Electric potential Questions in Gujarati

(B) પોલા ધાતુના ગોળાની ત્રિજ્યા $R = 15 \,cm$ છે. સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V_{surface} = 20 \,V$ છે.
પોલા ધાતુના ગોળા માટે, ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોય છે $(E = -dV/dr)$, તેથી જો $E = 0$ હોય, તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
આથી, ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી, કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $20 \,V$ છે.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અંતર $AC = CB = L$ છે. બિંદુ $D$ એ $B$ થી $L$ અંતરે છે,તેથી $AD = 3L$ અને $BD = L$ થાય.
$Q$ વિદ્યુતભારને અર્ધવર્તુળ $CRD$ પર ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}$
જ્યારે $Q$ એ $C$ પર હોય ત્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{initial}}$:
$U_{\text{initial}} = \frac{kqQ}{AC} + \frac{k(-q)Q}{BC} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{kq^2}{2L}$
જ્યારે $Q$ એ $D$ પર હોય ત્યારે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{final}}$:
$U_{\text{final}} = \frac{kqQ}{AD} + \frac{k(-q)Q}{BD} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{3L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}$
$W = (-\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}) - (-\frac{kq^2}{2L}) = -\frac{2kqQ}{3L}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ મૂકતા:
$W = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{L} = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(B) આપેલ છે કે,દરેક નાના ગોળાકાર ટીપાંનો વિદ્યુતભાર $= Q$ અને તેની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $= V_0$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે. સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
જ્યારે બે આવા ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે પરથી $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3} r$ મળે છે.
નવા મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q' = Q + Q = 2Q$ થાય છે.
નવા ટીપાંની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q'}{R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2Q}{2^{1/3} r}$ થાય.
$V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = V_0 \times \frac{2}{2^{1/3}} = V_0 \times 2^{1 - 1/3} = V_0 \times 2^{2/3} = V_0 \times (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} V_0$ મળે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા વાહક ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V = \frac{kQ}{R}$ જ્યારે $r \le R$ અને $V = \frac{kQ}{r}$ જ્યારે $r > R$,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
$r = \frac{R}{2}$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે (બંને કવચની અંદર):
સ્થિતિમાન $V_2$ એ બંને કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_2 = \frac{kq}{R} + \frac{k(2q)}{2R} = \frac{kq}{R} + \frac{kq}{R} = \frac{2kq}{R}$.
$r = 3R$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે (બંને કવચની બહાર):
સ્થિતિમાન $V_1$ એ કેન્દ્ર પર બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણવામાં આવતા બંને કવચના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_1 = \frac{kq}{3R} + \frac{k(2q)}{3R} = \frac{3kq}{3R} = \frac{kq}{R}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \frac{2kq/R}{kq/R} = 2$.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કવચ પર એવી રીતે વહેંચાયેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \sigma(4 \pi r^2) + \sigma(4 \pi R^2) = 4 \pi \sigma(r^2 + R^2)$.
તેથી,$\sigma = \frac{Q}{4 \pi (r^2 + R^2)}$.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $a$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
બંને કવચ માટે,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન દરેક કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\sigma 4 \pi r^2}{r} + \frac{\sigma 4 \pi R^2}{R} \right)$.
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$.
$\sigma$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (r^2 + R^2)} (r + R) = \frac{Q(R+r)}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2+r^2)}$.

(C) $(0,0,a)$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P(0,0,z)$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{(z-a)}$
$(0,0,-a)$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P(0,0,z)$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z-(-a))} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z+a)}$
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(z+a) - (z-a)}{(z-a)(z+a)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{z+a-z+a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{2qa}{4 \pi \varepsilon_0(z^2-a^2)}$

(B) વિદ્યુતભારો $x=0$ $(q/2)$,$x=a$ $(-q)$,અને $x=2a$ $(q/2)$ પર સ્થિત છે. બિંદુ $P$ એ $x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે છે. તેથી $P$ નો યામ $x = a + r$ થશે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$q/2$ સામાન્ય લેતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r+a} - \frac{2}{r} + \frac{1}{r-a} \right]$
પદોને જોડતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right]$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$V = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{r(r^2-a^2)} \right]$
જ્યારે $r \gg a$ હોય,ત્યારે $r^2 - a^2 \approx r^2$ લેતા:
$V \approx \frac{q}{8 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2a^2}{r^3} = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$

(B) વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $x = a + r$ પર છે. $P$ થી વિદ્યુતભારોના અંતર નીચે મુજબ છે:
$x=0$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_1 = (a+r) - 0 = r+a$
$x=a$ પરના $-q$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_2 = (a+r) - a = r$
$x=2a$ પરના $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર માટે: અંતર $d_3 = |(a+r) - 2a| = |r-a| = r-a$ (કારણ કે $r >> a$)
કુલ સ્થિતિમાન $V_P$ છે:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q/2}{r+a} - \frac{q}{r} + \frac{q/2}{r-a} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{2(r+a)} - \frac{1}{r} + \frac{1}{2(r-a)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r(r-a) - 2(r^2-a^2) + r(r+a)}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^2 - ar - 2r^2 + 2a^2 + r^2 + ar}{2r(r^2-a^2)} \right]$
$V_P = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a^2}{2r(r^2-a^2)} \right] = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r(r^2-a^2)}$
કારણ કે $r >> a$,તેથી $r^2 - a^2 \approx r^2$.
તેથી,$V_P = \frac{q a^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}$.

(B) ધારો કે $q_1 = 9 \mu C$ અને $q_2 = -3 \mu C$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 0.16 \ m$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $q_1$ થી $x$ અંતરે આવેલું છે. તો $q_2$ થી $P$ નું અંતર $(0.16 - x)$ થશે.
બિંદુ $P$ પર બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ શૂન્ય છે:
$V = V_1 + V_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{x} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_2}{0.16 - x} = 0$
$\frac{9 \times 10^{-6}}{x} = - \frac{-3 \times 10^{-6}}{0.16 - x}$
$\frac{9}{x} = \frac{3}{0.16 - x}$
$3(0.16 - x) = x$
$0.48 - 3x = x$
$4x = 0.48$
$x = 0.12 \ m$
આમ,$9 \mu C$ વિદ્યુતભારથી $P$ નું અંતર $0.12 \ m$ છે.

(A) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $Q$ ને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે।
કાર્ય $W = Q(V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}})$.
અહીં, પ્રારંભિક બિંદુ $C$ છે અને અંતિમ બિંદુ $D$ છે।
અંતર $AC = L$, $CB = L$, $BD = L$.
$C$ આગળ સ્થિતિમાન $(V_C)$: $V_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AC} + \frac{-q}{CB}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{L} - \frac{q}{L}] = 0$.
$D$ આગળ સ્થિતિમાન $(V_D)$: $V_D = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q}{3L} - \frac{q}{L}] = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} [\frac{q - 3q}{3L}] = \frac{-2q}{12 \pi \epsilon_0 L} = \frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L}$.
સ્થિત વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી, $C$ થી $D$ સુધીના કોઈપણ પથ પર કરવું પડતું કાર્ય સમાન હોય છે:
$W_1 = W_2 = Q(V_D - V_C) = Q(\frac{-q}{6 \pi \epsilon_0 L} - 0) = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$.
આમ, $W_1 = W_2 = \frac{-Qq}{6 \pi \epsilon_0 L}$.

(A) ધારો કે $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહારની કવચ પર અર્થિંગ કર્યા પછી $q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
બહારની કવચ અર્થિંગ કરેલી હોવાથી, તેનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બહારની કવચ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ અંદરના વિદ્યુતભાર $Q$ અને બહારના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_{\text{outer}} = \frac{KQ}{2R} + \frac{Kq}{2R} = 0$
$q$ માટે ઉકેલતા, આપણને $q = -Q$ મળે છે.
હવે, કેન્દ્રથી $r = \frac{3R}{2}$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાનની ગણતરી કરીએ.
અહીં $R < r < 2R$ હોવાથી, આ બિંદુ અંદરના ગોળાની બહાર અને બહારના ગોળાની અંદર આવેલું છે.
આ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ અંદરના ગોળાને કારણે (બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે) અને બહારના ગોળાને કારણે (અંદરના ભાગમાં અચળ) ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V(r) = \frac{KQ}{r} + \frac{Kq}{2R}$
$r = \frac{3R}{2}$ અને $q = -Q$ મૂકતા:
$V = \frac{KQ}{3R/2} + \frac{K(-Q)}{2R} = \frac{2KQ}{3R} - \frac{KQ}{2R} = \frac{4KQ - 3KQ}{6R} = \frac{KQ}{6R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{6R}$

(D) કવચ $B$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચો $A, B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_B = V_{A,B} + V_{B,B} + V_{C,B}$
કવચની અંદરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તેની સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે, તેથી:
$V_{A,B} = \frac{k Q_A}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi a^2)}{b} = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b}$
$V_{B,B} = \frac{k Q_B}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-\sigma(4\pi b^2)}{b} = -\frac{\sigma b}{\varepsilon_0}$
$V_{C,B} = \frac{k Q_C}{c} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\sigma(4\pi c^2)}{c} = \frac{\sigma c}{\varepsilon_0}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$V_B = \frac{\sigma a^2}{\varepsilon_0 b} - \frac{\sigma b}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma c}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \left( \frac{a^2}{b} - b + c \right)$

(C) $1$. આંતરિક ગોળા પર $q$ વિદ્યુતભાર છે. પ્રેરણને કારણે, કવચની આંતરિક સપાટી ($a$ ત્રિજ્યા) પર $-q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
$2$. કવચ અર્થિંગ કરેલી હોવાથી, તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{shell} = -q + q' = 0$ છે, જ્યાં $q'$ એ બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર છે. અર્થિંગને કારણે, બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ જાય છે. આમ, આંતરિક સપાટી પર $-q$ અને બાહ્ય સપાટી પર $0$ વિદ્યુતભાર રહે છે.
$3$. ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ ગોળા, કવચની આંતરિક સપાટી અને કવચની બાહ્ય સપાટીને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$4$. $V_{centre} = V_{sphere} + V_{inner_shell} + V_{outer_shell} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q}{R} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{-q}{a} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{0}{b} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{a} \right)$.

(B) $r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{\sqrt{x^{2} + r^{2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ માટે, $x_A = \frac{4}{3}r$, તેથી રીંગની પરિધિથી અંતર $d_A = \sqrt{(\frac{4}{3}r)^2 + r^2} = \frac{5}{3}r$.
તેથી, $V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r}$.
બિંદુ $B$ માટે, $x_B = \frac{3}{4}r$, તેથી રીંગની પરિધિથી અંતર $d_B = \sqrt{(\frac{3}{4}r)^2 + r^2} = \frac{5}{4}r$.
તેથી, $V_B = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r}$.
$-q$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = (-q)(V_B - V_A)$.
$W = -q \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{4q}{5r} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{3q}{5r} \right) = -\frac{1}{5} \cdot \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.

(A) વિદ્યુતભારોની વચ્ચે બિંદુ $P$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{r} + \frac{4Q}{d-r} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r$ એ $A$ થી $P$ નું અંતર છે.
સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ હોવા માટે, આપણે $\frac{dV}{dr} = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{dV}{dr} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{Q}{r^2} + \frac{4Q}{(d-r)^2} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{Q}{r^2} = \frac{4Q}{(d-r)^2}$, જે તે શરતને સમકક્ષ છે જ્યાં ચોખ્ખું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 0$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{r} = \frac{2}{d-r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $d - r = 2r \Rightarrow 3r = d \Rightarrow r = \frac{d}{3}$.
આમ, $A$ ની જમણી બાજુએ $\frac{d}{3}$ એકમ અંતરે સ્થિતિમાન ન્યૂનતમ છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી, વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી અને તે $W = Q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(a, 0)$ પર સ્થિતિમાન $V_A = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a}$ છે.
બિંદુ $B(0, b)$ પર સ્થિતિમાન $V_B = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b}$ છે.
તેથી, કરવું પડતું કાર્ય $W = Q \left( \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} b} - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \right)$ છે.
$W = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \right) = \frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{a - b}{a b} \right)$.

(D) સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, સંરક્ષી બળ દ્વારા કોઈપણ બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ ને વર્તુળાકાર માર્ગે એક વાર ફેરવવામાં આવે છે, જે એક બંધ માર્ગ છે, તેથી કુલ કાર્ય $0$ થાય છે.

(C) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં, કોઈ એક બિંદુ પરનો નિરપેક્ષ વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ એવી રાશિ નથી જેને અનન્ય રીતે માપી શકાય, કારણ કે તે સંદર્ભ બિંદુની પસંદગી પર આધાર રાખે છે (જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય માનવામાં આવે છે).
જો કે, બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) એ સુનિશ્ચિત અને માપી શકાય તેવી રાશિ છે.
અવરોધ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ બંને એવી ભૌતિક રાશિઓ છે જેને યોગ્ય સાધનોનો ઉપયોગ કરીને સીધી રીતે માપી શકાય છે.
તેથી,'વોલ્ટેજ' (જ્યારે તે કોઈ બિંદુ પરના નિરપેક્ષ સ્થિતિમાનનો સંદર્ભ આપે છે) ને નિરપેક્ષ અર્થમાં માપી શકાય તેવી રાશિ ગણવામાં આવતી નથી.

(A) વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ની હાજરીમાં $q_{3}$ વિદ્યુતભારને કોઈ બિંદુ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = V \times q_{3} = (\frac{kq_{1}}{\ell} + \frac{kq_{2}}{\ell}) q_{3}$
આપેલ છે: $q_{1} = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$, $q_{2} = 2 \times 10^{-9} \text{ C}$, $q_{3} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$, $\ell = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$, $k = 9 \times 10^{9} \text{ N.m}^{2}/\text{C}^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{9 \times 10^{9}}{3 \times 10^{-2}} (1 \times 10^{-9} + 2 \times 10^{-9}) \times 3 \times 10^{-9}$
$W = (3 \times 10^{11}) \times (3 \times 10^{-9}) \times (3 \times 10^{-9})$
$W = 27 \times 10^{-7} \text{ J} = 2.7 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.7 \text{ } \mu\text{J}$.

(C) વાહક ગોલીય કવચ પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન એ કવચ પર હાજર તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે, $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કવચને કારણે સ્થિતિમાન $\frac{kq}{R}$ થાય છે જો $r \le R$ હોય અને $\frac{kq}{r}$ થાય છે જો $r > R$ હોય.
ગોળા $A$ (ત્રિજ્યા $a$) માટે: તે $B$ અને $C$ ની અંદર છે, તેથી સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kq_1}{a} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1}{a} + \frac{q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ છે.
ગોળા $B$ (ત્રિજ્યા $b$) માટે: તે $B$ ની સપાટી પર, $C$ ની અંદર અને $A$ ની બહાર છે. તેથી, $V_B = \frac{kq_1}{b} + \frac{kq_2}{b} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2}{b} + \frac{q_3}{c} \right)$ છે.
ગોળા $C$ (ત્રિજ્યા $c$) માટે: તે $C$ ની સપાટી પર અને $A$ તથા $B$ ની બહાર છે. તેથી, $V_C = \frac{kq_1}{c} + \frac{kq_2}{c} + \frac{kq_3}{c} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1+q_2+q_3}{c} \right)$ છે.

(D) બિંદુ '$A$' એ ઉપરના $+q$ વિદ્યુતભાર અને નીચેના $+q$ વિદ્યુતભારથી $l$ અંતરે છે.
બિંદુ '$A$' થી બંને $-q$ વિદ્યુતભારોનું અંતર $\sqrt{(2l)^2 + l^2} = \sqrt{4l^2 + l^2} = \sqrt{5l^2} = l\sqrt{5}$ થાય છે.
બિંદુ '$A$' પર ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારના સ્થિતિમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$V_A = k(\frac{q}{l} + \frac{q}{l} - \frac{q}{l\sqrt{5}} - \frac{q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = k(\frac{2q}{l} - \frac{2q}{l\sqrt{5}})$
$V_A = \frac{2kq}{l}(1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$
તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ગોલીય વાહકની અંદરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે, જે $V = \frac{kq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\frac{V}{E} = \frac{kq/R}{kq/R^2} = \frac{kq}{R} \times \frac{R^2}{kq} = R$.
તેથી, ગુણોત્તર $R$ છે. વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(A) સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળીય કવચ માટે, કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
કવચની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં અંતર $r = R/2$ એ ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઓછું હોવાથી (એટલે કે, બિંદુ કવચની અંદર છે), આ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ રહેશે.
તેથી, $r = R/2$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ થશે.

(D) એક વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી ધીમેથી લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર એકમ ધન બિંદુવત વિદ્યુતભાર હોવાથી, $q = 1$, તેથી $W = V_B - V_A$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ડાયઇલેક્ટ્રિક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન:
$r \ge R$ માટે, $V(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}$, જ્યાં $Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
તેથી, $V(r) = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_A = 2R$ અને $r_B = 3R$, તેથી:
$V_A = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (2R)} = \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}$
$V_B = \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 (3R)} = \frac{\rho R^2}{9\epsilon_0}$
થયેલ કાર્ય $W = |V_B - V_A| = |\frac{\rho R^2}{9\epsilon_0} - \frac{\rho R^2}{6\epsilon_0}| = |\frac{2\rho R^2 - 3\rho R^2}{18\epsilon_0}| = \frac{\rho R^2}{18\epsilon_0}$ થાય.
આને $\frac{\rho R^2}{n \epsilon_0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 18$ મળે છે.

(C) ત્રિજ્યા $R$ અને વિદ્યુતભાર $Q$ ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$r \ge R$ માટે, $V(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$.
$r < R$ માટે, $V(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{3}{2} - \frac{r^2}{2R^2} \right)$.
સપાટી પર $(r = R)$, $V(R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
પ્રારંભિક સ્થાને $(r = 3R)$, $V(3R) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{3R}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$\Delta K + \Delta U = 0 \implies \frac{1}{2}mv^2 - 0 = -q(V(R) - V(3R))$.
$\frac{1}{2}mv^2 = q(V(3R) - V(R)) = q \left( \frac{Q}{12\pi \epsilon_0 R} - \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R} \right)$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{Qq}{4\pi \epsilon_0 R} \left( -\frac{2}{3} \right)$.
વિદ્યુતભાર ઋણ હોવાથી, તે ધન ગોળા તરફ ગતિ કરે છે અને ગતિ ઉર્જા મેળવે છે. સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V(3R) - V(R)| = \frac{2Qq}{12\pi \epsilon_0 R} = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R}$ છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{Qq}{6\pi \epsilon_0 R} \implies v^2 = \frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR} \implies v = \sqrt{\frac{Qq}{3\pi \epsilon_0 mR}}$.

(B) $r$ અંતરે રહેલા નાના વિદ્યુતભાર ઘટક $dq$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{dq}{r}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $\lambda$ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનત્વ ધરાવતી અર્ધ-રીંગ માટે, કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda \times (\pi R)$ થાય છે.
અર્ધ-રીંગના તમામ બિંદુઓ કેન્દ્રથી $R$ અંતરે હોવાથી, કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\lambda \pi R}{R} = \frac{\lambda}{4\epsilon_0}$ મળે છે.
$R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે સમકેન્દ્રીય અર્ધ-રીંગો માટે, જેનું રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનત્વ $\lambda$ સમાન છે, કેન્દ્ર $O$ પર કુલ સ્થિતિમાન દરેક અર્ધ-રીંગને કારણે મળતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો થશે:
$V_{total} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4\epsilon_0} + \frac{\lambda}{4\epsilon_0} = \frac{2\lambda}{4\epsilon_0} = \frac{\lambda}{2\epsilon_0}$.

(A) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \sum \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $q_1$ અને $q_2$ સ્થિર છે, સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ ફક્ત $q_3$ ની $q_1$ અને $q_2$ સાથેની આંતરક્રિયા ઉર્જામાં થતા ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.
બિંદુ $C$ પર: $r_{1C} = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, $r_{2C} = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{40^2 + 30^2} = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$.
$q_1, q_2$ ને કારણે $C$ પર સ્થિતિમાન $V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5})$ છે.
બિંદુ $D$ પર: $r_{1D} = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$, $r_{2D} = AD - AB = 40 - 30 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
$q_1, q_2$ ને કારણે $D$ પર સ્થિતિમાન $V_D = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1})$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = q_3(V_D - V_C) = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [(\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.1}) - (\frac{q_1}{0.4} + \frac{q_2}{0.5})]$.
$\Delta U = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_2}{0.1} - \frac{q_2}{0.5}] = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [10q_2 - 2q_2] = \frac{q_3}{4\pi\epsilon_0} [8q_2]$.
$\frac{q_3 K}{4\pi\epsilon_0}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $K = 8q_2$ મળે છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \sum \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ત્રણ વિદ્યુતભારો છે:
$q_A = q$ બિંદુ $A$ પર。
$q_B = q$ બિંદુ $B$ પર。
$q_C = -3q$ બિંદુ $C$ પર。
આપેલા અંતરો:
$AC = x$.
$AB = 3x$, તેથી $CB = AB - AC = 3x - x = 2x$.
દરેક જોડી માટે સ્થિતિઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$U_{AB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{AB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot q}{3x} = \frac{q^2}{12\pi\epsilon_0x}$.
$U_{AC} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_C}{AC} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q \cdot (-3q)}{x} = -\frac{3q^2}{4\pi\epsilon_0x}$.
$U_{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_C q_B}{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(-3q) \cdot q}{2x} = -\frac{3q^2}{8\pi\epsilon_0x}$.
કુલ સ્થિતિઊર્જા $U = U_{AB} + U_{AC} + U_{CB} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2}{3} - 3q^2 - 1.5q^2] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2}{3} - 4.5q^2] = \frac{1}{4\pi\epsilon_0x} [\frac{q^2 - 13.5q^2}{3}] = -\frac{12.5q^2}{12\pi\epsilon_0x} \approx -\frac{4q^2}{4\pi\epsilon_0x}$ (આશરે).
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે。

(A) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે જેની બાજુની લંબાઈ $a = 2r$ છે. વિદ્યુતભારો ખૂણાઓ પર આ મુજબ છે: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ બે ઋણ વિદ્યુતભારો $C$ અને $D$ ની વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ છે.
$P$ થી $C$ નું અંતર $r$ છે અને $P$ થી $D$ નું અંતર $r$ છે.
$P$ થી $A$ નું અંતર $\sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$ છે.
$P$ થી $B$ નું અંતર $\sqrt{(2r)^2 + r^2} = r\sqrt{5}$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q}{r_A} + \frac{q}{r_B} + \frac{-q}{r_C} + \frac{-q}{r_D}]$.
અંતરોની કિંમત મૂકતા: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r}]$.
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r}]$.
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2q}{r} [\frac{1}{\sqrt{5}} - 1]$.

(A) સમઘનને $8$ ખૂણા હોય છે. ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ $r$ છે.
સમઘનના કોઈપણ ખૂણાથી તેના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર એ તેના મુખ્ય વિકર્ણ (body diagonal) ના અડધા જેટલું હોય છે.
$r$ બાજુવાળા સમઘનનો મુખ્ય વિકર્ણ $d = r\sqrt{3}$ છે.
તેથી, દરેક ખૂણાથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $a = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ થાય.
$a$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ખૂણાઓ પર $8$ સમાન વિદ્યુતભારો હોવાથી, કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો થશે:
$V_{total} = 8 \times \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{a} \right) = \frac{8Q}{4\pi\epsilon_0 \cdot (\frac{r\sqrt{3}}{2})} = \frac{8Q}{2\pi\epsilon_0 r\sqrt{3}} = \frac{4Q}{\pi\epsilon_0 r\sqrt{3}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $W = 200 \text{ J}$, $q = 5 \text{ C}$, $V_A = -20 \text{ V}$, $V_B = V$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 5 \times (V - (-20))$.
$200 = 5 \times (V + 20)$.
$40 = V + 20$.
$V = 40 - 20 = 20 \text{ V}$.
આમ, બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $20 \text{ V}$ છે.