Plane Questions in Gujarati

(C) સમતલનું સમીકરણ $6x - 3y + 2z = 6$ છે. $6$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે. આમ, અંતઃખંડો $a = 1, b = -2, c = 3$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે. તેનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
દિકકોસાઇન $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ છે.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે. અહીં $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ છે.
હવે, $|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $p = \frac{6}{7}$, તેથી $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ થાય.

(A) ધારો કે સમતલના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a, b, c$ છે. તેથી, બિંદુઓ $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, r, r^2)$ છે, તેથી:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા, આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ મળે છે.
સમતલ $(5, 5, -12)$ બિંદુમાંથી પસાર થતું હોવાથી:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ વડે ગુણતા, આપણને $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $2r^2 + 5r - 12 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2r - 3)(r + 4) = 0$.
આમ, $r = \frac{3}{2}$ અથવા $r = -4$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે. બિંદુ $(2, -1, -3)$ મૂકતા, આપણને $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ મળે છે.
સમતલ એ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી, અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ આ દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી, $3a + 2b - 4c = 0$ અને $2a - 3b + 2c = 0$.
અભિલંબ સદિશ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા, $(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$.
અભિલંબ સદિશ $(8, 14, 13)$ લેતા, સમતલનું સમીકરણ $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા, $8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$, જેનું સાદું રૂપ $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ બિંદુ $P(a, b, c)$ છે.
$YZ$-સમતલ પર લંબ $PA$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $A$ ના યામ $(0, b, c)$ થાય.
$ZX$-સમતલ પર લંબ $PB$ દોરવામાં આવે છે. તેથી $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ થાય.
ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ છે.
સમતલ $O(0, 0, 0)$, $A(0, b, c)$ અને $B(a, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
આમ, ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $bcx + acy - abz = 0$ થાય.

(A) ધારો કે પરિભ્રમણ પછીના સમતલનું સમીકરણ $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ છે.
સમતલ $P_{1}: \ell x+my=0$ અને $P_{2}: z=0$ ની છેદરેખા એ રેખા છે જ્યાં $\ell x+my=0$ અને $z=0$ થાય છે.
અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ અને $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ છે.
સમતલ $P_{1}$ અને $P_{3}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ ની કિંમત $P_{3}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(3, 4, 5)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ છે.
સમતલ $AB$ ને કાટખૂણે દુભાગે છે, તેથી $AB$ એ સમતલનો અભિલંબ છે. આમ, અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$, જેને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે.
અહીં, $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$, એટલે કે $x + y + z = 9$.

(D) સમતલ $(1, 2, -3)$ અને $(2, -2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. આ બે બિંદુઓને જોડતો સદિશ $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સમતલ $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ એકમ સદિશ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ ને લંબ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{v}$ અને $\hat{i}$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશને $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ તરીકે સરળ બનાવી શકાય છે.
બિંદુ $(1, 2, -3)$ માંથી પસાર થતા અને $(0, 1, 1)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$.

(C) આપેલ સમતલોના સમીકરણો $x+y+2z-6=0$ અને $2x-y+z-9=0$ છે.
તેમને સામાન્ય સ્વરૂપ $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ અને $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ સાથે સરખાવતા, આપણને અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ મળે છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી, $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(A) સમતલનું સમીકરણ $2x - y + 2z - 1 = 0$ આપેલ છે.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ અને $X$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
માન શોધતા: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ અને $|\vec{a}| = 1$.
તેથી, $\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
આમ, $\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(\vec{a}+\vec{b})$, $B(\vec{b}+\vec{c})$, અને $C(\vec{c}+\vec{a})$ છે.
સમતલ પરના સદિશો $\vec{AB} = B - A = \vec{c} - \vec{a}$ અને $\vec{AC} = C - A = \vec{c} - \vec{b}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{A} \cdot \vec{n}$ છે.
$\vec{A} \cdot \vec{n} = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે.
આમ, સમીકરણ $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે.

(B) સમતલ $ax + by + cz + d = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલ: $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1, \mu)$ નું સમતલથી અંતર: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\mu) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\mu|}{13}$ છે.
બિંદુ $(-3, 0, 1)$ નું સમતલથી અંતર: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
બિંદુઓ સમાન અંતરે હોવાથી, $d_1 = d_2$, તેથી $\frac{|20 - 12\mu|}{13} = \frac{8}{13}$ છે.
$|20 - 12\mu| = 8$ છે.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\mu = 8 \implies 12\mu = 12 \implies \mu = 1$ છે.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\mu = -8 \implies 12\mu = 28 \implies \mu = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ છે.
આમ, $\mu$ ના મૂલ્યો $1, \frac{7}{3}$ છે.

(A) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સમાંતર સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 3) - \hat{j}(4 - 3) + \hat{k}(4 + 1) = -4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં, $\vec{a} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = (-2)(-4) + (7)(-1) + (5)(5) = 8 - 7 + 25 = 26$.
આમ, સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 26$ છે.

(A) પગલું $1$: $A, B, C$ બિંદુઓના યામ શોધો જ્યાં સમતલ અક્ષોને છેદે છે.
$x$-અક્ષ માટે, $y=0, z=0 \implies x=2$। તેથી, $A = (2, 0, 0)$।
$y$-અક્ષ માટે, $x=0, z=0 \implies y=3$। તેથી, $B = (0, 3, 0)$।
$z$-અક્ષ માટે, $x=0, y=0 \implies z=4$। તેથી, $C = (0, 0, 4)$।
પગલું $2$: સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો.
$\vec{AB} = (-2, 3, 0)$, $\vec{AC} = (-2, 0, 4)$।
પગલું $3$: સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
પગલું $4$: ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61}$ ચોરસ એકમ।

(B) ઉગમબિંદુથી $d$ અંતરે અને સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ છે, જ્યાં $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ એ એકમ લંબ સદિશ છે.
આપેલ છે $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $d = 5$.
$\vec{n}$ નું માન શોધો: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
એકમ લંબ સદિશ $\hat{n} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3} \right) = 5$ છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા, આપણને $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 15$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1}$ અને $\vec{n_2}$ બંનેને લંબ છે, તેથી $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: બિંદુ $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ છે.
પગલું $4$: કિંમતો મૂકતા: $-2(x - 1) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \implies -2x + 2 + 4y - 8 - 3z + 3 = 0 \implies -2x + 4y - 3z - 3 = 0$, જે $2x - 4y + 3z + 3 = 0$ છે.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + by + cz = 0$ છે, જે $ax + by + cz = a$ માં સરળ થાય છે. તે $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $a(0) + b(1) + c(0) = a$, એટલે કે $b = a$। અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (a, a, c)$ છે.
સમતલ $2x + 3y = 7$ નો અભિલંબ $\vec{n_2} = (2, 3, 0)$ છે.
સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ સૂત્ર $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{2a^2 + c^2} \sqrt{13}}$।
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{2} = \frac{25a^2}{13(2a^2 + c^2)}$।
$13(2a^2 + c^2) = 50a^2 \implies 13c^2 = 24a^2 \implies c = \pm a \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{13}}$।
જો $a = \sqrt{13}$ લઈએ, તો $b = \sqrt{13}$ અને $c = 2\sqrt{6}$ મળે છે. તેથી દિક્-ગુણોત્તર $\sqrt{13}, \sqrt{13}, 2\sqrt{6}$ છે.

(B) પગલું $1$: સમતલના સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં ફેરવો.
પગલું $2$: આપેલ છે $2x + 3y + z = 6$, $6$ વડે ભાગતા $\frac{2x}{6} + \frac{3y}{6} + \frac{z}{6} = 1$ મળે, જે $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1$ માં સાદું રૂપ પામે છે.
પગલું $3$: અંતઃખંડો $a = 3, b = 2$ અને $c = 6$ છે. તેથી $A, B, C$ ના યામ $(3, 0, 0), (0, 2, 0)$ અને $(0, 0, 6)$ છે.
પગલું $4$: ઉગમબિંદુ અને અંતઃખંડો $a, b, c$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |abc|$ છે.
પગલું $5$: $V = \frac{1}{6} \times 3 \times 2 \times 6 = 6 \text{ ઘન એકમો}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\vec{r} = \lambda(\hat{i} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{j}$ છે.
ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે. તો $x = \lambda + \mu$, $y = 2 + \mu$, $z = 3\lambda + 2\mu$ છે.
$y = 2 + \mu$ પરથી, આપણને $\mu = y - 2$ મળે છે.
$\mu$ ની કિંમત $x = \lambda + \mu$ માં મૂકતા: $x = \lambda + y - 2 \implies \lambda = x - y + 2$ મળે.
$\lambda$ અને $\mu$ ની કિંમત $z = 3\lambda + 2\mu$ માં મૂકતા: $z = 3(x - y + 2) + 2(y - 2) = 3x - 3y + 6 + 2y - 4 = 3x - y + 2$ મળે.
આમ, સમતલનું સમીકરણ $3x - y - z = -2$ અથવા $3x - y - z + 2 = 0$ છે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપ માટે, $3x - y - z = -2 \implies \frac{x}{-2/3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$ છે.
આથી, $a = -2/3$, $b = 2$, $c = 2$ છે.
તેથી $a + b + c = -2/3 + 2 + 2 = -2/3 + 4 = 10/3$ થાય.

(A) પગલું $1$: સમતલ $z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$, $z$-અક્ષના સદિશ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ ને લંબ છે. તેથી, અભિલંબ સદિશનો $z$-ઘટક $0$ છે. સમતલનું સમીકરણ $3x - 2y - q = 0$ છે, જે આ શરતને સંતોષે છે.
પગલું $2$: સમતલ $A(1, p, 2)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા: $3(1) - 2(p) - q = 0 \implies 3 - 2p - q = 0$।
પગલું $3$: સમતલ $B(3, 2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. આ યામોને સમીકરણમાં મૂકતા: $3(3) - 2(2) - q = 0 \implies 9 - 4 - q = 0 \implies 5 - q = 0 \implies q = 5$।
પગલું $4$: પગલા $2$ ના સમીકરણમાં $q = 5$ મૂકતા: $3 - 2p - 5 = 0 \implies -2p - 2 = 0 \implies p = -1$।
પગલું $5$: આમ, $p = -1$ અને $q = 5$ મળે છે.

(C) સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ છે.
$y=0, z=0$ લેતા $x=2$ મળે, તેથી $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ લેતા $y=3$ મળે, તેથી $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ લેતા $z=4$ મળે, તેથી $C = (0, 0, 4)$।
સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ અને $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 4)$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ છે.

(C) પગલું $1$: સમતલમાં બે સદિશો શોધો. ધારો કે $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પગલું $2$: અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(3+1) = 16\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ શોધો.
પગલું $3$: અભિલંબ સદિશને સરળ બનાવીને $\vec{n}' = 4\hat{i} + \hat{k}$ મેળવો.
પગલું $4$: સમતલનું સમીકરણ $4(x-1) + 0(y+2) + 1(z-1) = 0$ છે, જે $4x + z - 5 = 0$ માં સરળ થાય છે.
પગલું $5$: $(0,0,0)$ થી $Ax+By+Cz+D=0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4^2+0^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{17}}$ છે.

(B) ધારો કે સમતલ દ્વારા $x, y, z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a, b, c$ છે. બિંદુઓના યામ $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, અને $C(0, 0, c)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(1, r, r^2)$ છે, તેથી $\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$, $\frac{b}{3} = r \implies b = 3r$, અને $\frac{c}{3} = r^2 \implies c = 3r^2$ થાય.
સમતલના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ મળે.
આખા સમીકરણને $3r^2$ વડે ગુણતા, આપણને $r^2x + ry + z = 3r^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A$, $B$, અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, અને $(0, 0, c)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ છે.
આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(2, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})$ હોવાથી, $\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$, $\frac{b}{3} = -\frac{2}{3} \implies b = -2$, અને $\frac{c}{3} = \frac{1}{2} \implies c = \frac{3}{2}$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે, જે $\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3/2} = 1$ અથવા $\frac{x}{6} - \frac{y}{2} + \frac{2z}{3} = 1$ થાય છે.
$6$ વડે ગુણતા, આપણને $x - 3y + 4z - 6 = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ છે.
અહીં, $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{26}}$ છે.

(A) પગલું $1$: બિંદુ $(1, 2, 3)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી અંતર $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
પગલું $2$: બિંદુ $(1, 2, 3)$ નું સમતલ $2x - 3y + z + k = 0$ થી અંતર $d_2 = \frac{|2(1) - 3(2) + 1(3) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 6 + 3 + k|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}}$ છે.
પગલું $3$: આપેલ ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = 7$ છે, તેથી $\sqrt{14} \times \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}} = 7$.
પગલું $4$: $|k - 1| = 7$, જેનો અર્થ છે કે $k - 1 = 7$ અથવા $k - 1 = -7$.
પગલું $5$: આમ, $k = 8$ અથવા $k = -6$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $k = 8$ સાચી કિંમત છે.

(A) $1$. બિંદુ $P$ $(1, 2, 3)$ છે.
$2$. $P(1, 2, 3)$ માંથી $YZ$-સમતલ $(x=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $A(0, 2, 3)$ છે.
$3$. $P(1, 2, 3)$ માંથી $ZX$-સમતલ $(y=0)$ પરના લંબનો લંબપાદ $B(1, 0, 3)$ છે.
$4$. સમતલ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, 3)$, અને $B(1, 0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
$5$. ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz = 0$ છે.
$6$. $A(0, 2, 3)$ મૂકતા: $2b + 3c = 0 \implies b = -\frac{3}{2}c$.
$7$. $B(1, 0, 3)$ મૂકતા: $a + 3c = 0 \implies a = -3c$.
$8$. જો $c = -2$ લઈએ, તો $a = 6$ અને $b = 3$ મળે છે.
$9$. સમીકરણ $6x + 3y - 2z = 0$ છે.

(A) $1$. બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b, c)$ છે.
$2$. લંબ $PA$ એ $XY$ સમતલ પર દોરવામાં આવ્યો છે. $XY$ સમતલનું સમીકરણ $z = 0$ છે. તેથી, $A$ ના યામ $(a, b, 0)$ છે.
$3$. લંબ $PB$ એ $ZX$ સમતલ પર દોરવામાં આવ્યો છે. $ZX$ સમતલનું સમીકરણ $y = 0$ છે. તેથી, $B$ ના યામ $(a, 0, c)$ છે.
$4$. ઉગમબિંદુ $O$ $(0, 0, 0)$ છે.
$5$. $(0, 0, 0)$, $(a, b, 0)$, અને $(a, 0, c)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & 0 \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
$6$. પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $x(bc - 0) - y(ac - 0) + z(0 - ab) = 0$
$7$. $xbc - yac - zab = 0$
$8$. આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા: $\frac{xbc}{abc} - \frac{yac}{abc} - \frac{zab}{abc} = 0$
$9$. $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$.

(A) પગલું $1$: $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો. $M = (\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2})$.
પગલું $2$: સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$, $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (1-(-10))\hat{k} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}$ છે.
પગલું $3$: સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{OM}) \cdot \vec{n} = 0$ છે, જ્યાં $\vec{OM} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} - \frac{9}{2}\hat{k}$ છે.
પગલું $4$: $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n} = (\frac{3}{2})(-5) + (\frac{7}{2})(-3) + (-\frac{9}{2})(11) = -\frac{15}{2} - \frac{21}{2} - \frac{99}{2} = -\frac{135}{2}$.
પગલું $5$: આમ, $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) = -\frac{135}{2}$, જેને $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) + \frac{135}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.