Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि जब पत्थर गिराया जाता है तब गुब्बारे की ऊँचाई $h$ है और उसका ऊपर की ओर वेग $v$ है।
जब पत्थर गिराया जाता है, तो उसका प्रारंभिक वेग $u = v$ (ऊपर की ओर) होता है।
पत्थर के लिए गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
यहाँ, $s = -h$ (विस्थापन नीचे की ओर है), $u = v$, $a = -g = -32 \ ft/sec^2$, और $t = 4 \ sec$.
$-h = v(4) + \frac{1}{2}(-32)(4)^2$.
$-h = 4v - 16(16)$.
$-h = 4v - 256$.
$h = 256 - 4v$.
$4 \ sec$ में, गुब्बारा अतिरिक्त $d = v \times t = v \times 4 = 4v$ दूरी तय करता है।
जब पत्थर जमीन पर पहुँचता है तब गुब्बारे की कुल ऊँचाई $H = h + d$ होगी।
$H = (256 - 4v) + 4v = 256 \ ft$.

(C) मान लीजिए अंतिम वेग $v$ है। कण $B$ के लिए, $v = f't$, इसलिए $t = \frac{v}{f'}$. तय की गई दूरी $s = \frac{1}{2}f't^2 = \frac{1}{2}f'\left(\frac{v}{f'}\right)^2 = \frac{v^2}{2f'}$.
कण $A$ के लिए, $v = f(t+m)$, इसलिए $t+m = \frac{v}{f}$, जिसका अर्थ है $t = \frac{v}{f} - m$. तय की गई दूरी $s+n = \frac{1}{2}f(t+m)^2 = \frac{1}{2}f\left(\frac{v}{f}\right)^2 = \frac{v^2}{2f}$.
वेग समीकरणों से: $f't = f(t+m) \implies t(f'-f) = fm \implies t = \frac{fm}{f'-f}$.
$t$ का मान वेग समीकरण $v = f't$ में रखने पर: $v = \frac{f'fm}{f'-f}$.
अब, $n = (s+n) - s = \frac{v^2}{2f} - \frac{v^2}{2f'} = \frac{v^2}{2} \left(\frac{f'-f}{ff'}\right)$.
$v^2 = \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2$ रखने पर:
$n = \frac{1}{2} \left(\frac{ff'm}{f'-f}\right)^2 \left(\frac{f'-f}{ff'}\right) = \frac{1}{2} \frac{(ff')^2 m^2}{(f'-f)^2} \cdot \frac{f'-f}{ff'} = \frac{ff'm^2}{2(f'-f)}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: $(f'-f)n = \frac{1}{2}ff'm^2$.

(B) माना $r = 10 \ m$ वृत्ताकार ट्रैक की त्रिज्या है।
ट्रैक पर व्यक्ति की गति $v = r \frac{d\theta}{dt} = 10 \ m/sec$ है।
चूंकि $r = 10 \ m$ है, हमारे पास $10 \frac{d\theta}{dt} = 10$ है, जिसका अर्थ है $\frac{d\theta}{dt} = 1 \ rad/sec$।
माना $P$ से $\theta$ कोणीय दूरी पर दीवार पर छाया की स्थिति $y$ है।
ज्यामिति से, $\tan \theta = \frac{y}{r}$, इसलिए $y = r \tan \theta$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dy}{dt} = r \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 60^{\circ}$ पर, $\sec(60^{\circ}) = 2$ है, इसलिए $\sec^2(60^{\circ}) = 4$।
मान रखने पर, $\frac{dy}{dt} = 10 \times 4 \times 1 = 40 \ m/sec$।
अतः, छाया की गति $40 \ m/sec$ है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $y = \frac{10}{x}$ दिया गया है।
भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ unit/s}$ है।
कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने के लिए, हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $t$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करेंगे:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{10}{x} \right) = -\frac{10}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिए गए मान $x = 5$ और $\frac{dx}{dt} = 1$ को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{10}{(5)^2} \cdot (1) = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} \text{ unit/s}$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है, इसलिए कोटि $y$, $\frac{2}{5} \text{ unit/s}$ की दर से घटती है।

(A) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ ऊपरी सिरे की फर्श से ऊँचाई है।
सीढ़ी की लंबाई $20 \ ft$ दी गई है, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
चूंकि ऊपरी सिरा $2 \ ft/sec$ की दर से नीचे खिसक रहा है, इसलिए $\frac{dy}{dt} = -2 \ ft/sec$ है।
जब $x = 12 \ ft$ है, तो $x^2 + y^2 = 400$ से $y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$12^2 + y^2 = 400$
$144 + y^2 = 400$
$y^2 = 256 \Rightarrow y = 16 \ ft$
अब, $x = 12$, $y = 16$, और $\frac{dy}{dt} = -2$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) + 16(-2) = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) - 32 = 0$
$12 \left(\frac{dx}{dt}\right) = 32$
$\frac{dx}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \ ft/sec$
अतः, निचला सिरा $\frac{8}{3} \ ft/sec$ की दर से दीवार से दूर जा रहा है।

(D) दिया गया वक्र $12 y = x^{3}$ है।
मान लीजिए कि कोटि के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt}$ है और भुज के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt}$ है।
हमें दिया गया है कि कोटि के परिवर्तन की दर भुज की दर से अधिक है, इसलिए $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$.
वक्र के समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $12 \frac{dy}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = \frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt}$.
इस मान को असमिका $\frac{dy}{dt} > \frac{dx}{dt}$ में रखने पर, हमें $\frac{x^{2}}{4} \frac{dx}{dt} > \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
यदि हम $\frac{dx}{dt} > 0$ मान लें, तो $\frac{x^{2}}{4} > 1$, जिसका अर्थ है $x^{2} > 4$.
यह असमिका $x^{2} - 4 > 0$ का गुणनखंड $(x - 2)(x + 2) > 0$ होता है।
इस असमिका का हल $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, $x > 2$ हल का एक मान्य भाग है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$, त्वरण $a = 8 \text{ m/s}^2$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए, चूँकि $u = 0$, हमारे पास $S = \frac{1}{2}at^2$ है।
$1$. पहले मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_1 = 1 \text{ m})$:
$1 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_1^2 \implies 1 = 4t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{1}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2} \text{ s}$।
$2$. पहले दो मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $(S_2 = 2 \text{ m})$:
$2 = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 \implies 2 = 4t_2^2 \implies t_2^2 = \frac{1}{2} \implies t_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ s}$।
$3$. दूसरे मीटर की दूरी तय करने में लगा समय $2 \text{ m}$ और $1 \text{ m}$ की दूरी तय करने में लगे समय का अंतर है:
$\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \text{ s}$।

(B) हम जानते हैं कि वेग $v = \frac{dx}{dt}$, इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$ है।
अब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dt} \times \frac{dt}{dx} = f \times \frac{1}{v} = \frac{f}{v}$ है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 t}{dx^2} = -\frac{1}{v^2} \times \frac{f}{v} = -\frac{f}{v^3}$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $f = -v^3 \frac{d^2 t}{dx^2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = At^2 + Bt + C$ है।
वेग $v$, समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{dx}{dt} = 2At + B$।
अब, $v^2$ की गणना करें: $v^2 = (2At + B)^2 = 4A^2t^2 + 4ABt + B^2$।
आगे, $4Ax$ की गणना करें: $4Ax = 4A(At^2 + Bt + C) = 4A^2t^2 + 4ABt + 4AC$।
अब, $4Ax$ में से $v^2$ घटाएं: $4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$।
व्यंजक को सरल करने पर: $4Ax - v^2 = 4AC - B^2$।

(A) कण द्वारा तय की गई दूरी $x$ समीकरण द्वारा दी गई है: $x = 3 + 8t - 4t^2$।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है, जो $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3 + 8t - 4t^2)$।
अवकलन के नियम का उपयोग करते हुए:
$v = 0 + 8(1) - 4(2t) = 8 - 8t$।
$1$ सेकंड के बाद वेग ज्ञात करने के लिए, वेग समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$v = 8 - 8(1) = 8 - 8 = 0$ इकाई/सेकंड।

(B) मान लीजिए कि वृत्त की त्रिज्या $r$ है और क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 20 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (20)(5) = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः, क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(B) दिया गया विस्थापन फलन: $x = t^3 - 6t^2 + t$.
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + t) = 3t^2 - 12t + 1$.
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12t + 1) = 6t - 12$.
त्वरण के शून्य होने के लिए: $a = 0$.
$6t - 12 = 0$.
$6t = 12$.
$t = 2$ इकाई समय।

(A) $1$. गुब्बारे की प्रारंभिक गति: $u = 0$, $a = 4 \ ft/sec^2$, $t = 5 \ sec$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे की ऊँचाई: $h_0 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \ ft$.
$t = 5 \ sec$ पर गुब्बारे का वेग: $v_0 = u + at = 0 + 4 \times 5 = 20 \ ft/sec$.
$2$. पत्थर गिराए जाने के बाद की गति: पत्थर का प्रारंभिक वेग $v_0 = 20 \ ft/sec$ और त्वरण $g = -32 \ ft/sec^2$ है।
पत्थर के जमीन तक पहुँचने के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए $(s = -50 \ ft)$:
$-50 = 20T + \frac{1}{2}(-32)T^2$
$-50 = 20T - 16T^2 \Rightarrow 8T^2 - 10T - 25 = 0$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = 2.5 \ sec = 5/2 \ sec$.
$3$. पत्थर के जमीन पर पहुँचने के समय गुब्बारे की ऊँचाई: गुब्बारा अतिरिक्त $T = 2.5 \ sec$ के लिए $a = 4 \ ft/sec^2$ के साथ ऊपर उठना जारी रखता है।
$H = h_0 + v_0 T + \frac{1}{2}aT^2 = 50 + 50 + 12.5 = 112.5 \ ft$.

(A) सीमांत लागत फलन $MC$, लागत फलन $C(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है।
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.05x^3 - 0.2x^2 + 3x + 500)$.
घात नियम लागू करने पर, हमें $MC = 0.15x^2 - 0.4x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ पर सीमांत लागत ज्ञात करने के लिए, हम $MC$ फलन में $x = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$MC(3) = 0.15(3)^2 - 0.4(3) + 3$.
$MC(3) = 0.15(9) - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 1.35 - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 0.15 + 3 = 3.15$.
अतः, $x = 3$ पर सीमांत लागत $3.15$ रुपये है।

(D) सीमांत राजस्व $(MR)$ को कुल राजस्व फलन $R(x)$ के $x$ के सापेक्ष अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)$
अवकलन के घात नियम का उपयोग करने पर:
$MR = 6x + 36$
अब, $MR$ के व्यंजक में $x = 15$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MR = 6(15) + 36$
$MR = 90 + 36 = 126$
अतः, जब $x = 15$ है, तो सीमांत राजस्व $126$ है।

(B) दिया गया परवलय समीकरण: $y^2 = \frac{36}{5}x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dt} = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$।
हमें दिया गया है कि कोटि $(y)$, भुज $(x)$ की दर से तीन गुना बढ़ रही है, अतः $\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt}$।
इसे अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2y(3 \frac{dx}{dt}) = \frac{36}{5} \frac{dx}{dt}$।
यह मानते हुए कि $\frac{dx}{dt} \neq 0$, हमें $6y = \frac{36}{5}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $y = \frac{6}{5}$ हो जाता है।
अब, $y = \frac{6}{5}$ को मूल परवलय समीकरण में रखने पर: $(\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{5}x$।
$\frac{36}{25} = \frac{36}{5}x$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{36}{25} \times \frac{5}{36} = \frac{1}{5}$।
अतः, अभीष्ट बिंदु $(1/5, 6/5)$ है।

(C) गोले का व्यास $d = 3x + \frac{9}{2} = \frac{3}{2}(2x + 3)$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3)$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$r$ का मान रखने पर, $V = \frac{4}{3}\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64}(2x + 3)^3 = \frac{9\pi}{16}(2x + 3)^3$ प्राप्त होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) = \frac{27\pi}{16}(2x + 3)^2 \cdot 2 = \frac{27\pi}{8}(2x + 3)^2$।

(B) माना पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है, जहाँ $r$ त्रिज्या है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dS}{dt} = 4\pi \text{ cm}^2/\text{s}$।
जब $S = 16\pi \text{ cm}^2$ है, तो $4\pi r^2 = 16\pi$, जिसका अर्थ है $r^2 = 4$, अतः $r = 2 \text{ cm}$।
इन मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4\pi = 8\pi(2) \frac{dr}{dt}$।
$4\pi = 16\pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{4\pi}{16\pi} = 0.25 \text{ cm/s}$।

(D) शीर्षों $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $s = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(a, 0)$, $B(0, b)$, और $C(x, x)$ हैं:
$s = \frac{1}{2} |a(b - x) + 0(x - 0) + x(0 - b)|$
$s = \frac{1}{2} |ab - ax - bx| = \frac{1}{2} |ab - x(a + b)|$।
चूंकि $s$ निरपेक्ष मान है, $s = \pm \frac{1}{2} (ab - x(a + b))$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{ds}{dx} = \pm \frac{1}{2} (-(a + b)) = \mp \frac{a + b}{2}$।
विकल्पों को देखते हुए, परिमाण $\frac{a + b}{2}$ है।

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dV}{dt} = -8 \text{ cm}^3/\text{s}$ (चूंकि आयतन घट रहा है) और $r = 2 \text{ cm}$।
मान रखने पर: $-8 = 4\pi(2)^2 \frac{dr}{dt}$।
$-8 = 16\pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = -\frac{8}{16\pi} = -\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्रिज्या $\frac{1}{2\pi} \text{ cm/s}$ की दर से घट रही है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dx}{dt} = \sqrt{3} \text{ cm/sec}$ और $x = 12 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} (12) (\sqrt{3}) = 6 \times 3 = 18 \text{ cm}^2/\text{sec}$।

(D) दिया गया है कि $s \propto v^2$, हम लिख सकते हैं $s = kv^2$, जहाँ $k$ एक नियतांक है।
वेग के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $v^2 = s/k$, जिसका अर्थ है $v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$।
त्वरण $a$ को $a = v \frac{dv}{ds}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}$ का $s$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dv}{ds} = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{2} s^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
इन्हें त्वरण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $a = (\frac{1}{\sqrt{k}} s^{1/2}) \cdot (\frac{1}{2\sqrt{k}} s^{-1/2})$।
सरल करने पर, $a = \frac{1}{2k} \cdot s^{1/2 - 1/2} = \frac{1}{2k}$।
चूँकि $k$ एक नियतांक है, इसलिए $a$ एक नियतांक है।

(A) कण जमीन से तब टकराता है जब ऊँचाई $s(t) = 0$ हो।
$128t - 16t^2 = 0 \implies 16t(8 - t) = 0$।
चूँकि $t > 0$, कण $t = 8 \text{ s}$ पर जमीन से टकराता है।
वेग $v(t)$, स्थिति फलन $s(t)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलज है: $v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(128t - 16t^2) = 128 - 32t$।
वेग समीकरण में $t = 8$ रखने पर: $v(8) = 128 - 32(8) = 128 - 256 = -128 \text{ ft/sec}$।

(D) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$, अतः $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt} = 5$ है।
आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, अतः $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 10$ है।
आयतन परिवर्तन की दर के समीकरण को पृष्ठीय क्षेत्रफल परिवर्तन की दर के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{4\pi r^2 \frac{dr}{dt}}{8\pi r \frac{dr}{dt}} = \frac{10}{5}$।
$\frac{r}{2} = 2$।
$r = 4 \text{ cm}$।

(A) माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। बर्फ सहित गेंद की कुल त्रिज्या $R = 10 + x$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi(10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4\pi(10+x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ (क्योंकि यह पिघल रही है) और $x = 5 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-50 = 4\pi(10+5)^2 \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dx}{dt} \implies -50 = 4\pi(225) \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$।
अतः, मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$ है।

(A) माना $x$ क्षैतिज दूरी है और $z$ प्रेक्षक से हवाई जहाज की सीधी दूरी है।
दी गई ऊँचाई $h = 1 \text{ km}$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $z^2 = x^2 + h^2$, इसलिए $z^2 = x^2 + 1^2$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} \implies z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt}$।
दिया है $z = 1250 \text{ m} = 1.25 \text{ km}$ और $\frac{dx}{dt} = 600 \text{ km/hr}$।
जब $z = 1.25 \text{ km}$ हो, तब $x$ का मान ज्ञात करें: $x = \sqrt{z^2 - 1^2} = \sqrt{1.25^2 - 1^2} = \sqrt{1.5625 - 1} = \sqrt{0.5625} = 0.75 \text{ km}$।
अवकलन समीकरण में मान रखने पर: $1.25 \frac{dz}{dt} = 0.75 \times 600$।
$\frac{dz}{dt} = \frac{450}{1.25} = 360 \text{ km/hr}$।

(C) पथ का समीकरण दिया गया है: $3y = x^3 - 3$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $3 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
शर्त दी गई है: $\frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$।
अवकलित समीकरण में शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $3(9 \frac{dx}{dt}) = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
यह $27 \frac{dx}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है $x^2 = 9$, अतः $x = \pm 3$।
यदि $x = 3$, तो $3y = (3)^3 - 3 = 27 - 3 = 24$, अतः $y = 8$। बिंदु $(3, 8)$ है।
यदि $x = -3$, तो $3y = (-3)^3 - 3 = -27 - 3 = -30$, अतः $y = -10$। बिंदु $(-3, -10)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, $(3, 8)$ सही स्थिति है।