Derivatives of Functions in Parametric Forms Questions in Hindi

(A) दिया गया है $x = \cos^3 \theta - \sin^3 \theta$ और $y = (\cos \theta)^{1/3} - (\sin \theta)^{1/3}$.
$\theta$ के सापेक्ष $x$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos^2 \theta(-\sin \theta) - 3\sin^2 \theta(\cos \theta) = -3\sin \theta \cos \theta(\cos \theta + \sin \theta)$.
$\theta$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{3}(\cos \theta)^{-2/3}(-\sin \theta) - \frac{1}{3}(\sin \theta)^{-2/3}(\cos \theta) = -\frac{1}{3} \left( \frac{\sin \theta}{(\cos \theta)^{2/3}} + \frac{\cos \theta}{(\sin \theta)^{2/3}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{9} \sqrt[3]{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $\sin y = \sin 3t$ और $x = \sin t$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ का उपयोग करने पर:
$\sin y = 3\sin t - 4\sin^3 t$।
$x = \sin t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin y = 3x - 4x^3$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(3x - 4x^3)$।
$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 3 - 12x^2$।
यहाँ $y = 3t$ लेने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos 3t}{\cos t} = 3(4\cos^2 t - 3) = 3(4(1-x^2) - 3) = 3(1-4x^2)$।

(C) हमें $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ ज्ञात करना है।
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) = 2a \sin^2(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2a \sin^2(\theta/2)} = \cot(\frac{\theta}{2})$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर, $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $(i)$ $\rightarrow$ $C$.
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 6\cos^2 \theta \sin \theta = 3\sin \theta(2\cos^2 \theta - 1) = 3\sin \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 6\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - 2\sin^2 \theta) = 3\cos \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos \theta \cos(2\theta)}{3\sin \theta \cos(2\theta)} = \cot \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर, $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. (ii) $\rightarrow$ $D$.
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 3\cos^2 \theta \sin \theta = -3\sin \theta(1 - \cos^2 \theta) = -3\sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 3\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - \sin^2 \theta) = 3\cos^3 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos^3 \theta}{-3\sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर, $\frac{dy}{dx} = -(\cot(\frac{\pi}{3}))^3 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$. (iii) $\rightarrow$ $B$.
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a \cot \theta, \frac{dy}{d\theta} = a \sec^2 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sec^2 \theta}{a \cot \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} = \tan \theta \sec^2 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर, $\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi}{3}) \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (2)^2 = 4\sqrt{3}$. (iv) $\rightarrow$ $A$.
अतः, $(i)$ $\rightarrow$ $C$, (ii) $\rightarrow$ $D$, (iii) $\rightarrow$ $B$, (iv) $\rightarrow$ $A$.

(B) दिया गया है, $x=\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta$.
अतः, $\frac{d x}{d \theta}=-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta-\cos \theta=-\cot \theta(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)$.
चूँकि $x^2+4=(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)^2+4=(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)^2$, इसलिए $\sqrt{x^2+4}=\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta$.
अतः, $\frac{d x}{d \theta}=-\cot \theta \sqrt{x^2+4}$.
इसी प्रकार, $y=\operatorname{cosec}^{2022} \theta-\sin ^{2022} \theta$.
अतः, $\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)$.
चूँकि $y^2+4=(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)^2$, इसलिए $\sqrt{y^2+4}=\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta$.
अतः, $\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta \sqrt{y^2+4}$.
दोनों अवकलजों को विभाजित करने पर, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = 2022 \frac{\sqrt{y^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (2022)^2 \frac{y^2+4}{x^2+4}$.
इसकी तुलना $\frac{k(y^2+4)}{g(x)}$ से करने पर, हमें $k=(2022)^2$ और $g(x)=x^2+4$ प्राप्त होता है।
अंत में, $10+k-g(2022) = 10+(2022)^2-(2022^2+4) = 10-4 = 6$.

(C) दिया गया है $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$।
सबसे पहले, $\frac{dx}{d\theta}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$।
हम जानते हैं कि $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\tan \theta}{\theta}$।
अतः, $\frac{dy}{d\theta} = \frac{dx}{d\theta} \cdot \frac{\tan \theta}{\theta} = (a\theta \cos \theta) \cdot \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} = a \sin \theta$।
अब, $f(\theta)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{dy}{d\theta}$ का $\theta$ के सापेक्ष समाकलन करें:
$f(\theta) = \int a \sin \theta \, d\theta = -a \cos \theta + C$।
दिया गया है $f(2\pi) = 0$, इसलिए $-a \cos(2\pi) + C = 0 \implies -a(1) + C = 0 \implies C = a$।
इस प्रकार, $f(\theta) = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$।
अब, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \cos \frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$।

(A) दिया गया है, $x=a(t-\sin t)$ और $y=a(1+\cos t)$.
सबसे पहले, $x$ और $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1-\cos t)$ और $\frac{dy}{dt} = -a \sin t$.
अब, $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-a \sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{-2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = -\cot(t/2)$.
इसके बाद, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}(-\cot(t/2)) \cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-\csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{a(2 \sin^2(t/2))} = \frac{\csc^2(t/2)}{4a \sin^2(t/2)}$.
चूंकि $\csc^2(t/2) = \frac{1}{\sin^2(t/2)}$, इसलिए:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a \sin^4(t/2)}$.
अतः, विकल्प $A$ सही है.

(B) दिया गया है, $x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ और $y=a \sin \theta$।
$x$ और $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$।
साथ ही, $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$।

(B) माना $u = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ और $v = \frac{2x}{1+x^2}$ है।
हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले, $\frac{du}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$।
इसके बाद, $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(1+x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$।
अब, $\frac{du}{dv}$ की गणना करें:
$\frac{du}{dv} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \div \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{2(1-x^2)} = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$।
$x=2$ पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{2(2)}{2^2-1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$।

(D) दिया गया है $x = t + \frac{1}{t}$ और $y = t - \frac{1}{t}$।
सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}$
अब, $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2+1)/t^2}{(t^2-1)/t^2} = \frac{t^2+1}{t^2-1}$
अब, $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ प्राप्त होता है:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करने पर:
$= \frac{(t^2-1)(2t) - (t^2+1)(2t)}{(t^2-1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2-1)^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2}$
चूंकि $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2-1}{t^2}$, इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{t^2}{t^2-1}$ होगा।
अतः, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{-4t^3}{(t^2-1)^3}$।

(D) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}$ होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}\right) = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right)$.
चूंकि $\frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dy} = \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$, इसलिए:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}$.
बिंदु $P$ पर $\frac{dy}{dx} = 4$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -3$ दिया गया है:
$\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)_P = -\frac{-3}{(4)^3} = \frac{3}{64}$.

(D) दिया गया है, $x=\cos \theta$ और $y=\sin 5 \theta$.
सबसे पहले, $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ और $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
अतः, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta}$.
अब, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ ज्ञात करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right) \cdot \left( -\frac{1}{\sin \theta} \right) = \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta}$.
इन मानों को $(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x}$ में रखने पर:
$(1-\cos^2 \theta) \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) - \cos \theta \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right)$
$= \sin^2 \theta \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta} + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
मानक सूत्र $y = \sin(n \cos^{-1} x)$ के लिए $(1-x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$ का उपयोग करने पर,
यहाँ $n=5$ है, इसलिए $(1-x^2) y'' - x y' = -25 y$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = t^2 - 7t + 7$ और $y = t^2 - 4t - 10$ हैं।
बिंदु $(1, 2)$ पर $t$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम $x = 1$ और $y = 2$ रखते हैं।
$x = 1$ के लिए: $t^2 - 7t + 7 = 1 \Rightarrow t^2 - 7t + 6 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t - 1) = 0$, अतः $t = 1$ या $t = 6$।
$y = 2$ के लिए: $t^2 - 4t - 10 = 2 \Rightarrow t^2 - 4t - 12 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t + 2) = 0$, अतः $t = 6$ या $t = -2$।
उभयनिष्ठ मान $t = 6$ है।
अब, $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ और $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$।
$t = 6$ पर:
$\frac{dx}{dt} = 2(6) - 7 = 12 - 7 = 5$।
$\frac{dy}{dt} = 2(6) - 4 = 12 - 4 = 8$।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{8}{5}$ है।

(C) दिया गया है $x = t - \sin t$ और $y = 1 - \cos t$.
सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = \sin t$.
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = \cot(t/2)$.
अब, द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cot(t/2)) = \frac{d}{dt}(\cot(t/2)) \cdot \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{1 - \cos t} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2 \sin^2(t/2)} = -\frac{1}{4} \csc^4(t/2)$.
दिया गया है कि $t=K$ पर $\frac{d^2y}{dx^2} = -1$:
$-\frac{1}{4} \csc^4(K/2) = -1 \implies \csc^4(K/2) = 4 \implies \csc^2(K/2) = 2 \implies \sin^2(K/2) = 1/2$.
चूंकि $K>0$, $\sin(K/2) = 1/\sqrt{2}$, इसलिए $K/2 = \pi/4$, जिसका अर्थ है $K = \pi/2$.
अब, सीमा का मान ज्ञात करें:
$\lim_{t \rightarrow K} \frac{y}{x} = \lim_{t \rightarrow \pi/2} \frac{1 - \cos t}{t - \sin t} = \frac{1 - \cos(\pi/2)}{\pi/2 - \sin(\pi/2)} = \frac{1 - 0}{\pi/2 - 1} = \frac{1}{(\pi - 2)/2} = \frac{2}{\pi - 2}$.

(C) माना $y = a \sin^3 t$ और $x = a \cos^3 t$ है।
सबसे पहले, हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$.
अब, हम $x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर मान रखने पर:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$.

(A) दिया गया है $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$।
सबसे पहले, $\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$।
अब, श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$।
चूंकि $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \csc^2 \theta$ और $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$, इसलिए:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (\csc^2 \theta) \cdot \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \csc^3 \theta$।

(A) दिया गया है $x = at^2$ और $y = 2at$।
सबसे पहले, $\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ ज्ञात करें।
तब, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$।
हम जानते हैं कि $x = at^2$, इसलिए $t^2 = \frac{x}{a}$ और $y = 2at$, इसलिए $t = \frac{y}{2a}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(t^2)(t)} = -\frac{1}{2a(\frac{x}{a})(\frac{y}{2a})} = -\frac{1}{\frac{xy}{a}} = -\frac{a}{xy}$।

(A) चरण $1$: $x$ को सरल करें। $t = \tan \theta$ रखने पर, $x = \text{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$।
चरण $2$: $y$ को सरल करें। $t = \sin \theta$ रखने पर, $y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \theta = \sin^{-1} t$।
चरण $3$: $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें। $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ और $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$। अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + t^2}{2 \sqrt{1 - t^2}}$।
चरण $4$: $f(\tan \alpha)$ का मान $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - \tan^2 \alpha}}$ है।

(A) चरण $1$: बिंदु $(-2, 2)$ पर $t$ का मान ज्ञात करें।
$x = 1 - 3t^2 = -2 \implies 3t^2 = 3 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1$।
$y = t - 3t^3 = 2$। यदि $t = 1$, $y = -2 \neq 2$। यदि $t = -1$, $y = 2$। अतः $t = -1$ है।
चरण $2$: स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ ज्ञात करें।
$\frac{dx}{dt} = -6t$ और $\frac{dy}{dt} = 1 - 9t^2$।
$t = -1$ पर, $\frac{dx}{dt} = 6$ और $\frac{dy}{dt} = -8$।
ढाल $m = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$।
चरण $3$: बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करें।
$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 2) \implies 3y - 6 = -4x - 8 \implies 4x + 3y + 2 = 0$।

(A) दिया है $x = \sin(t)$, अतः $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$।
दिया है $y = \cos(pt)$, अतः $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin(pt)}{\cos(t)}$।
चूँकि $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$, हमारे पास $\frac{dy}{dx} = \frac{-p \sin(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$ है।
अतः, $\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = -p \sin(pt)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} \right) = -p^2 \cos(pt) \frac{dt}{dx}$।
चूँकि $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \frac{dy}{dx} = -p^2 \frac{\cos(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$।
पूरे समीकरण को $\sqrt{1 - x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -p^2 \cos(pt) = -p^2 y$।

(D) दिया गया है $x = at^2 - 1$ और $y = t^3 + 1$।
सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 3t^2$।
तब, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2at} = \frac{3t}{2a}$।
अब, द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3t}{2a}) = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2a}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2at} = \frac{3}{4a^2t}$ ज्ञात करें।
$t = 1$ पर, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4a^2(1)} = \frac{3}{4a^2}$।
दिया गया है $\frac{3}{4a^2} = \frac{3}{16}$, जिससे $4a^2 = 16$ प्राप्त होता है, अतः $a^2 = 4$।
चूँकि $a > 0$, इसलिए $a = 2$।

(C) दिया गया है $x = a \sin^3 t$ और $y = a \cos^3 t$।
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\cot t$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot t) = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{3a \sin^2 t \cos t}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a \sin^4 t \cos t} = \frac{\sec t \csc^4 t}{3a}$।
$t = \frac{\pi}{3}$ पर, $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos t = \frac{1}{2}$।
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\sqrt{3}/2)^4 (1/2)} = \frac{1}{3a (9/16) (1/2)} = \frac{1}{27a/32} = \frac{32}{27a}$।

(D) दिया गया है $x = 4t^3 + 3$ और $y = 3t^4 + 4$।
$\frac{dx}{dt} = 12t^2$ और $\frac{dy}{dt} = 12t^3$।
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{12t^2}{12t^3} = \frac{1}{t} = t^{-1}$।
अब, $\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy}) = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dy}) \cdot \frac{dt}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{12t^3} = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{12t^3} = -\frac{1}{12t^5}$।
दिया है $\frac{d^2x}{dy^2} = (\frac{dx}{dy})^n$, अतः $-\frac{1}{12t^5} = (t^{-1})^n = t^{-n}$।
समीकरण $-\frac{1}{12} (t^{-1})^5 = (\frac{dx}{dy})^5$ से तुलना करने पर, $n = 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना $u = f(\sin x)$ और $v = g(\sec x)$ है। हमें $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{du}{dx} = f'(\sin x) \cdot \cos x$ और $\frac{dv}{dx} = g'(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ है।
$x = \frac{\pi}{4}$ पर, $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sec x = \sqrt{2}$, और $\tan x = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{du}{dx} = f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
$\frac{dv}{dx} = g'(\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
अतः, $\frac{du}{dv} = \frac{3/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$।