Variable separable type differential equations Questions in Hindi

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+5}{6x-9y+7}$ है।
माना $v = 2x-3y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 2 - 3\frac{dy}{dx}$, जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx})$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3}(2 - \frac{dv}{dx}) = \frac{v+5}{3v+7}$।
$2 - \frac{dv}{dx} = \frac{3v+15}{3v+7} \implies \frac{dv}{dx} = 2 - \frac{3v+15}{3v+7} = \frac{6v+14-3v-15}{3v+7} = \frac{3v-1}{3v+7}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{3v+7}{3v-1} dv = \int dx$।
$\int (1 + \frac{8}{3v-1}) dv = \int dx \implies v + \frac{8}{3} \log |3v-1| = x + c$।
$v = 2x-3y$ रखने पर: $(2x-3y) + \frac{8}{3} \log |3(2x-3y)-1| = x + c$।
$x - 3y + \frac{8}{3} \log |6x-9y-1| + c = 0$।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos y \frac{dy}{dx} = e^x e^{\sin y} + x^2 e^{\sin y}$.
दोनों पक्षों को $e^{\sin y}$ से विभाजित करने पर: $e^{-\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = e^x + x^2$.
माना $u = \sin y$, तो $\frac{du}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}$.
समीकरण $e^{-u} \frac{du}{dx} = e^x + x^2$ बन जाता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int e^{-u} du = \int (e^x + x^2) dx$.
$-e^{-u} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$u = \sin y$ वापस रखने पर: $-e^{-\sin y} = e^x + \frac{x^3}{3} + C_1$.
$f(x) + e^{-\sin y} = C$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $e^x + \frac{x^3}{3} + e^{-\sin y} = C$.
इसे $f(x) + e^{-\sin y} = C$ के साथ तुलना करने पर, हमें $f(x) = e^x + \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = \frac{x f(xy)}{f'(xy)}$.
चर $xy$ और $x$ को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + C$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{x^2 / 2}$.
माना $k = e^C$, तो हमें प्राप्त होता है: $|f(xy)| = k e^{x^2 / 2}$.

(D) दिया गया समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{d y}{d x}=a^{2}, a \neq 0$
माना $x+y=t$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}$, जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x}=\frac{d t}{d x}-1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t^{2}(\frac{d t}{d x}-1)=a^{2}$
$t^{2} \frac{d t}{d x} = a^{2}+t^{2}$
चरों का पृथक्करण करने पर:
$\frac{t^{2}}{a^{2}+t^{2}} d t = d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{t^{2}+a^{2}-a^{2}}{t^{2}+a^{2}} d t = \int d x$
$\int (1 - \frac{a^{2}}{t^{2}+a^{2}}) d t = x + C'$
$t - a^{2} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t - a \tan^{-1}(\frac{t}{a}) = x + C'$
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$
$y - C' = a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$
$\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$
माना $C = -C'$. अतः व्यापक हल $\tan(\frac{y+C}{a}) = \frac{x+y}{a}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x+y)^{2} \frac{dy}{dx} = a^{2}$.
माना $v = x+y$. तब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$.
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर: $v^{2} (\frac{dv}{dx} - 1) = a^{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $v^{2} \frac{dv}{dx} = v^{2} + a^{2}$, इसलिए $\frac{dv}{dx} = \frac{v^{2} + a^{2}}{v^{2}}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{v^{2}}{v^{2} + a^{2}} dv = \int dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int (1 - \frac{a^{2}}{v^{2} + a^{2}}) dv = x + C'$.
समाकलन करने पर प्राप्त होता है: $v - a \tan^{-1}(\frac{v}{a}) = x + C'$.
$v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = x + C'$.
सरल करने पर: $y - a \tan^{-1}(\frac{x+y}{a}) = C'$.
व्यवस्थित करने पर: $\frac{y-C'}{a} = \tan^{-1}(\frac{x+y}{a})$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{y-C'}{a}) = \frac{x+y}{a}$.
$-C' = C$ मानने पर, हमें $\frac{x+y}{a} = \tan(\frac{y+C}{a})$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\log_{e}\left(\frac{dy}{dx}\right) = x + y$.
लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हम इसे लिख सकते हैं: $\frac{dy}{dx} = e^{x+y}$.
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^y$.
चरों को अलग करने पर: $e^{-y} dy = e^x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int e^x dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x + C_1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $e^x + e^{-y} = -C_1$.
माना कि $-C_1 = C$, अतः व्यापक हल है: $e^x + e^{-y} = C$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \, dy - y \, dx = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $x \, dy = y \, dx$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर, हमारे पास $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} + C$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$ है, जहाँ $\ln|c|$ समाकलन स्थिरांक है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर, $\ln|y| = \ln|cx|$, जिसका अर्थ है $y = cx$।
समीकरण $y = cx$ मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{y+x} + e^{y-x}$.
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = e^y(e^x + e^{-x})$.
चरों को पृथक करने पर: $e^{-y} dy = (e^x + e^{-x}) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^{-y} dy = \int (e^x + e^{-x}) dx$.
इससे प्राप्त होता है: $-e^{-y} = e^x - e^{-x} + c$.
$-1$ से गुणा करने पर: $e^{-y} = e^{-x} - e^x + c$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+2 y+1}$
माना $x+y=v$. तब $1+\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}$, अतः $\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x}-1$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d v}{d x}-1=\frac{v+1}{2 v+1}$
$\frac{d v}{d x}=\frac{v+1}{2 v+1}+1 = \frac{v+1+2 v+1}{2 v+1} = \frac{3 v+2}{2 v+1}$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{2 v+1}{3 v+2} d v=d x$
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{\frac{2}{3}(3 v+2)-\frac{1}{3}}{3 v+2} d v=d x$
$\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v=d x$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3(3 v+2)}\right) d v = \int d x + C'$
$\frac{2}{3} v - \frac{1}{9} \log |3 v+2| = x + C'$
$v=x+y$ रखने पर: $\frac{2}{3}(x+y) - \frac{1}{9} \log |3 x+3 y+2| = x + C'$
$9$ से गुणा करने पर: $6(x+y) - \log |3 x+3 y+2| = 9 x + 9 C'$
$6 x + 6 y - 9 x - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-3 x + 6 y - \log |3 x+3 y+2| = C$
$-1$ से गुणा करने पर: $3 x - 6 y + \log |3 x+3 y+2| = C$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + y = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(xy) = x \frac{dy}{dx} + y$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{d(xy)}{dx} = x \frac{f(xy)}{f'(xy)}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(xy)}{f(xy)} d(xy) = \int x dx$.
परिणाम प्राप्त होता है: $\ln |f(xy)| = \frac{x^2}{2} + k$, जहाँ $k$ समाकलन स्थिरांक है.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|f(xy)| = e^{\frac{x^2}{2} + k} = e^k \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$.
मान लीजिए $C = e^k$, अतः: $|f(xy)| = Ce^{\frac{x^2}{2}}$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}}) \cos y \, dy = (1+2 \sin y) \, dx$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \int \frac{dx}{16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})}$.
माना $u = 1+2 \sin y$, तब $du = 2 \cos y \, dy$, अतः $\int \frac{\cos y}{1+2 \sin y} \, dy = \frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y|$.
दाहिनी ओर के लिए, माना $t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$। तब $t-4 = \sqrt{9+\sqrt{x}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(t-4)^2 = 9+\sqrt{x}$, अतः $\sqrt{x} = (t-4)^2 - 9$।
$t = 4+\sqrt{9+\sqrt{x}}$ का अवकलन करने पर, $dt = \frac{1}{2\sqrt{9+\sqrt{x}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{dx}{4\sqrt{x(9+\sqrt{x})}} = \frac{dx}{4\sqrt{x+9\sqrt{x}}}$।
अतः, $\frac{dx}{\sqrt{x+9\sqrt{x}}} = 4 \, dt$।
समाकलन इस प्रकार होगा: $\frac{1}{2} \ln |1+2 \sin y| = \int \frac{4 \, dt}{16t} = \frac{1}{4} \ln |t| + C = \frac{1}{4} \ln |4+\sqrt{9+\sqrt{x}}| + C$।
$y(256) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{256}}) + C \implies \frac{1}{2} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+16}) + C = \frac{1}{4} \ln 9 + C = \frac{1}{2} \ln 3 + C$। अतः $C = 0$।
अब, $y(49) = \alpha$ के लिए: $\frac{1}{2} \ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{9+\sqrt{49}}) = \frac{1}{4} \ln(4+\sqrt{16}) = \frac{1}{4} \ln 8 = \frac{1}{4} \ln(2^3) = \frac{3}{4} \ln 2$।
अतः $\ln(1+2 \sin \alpha) = \frac{3}{2} \ln 2 = \ln(2^{3/2}) = \ln(2\sqrt{2})$।
इसलिए, $1+2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}$, जो हमें $2 \sin \alpha = 2\sqrt{2}-1$ देता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$.
दोनों पक्षों को $x^{2}$ से विभाजित करने पर ($x > 0$ है): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$.
मानक समाकलन $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$.
$y(1) = 0$ दिया गया है, इसलिए $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः, $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$.
$x$ से गुणा करने पर: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$.
$y(3)$ ज्ञात करने के लिए, $x = 3$ रखने पर: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$.
$\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$.
$18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$।
चरों को अलग करने पर, हमें $e^y \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$।
इससे $e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $e^x - e^y = -C$ प्राप्त होता है, जिसे $e^x - e^y = c$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $c = -C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ है।
चरों को पृथक करने पर, हमें $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $-e^{-y} = e^x + C'$ है, जहाँ $C'$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $e^x + e^{-y} = -C'$ प्राप्त होता है।
यदि $C = -C'$ मान लिया जाए, तो व्यापक हल $e^x + e^{-y} = C$ होगा।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \sin x) \frac{dy}{dx} + (y + 1) \cos x = 0$ है।
चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{1+\sin x} dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln|y+1| = -\ln|1+\sin x| + C$ प्राप्त होता है, जिसे $\ln|y+1| + \ln|1+\sin x| = C$ लिखा जा सकता है।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर, $(y+1)(1+\sin x) = K$ प्राप्त होता है, जहाँ $K = e^C$ है।
प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करने पर, $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर: $(0+1)(1+\sin 0) = K$, जिससे $1(1+0) = K$, अर्थात $K = 1$ प्राप्त होता है।
अतः, विशिष्ट हल $(y+1)(1+\sin x) = 1$ है।
यदि वक्र $(\alpha, -\frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है, तो $x = \alpha$ और $y = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$(-\frac{1}{2} + 1)(1+\sin \alpha) = 1$.
$\frac{1}{2}(1+\sin \alpha) = 1$.
$1+\sin \alpha = 2$.
$\sin \alpha = 1$.
इसलिए, $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर, $\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर, $C = \frac{1}{2} \ln(3)$ प्राप्त होता है।
अतः, $\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$।
$x=1$ पर, $\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$।
इस प्रकार, $\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$।
$k = 3e^{8/3}$ लेने पर, $y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ प्राप्त होता है।
$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ होता है।
$k$ का मान रखने पर, यह व्यंजक हाइपरबोलिक फलन $\tanh$ के रूप में बदल जाता है, जो अंततः $\tan$ के रूप में परिणत होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \ln x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \ln x) dx$.
$\ln y = 2x + (x \ln x - x) + C = x \ln x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है, $x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln e = 1 \ln 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C$, जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, वक्र का समीकरण $\ln y = x \ln x + x$ है।
$f(e)$ ज्ञात करने के लिए, $x = e$ प्रतिस्थापित करने पर: $\ln f(e) = e \ln e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए, $f(e) = e^{2e}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ है।
चरों को अलग करने पर, $\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.
अतः, $\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.
सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1/2$ दिया गया है, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(0) = 0 + 0 + C$, जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = x + \frac{x^3}{3}$.
$x = 1$ पर, $\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + 1/3 = 4/3$.
$\tan^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
इसलिए, $\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$, जिससे $2y(1)-1 = \sqrt{3} \tan \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{y} = (2 + \log_e x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int (2 + \log_e x) dx$.
$\log_e y = 2x + (x \log_e x - x) + C = x \log_e x + x + C$.
चूंकि वक्र बिंदु $(1, e)$ से गुजरता है, $x = 1$ और $y = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e e = 1 \cdot \log_e 1 + 1 + C$.
$1 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0$.
अतः, वक्र का समीकरण $\log_e y = x \log_e x + x$ है।
$y(e)$ ज्ञात करने के लिए, $x = e$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\log_e y = e \log_e e + e = e(1) + e = 2e$.
इसलिए, $y = e^{2e}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 5$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 5} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 4$ का उपयोग करने पर: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$।
अतः, $\log|y + 5| = x + \log 9$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log|y + 5| - \log 9 = x \implies \log|\frac{y + 5}{9}| = x$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $\frac{y + 5}{9} = e^x \implies y = 9e^x - 5$।
अब, $y(\log 2)$ की गणना करें: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5$।
चूंकि $e^{\log 2} = 2$, हमें प्राप्त होता है $y(\log 2) = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$

(B) दिया गया समीकरण: $e^{-x}(y + 1)dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + e^x (\cos^2 x - \sin 2x) dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x \cos^2 x dx - e^x \sin 2x dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
चूँकि $\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$
सूत्र $\int e^x \cos 2x dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x)$ का उपयोग करने पर:
$\int e^x \cos^2 x dx = \frac{e^x}{2} + \frac{e^x}{10} (\cos 2x + 2 \sin 2x) = \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x)$
तथा $\int e^x \sin 2x dx = \frac{e^x}{5} (\sin 2x - 2 \cos 2x)$
मान रखने पर: $y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + \cos 2x + 2 \sin 2x - 2 \sin 2x + 4 \cos 2x) = C$
$y + \log y + \frac{e^x}{10} (5 + 5 \cos 2x) = C \implies y + \log y + e^x \frac{1 + \cos 2x}{2} = C \implies y + \log y + e^x \cos^2 x = C$
$x = 0, y = 1$ पर: $1 + \log 1 + e^0 \cos^2 0 = C \implies 1 + 0 + 1(1) = C \implies C = 2$
अंतिम हल: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$।
$\frac{dv}{1 + \sin v + \cos v} = dx$।
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 \tan(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:
$1 + \sin v + \cos v = 1 + \frac{2 \tan(v/2) + 1 - \tan^2(v/2)}{1 + \tan^2(v/2)} = \frac{2(1 + \tan(v/2))}{\sec^2(v/2)}$।
अतः, $\int \frac{\sec^2(v/2) dv}{2(1 + \tan(v/2))} = \int dx$।
माना $u = 1 + \tan(v/2)$, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$ है।
समाकलन $\int \frac{du}{u} = \int dx$ हो जाता है, जिससे $\log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखने पर, $\log |1 + \tan(\frac{x+y}{2})| = x + c$।

(C) माना $v = 9x + y + 5$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2$।
$\frac{dv}{dx} = v^2 + 9$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$।
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$।

(B) दी गई प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x^2 + x} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है, $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$।
घातांक लेने पर: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$।

(B) माना $x + y = v$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos(v)$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos(v) = 2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 \left( \frac{v}{2} \right)} = dx$।
$\frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 \left( \frac{v}{2} \right) dv = \int dx$।
$\tan \left( \frac{v}{2} \right) = x + c$।
$v = x + y$ वापस रखने पर: $\tan \left( \frac{x + y}{2} \right) = x + c$।

(D) माना $p = \frac{dy}{dx}$ है। दिया गया समीकरण $p^2 = 6 - p$ है, जिसे $p^2 + p - 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें $(p + 3)(p - 2) = 0$ प्राप्त होता है, अतः $p = 2$ या $p = -3$ है।
चूँकि $y = f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है, इसलिए $\frac{dy}{dx} \ge 0$ होना चाहिए, अतः $p = 2$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = 2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें $y = 2x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर, हमें $5 = 2(0) + C$ मिलता है, जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, फलन $y = 2x + 5$ है।
$x = 3$ पर मान ज्ञात करने पर, $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: $x \, dy = -2y \, dx$।
चरण $2$: चरों को पृथक करें: $\frac{dy}{y} = -2 \frac{dx}{x}$।
चरण $3$: दोनों पक्षों का समाकलन करें: $\int \frac{dy}{y} = -2 \int \frac{dx}{x} \implies \ln|y| = -2 \ln|x| + C$।
चरण $4$: सरल करें: $\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C \implies \ln|y| = \ln|\frac{1}{x^2}| + C \implies y = \frac{k}{x^2}$, जहाँ $k = e^C$ है।
चरण $5$: प्रारंभिक स्थिति $x = 2, y = 1$ लागू करें: $1 = \frac{k}{2^2} \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k = 4$।
चरण $6$: विशिष्ट हल $y = \frac{4}{x^2}$ है, जिसे $x^2 y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 5$ है।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 5} = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 5} = \int dx \implies \log|y + 5| = x + C$।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 4$ का उपयोग करने पर: $\log|4 + 5| = 0 + C \implies C = \log 9$।
अतः, $\log|y + 5| = x + \log 9 \implies \log|y + 5| = \log(9e^x)$।
इसलिए, $y + 5 = 9e^x \implies y = 9e^x - 5$।
अब, $y(\log 2)$ का मान ज्ञात करने पर: $y(\log 2) = 9e^{\log 2} - 5 = 9(2) - 5 = 18 - 5 = 13$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x-y} + x^2e^{-y}$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
चरों को पृथक करने पर: $e^y \ dy = (e^x + x^2) \ dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y \ dy = \int (e^x + x^2) \ dx$
$e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया है: $e^{-x}(y + 1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x)y dx = 0$
$y e^{-x}$ से भाग देने पर: $\frac{y+1}{y} dy + \frac{\cos^2 x - \sin 2x}{e^{-x}} dx = 0$
$(1 + \frac{1}{y}) dy + e^x(\cos^2 x - 2 \sin x \cos x) dx = 0$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 + \frac{1}{y}) dy + \int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = C$
$\int e^x \cos^2 x dx = \int e^x (\frac{1 + \cos 2x}{2}) dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx$ का उपयोग करते हुए
अतः, $\int e^x \cos^2 x dx - \int e^x \sin 2x dx = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x dx - \int e^x \sin 2x dx$, जो $e^x \cos^2 x$ में सरल हो जाता है।
अतः, $y + \log y = -e^x \cos^2 x + C$
$x = 0, y = 1$ पर: $1 + \log 1 = -e^0 \cos^2 0 + C \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$
अंतिम हल: $y + \log y + e^x \cos^2 x = 2$।

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$ प्राप्त होता है।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$ है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $1 + \sin v + \cos v = 2\cos^2(\frac{v}{2}) + 2\sin(\frac{v}{2})\cos(\frac{v}{2}) = 2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]$ है।
अतः, $\int \frac{dv}{2\cos^2(\frac{v}{2}) [1 + \tan(\frac{v}{2})]} = \int dx$ है।
माना $u = 1 + \tan(\frac{v}{2})$ है, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{v}{2}) dv = \frac{1}{2\cos^2(\frac{v}{2})} dv$ है।
इस प्रकार, $\int \frac{du}{u} = \int dx \implies \log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।
वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\log |1 + \tan(\frac{x + y}{2})| = x + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $v = 9x + y + 5$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 9 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 9$ है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 9 = v^2 \implies \frac{dv}{dx} = v^2 + 9$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{dv}{v^2 + 3^2} = \int dx$।
समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{v}{3}) = x + c$ प्राप्त होता है।
$v = 9x + y + 5$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{9x + y + 5}{3}) = x + c$।

(B) दी गई ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x(x + 1)}$ है।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y - 1} = \int \frac{dx}{x(x + 1)}$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y - 1| = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln|\frac{x}{x + 1}| + C$।
चूंकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है, $x = 1, y = 0$ रखने पर: $\ln|0 - 1| = \ln|\frac{1}{1 + 1}| + C \implies 0 = \ln(\frac{1}{2}) + C \implies C = \ln(2)$।
अतः, $\ln|y - 1| = \ln|\frac{x}{x + 1}| + \ln(2) = \ln|\frac{2x}{x + 1}|$।
घातांक लेने पर: $y - 1 = \frac{2x}{x + 1} \implies (y - 1)(x + 1) = 2x$।

(B) माना $x + y = v$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \cos v$।
$\frac{dv}{dx} = 1 + \cos v = 2 \cos^2 (\frac{v}{2})$।
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dv}{2 \cos^2 (\frac{v}{2})} = dx$।
$\frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2} \sec^2 (\frac{v}{2}) dv = \int dx$।
$\tan (\frac{v}{2}) = x + c$।
$v = x + y$ वापस रखने पर: $\tan (\frac{x + y}{2}) = x + c$।

(D) माना $u = \frac{dy}{dx}$ है। दिया गया समीकरण $u^2 = 6 - u$ है, जिसका अर्थ है $u^2 + u - 6 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर, हमें $(u + 3)(u - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $u = -3$ या $u = 2$ है।
चूँकि $y = f(x)$ एक एकदिष्ट वर्धमान फलन है, इसलिए $\frac{dy}{dx} > 0$ होगा, अतः हमें $\frac{dy}{dx} = 2$ लेना होगा।
$x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx} = 2$ का समाकलन करने पर, हमें $y = 2x + C$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 5$ का उपयोग करने पर, $5 = 2(0) + C$, जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है।
अतः, फलन $y = 2x + 5$ है।
$y(3)$ का मान ज्ञात करने के लिए, $x = 3$ प्रतिस्थापित करें: $y(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x \frac{dy}{dx} = y + 3$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y + 3} = \frac{dx}{2x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y + 3} = \int \frac{dx}{2x}$
$\ln|y + 3| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \ln|y + 3| = \ln|x| + 2C$
$\ln(y + 3)^2 = \ln|x| + C'$
$(y + 3)^2 = kx$, जहाँ $k = e^{C'}$
यह समीकरण $(y - k_1)^2 = 4a(x - k_2)$ के रूप का है, जो परवलयों के एक परिवार को निरूपित करता है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x \, dy + 2y \, dx = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x \, dy = -2y \, dx$
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{2y} = -\frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{2y} \, dy = -\int \frac{1}{x} \, dx$
$\frac{1}{2} \ln|y| = -\ln|x| + C$
$2$ से गुणा करने पर: $\ln|y| = -2\ln|x| + 2C$
$\ln|y| = \ln|x^{-2}| + C_1$ (जहाँ $C_1 = 2C$)
$y = e^{C_1} \cdot x^{-2} \implies y = \frac{K}{x^2}$ (जहाँ $K = e^{C_1}$)
दिया है $x = 2$ और $y = 1$: $1 = \frac{K}{2^2} \implies K = 4$
अतः, विशिष्ट हल $y = \frac{4}{x^2}$ है, जिसे $x^2 y = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\int x f(x) dx + \frac{f(x)}{2} = 0$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x f(x) + \frac{1}{2} f'(x) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करके चर पृथक्करण करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int -2x dx$।
$\ln|f(x)| = -x^2 + C_1$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$f(x) = e^{-x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-x^2}$।
$e^{C_1} = C$ रखने पर, हमें $f(x) = C e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।