Plane Questions in Hindi

(C) समतल का समीकरण $6x - 3y + 2z = 6$ है। $6$ से विभाजित करने पर, हमें $\frac{x}{1} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है। अतः, अंतःखंड $a = 1, b = -2, c = 3$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है। इसका परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \frac{6}{7}, m = -\frac{3}{7}, n = \frac{2}{7}$ हैं।
मूल बिंदु से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है। यहाँ $p = \frac{|-6|}{7} = \frac{6}{7}$ है।
अब, $|al + bm + cn| = |(1)(\frac{6}{7}) + (-2)(-\frac{3}{7}) + (3)(\frac{2}{7})| = |\frac{6}{7} + \frac{6}{7} + \frac{6}{7}| = |\frac{18}{7}|$ की गणना करें।
चूँकि $p = \frac{6}{7}$, इसलिए $|al + bm + cn| = 3 \times \frac{6}{7} = 3p$ है।

(A) मान लीजिए कि निर्देशांक अक्षों पर समतल के अंतःखंड $a, b, c$ हैं। अतः, बिंदु $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, r, r^2)$ है, इसलिए:
$\frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3$
$\frac{b}{3} = r \Rightarrow b = 3r$
$\frac{c}{3} = r^2 \Rightarrow c = 3r^2$
अंतःखंड रूप में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर, हमें $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल बिंदु $(5, 5, -12)$ से होकर गुजरता है, इसलिए:
$\frac{5}{3} + \frac{5}{3r} - \frac{12}{3r^2} = 1$
$3r^2$ से गुणा करने पर, हमें $5r^2 + 5r - 12 = 3r^2$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $2r^2 + 5r - 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2r - 3)(r + 4) = 0$।
अतः, $r = \frac{3}{2}$ या $r = -4$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है। बिंदु $(2, -1, -3)$ रखने पर, हमें $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ दिशा अनुपात वाली रेखाओं के समानांतर है, इसलिए अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ इन दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः, $3a + 2b - 4c = 0$ और $2a - 3b + 2c = 0$।
अभिलंब सदिश ज्ञात करने के लिए क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर, $(a, b, c) = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - 12) - j(6 + 8) + k(-9 - 4) = -8i - 14j - 13k$।
अभिलंब सदिश $(8, 14, 13)$ लेने पर, समतल का समीकरण $8(x - 2) + 14(y + 1) + 13(z + 3) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर, $8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$, जो सरल होकर $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया बिंदु $P(a, b, c)$ है।
$YZ$-समतल पर लंब $PA$ खींचा गया है। अतः $A$ के निर्देशांक $(0, b, c)$ हैं।
$ZX$-समतल पर लंब $PB$ खींचा गया है। अतः $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
समतल $O(0, 0, 0)$, $A(0, b, c)$ और $B(a, 0, c)$ से होकर गुजरता है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{OA} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{OB} = a\hat{i} + 0\hat{j} + c\hat{k}$
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & b & c \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = \hat{i}(bc - 0) - \hat{j}(0 - ac) + \hat{k}(0 - ab) = bc\hat{i} + ac\hat{j} - ab\hat{k}$.
अतः, मूल बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $bcx + acy - abz = 0$ है।

(A) माना घूर्णन के बाद समतल का समीकरण $P_{3}: \ell x+my+nz=0$ है।
समतल $P_{1}: \ell x+my=0$ और $P_{2}: z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा वह रेखा है जहाँ $\ell x+my=0$ और $z=0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = (\ell, m, 0)$ और $\vec{n}_{3} = (\ell, m, n)$ हैं।
समतलों $P_{1}$ और $P_{3}$ के बीच का कोण $\alpha$, $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{3}|}{|\vec{n}_{1}| |\vec{n}_{3}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|\ell^{2}+m^{2}|}{\sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \sqrt{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $\cos^{2} \alpha = \frac{\ell^{2}+m^{2}}{\ell^{2}+m^{2}+n^{2}}$.
$\Rightarrow \cos^{2} \alpha (\ell^{2}+m^{2}+n^{2}) = \ell^{2}+m^{2}$.
$\Rightarrow n^{2} \cos^{2} \alpha = (\ell^{2}+m^{2})(1 - \cos^{2} \alpha) = (\ell^{2}+m^{2}) \sin^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n^{2} = (\ell^{2}+m^{2}) \tan^{2} \alpha$.
$\Rightarrow n = \pm \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha$.
$n$ का मान $P_{3}$ के समीकरण में रखने पर, हमें $\ell x+my \pm z \sqrt{\ell^{2}+m^{2}} \tan \alpha = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(3, 4, 5)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (2, 3, 4)$ है।
रेखाखंड $AB$ के दिक् अनुपात $(3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$ हैं।
चूंकि समतल $AB$ को समकोण पर समद्विभाजित करता है, इसलिए $AB$ समतल का अभिलंब है। अतः, अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है, जिसे $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ, $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इन मानों को रखने पर: $((x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$(x-2) + (y-3) + (z-4) = 0$.
$x + y + z - 9 = 0$, अर्थात $x + y + z = 9$।

(D) समतल $(1, 2, -3)$ और $(2, -2, 1)$ से गुजरता है। इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश $\vec{v} = (2-1)\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $X$-अक्ष के समानांतर है, इसलिए इसका अभिलंब इकाई सदिश $\hat{i} = (1, 0, 0)$ के लंबवत है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{v}$ और $\hat{i}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0-4) + \hat{k}(0-(-4)) = 4\hat{j} + 4\hat{k}$।
अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = (0, 1, 1)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
बिंदु $(1, 2, -3)$ से गुजरने वाले और $(0, 1, 1)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$0(x-1) + 1(y-2) + 1(z+3) = 0$
$y - 2 + z + 3 = 0$
$y + z + 1 = 0$।

(C) दिए गए समतलों के समीकरण $x+y+2z-6=0$ और $2x-y+z-9=0$ हैं।
इन्हें सामान्य रूप $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ से तुलना करने पर, हमें अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) + (2)(1)|}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 1 + 2|}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{4+1+1}} = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$, इसलिए $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) समतल का समीकरण $2x - y + 2z - 1 = 0$ दिया गया है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{a} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ और $X$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| |\vec{a}|}$ है।
अदिश गुणन करने पर: $\vec{n} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (-1)(0) + (2)(0) = 2$.
परिमाण ज्ञात करने पर: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ और $|\vec{a}| = 1$.
अतः, $\cos \theta = \frac{2}{3 \times 1} = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार, $\theta = \cos^{-1} \frac{2}{3}$.

(A) माना बिंदु $A(\vec{a}+\vec{b})$, $B(\vec{b}+\vec{c})$, और $C(\vec{c}+\vec{a})$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश $\vec{AB} = B - A = \vec{c} - \vec{a}$ और $\vec{AC} = C - A = \vec{c} - \vec{b}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{A} \cdot \vec{n}$ है।
$\vec{A} \cdot \vec{n} = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$।
अतः, समीकरण $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ है।

(B) समतल $ax + by + cz + d = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया समतल: $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1, \mu)$ की समतल से दूरी: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\mu) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\mu|}{13}$ है।
बिंदु $(-3, 0, 1)$ की समतल से दूरी: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-9 - 12 + 13|}{13} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
चूंकि बिंदु समान दूरी पर हैं, $d_1 = d_2$, इसलिए $\frac{|20 - 12\mu|}{13} = \frac{8}{13}$ है।
$|20 - 12\mu| = 8$ है।
स्थिति $1$: $20 - 12\mu = 8 \implies 12\mu = 12 \implies \mu = 1$ है।
स्थिति $2$: $20 - 12\mu = -8 \implies 12\mu = 28 \implies \mu = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ है।
अतः, $\mu$ के मान $1, \frac{7}{3}$ हैं।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, समांतर सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ का सदिश गुणनफल है।
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 3) - \hat{j}(4 - 3) + \hat{k}(4 + 1) = -4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ, $\vec{a} = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (-2\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = (-2)(-4) + (7)(-1) + (5)(5) = 8 - 7 + 25 = 26$.
अतः, समीकरण $\vec{r} \cdot (-4\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}) = 26$ है।

(A) चरण $1$: $A, B, C$ बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें जहाँ समतल अक्षों को काटता है।
$x$-अक्ष के लिए, $y=0, z=0 \implies x=2$। अतः, $A = (2, 0, 0)$।
$y$-अक्ष के लिए, $x=0, z=0 \implies y=3$। अतः, $B = (0, 3, 0)$।
$z$-अक्ष के लिए, $x=0, y=0 \implies z=4$। अतः, $C = (0, 0, 4)$।
चरण $2$: सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें।
$\vec{AB} = (-2, 3, 0)$, $\vec{AC} = (-2, 0, 4)$।
चरण $3$: सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
चरण $4$: त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(B) मूल बिंदु से $d$ दूरी पर और सदिश $\vec{n}$ के अभिलंब समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \hat{n} = d$ होता है, जहाँ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ इकाई अभिलंब सदिश है।
दिया है $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $d = 5$।
$\vec{n}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3}$ है।
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot \left( \frac{2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{3} \right) = 5$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर, हमें $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 15$ प्राप्त होता है।

(A) चरण $1$: दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चरण $2$: अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ दोनों के लंबवत है, अतः $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
चरण $3$: बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ होता है।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करने पर: $-2(x - 1) + 4(y - 2) - 3(z - 1) = 0 \implies -2x + 2 + 4y - 8 - 3z + 3 = 0 \implies -2x + 4y - 3z - 3 = 0$, जो $2x - 4y + 3z + 3 = 0$ है।

(D) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है, जो $ax + by + cz = a$ में सरल हो जाता है। चूँकि यह $(0, 1, 0)$ से गुजरता है, $a(0) + b(1) + c(0) = a$, अतः $b = a$। अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a, a, c)$ है।
समतल $2x + 3y = 7$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (2, 3, 0)$ है।
समतलों के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ सूत्र $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|5a|}{\sqrt{2a^2 + c^2} \sqrt{13}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{25a^2}{13(2a^2 + c^2)}$।
$13(2a^2 + c^2) = 50a^2 \implies 13c^2 = 24a^2 \implies c = \pm a \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{13}}$।
यदि $a = \sqrt{13}$ लें, तो $b = \sqrt{13}$ और $c = 2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है। अतः दिक्-अनुपात $\sqrt{13}, \sqrt{13}, 2\sqrt{6}$ हैं।

(B) चरण $1$: समतल समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में बदलें।
चरण $2$: दिया गया है $2x + 3y + z = 6$, $6$ से भाग देने पर $\frac{2x}{6} + \frac{3y}{6} + \frac{z}{6} = 1$ प्राप्त होता है, जो $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1$ में सरल हो जाता है।
चरण $3$: अंतःखंड $a = 3, b = 2$ और $c = 6$ हैं। अतः $A, B, C$ के निर्देशांक $(3, 0, 0), (0, 2, 0)$ और $(0, 0, 6)$ हैं।
चरण $4$: मूलबिंदु और अंतःखंड $a, b, c$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |abc|$ होता है।
चरण $5$: $V = \frac{1}{6} \times 3 \times 2 \times 6 = 6 \text{ घन इकाइयाँ}$।

(D) दिया गया समीकरण $\vec{r} = \lambda(\hat{i} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{j}$ है।
माना $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है। तब $x = \lambda + \mu$, $y = 2 + \mu$, $z = 3\lambda + 2\mu$ है।
$y = 2 + \mu$ से, हमें $\mu = y - 2$ प्राप्त होता है।
$\mu$ का मान $x = \lambda + \mu$ में रखने पर: $x = \lambda + y - 2 \implies \lambda = x - y + 2$।
$\lambda$ और $\mu$ का मान $z = 3\lambda + 2\mu$ में रखने पर: $z = 3(x - y + 2) + 2(y - 2) = 3x - 3y + 6 + 2y - 4 = 3x - y + 2$।
अतः, समतल का समीकरण $3x - y - z = -2$ या $3x - y - z + 2 = 0$ है।
अंतःखंड रूप के लिए, $3x - y - z = -2 \implies \frac{x}{-2/3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$ है।
इस प्रकार, $a = -2/3$, $b = 2$, $c = 2$ है।
तब $a + b + c = -2/3 + 2 + 2 = -2/3 + 4 = 10/3$ है।

(A) चरण $1$: चूंकि समतल $z$-अक्ष के समांतर है, इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $z$-अक्ष के सदिश $\vec{k} = (0, 0, 1)$ के लंबवत है। अतः, अभिलंब सदिश का $z$-घटक $0$ है। समतल का समीकरण $3x - 2y - q = 0$ है, जो इस शर्त को पूरा करता है।
चरण $2$: समतल $A(1, p, 2)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3(1) - 2(p) - q = 0 \implies 3 - 2p - q = 0$।
चरण $3$: समतल $B(3, 2, 4)$ से होकर गुजरता है। इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3(3) - 2(2) - q = 0 \implies 9 - 4 - q = 0 \implies 5 - q = 0 \implies q = 5$।
चरण $4$: चरण $2$ के समीकरण में $q = 5$ प्रतिस्थापित करने पर: $3 - 2p - 5 = 0 \implies -2p - 2 = 0 \implies p = -1$।
चरण $5$: अतः, $p = -1$ और $q = 5$ है।

(C) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ है।
$y=0, z=0$ रखने पर $x=2$ प्राप्त होता है, अतः $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ रखने पर $y=3$ प्राप्त होता है, अतः $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ रखने पर $z=4$ प्राप्त होता है, अतः $C = (0, 0, 4)$।
सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 4)$ हैं।
सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(-8 - 0) + \hat{k}(0 - (-6)) = 12\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2 + 8^2 + 6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{244} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 61} = \sqrt{61}$ है।

(C) चरण $1$: समतल में दो सदिश ज्ञात करें। माना $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (5-1)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चरण $2$: अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+12) - \hat{j}(4-4) + \hat{k}(3+1) = 16\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
चरण $3$: अभिलंब सदिश को सरल करके $\vec{n}' = 4\hat{i} + \hat{k}$ प्राप्त करें।
चरण $4$: समतल का समीकरण $4(x-1) + 0(y+2) + 1(z-1) = 0$ है, जो $4x + z - 5 = 0$ में सरल हो जाता है।
चरण $5$: $(0,0,0)$ से $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{4^2+0^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{17}}$ है।

(B) माना समतल द्वारा $x, y, z$ अक्षों पर काटे गए अंतःखंड क्रमशः $a, b, c$ हैं। बिंदुओं के निर्देशांक $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$, और $C(0, 0, c)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि केंद्रक $(1, r, r^2)$ है, अतः $\frac{a}{3} = 1 \implies a = 3$, $\frac{b}{3} = r \implies b = 3r$, और $\frac{c}{3} = r^2 \implies c = 3r^2$ है।
समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{x}{3} + \frac{y}{3r} + \frac{z}{3r^2} = 1$।
पूरे समीकरण को $3r^2$ से गुणा करने पर, हमें $r^2x + ry + z = 3r^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदुओं $A$, $B$, और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$, और $(0, 0, c)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3})$ होता है।
दिया गया केंद्रक $(2, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2})$ है, अतः $\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6$, $\frac{b}{3} = -\frac{2}{3} \implies b = -2$, और $\frac{c}{3} = \frac{1}{2} \implies c = \frac{3}{2}$ है।
समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है, जो $\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{3/2} = 1$ या $\frac{x}{6} - \frac{y}{2} + \frac{2z}{3} = 1$ बन जाता है।
$6$ से गुणा करने पर, हमें $x - 3y + 4z - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ होती है।
यहाँ, $d = \frac{|-6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 4^2}} = \frac{6}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{26}}$ है।

(A) चरण $1$: बिंदु $(1, 2, 3)$ की मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से दूरी $d_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ है।
चरण $2$: बिंदु $(1, 2, 3)$ की समतल $2x - 3y + z + k = 0$ से दूरी $d_2 = \frac{|2(1) - 3(2) + 1(3) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 6 + 3 + k|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}}$ है।
चरण $3$: दिया गया गुणनफल $d_1 \times d_2 = 7$ है, अतः $\sqrt{14} \times \frac{|k - 1|}{\sqrt{14}} = 7$।
चरण $4$: $|k - 1| = 7$, जिसका अर्थ है $k - 1 = 7$ या $k - 1 = -7$।
चरण $5$: इस प्रकार, $k = 8$ या $k = -6$। विकल्पों को देखते हुए, $k = 8$ सही मान है।

(A) $1$. बिंदु $P$ $(1, 2, 3)$ है।
$2$. $P(1, 2, 3)$ से $YZ$-समतल $(x=0)$ पर लंब का पाद $A(0, 2, 3)$ है।
$3$. $P(1, 2, 3)$ से $ZX$-समतल $(y=0)$ पर लंब का पाद $B(1, 0, 3)$ है।
$4$. समतल मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$, $A(0, 2, 3)$, और $B(1, 0, 3)$ से होकर गुजरता है।
$5$. मूलबिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ है।
$6$. $A(0, 2, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $2b + 3c = 0 \implies b = -\frac{3}{2}c$।
$7$. $B(1, 0, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर: $a + 3c = 0 \implies a = -3c$।
$8$. यदि $c = -2$ लें, तो $a = 6$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
$9$. समीकरण $6x + 3y - 2z = 0$ है।

(A) $1$. बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं।
$2$. लंब $PA$, $XY$ समतल पर खींचा गया है। $XY$ समतल का समीकरण $z = 0$ होता है। अतः, $A$ के निर्देशांक $(a, b, 0)$ हैं।
$3$. लंब $PB$, $ZX$ समतल पर खींचा गया है। $ZX$ समतल का समीकरण $y = 0$ होता है। अतः, $B$ के निर्देशांक $(a, 0, c)$ हैं।
$4$. मूल बिंदु $O$ $(0, 0, 0)$ है।
$5$. $(0, 0, 0)$, $(a, b, 0)$, और $(a, 0, c)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में है:
$\begin{vmatrix} x & y & z \\ a & b & 0 \\ a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
$6$. पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $x(bc - 0) - y(ac - 0) + z(0 - ab) = 0$
$7$. $xbc - yac - zab = 0$
$8$. पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर: $\frac{xbc}{abc} - \frac{yac}{abc} - \frac{zab}{abc} = 0$
$9$. $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} - \frac{z}{c} = 0$।

(A) चरण $1$: $AB$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें। $M = (\frac{4-1}{2}, \frac{5+2}{2}, \frac{-10+1}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -\frac{9}{2})$।
चरण $2$: समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$, $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (2-5)\hat{j} + (1-(-10))\hat{k} = -5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
चरण $3$: समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{OM}) \cdot \vec{n} = 0$ है, जहाँ $\vec{OM} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{7}{2}\hat{j} - \frac{9}{2}\hat{k}$ है।
चरण $4$: $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{OM} \cdot \vec{n} = (\frac{3}{2})(-5) + (\frac{7}{2})(-3) + (-\frac{9}{2})(11) = -\frac{15}{2} - \frac{21}{2} - \frac{99}{2} = -\frac{135}{2}$।
चरण $5$: अतः, $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) = -\frac{135}{2}$, जिसे $\vec{r} \cdot (-5\hat{i} - 3\hat{j} + 11\hat{k}) + \frac{135}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।