Trigonometrical ratios of sum and difference of two and three angles Questions in Gujarati

(B) અમે હાયપરબોલિક વિધેયો માટે સરવાળા અને તફાવતના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
$\sinh(x-y) = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y$
$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
$\cosh(x-y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\sinh(x+y) + \sinh(x-y) = 2 \sinh x \cosh y$
છેદમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\cosh(x+y) - \cosh(x-y) = 2 \sinh x \sinh y$
હવે,અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sinh x \cosh y}{2 \sinh x \sinh y} = \frac{\cosh y}{\sinh y} = \coth y$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin (A+B) \sin (A-B)+\cos (A+B) \cos (A-B)=\frac{1}{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = A+B$ અને $y = A-B$:
$\cos ((A+B) - (A-B)) = \frac{1}{2}$
$\cos (A+B-A+B) = \frac{1}{2}$
$\cos (2B) = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,તેથી $2B = \frac{\pi}{3}$
આમ,$B = \frac{\pi}{6}$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે: $m \cos (\alpha+\beta)-n \cos (\alpha-\beta)=m \cos (\alpha-\beta)+n \cos (\alpha+\beta)$
પદોને ગોઠવતા:
$m [\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta)] = n [\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta)]$
નિત્યસમ $\cos (A+B) - \cos (A-B) = -2 \sin A \sin B$ અને $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m [-2 \sin \alpha \sin \beta] = n [2 \cos \alpha \cos \beta]$
$-2m \sin \alpha \sin \beta = 2n \cos \alpha \cos \beta$
બંને બાજુ $2m \cos \alpha \cos \beta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = -\frac{n}{m}$
$\tan \alpha \tan \beta = -\frac{n}{m}$

(A) આપેલ છે: $\sin B = \frac{5}{13}$. $B$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos B = \frac{12}{13}$ અને $\tan B = \frac{5}{12}$.
આપેલ છે: $\sin (A-B) = \frac{16}{65}$. તેથી $\cos (A-B) = \frac{63}{65}$ અને $\tan (A-B) = \frac{16}{63}$.
સૂત્ર $\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A - \frac{5}{12}}{1 + \tan A \cdot \frac{5}{12}} = \frac{16}{63}$
ગણતરી કરતા $\tan A = \frac{507}{676}$ મળે છે.
તેથી $\tan A + \cot A = \frac{507}{676} + \frac{676}{507} = \frac{714025}{342732}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$.
તેથી,$\tan A - \tan B = \tan(A-B)(1 + \tan A \tan B)$.
$A = 80^{\circ}$ અને $B = 10^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan 80^{\circ} - \tan 10^{\circ} = \tan(80^{\circ}-10^{\circ})(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}) = \tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})$.
હવે,$\frac{\tan 80^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{\tan 70^{\circ}} = \frac{\tan 70^{\circ}(1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ})}{\tan 70^{\circ}} = 1 + \tan 80^{\circ} \tan 10^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 80^{\circ} = \cot 10^{\circ}$,તેથી $1 + \cot 10^{\circ} \tan 10^{\circ} = 1 + 1 = 2$.

(C) આપેલ છે કે $0 < A < B < \frac{\pi}{4}$,$\cos (A+B) = \frac{11}{61}$ અને $\sin (A-B) = \frac{24}{25}$.
$\sin (A+B) = \frac{60}{61}$ અને $\cos (A-B) = \frac{7}{25}$ મળે છે.
$\sin 2A = \sin ((A+B) + (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) + \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{684}{1525}$.
$\sin 2B = \sin ((A+B) - (A-B)) = \sin (A+B) \cos (A-B) - \cos (A+B) \sin (A-B) = \frac{156}{1525}$.
તેથી,$\sin 2A + \sin 2B = \frac{684}{1525} + \frac{156}{1525} = \frac{168}{305}$.

(B) આપેલ છે કે,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ અને $C=40^{\circ}$.
અહીં $A+B+C = 35^{\circ} + 15^{\circ} + 40^{\circ} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(A+B+C) = \tan(90^{\circ})$ જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
$\tan(A+B+C)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$
આ પદ અવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$
તેથી,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(C) આપેલ છે $\sin A = -\frac{24}{25}$. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\sin A < 0$ હોવાથી,$A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. તેથી,$\cos A = -\frac{7}{25}$.
આપેલ છે $\cos B = \frac{15}{17}$. $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી અને $\cos B > 0$ હોવાથી,$B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. તેથી,$\sin B = -\frac{8}{17}$.
હવે,$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B = -\frac{304}{425} < 0$.
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B = -\frac{297}{425} < 0$.
$\sin(A+B) < 0$ અને $\cos(A+B) < 0$ હોવાથી,$(A+B)$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં આવે છે.

(A) આપણે નિત્યસમ $2 \cosh A \sinh B = \sinh(A+B) - \sinh(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = x+y$ અને $B = x-y$.
તેથી $A+B = 2x$ અને $A-B = 2y$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \cosh (x+y) \sinh (x-y) = \sinh 2x - \sinh 2y$.
હવે,તેમાં $\sinh 2y$ ઉમેરતા:
$(\sinh 2x - \sinh 2y) + \sinh 2y = \sinh 2x$.

(A) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરીએ.
ધારો કે $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ અને $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
તેથી $A+B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{\pi}{3}$.
અને $A-B = \left(\frac{\pi}{6} + \theta\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = 2\theta$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos(2\theta)$.
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી જવાબ $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ મળે છે.

(A) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ $O$ છે. $2 \text{ કલાક}$ પછી, પ્રથમ જહાજ દ્વારા કાપેલું અંતર $OA = 3 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 6 \text{ km}$ છે.
બીજા જહાજ દ્વારા કાપેલું અંતર $OB = 4 \text{ km/h} \times 2 \text{ h} = 8 \text{ km}$ છે.
બંને માર્ગો વચ્ચેનો ખૂણો $\angle AOB = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
$\triangle AOB$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2(OA)(OB) \cos(60^{\circ})$
$AB^2 = 6^2 + 8^2 - 2(6)(8) \times \frac{1}{2}$
$AB^2 = 36 + 64 - 48$
$AB^2 = 100 - 48 = 52$
$AB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2 \sqrt{13} \text{ km}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ અને $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી, $\cos^2 75^{\circ} + \cos^2 15^{\circ} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} + \frac{3+1+2\sqrt{3}}{8} = 1$.
વળી, $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ અને $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\theta+\phi) = \frac{3}{5}$, જ્યાં $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{4}$, તેથી $\tan (\theta+\phi) = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\sin (\theta-\phi) = \frac{5}{13}$, તેથી $\tan (\theta-\phi) = \frac{5}{12}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2\theta = (\theta+\phi) + (\theta-\phi)$.
તેથી, $\tan (2\theta) = \tan ((\theta+\phi) + (\theta-\phi)) = \frac{\tan (\theta+\phi) + \tan (\theta-\phi)}{1 - \tan (\theta+\phi) \tan (\theta-\phi)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan (2\theta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{16+5}{12}}{1 - \frac{20}{36}} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{21}{12} \times \frac{36}{16} = \frac{21 \times 3}{16} = \frac{63}{16}$.
આમ, $\cot (2\theta) = \frac{1}{\tan (2\theta)} = \frac{16}{63}$.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{a}{a+1} + \frac{1}{2a+1}}{1 - \left(\frac{a}{a+1}\right) \left(\frac{1}{2a+1}\right)}$
$= \frac{\frac{a(2a+1) + 1(a+1)}{(a+1)(2a+1)}}{\frac{(a+1)(2a+1) - a}{(a+1)(2a+1)}}$
$= \frac{2a^2 + a + a + 1}{2a^2 + a + 2a + 1 - a}$
$= \frac{2a^2 + 2a + 1}{2a^2 + 2a + 1} = 1$
તેથી, $\tan(\alpha + \beta) = 1$ હોવાથી, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $\theta + \phi = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા, $\tan(\theta + \phi) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ મળે.
સૂત્ર $\tan(\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
આથી $\tan \theta + \tan \phi = 1 - \tan \theta \tan \phi$, અથવા $\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi = 1$ મળે.
હવે, પદ $(1 + \tan \theta)(1 + \tan \phi) = 1 + \tan \phi + \tan \theta + \tan \theta \tan \phi$ ને ધ્યાનમાં લો.
અગાઉના સ્ટેપમાંથી કિંમત મૂકતા: $1 + (\tan \theta + \tan \phi + \tan \theta \tan \phi) = 1 + 1 = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તે જ રીતે, $\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
બંનેની બાદબાકી કરતા:
$\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1 - (\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ છે $\cos(\alpha+\beta) = -\frac{1}{10}$. $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ અને $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી, $0 < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$. $\cos(\alpha+\beta) < 0$ હોવાથી, $\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{7\pi}{12}$.
તેથી, $\sin(\alpha+\beta) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{10})^2} = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3\sqrt{11}}{10}$.
તેથી, $\tan(\alpha+\beta) = \frac{3\sqrt{11}/10}{-1/10} = -3\sqrt{11}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha-\beta) = \frac{3}{8}$. $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$ અને $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી, $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$. $\sin(\alpha-\beta) > 0$ હોવાથી, $0 < \alpha-\beta < \frac{\pi}{3}$.
તેથી, $\cos(\alpha-\beta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{8})^2} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$.
તેથી, $\tan(\alpha-\beta) = \frac{3/8}{\sqrt{55}/8} = \frac{3}{\sqrt{55}}$.
હવે, $\tan 2\alpha = \tan((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)) = \frac{\tan(\alpha+\beta) + \tan(\alpha-\beta)}{1 - \tan(\alpha+\beta)\tan(\alpha-\beta)}$.
કિંમતો મૂકતા, $\tan 2\alpha = \frac{-3\sqrt{11} + \frac{3}{\sqrt{55}}}{1 - (-3\sqrt{11})(\frac{3}{\sqrt{55}})} = \frac{\frac{-3\sqrt{11}\sqrt{55} + 3}{\sqrt{55}}}{1 + \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{55}}} = \frac{-3(11\sqrt{5}) + 3}{\sqrt{55} + 9\sqrt{11}} = \frac{3(1 - 11\sqrt{5})}{\sqrt{11}(\sqrt{5} + 9)}$.
$\frac{3(1-r\sqrt{5})}{\sqrt{11}(s+\sqrt{5})}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $r=11$ અને $s=9$ મળે છે.
તેથી, $r+s = 11+9 = 20$.

(C) પગલું $1$: $105^\circ$ ને $(60^\circ + 45^\circ)$ તરીકે દર્શાવો.
પગલું $2$: સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $3$: $A = 60^\circ$ અને $B = 45^\circ$ મૂકતા: $\tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \tan 45^\circ}$.
પગલું $4$: કિંમતો $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ અને $\tan 45^\circ = 1$ મૂકતા: $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$.
પગલું $5$: છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1 - 3} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3})$.
પગલું $6$: વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $C$, $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$, એ પગલા $4$ ના પરિણામ સમાન છે.

(A) આપેલ છે: $\cos 43^{\circ} + \sin 43^{\circ} = k$.
બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos 43^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 45^{\circ} \cos 43^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 43^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(45^{\circ} + 43^{\circ}) = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$\sin 88^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\sin 88^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 88^{\circ}) = \cos 2^{\circ}$ હોવાથી:
$\cos 2^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 15^{\circ} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તે જ રીતે, $\sin 15^{\circ} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
હવે, $\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $x + y = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\tan(x + y) = \tan(\frac{\pi}{4})$.
સૂત્ર $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી, $\tan x + \tan y = 1 - \tan x \tan y$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: $1 + \tan x + \tan y + \tan x \tan y = 1 + 1$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $(1 + \tan x) + \tan y(1 + \tan x) = 2$.
$(1 + \tan x)(1 + \tan y) = 2$.