{x} = \frac{2x}{x} = 2$ है।
$x = 0$ पर, $f(0) = 2$ है।
अब, $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ है।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2$ है।
चूँकि $\lim_{x \to 0^+} f(x) \neq \lim_{x \to 0^-} f(x)$, इसलिए $x = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है, अतः $f$, $x = 0$ पर असंतत है।
$x > 0$ के लिए, $f(x) = 0$ (एक अचर फलन), जो संतत है।
$x < 0$ के लिए, $f(x) = 2$ (एक अचर फलन), जो संतत है।
अतः, $f$, $x = 0$ को छोड़कर सभी $x$ के लिए संतत है।

(C) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $k = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\lim_{x \to 0} \frac{(8-2x)^{1/3} - 2}{3 - (243+5x)^{1/5}} = \lim_{x \to 0} \frac{2(1 - x/4)^{1/3} - 2}{3 - 3(1 + 5x/243)^{1/5}}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2[1 + \frac{1}{3}(-x/4) + \dots] - 2}{3 - 3[1 + \frac{1}{5}(5x/243) + \dots]}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2 - x/6 - 2}{3 - 3 - x/81} = \lim_{x \to 0} \frac{-x/6}{-x/81} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$।

(D) चूँकि $f(x)$, $x = 0$ पर संतत है, इसलिए $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ होगा।
$\lim_{x \to 0} \frac{8^x - 2^x}{k^x - 1} = 2$।
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{8^x - 1}{x} - \frac{2^x - 1}{x}}{\frac{k^x - 1}{x}} = 2$।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{\ln 8 - \ln 2}{\ln k} = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{\ln(8/2)}{\ln k} = 2 \implies \frac{\ln 4}{\ln k} = 2$।
$\ln 4 = 2 \ln k \implies \ln 4 = \ln(k^2)$।
$k^2 = 4 \implies k = 2$ (चूँकि सीमा के अस्तित्व के लिए $k > 0$ और $k \neq 1$ होना चाहिए)।

(C) चूँकि $f$, $x = 1$ पर संतत है, इसलिए $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ है।
माना $x = 1 + h$ है। जैसे $x \to 1$, $h \to 0$ होगा।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 + \cos(\pi(1+h))}{\pi(1-(1+h))^2}$।
$\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ का उपयोग करने पर, हमें $\cos(\pi + \pi h) = -\cos(\pi h)$ प्राप्त होता है।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos(\pi h)}{\pi h^2}$।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2\sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर, $1 - \cos(\pi h) = 2\sin^2(\frac{\pi h}{2})$ प्राप्त होता है।
$f(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{\pi h}{2})}{\pi h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2} \cdot \frac{2}{\pi}} \right)^2 = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot \left( \frac{\sin(\frac{\pi h}{2})}{\frac{\pi h}{2}} \right)^2$।
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ है, इसलिए $f(1) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$।

(A) चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
$f'(x) = \begin{cases} 2ax & \text{यदि } x < -1 \\ 2bx + a & \text{यदि } x > -1 \end{cases}$
चरण $2$: चूँकि $f'(x)$ सर्वत्र सतत है, यह $x = -1$ पर भी सतत होना चाहिए। अतः, $\lim_{x \to -1^-} f'(x) = \lim_{x \to -1^+} f'(x)$।
$2a(-1) = 2b(-1) + a \implies -2a = -2b + a \implies 3a = 2b \implies b = \frac{3}{2}a$।
चरण $3$: $x = -1$ पर $f'(x)$ के अस्तित्व के लिए, $f(x)$ को $x = -1$ पर सतत होना चाहिए। अतः, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = f(-1)$।
$a(-1)^2 + b = b(-1)^2 + a(-1) + 4 \implies a + b = b - a + 4 \implies 2a = 4 \implies a = 2$।
चरण $4$: $a = 2$ को $b = \frac{3}{2}a$ में प्रतिस्थापित करें।
$b = \frac{3}{2}(2) = 3$। अतः, $a = 2, b = 3$।

(C) चूँकि फलन $f$, $x = \pi$ पर सतत है, इसलिए $f(\pi) = \lim_{x \to \pi} f(x)$ होगा।
माना $t = x - \pi$ है। जैसे $x \to \pi$, $t \to 0$ होगा।
अतः $f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos(7t)}{5t^2}$।
सर्वसमिका $1 - \cos(\theta) = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर, $1 - \cos(7t) = 2 \sin^2(7t/2)$ प्राप्त होता है।
$f(\pi) = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2(7t/2)}{5t^2}$।
$f(\pi) = \frac{2}{5} \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{t} \right)^2$।
$(7/2)^2$ से गुणा और भाग करने पर: $f(\pi) = \frac{2}{5} \times (7/2)^2 \times \lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin(7t/2)}{7t/2} \right)^2$।
चूँकि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ है, इसलिए $f(\pi) = \frac{2}{5} \times \frac{49}{4} \times 1^2 = \frac{49}{10}$।

(C) एक फलन $f(x)$, $x=0$ पर संतत है यदि $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ हो।
$(A)$ $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} \cdot x} = e^2 = f(0)$। संतत है।
$(B)$ $\lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = 0 - 1 = -1 = f(0)$। संतत है।
$(C)$ $x \to 0^+$ के लिए, $\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x}(1 - e^{-1/x})}{e^{1/x}(1 + e^{-1/x})} = 1$। $x \to 0^-$ के लिए, $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$। चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$, सीमा का अस्तित्व नहीं है। असंतत है।
$(D)$ $\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x} - e^{2x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{5x}-1}{x} - \frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3} = \frac{5 - 2}{3} = 1 = f(0)$। संतत है।

(A) चरण $1$: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करके अंश को सरल करें।
$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$।
अंश $= 4\sqrt{2} (2 \sin 2x \cos x) = 8\sqrt{2} \sin 2x \cos x$।
चरण $2$: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करके हर को सरल करें।
$2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} = \cos(2x - \frac{3x}{2}) - \cos(2x + \frac{3x}{2}) = \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2}$।
हर $= \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{7x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = (\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{3x}{2}) + (\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{7x}{2})$।
$= 2 \sin x \sin \frac{x}{2} + 2 \sin 3x \sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{2} (\sin x + \sin 3x) = 2 \sin \frac{x}{2} (2 \sin 2x \cos x) = 4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x$।
चरण $3$: $f(x) = \frac{8\sqrt{2} \sin 2x \cos x}{4 \sin \frac{x}{2} \sin 2x \cos x} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}}$।
चरण $4$: $x = \frac{\pi}{2}$ पर सांतत्य के लिए, $f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 4$।

(D) एक परिमेय फलन वहाँ असंतत होता है जहाँ उसका हर शून्य होता है।
हर को शून्य के बराबर रखें: $x^2 - 5|x| + 6 = 0$।
चूँकि $x^2 = |x|^2$, हम इसे $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $|x| = t$, तब $t^2 - 5t + 6 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 3) = 0$।
अतः, $|x| = 2$ या $|x| = 3$।
इससे $x = \pm 2$ या $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
असंततता के बिंदु $x = 2, -2, 3, -3$ हैं।
ऐसे कुल $4$ बिंदु हैं।

(A) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए, $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
दिया गया है $f(x) = \frac{3^{x+3} - 3^{-x} - 2}{\tan x \cdot \log(1+x)}$।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $3^{x+3} - 3^{-x} - 2 = 27 \cdot 3^x - 3^{-x} - 2 = \frac{27 \cdot 3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 1}{3^x}$।
माना $t = 3^x$। जैसे $x \to 0, t \to 1$। अंश $(9t+1)(3t-1)$ हो जाता है।
अतः $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{(9 \cdot 3^x + 1)(3 \cdot 3^x - 1)}{3^x \cdot \tan x \cdot \log(1+x)}$।
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ का उपयोग करते हुए, सीमा का मान ज्ञात किया जाता है।

(B) $f(x)$ के $x = 2$ पर संतत होने के लिए, $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$ होना चाहिए।
माना $L = \lim_{x \to 2} \left( \frac{5x - 8}{8 - 3x} \right)^{\frac{3}{2x-4}}$।
जैसे ही $x \to 2$, आधार $\frac{5(2)-8}{8-3(2)} = \frac{2}{2} = 1$ और घातांक $\frac{3}{2(2)-4} \to \infty$ है।
यह $1^\infty$ रूप है। हम सूत्र $\lim_{x \to a} [g(x)]^{h(x)} = e^{\lim_{x \to a} h(x)[g(x)-1]}$ का उपयोग करते हैं।
$L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2x-4} \left( \frac{5x-8}{8-3x} - 1 \right)}$।
कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करने पर: $\frac{5x-8 - (8-3x)}{8-3x} = \frac{8x-16}{8-3x} = \frac{8(x-2)}{8-3x}$।
वापस प्रतिस्थापित करने पर: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{3}{2(x-2)} \cdot \frac{8(x-2)}{8-3x}}$।
$(x-2)$ को काटने पर: $L = e^{\lim_{x \to 2} \frac{24}{2(8-3x)}}$।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $L = e^{\frac{24}{2(8-6)}} = e^{\frac{24}{4}} = e^6$।

(B) चरण $1$: $x \to 0$ होने पर $f(x)$ की सीमा का मूल्यांकन करें।
चरण $2$: $x$ के $0$ के बहुत करीब होने पर, $\tan x$, $0$ के बहुत करीब होता है, इसलिए $\tan^2 x$ एक छोटा धनात्मक मान है जो $0$ के करीब है।
चरण $3$: चूंकि $x \in (-\epsilon, \epsilon) \setminus \{0\}$ के लिए $0 < \tan^2 x < 1$ है, इसलिए महत्तम पूर्णांक फलन $[\tan^2 x] = 0$ होगा।
चरण $4$: इस प्रकार, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ है।
चरण $5$: चूंकि $f(0) = [\tan^2 0] = [0] = 0$ है, हमारे पास $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ है, इसलिए $f(x)$, $x = 0$ पर संतत है।
चरण $6$: चूंकि $x = 0$ के पड़ोस में $f(x) = 0$ है, इसलिए $f'(0) = 0$ है।

(A) $f(x)$ के $x = 3$ पर सतत होने के लिए, बायीं सीमा, दायीं सीमा और $x = 3$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = 3a + 1$।
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 3b + 3$।
सीमाओं को बराबर करने पर: $3a + 1 = 3b + 3$।
$3a - 3b = 3 - 1$।
$3(a - b) = 2$।
$a - b = \frac{2}{3}$।

(B) चरण $1$: $\lim_{x \to 1} f(x)$ की गणना करें। चूँकि $1 < 2$ है, हम $f(x) = x + 1$ का उपयोग करते हैं। अतः, $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ है।
चरण $2$: $\lim_{x \to 2} f(x)$ की गणना करें। हम बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3$ है।
दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ है।
चूँकि दोनों सीमाएँ बराबर हैं, इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ है।
चरण $3$: योग $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 3 = 5$ है।

(D) $f(x)$ के $x = 1$ पर संतत होने के लिए, शर्त $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ का पालन होना चाहिए।
चरण $1$: $f(1) = 3(1) - 1 = 2$ की गणना करें।
चरण $2$: बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \to 1^-} (ax + 7) = a(1) + 7 = a + 7$। इसे $f(1)$ के बराबर रखने पर, $a + 7 = 2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a = -5$।
चरण $3$: दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 3}{b} = \frac{1 + 3}{b} = \frac{4}{b}$। इसे $f(1)$ के बराबर रखने पर, $\frac{4}{b} = 2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $b = 2$।
अतः, $a = -5$ और $b = 2$ है।