Mathematical logic Questions in Gujarati

(B) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે, જે $p \to q$ ને સમાન છે.
પગલું $2$: $p \to q$ નું પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે.
પગલું $3$: $\sim p \to \sim q$ ને $\sim (\sim p) \lor \sim q$ એટલે કે $p \lor \sim q$ તરીકે લખી શકાય છે.
પગલું $4$: આ પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim (p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $5$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \lor \sim q) = \sim p \land \sim (\sim q) = \sim p \land q$.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય).' શરતી વિધાન $P \implies Q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય).' બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'તે સત્ય નથી કે ($14$ વિભાજ્ય છે (સત્ય) અને $3$ બેકી છે (અસત્ય)).' આંતરિક સંયોજન અસત્ય છે, તેથી તેનું નિષેધ સત્ય છે. તેથી, $III$ સત્ય છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ અસંમેય છે (સત્ય) અને $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય, કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર હોય છે).' બંને સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પગલું $1$: $p$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. કારણ કે $81 > 64$, પૂર્વવર્તી સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$ છે. કારણ કે $27 > 256$ અસત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ એ $F$ છે. આમ, $p$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: $q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $x^2 - 2x + 2 = 0$ માટે, વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. કારણ કે $D < 0$, બીજ વાસ્તવિક નથી. વિધાન 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' સત્ય $(T)$ છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ એ $F$ છે. આમ, $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $r$ એ '$p$ સત્ય છે અથવા $q$ અસત્ય છે' છે. કારણ કે $p$ અસત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, '$q$ અસત્ય છે' એ સત્ય $(T)$ છે. તેથી, $F \lor T$ એ $T$ છે. એટલે કે, $r$ સત્ય $(T)$ છે.
પગલું $4$: વિકલ્પો તપાસો. $p=F, q=F, r=T$ છે.
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$.
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$.
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$.
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$.
તેથી, વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે, જે $\sim p \to \sim(\sim q)$ બને છે.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(\sim q) = q$ થાય છે.
આમ, પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) $1$. તાર્કિક પદાવલિ $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અસત્ય હોય અને $q$ પણ અસત્ય હોય.
$2$. જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $q$ અસત્ય $(F)$ છે, તેથી $p = T$ અને $q = F$ મળે છે.
$4$. હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(a)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F = F$
$(b)$ $p \rightarrow q \equiv T \rightarrow F = F$
$(c)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$(d)$ $q \rightarrow p \equiv F \rightarrow T = T$
$5$. આમ, $q \rightarrow p$ સત્ય છે.

(C) તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(p \lor q) \to \sim r \equiv \sim (p \lor q) \lor \sim r$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ થાય છે.
આને પાછું મૂકતા, આપણને $\sim p \land \sim q \lor \sim r$ મળે છે, જે $( \sim p \land \sim q) \lor \sim r$ છે.

(C) શરતી વિધાન $A \to B$ ફક્ત ત્યારે જ $False$ હોય છે જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
$B$ એ $False$ હોવાથી, $(p \land q) = False$ છે.
$A$ એ $True$ હોવાથી, $(p \lor q) = True$, $(q \to r) = True$, અને $(\sim r) = True$ છે.
$(\sim r) = True$ પરથી, આપણને $r = False$ મળે છે.
$r = False$ ને $(q \to r) = True$ માં મૂકતા: $(q \to False) = True$, જેનો અર્થ છે કે $q = False$ છે.
$q = False$ ને $(p \lor q) = True$ માં મૂકતા: $(p \lor False) = True$, જેનો અર્થ છે કે $p = True$ છે.
હવે, $(p \land q) = (True \land False) = False$ તપાસો, જે આપણી શરત સાથે સુસંગત છે.
આમ, $p = True$ અને $q = False$ છે.
તેથી, $p \to q = (True \to False) = False$ છે.
અને $q \to p = (False \to True) = True$ છે.
સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \to q$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p = T$ અને $q = F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \lor q = T \lor F = T$ છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $s$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય ($p=T, q=F$ અથવા $p=F, q=T$).
જો $p=T, q=F$, તો $p \lor q = T$ છે. જો $p=F, q=T$, તો $p \lor q = T$ છે. બંને કિસ્સામાં, $p \lor q$ સત્ય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r \to s$ અને $s \to r$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
કારણ કે $r = F$ અને $s = F$, તેથી $r \to s = F \to F = T$ અને $s \to r = F \to F = T$ છે. આમ, સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(B) $1$. શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. અહીં, $(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ અસત્ય છે, તેથી $(p \land q) = T$ અને $(r \lor \sim s) = F$ છે.
$3$. $(p \land q) = T$ માટે, $p$ અને $q$ બંને $T$ હોવા જોઈએ.
$4$. $(r \lor \sim s) = F$ માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
$5$. કારણ કે $r = F$ અને $\sim s = F$ છે, તેથી $s = T$ થાય.
$6$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p = T, q = T, r = F, s = T$ છે.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (\sim q \lor q) \lor (\sim p \lor p) \equiv T \lor T \equiv T$। તેથી, $A$ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim p \lor \sim q \equiv \sim (p \land q)$। તેથી, $B$ એ $X \leftrightarrow X$ છે, જે નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। તેથી, $D$ વિરોધાભાસ છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ અને $B$ નિત્યસત્ય છે, $C$ અને $D$ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow q$ એ $(p \to q) \land (q \to p)$ ને સમાન છે.
તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv ∼ ((p \to q) \land (q \to p))$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, આ $∼ (p \to q) \lor ∼ (q \to p)$ બને છે.
કારણ કે $p \to q \equiv ∼ p \lor q$, તેથી $∼ (p \to q) \equiv p \land ∼ q$.
તે જ રીતે, $∼ (q \to p) \equiv q \land ∼ p$.
તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land ∼ q) \lor (q \land ∼ p)$.
હવે, વિકલ્પ $(D)$ તપાસો: $p \leftrightarrow ∼ q \equiv (p \to ∼ q) \land (∼ q \to p) \equiv (∼ p \lor ∼ q) \land (q \lor p) \equiv (p \land q) \lor (∼ p \land ∼ q)$.
સત્યતા કોષ્ટક મુજબ, $p \leftrightarrow ∼ q$ અને $∼ (p \leftrightarrow q)$ ના મૂલ્યો તમામ કિસ્સાઓમાં સમાન છે. તેથી, $∼ (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow ∼ q$.

(A) પગલું $1$: શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
પગલું $3$: $B = (p \land q)$ અસત્ય હોવા માટે, $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: $A$ સત્ય હોવા માટે, $(p \lor q)$ સત્ય હોવું જોઈએ, $(q \to r)$ સત્ય હોવું જોઈએ, અને $(\sim r)$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
પગલું $6$: કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $7$: કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $8$: હવે, $p \to q$ નું મૂલ્ય શોધો: $T \to F = F$.
પગલું $9$: $q \to p$ નું મૂલ્ય શોધો: $F \to T = T$.
પગલું $10$: સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = F, r = F$।
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = T$, તેથી $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$। આમ, $\sim (p \land \sim q) = F$।
$\sim r = T$, તેથી $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$।
$S = (F \lor T) = T$।
પગલું $2$: દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. $\land$ ને $\lor$ થી, $\lor$ ને $\land$ થી, $T$ ને $F$ થી, અને $F$ ને $T$ થી બદલો.
દ્વૈત $S^*$ છે $[\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$।
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$, તેથી $\sim (p \lor \sim q) = F$।
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$।
$S^* = (F \land F) = F$।
સત્યતા મૂલ્યો અનુક્રમે $T$ અને $F$ છે.

(A) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = p \to (q \to r)$ છે.
પગલું $2$: $S$ નું પ્રતિલોમ $∼ p \to ∼ (q \to r)$ છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમનું પ્રતીપ $∼ (q \to r) \to ∼ p$ છે.
પગલું $4$: $q \to r \equiv ∼ q \lor r$ નો ઉપયોગ કરતા, પદાવલિ $∼ (∼ q \lor r) \to ∼ p$ બને છે, જે $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ છે.
પગલું $5$: વિધાનનું દ્વૈત $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ એટલે $∼ A \lor B$. તેથી, $(q \land ∼ r) \to ∼ p$ એટલે $∼ (q \land ∼ r) \lor ∼ p \equiv (∼ q \lor r) \lor ∼ p$.
પગલું $6$: $(∼ q \lor r) \lor ∼ p$ નું દ્વૈત $(∼ q \land r) \land ∼ p$ છે.
પગલું $7$: વિકલ્પ $∼ [p \lor (r \to q)]$ નું મૂલ્ય $∼ [p \lor (∼ r \lor q)] \equiv ∼ p \land (r \land ∼ q)$ છે, જે દ્વૈત સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $p$ એ "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે" અને $\sim q$ એ "તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
તેથી, નિષેધ "એક પૂર્ણાંક $4$ થી મોટો અને $5$ થી નાનો છે પરંતુ તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
આ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન પેટર્નનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
પગલું $2$: આપેલ વિધાન $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ છે.
પગલું $3$: દ્વૈત રૂપાંતરણ લાગુ કરતાં, આપણને $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ મળે છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(p \lor \sim q) \equiv \sim p \to \sim q$ અને $(q \lor \sim p) \equiv p \to q$, તેથી પદાવલિ $(\sim p \to \sim q) \land (p \to q)$ છે.
પગલું $5$: વિકલ્પો તપાસતા, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $S_1$ એ $p$ દ્વારા દર્શાવેલ સ્વિચ છે અને $S_2$ એ $q$ દ્વારા દર્શાવેલ સ્વિચ છે.
સમાંતર સર્કિટમાં, સ્વિચ એવી રીતે જોડાયેલ હોય છે કે જો $p$ અથવા $q$ માંથી કોઈ પણ બંધ હોય તો પ્રવાહ વહે છે.
આને તાર્કિક વિયોજન $p \lor q$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો સર્કિટ બે સ્વિચનું સરળ સમાંતર જોડાણ હોય, તો તેનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ $p \lor q$ છે.

(D) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ છે.
$A \to B$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ થાય છે.
તેથી, $S$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા, આ $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ થાય છે.
ગર્ભિત વિધાન $P \to Q$ નો નિષેધ $P \land \sim Q$ થાય છે.
અહીં, $P = (\sim p \lor q)$ અને $Q = (\sim p \land q)$ છે.
નિષેધ $= (\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$.
બીજા ભાગ પર ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા: $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ મળે છે.
તેથી, નિષેધ $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ ગર્ભિતાર્થનું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે. કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land \sim q)$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $3$: કારણ કે $A$ સત્ય છે, બધા ઘટકો સત્ય હોવા જોઈએ: $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $\sim r = T$। તેથી $r = F$ છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તો $q$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ અસત્ય છે).
પગલું $5$: કારણ કે $(p \leftrightarrow q) = T$ અને $q = F$ છે, તો $p$ નું મૂલ્ય $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: પ્રથમ સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન કરો: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r) = (F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$।
પગલું $7$: બીજા સ્વરૂપનું મૂલ્યાંકન કરો: $\sim (p \lor r) \to (q \land p) = \sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$।
પગલું $8$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(C) $1$. પ્રત્યય $p \to (q \lor \sim r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ સત્ય $(T)$ હોય અને $(q \lor \sim r)$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. $(q \lor \sim r)$ અસત્ય હોવા માટે, $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $F$ હોવું જોઈએ. તેથી $q = F$ અને $r = T$ છે.
$3$. આપણી પાસે $p = T$, $q = F$, અને $r = T$ છે.
$4$. $(p \leftrightarrow q) \land r$ ની કિંમત શોધો: $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$.
$5$. $\sim p \to \sim q$ ની કિંમત શોધો: $\sim T \to \sim F = F \to T = T$.
$6$. સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ વિધાન 'વોલ્ટેજ વધે છે' છે અને $C$ એ વિધાન 'પ્રવાહ ઘટે છે' છે.
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. શરતી વિધાન $A \implies B$ નું પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ છે, અને તે તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$2$. $p: V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p$ અને $s$ સમાન છે.
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $C \implies V$ થાય છે, જે $r$ છે. તેથી, $q$ અને $r$ સમાન છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(A \to B) \lor (B \to A)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ અને $(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$ થાય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
ક્રમના અને જૂથના નિયમો દ્વારા, આ $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
કારણ કે $(\sim A \lor A) \equiv T$ (પુનરુક્તિ) અને $(\sim B \lor B) \equiv T$ થાય છે, પદાવલિ $T \lor T$ બને છે, જે $T$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા, $S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim S = \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ $\sim (A \lor B) = \sim A \land \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા, $\sim S = (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા, $\sim S = (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$ મળે છે.
કારણ કે $(p \land q) \land q = p \land q$, તેથી $\sim S = (p \land q) \land (p \lor r) = q \land (p \land (p \lor r))$ છે.
શોષણના નિયમ (absorption law) મુજબ, $p \land (p \lor r) = p$, તેથી $\sim S = q \land p = p \land q$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $x^2+3x-10=0$ ના અવયવો $(x+5)(x-2)=0$ છે, જે $x=-5$ અથવા $x=2$ આપે છે. આ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ (જ્યાં $N = \{1, 2, 3, ...\}$) માટે, $n \geq 1$, તેથી $n^2 \geq 1$. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(D) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે. વિધાન $p \to q$ નું પ્રતિવિધાન $q \to p$ છે. તર્કશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં, $p \lor q$ નું પ્રતિવિધાન એ $p \to q$ ના પ્રતિવિધાન તરીકે લેવામાં આવે છે, જે $q \to p$ છે.
પગલું $2$: ગર્ભિતાર્થ $q \to p$ નું નિષેધ $\sim(q \to p)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $3$: તાર્કિક સમાનતા $\sim(q \to p) \equiv q \land \sim p$ નો ઉપયોગ કરતા.
પગલું $4$: તેથી, નિષેધ $q \land \sim p$ છે, જે $\sim p \land q$ ને સમાન છે.

(D) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ છે.
અહીં, $P = [p \lor (p \to q)]$ અને $Q = (p \land \sim q)$ છે.
પ્રથમ, $\sim Q$ શોધો: $\sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$.
આગળ, $\sim P$ શોધો: $\sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q) = \sim p \land \sim (\sim p \lor q) = \sim p \land (p \land \sim q)$.
આમ, પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ એ $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $(D)$ સાચું સ્વરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. નિયમ $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ નો ઉપયોગ કરતા. તેથી, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. તેથી, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। આ $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ ને સમાન નથી. તેથી, $(III)$ ખોટું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor \sim q \lor r$। તેમજ, $q \to (p \to r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv \sim q \lor \sim p \lor r$। બંને સમાન છે. તેથી, $(IV)$ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $(I)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$: $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં, જેને $S_1 \land S_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $2$: $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં, જેને $S_1' \land S_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
શાખા $3$: $S_3$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં, જેને $S_3 \land S_2'$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કુલ સર્કિટ આ શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
પ્રથમ બે પદો પર વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
કારણ કે $S_1 \lor S_1' = T$ (એક પુનરુક્તિ, હંમેશા બંધ):
$L = (T \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$L = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
ફરીથી વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
કારણ કે $S_2 \lor S_2' = T$:
$L = S_2 \lor S_3$
આ સરળ સર્કિટ માટે $2$ સ્વિચ ($S_2$ અને $S_3$) ની જરૂર છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ વિધાન પેટર્ન $( \sim p \land q) \lor ( \sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $( \sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદાવલિ $( \sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ લાગુ કરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ છે કે સત્ય મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ એ છે કે $\sim p \equiv F$ (તેથી $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (તેથી $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
પગલું $8$: સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) ધારો કે $1$ એ ચાલુ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ બંધ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ એ સ્વિચની સ્થિતિ છે.
$S'_1$ અને $S'_2$ એ અનુક્રમે $S_1$ અને $S_2$ ના પૂરક છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
આ અભિવ્યક્તિ $XNOR$ ગેટ ઓપરેશનની સમકક્ષ છે, જે ફક્ત ત્યારે જ $1$ (પ્રકાશિત) આઉટપુટ આપે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય.
તેથી, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1 = S_2$ હોય, જેનો અર્થ છે કે બંને ચાલુ છે અથવા બંને બંધ છે.

(A) પગલું $1$: પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સત્ય હોય છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
પગલું $3$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવો:
- જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
પગલું $4$: કારણ કે તમામ સત્ય મૂલ્યો $T$ છે, તેથી આ વિધાન એક પુનરુક્તિ છે।

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ $S = (p \lor q) \land \sim q \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
સૌ પ્રથમ, $(p \lor q) \land \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. વિભાજનના નિયમ દ્વારા, આ $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ છે. કારણ કે $(q \land \sim q) = F$ (એક વ્યાઘાત) છે, તેથી આ સરળ બનીને $(p \land \sim q) \lor F = (p \land \sim q)$ થાય છે.
હવે આને $S$ માં પાછું મૂકતા: $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
ધારો કે $A = (p \land \sim q)$ છે. તો $S = A \land [(\sim p \land q) \lor A]$ થશે.
શોષણના નિયમ મુજબ, $A \land (B \lor A) = A$ થાય છે.
તેથી, $S = A = (p \land \sim q)$.

(C) $1$. શરતી વિધાન $\sim p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ એ $T$ હોય અને $q$ એ $F$ હોય.
$2$. કારણ કે $\sim p = T$ છે, તેથી $p = F$ થશે.
$3$. દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય.
$4$. આપણે જાણીએ છીએ કે $q = F$ છે, તેથી $q \leftrightarrow r$ ને અસત્ય થવા માટે $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$5$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T$, $q = F$, $r = T$।
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$।
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$।
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$।
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$।
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) પગલું $1$: ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ અસત્ય હોવા માટે, $A$ સત્ય અને $B$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $2$: $B = (p \land q)$ અસત્ય છે, તેથી $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય છે.
પગલું $3$: $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ સત્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે $(p \lor q)$ સત્ય છે, $(q \to r)$ સત્ય છે, અને $(\sim r)$ સત્ય છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(\sim r)$ સત્ય છે, $r$ અસત્ય છે. કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, તેથી $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: કારણ કે $(p \lor q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: આમ, $p = T, q = F, r = F$ છે.
પગલું $7$: વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(C)$ $(\sim q) \to p = T \to T = T$ (અસત્ય વિધાન, કારણ કે તે સત્ય છે).
$(D)$ $(\sim p) \land r = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન).
પગલું $8$: વિકલ્પ $(C)$ એ છે જે સત્ય નથી.

(B) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $p \implies q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \implies \sim q$ થાય છે, જે $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ ને સમાન છે.
પગલું $3$: આ પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim(p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $P$ એ '$1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' (સત્ય) છે અને $Q$ એ '$2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી' (અસત્ય) છે. ગર્ભિતાર્થ $P \implies Q$ એ $T \implies F$ છે, જે અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે' સત્ય છે અને '$12 \times 3 = 36$' સત્ય છે. બંને સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $P$ એ '$14$ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે' (સત્ય) છે અને $Q$ એ '$3$ એક બેકી સંખ્યા છે' (અસત્ય) છે. સંયોજન $P \land Q$ અસત્ય છે. વિધાન 'તે સત્ય નથી કે $P \land Q$' એ $\neg(F)$ છે, જે સત્ય છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે' સત્ય છે. '$3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે' સત્ય છે (કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ છે). બંને સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$. $p$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$, તેથી $3^4 > 4^3$ સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$, તેથી $3^3 > 4^4$ અસત્ય છે. ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ અસત્ય છે. આમ, $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$2$. $q$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ છે. બીજ સંકર છે, વાસ્તવિક નથી. તેથી, પ્રથમ ભાગ $F$ છે. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' $T$ છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$3$. $r$ નું મૂલ્યાંકન કરો: $r$ એટલે $p \lor \neg q$. કારણ કે $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે અને $\neg q$ નું મૂલ્ય $T$ છે $(F \lor T)$, તેથી $r$ નું મૂલ્ય $T$ છે.
$4$. વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સત્ય છે.

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
દ્વિ-નિષેધના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim(\sim q) = q$ થાય છે.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) તાર્કિક વિધાન $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
જો $q$ અસત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય $(F)$ છે.
હવે, $p = T$ અને $q = F$ સાથે વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ એ $T \leftrightarrow F$ થશે, જે $F$ છે.
$(B)$ $p \to q$ એ $T \to F$ થશે, જે $F$ છે.
$(C)$ $q \to p$ એ $F \to T$ થશે, જે $T$ છે.
$(D)$ $q \to p$ અસત્ય $(F)$ છે, જે ખોટું છે કારણ કે તે $T$ છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) પગલું $1$: કૌંસની અંદરના પદને સરળ બનાવો. પદ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને મૂળ પદમાં મૂકતા: $(p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$ મળે.
પગલું $3$: $\sim q$ સાથેના સંયોજનનું મૂલ્યાંકન કરો. જો $\sim q$ સત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ. $q = F$ મૂકતા: $(p \lor F) \land [(\sim p \land F) \lor (p \land \sim F)] \land \sim F$ મળે.
પગલું $4$: સરળ બનાવતા: $p \land [F \lor (p \land T)] \land T = p \land p \land T = p$ મળે.
પગલું $5$: સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરતા, તે $p \land \sim q$ ને સમકક્ષ છે.

(A) આપેલ પરિપથ સમાંતર ક્રમમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ધરાવે છે. ધારો કે $p$ એ વિધાન છે કે સ્વિચ $S_1$ બંધ છે અને $q$ એ વિધાન છે કે સ્વિચ $S_2$ બંધ છે.
સ્વિચ સમાંતરમાં હોવાથી, પરિપથ માટેનું તાર્કિક પદ $(p \lor q)$ છે.
આપણે વિકલ્પોમાંથી સમાન પદ શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો વિકલ્પોને સરળ બનાવીએ:
$(A)$ $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \lor q) \land \sim q] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)] \to \sim p \equiv [(\sim p \land \sim q) \lor F] \to \sim p \equiv (\sim p \land \sim q) \to \sim p \equiv \sim(\sim p \land \sim q) \lor \sim p \equiv (p \lor q) \lor \sim p \equiv (p \lor \sim p) \lor q \equiv T \lor q \equiv T$.
$(B)$ $(p \to q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \lor q) \land (p \land \sim q) \equiv (\sim p \land p \land \sim q) \lor (q \land p \land \sim q) \equiv (F \land \sim q) \lor (p \land F) \equiv F \lor F \equiv F$.
$(C)$ $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p) \land \sim q \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$.
$(D)$ પદમાં $r$ નો સમાવેશ થાય છે, જે પરિપથમાં નથી.
નોંધ: પ્રશ્ન માટે આપેલી આકૃતિ સમાંતરમાં બે સ્વિચ દર્શાવે છે, જે $(p \lor q)$ ને અનુરૂપ છે. જો પ્રશ્નનો અર્થ એવો હોય કે જે ચોક્કસ તાર્કિક સ્વરૂપમાં સરળ બને તેવો પરિપથ શોધવો, તો આપેલા વિકલ્પો સીધા $(p \lor q)$ સાથે મેળ ખાતા નથી.

(C) પગલું $1$: $\sim p \to q$ અસત્ય છે તેનું વિશ્લેષણ કરો. એક શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય. તેથી, $\sim p = T$ (જેનો અર્થ છે $p = F$) અને $q = F$ છે.
પગલું $2$: $q \leftrightarrow r$ અસત્ય છે તેનું વિશ્લેષણ કરો. એક દ્વિ-શરતી વિધાન $A \leftrightarrow B$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ અને $B$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય. કારણ કે $q = F$ છે, તેથી $r$ નું $T$ હોવું જરૂરી છે.
પગલું $3$: આને જોડતા, આપણને $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ મળે છે. સત્યતા મૂલ્ય $(F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$ છે.
$(A)$ $[q \land (p \to q)] \to p = [F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
$(B)$ $(p \land q) \to (q \lor \sim p) = (T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
$(C)$ $[(\sim p \lor q) \land \sim r] \leftrightarrow p = [(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
$(D)$ $(p \land q) \lor (\sim q \lor r) = (T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
$1$. ધારો કે $A = (p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)$ સત્ય છે અને $B = (p \land q)$ અસત્ય છે.
$2$. $A$ સત્ય હોવા માટે, $(p \lor q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ ત્રણેય સત્ય હોવા જોઈએ.
$3$. કારણ કે $(\sim r)$ સત્ય છે, $r$ અસત્ય છે.
$4$. કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ.
$5$. કારણ કે $(p \lor q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
$6$. $B = (p \land q) = (T \land F) = False$ ચકાસો. આ આપણી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
$7$. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(a)$ $p \to q = T \to F = False$ (સત્ય વિધાન)
$(b)$ $p \to r = T \to F = False$ (સત્ય વિધાન)
$(c)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = True$ (આ સત્ય નથી કારણ કે તે સત્ય છે)
$(d)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = False$ (સત્ય વિધાન)
તેથી, વિકલ્પ $(c)$ સાચો જવાબ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor \sim q$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $A \lor B$ નો પ્રતિલોમ $\sim A \lor \sim B$ થાય છે. તેથી $\sim p \lor \sim q$ નો પ્રતિલોમ $\sim(\sim p) \lor \sim(\sim q)$ થશે, જે સાદું રૂપ આપતા $p \lor q$ મળે છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમ $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ (De Morgan's Law) મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$ થાય છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય)'. શરતી વિધાન $P \implies Q$ અસત્ય હોય છે જો $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$14$ વિભાજ્ય સંખ્યા છે (સત્ય) અને $3$ બેકી સંખ્યા છે (અસત્ય)'. સંયોજન 'સત્ય અને અસત્ય' અસત્ય છે. વિધાન કહે છે 'તે સત્ય નથી કે (અસત્ય)', જે આખા વિધાનને સત્ય બનાવે છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે (સત્ય), પરંતુ $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$. વિધાન $p$ નું વિશ્લેષણ: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. કારણ કે $81 > 64$, પૂર્વવર્તી સત્ય છે. $3^3 = 27$ અને $4^4 = 256$ છે. કારણ કે $27 > 256$ અસત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies F$ અસત્ય છે. આમ, $p$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$2$. વિધાન $q$ નું વિશ્લેષણ: સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. કારણ કે $D < 0$, બીજ વાસ્તવિક નથી. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' વિધાન સત્ય છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
$3$. વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ: $r$ એ $p \lor \neg q$ છે. કારણ કે $p$ અસત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તેથી $\neg q$ સત્ય છે. આમ, $r = F \lor T = T$ છે.
$4$. વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન:
$(A)$ $(F \lor F) \land T = F \land T = F$
$(B)$ $F \lor (F \land T) = F \lor F = F$
$(C)$ $F \land (F \lor T) = F \land T = F$
$(D)$ $(F \land F) \lor T = F \lor T = T$
તેથી, વિકલ્પ $(D)$ સત્ય છે.

(D) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે, જ્યાં $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
તેનું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim q) = q$ થાય છે, તેથી પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $\sim p \to q$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(C) તાર્કિક વિધાન $\sim p \lor q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
કારણ કે $\sim p$ અસત્ય છે, તેથી $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $q$ અસત્ય છે, તેથી આપણી પાસે $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q$ એ $T \leftrightarrow F$ છે, જે $F$ છે.
$(B)$ $p \to q$ એ $T \to F$ છે, જે $F$ છે.
$(C)$ $q \to p$ એ $F \to T$ છે, જે $T$ છે.
$(D)$ $q \to p$ એ $F \to T$ છે, જે $T$ છે ($F$ નથી).
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.