Maxima and Minima Questions in Hindi

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{8} + \frac{2}{x}$ है।
सबसे पहले, अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{8} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{8x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए, $f'(x) = 0$ रखें, जिससे $x^2 - 16 = 0$, अर्थात $x = 4$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंतराल $[1, 6]$ है, हम केवल $x = 4$ पर विचार करेंगे।
अब, क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $[1, 6]$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(1) = \frac{1}{8} + \frac{2}{1} = \frac{1}{8} + 2 = \frac{17}{8} = 2.125$.
$f(4) = \frac{4}{8} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$f(6) = \frac{6}{8} + \frac{2}{6} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{9+4}{12} = \frac{13}{12} \approx 1.083$.
$f(1) = \frac{17}{8}$, $f(4) = 1$, और $f(6) = \frac{13}{12}$ की तुलना करने पर, अधिकतम मान $\frac{17}{8}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^3 e^{-3x}$ है, जहाँ $x > 0$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) \cdot e^{-3x} + x^3 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} + x^3 (-3 e^{-3x})$
$f'(x) = 3x^2 e^{-3x} (1 - x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$3x^2 e^{-3x} (1 - x) = 0$
चूंकि $x > 0$ और $e^{-3x} \neq 0$ है, इसलिए $1 - x = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $x = 1$।
यह पुष्टि करने के लिए कि यह अधिकतम है, हम $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं। $x < 1$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः, $f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान $x = 1$ पर है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^3 e^{-3(1)} = e^{-3}$ है।

(A) विस्थापन $x = t^4 - k t^3$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$, समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन है:
$v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$.
न्यूनतम वेग की स्थिति ज्ञात करने के लिए, हम त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = 12t^2 - 6kt$.
$t = 2$ पर वेग न्यूनतम होने के लिए, समय के सापेक्ष वेग का अवकलन $t = 2$ पर शून्य होना चाहिए:
$\frac{dv}{dt} \big|_{t=2} = 12(2)^2 - 6k(2) = 0$.
$12(4) - 12k = 0$.
$48 - 12k = 0$.
$12k = 48$.
$k = 4$.
अतः, $k$ का मान $4$ है।

(B) वह बिंदु ज्ञात करने के लिए जहाँ ढाल अधिकतम है, हमें $f'(x)$ को अधिकतम करना होगा। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$ है।
$g(x)$ के अधिकतम होने के लिए, हम $g'(x) = f''(x) = 0$ रखते हैं।
$f'(x) = e^x(\sin x + \cos x)$
$f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$ है।
$f''(x) = 0$ रखने पर $2e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e^x \neq 0$, इसलिए $\cos x = 0$ होगा।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में, $\cos x = 0$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{3\pi}{2}$ पर होता है।
हम $g(x)$ का द्वितीय अवकलज जाँचते हैं, जो $g'(x) = f''(x) = 2e^x \cos x$ है।
$g''(x) = f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$ है।
$x = \frac{\pi}{2}$ पर, $g''(\frac{\pi}{2}) = 2e^{\pi/2}(0 - 1) = -2e^{\pi/2} < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \frac{3\pi}{2}$ पर, $g''(\frac{3\pi}{2}) = 2e^{3\pi/2}(0 - (-1)) = 2e^{3\pi/2} > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः, ढाल $x = \frac{\pi}{2}$ पर अधिकतम है।

(B) दिया गया है, $f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$.
अंतराल $(1, 2)$ की सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = 1^{4} - 4(1)^{3} + 4(1)^{2} + c = 1 - 4 + 4 + c = 1 + c$.
$f(2) = 2^{4} - 4(2)^{3} + 4(2)^{2} + c = 16 - 32 + 16 + c = c$.
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार, यदि $f(1) \cdot f(2) < 0$ है, तो अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक शून्य मौजूद है।
$f(1) \cdot f(2) = (1 + c)c$.
$f(1) \cdot f(2) < 0$ के लिए, हमें $c(c + 1) < 0$ की आवश्यकता है, जिसका अर्थ है $c \in (-1, 0)$.
चूंकि $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} + 8x = 4x(x - 1)(x - 2)$, हम देखते हैं कि $x = 0, 1, 2$ पर $f'(x) = 0$ है।
अंतराल $(1, 2)$ में, $f'(x) < 0$ है, जिसका अर्थ है कि फलन निरंतर घट रहा है।
अतः, यदि $c \in (-1, 0)$ है, तो $f(x)$ का $(1, 2)$ में ठीक एक शून्य है।

(A) दिया गया है $f(x)=1-2x+\int_{0}^{x}e^{(x-t)}f(t)dt$.
$e^{-x}$ से गुणा करने पर, हमें मिलता है $e^{-x}f(x) = (1-2x)e^{-x} + \int_{0}^{x}e^{-t}f(t)dt$.
लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{-x}f'(x) - e^{-x}f(x) = -2e^{-x} - (1-2x)e^{-x} + e^{-x}f(x)$.
$f'(x) - f(x) = -2 - 1 + 2x + f(x) \Rightarrow f'(x) - 2f(x) = 2x - 3$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 dx} = e^{-2x}$ है।
$f(x)e^{-2x} = \int (2x-3)e^{-2x} dx = (2x-3)\frac{e^{-2x}}{-2} - \int 2 \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} dx = -\frac{2x-3}{2}e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.
$f(x) = -x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + Ce^{2x} = 1-x + Ce^{2x}$.
चूंकि $f(0) = 1-2(0) + 0 = 1$, इसलिए $1 = 1-0 + C \Rightarrow C=0$.
अतः, $f(x) = 1-x$.
अब, $g(x) = \int_{0}^{x} (1-t+2)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt = \int_{0}^{x} (3-t)^{15}(t-4)^6(t+12)^{17} dt$.
$g'(x) = (3-x)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17} = -(x-3)^{15}(x-4)^6(x+12)^{17}$.
क्रांतिक बिंदुओं $-12, 3, 4$ के आसपास $g'(x)$ के चिह्न की जांच करने पर:
$x < -12$ के लिए, $g'(x) < 0$.
$-12 < x < 3$ के लिए, $g'(x) > 0$.
$3 < x < 4$ के लिए, $g'(x) < 0$.
$x > 4$ के लिए, $g'(x) < 0$.
स्थानीय निम्निष्ठ $p = -12$ पर और स्थानीय उच्चिष्ठ $q = 3$ पर प्राप्त होता है।
अतः, $|p+q| = |-12+3| = |-9| = 9$.

(C) दिया गया है $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$ के लिए।
$t \in (-1, 0)$ के लिए, $f(t) = \frac{t+1}{t^2} = \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = -\frac{1}{t^2} - \frac{2}{t^3} = -\frac{t+2}{t^3}$. चूँकि $t < 0$, इसलिए $t^3 < 0$, अतः $t \in (-1, 0)$ के लिए $f'(t) > 0$ है।
$t \in (-\infty, -1)$ के लिए, $f(t) = \frac{-(t+1)}{t^2} = -\frac{1}{t} - \frac{1}{t^2}$. अतः $f'(t) = \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t^3} = \frac{t+2}{t^3}$.
$f(t)$ के निरंतर ह्रासमान होने के लिए, $f'(t) < 0$ होना चाहिए। चूँकि $t^3 < 0$, हमें $t+2 > 0$ की आवश्यकता है, अर्थात $t > -2$. अतः, $f(t)$ अंतराल $(-2, -1)$ पर निरंतर ह्रासमान है।
$(-2, -1)$ की तुलना $(2\alpha, \alpha)$ से करने पर, हमें $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।
अब, $x > 2$ के लिए $g(x) = 2\log_e(x-2) - x^2 + 4x + 1$.
$g'(x) = \frac{2}{x-2} - 2x + 4 = \frac{2 - 2x(x-2) + 4(x-2)}{x-2} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x-2} = \frac{-2(x-3)(x-1)}{x-2}$.
$x > 2$ के लिए, $x = 3$ पर $g'(x) = 0$ है।
$x \in (2, 3)$ के लिए, $g'(x) > 0$ और $x > 3$ के लिए, $g'(x) < 0$ है। अतः, $x = 3$ पर $g(x)$ का स्थानीय उच्चतम मान प्राप्त होता है।
स्थानीय उच्चतम मान $g(3) = 2\log_e(3-2) - 3^2 + 4(3) + 1 = 2\log_e(1) - 9 + 12 + 1 = 0 - 9 + 13 = 4$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2025} - x^{2000}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 2025x^{2024} - 2000x^{1999}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर, हमें मिलता है $x^{1999}(2025x^{25} - 2000) = 0$.
चूंकि $x \in [0, 1]$, क्रांतिक बिंदु $x = (\frac{2000}{2025})^{1/25} = (\frac{80}{81})^{1/25} = \alpha$ है।
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{2025/25} - (\frac{80}{81})^{2000/25} = (\frac{80}{81})^{81} - (\frac{80}{81})^{80}$ का मान निकालने पर.
$f(\alpha) = (\frac{80}{81})^{80} (\frac{80}{81} - 1) = (\frac{80}{81})^{80} (-\frac{1}{81}) = 80^{80} \cdot 81^{-80} \cdot (-81)^{-1} = 80^{80} \cdot (-81)^{-81}$.
इसकी तुलना $(80)^{80}(n)^{-81}$ से करने पर, हमें $n = -81$ प्राप्त होता है।

(A) अंतराल $[0, 9]$ पर फलन $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ का निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$3(x^2 - 12x + 32) = 0$
$3(x - 4)(x - 8) = 0$
अतः, क्रांतिक बिंदु $x = 4$ और $x = 8$ हैं।
अब, हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[0, 9]$ के अंतिम बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0$
$f(4) = 4^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$
$f(8) = 8^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$
$f(9) = 9^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135$
इन मानों $(0, 160, 128, 135)$ की तुलना करने पर, निरपेक्ष न्यूनतम मान $0$ है।

(C) हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x+1|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $|x+1| \ge 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $-|x+1| \le 0$।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $-|x+1| + 3 \le 0 + 3$, जो सरल होकर $f(x) \le 3$ हो जाता है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब पद $-|x+1| = 0$ हो, जो $x = -1$ पर होता है।
अतः, फलन का अधिकतम मान $3$ है।

(C) ऊँचाई फलन $h(t) = -5t^2 + 14t + 3$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dh}{dt} = -10t + 14$।
$\frac{dh}{dt} = 0$ रखने पर, हमें $-10t + 14 = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $t = 1.4 \text{ s}$।
$t = 1.4$ का मान ऊँचाई समीकरण में रखने पर: $h(1.4) = 3 + 14(1.4) - 5(1.4)^2$।
$h(1.4) = 3 + 19.6 - 5(1.96) = 22.6 - 9.8 = 12.8 \text{ m}$।
अतः, अधिकतम ऊँचाई $12.8 \text{ m}$ है।

(C) माना $f(x) = (1/x)^x = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = -[\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}] = -(\ln(x) + 1)$।
अवकलज को $0$ के बराबर रखने पर: $-(\ln(x) + 1) = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = 1/e$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2}{dx^2}(\ln(f(x))) = -\frac{1}{x}$। $x = 1/e$ पर, यह $-e < 0$ है, अतः यह एक स्थानीय उच्चिष्ठ है।
अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$ है।
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{x(\frac{1}{x}) - \log x(1)}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$।
चूंकि $e \approx 2.718$, $x = e$ अंतराल $(2, \infty)$ में स्थित है।
$x = e$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जांचें: $x < e$ के लिए, $f'(x) > 0$ (वर्धमान); $x > e$ के लिए, $f'(x) < 0$ (ह्रासमान)।
अतः, $x = e$ स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है।
जैसे $x \to 2^+$, $f(x) \to \frac{\log 2}{2} \approx 0.346$।
जैसे $x \to \infty$, $f(x) \to 0$।
चूंकि फलन $x = e$ तक बढ़ता है और फिर $x \to \infty$ होने पर $0$ की ओर घटता है, $(2, \infty)$ पर फलन का निम्नक (infimum) $0$ है, लेकिन यह कभी प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना आधार की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। आयतन $V = \pi r^2 h = 125\pi$, इसलिए $h = \frac{125}{r^2}$ है।
बिना ऊपरी ढक्कन वाले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r^2 + 2\pi rh$ होता है।
$h$ का मान रखने पर: $S = \pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{125}{r^2} \right) = \pi r^2 + \frac{250\pi}{r}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $r$ के सापेक्ष अवकलन करें: $\frac{dS}{dr} = 2\pi r - \frac{250\pi}{r^2}$।
$\frac{dS}{dr} = 0$ रखने पर: $2\pi r = \frac{250\pi}{r^2} \implies r^3 = 125 \implies r = 5 \text{ cm}$।
$r = 5$ का मान $S$ में रखने पर: $S = \pi(5)^2 + \frac{250\pi}{5} = 25\pi + 50\pi = 75\pi \text{ cm}^2$।

(D) माना दो भाग $x$ और $28-x$ हैं, जहाँ $x > 0$ और $28-x > 0$ है।
माना $f(x) = x^3 + (28-x)^2$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $f'(x) = 3x^2 - 2(28-x) = 3x^2 + 2x - 56$।
$f'(x) = 0$ रखने पर: $3x^2 + 2x - 56 = 0$।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-56)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{676}}{6} = \frac{-2 \pm 26}{6}$।
चूँकि $x > 0$ है, इसलिए $x = \frac{24}{6} = 4$।
दो भाग $4$ और $28-4 = 24$ हैं।
निरपेक्ष अंतर $|24 - 4| = 20$ है।

(B) माना वक्र $4y = x^2$ पर एक बिंदु $(x, y)$ है, जहाँ $y = \frac{x^2}{4}$ है।
$(x, \frac{x^2}{4})$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D$ का वर्ग $D^2 = (x - 0)^2 + (\frac{x^2}{4} - 5)^2$ है।
माना $f(x) = D^2 = x^2 + \frac{x^4}{16} - \frac{5x^2}{2} + 25 = \frac{x^4}{16} - \frac{3x^2}{2} + 25$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे $0$ के बराबर रखें:
$f'(x) = \frac{4x^3}{16} - 3x = \frac{x^3}{4} - 3x = 0$।
$x(\frac{x^2}{4} - 3) = 0$, जिससे $x = 0$ या $x^2 = 12 \implies x = \pm 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x = \pm 2\sqrt{3}$ के लिए, $y = \frac{(\pm 2\sqrt{3})^2}{4} = \frac{12}{4} = 3$ है।
अतः, बिंदु $(2\sqrt{3}, 3)$ और $(-2\sqrt{3}, 3)$ हैं।

(C) माना लंबाई $x \text{ m}$ और चौड़ाई $y \text{ m}$ है।
आयतन $V = x \cdot y \cdot 4 = 36 \implies xy = 9 \implies y = \frac{9}{x}$।
लागत $C = 100(xy) + 50(2 \cdot 4x + 2 \cdot 4y) = 100(9) + 400(x + y) = 900 + 400(x + \frac{9}{x})$।
$C$ को न्यूनतम करने के लिए, $\frac{dC}{dx} = 400(1 - \frac{9}{x^2}) = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$।
चूँकि $x=3$, $y = \frac{9}{3} = 3$।
न्यूनतम लागत $C = 900 + 400(3 + 3) = 900 + 400(6) = 900 + 2400 = 3300$।

(B) चरण $1$: गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74}(-1)$
चरण $2$: $f'(x)$ को सरल करें।
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x] = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$
चरण $3$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें।
$25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x) = 0$
क्रांतिक बिंदु $x = 0$, $x = 1$, और $x = 1/4$ हैं।
चरण $4$: क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें।
$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(1/4) = (1/4)^{25}(3/4)^{75} > 0$।
चूंकि $[0, 1]$ पर $f(x) \ge 0$ है और $x = 1/4$ पर मान धनात्मक है, इसलिए अधिकतम मान $x = 1/4$ पर प्राप्त होता है।

(C) माना आयत की लंबाई $l$ और चौड़ाई $b$ है।
आयत का परिमाप $2(l + b) = 64 \text{ m}$ है, इसलिए $l + b = 32 \text{ m}$, जिसका अर्थ है $b = 32 - l$।
क्षेत्रफल $A = l \times b = l(32 - l) = 32l - l^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम $A$ का $l$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dl} = 32 - 2l$।
$\frac{dA}{dl} = 0$ रखने पर, हमें $32 - 2l = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $l = 16 \text{ m}$।
तब $b = 32 - 16 = 16 \text{ m}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 16 \times 16 = 256 \text{ m}^2$ है।

(D) चरण $1$: अवकलज $f'(x) = 6x^2 - 30x + 36$ ज्ञात कीजिए।
चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखिए: $6(x^2 - 5x + 6) = 0 \implies 6(x-2)(x-3) = 0$। अतः, $x = 2$ और $x = 3$ है।
चरण $3$: $x = 2$ पर स्थानीय उच्चतम मान की गणना कीजिए: $f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) + 40 = 16 - 60 + 72 + 40 = 68$।
चरण $4$: $x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान की गणना कीजिए: $f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) + 40 = 54 - 135 + 108 + 40 = 67$।
चरण $5$: स्थानीय चरम मानों के बीच का अंतर $|68 - 67| = 1$ है।

(A) माना वर्ग के लिए टुकड़े की लंबाई $x$ है और वृत्त के लिए टुकड़े की लंबाई $40 - x$ है।
वर्ग की भुजा $s = \frac{x}{4}$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $A_s = (\frac{x}{4})^2 = \frac{x^2}{16}$ है।
वृत्त की परिधि $2\pi r = 40 - x$ है, इसलिए $r = \frac{40 - x}{2\pi}$ है। वृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (\frac{40 - x}{2\pi})^2 = \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(40 - x)^2}{4\pi}$ है।
न्यूनतम करने के लिए, $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(40 - x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{40 - x}{2\pi} = 0$ ज्ञात करें।
$\frac{x}{8} = \frac{40 - x}{2\pi} \implies \pi x = 160 - 4x \implies x(\pi + 4) = 160$ है।
$x = \frac{160}{\pi + 4}$ है।
दूसरा टुकड़ा $40 - \frac{160}{\pi + 4} = \frac{40\pi + 160 - 160}{\pi + 4} = \frac{40\pi}{\pi + 4}$ है।

(A) चरण $1$: $t$ के सापेक्ष फलन $f(t) = -2t^3 + 3t^2 + 5$ का प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 3t^2 + 5) = -6t^2 + 6t$।
चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखें।
$-6t^2 + 6t = 0 \Rightarrow -6t(t - 1) = 0$।
इससे $t = 0$ और $t = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f''(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 6t) = -12t + 6$।
चरण $4$: क्रांतिक बिंदुओं पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
$t = 1$ के लिए, $f''(1) = -12(1) + 6 = -6$।
चूँकि $f''(1) < 0$ है, इसलिए फलन का $t = 1$ घंटे पर स्थानीय उच्चतम मान है।