Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $V$ એ 'વોલ્ટેજ વધે છે' વિધાન છે અને $C$ એ 'પ્રવાહ ઘટે છે' વિધાન છે.
તો $p: V \implies C$ છે.
$p$ નું પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે: 'જો પ્રવાહ ઘટતો નથી, તો વોલ્ટેજ વધતો નથી'. તેથી, $p \equiv s$ છે.
$p$ નું વ્યસ્ત (converse) $C \implies V$ છે, જે $r$ છે: 'જો પ્રવાહ ઘટે, તો વોલ્ટેજ વધે છે'. તેથી, $r$ અને $q$ એકબીજાના પ્રતિધનાત્મક છે, તેથી $r \equiv q$ છે.
જોડીઓની સરખામણી કરતા: $p$ અને $s$ સમાન છે, અને $q$ અને $r$ સમાન છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
તાર્કિક સમતુલ્યતા $(X \to Y) \equiv (\sim X \lor Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$
$(B \to A) \equiv (\sim B \lor A)$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$
ક્રમનો નિયમ અને જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તેને નીચે મુજબ ગોઠવી શકાય:
$(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$
કારણ કે $(X \lor \sim X)$ હંમેશા સત્ય $(T)$ હોય છે:
$T \lor T = T$
તેથી, આ વિધાન ભાત એક નિત્યસત્ય છે.

(A) ધારો કે $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થનો નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ વાપરતા:
$S \equiv \sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$ મળે છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim S \equiv \sim [\sim (p \land q) \lor (\sim (p \lor r) \lor \sim q)]$ છે.
ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim (\sim (p \lor r) \lor \sim q)$.
ફરીથી ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$.
કારણ કે $(p \land q) \land q \equiv p \land q$ થાય છે, તેથી $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$ મળે છે.
કારણ કે $(p \land q) \implies (p \lor r)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) છે, તેથી $(p \land q) \land (p \lor r) \equiv p \land q$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$ છે. કારણ કે ઓછામાં ઓછો એક $x \in N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે આનું પાલન કરે છે, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. આ વિધાન દાવો કરે છે કે તમામ $n \in N$ માટે, $x^2+3x-10=0$ છે. આ અસત્ય છે કારણ કે સમીકરણ $x$ પર આધાર રાખે છે અને તે તમામ $x$ માટે સત્ય નથી, તેમજ તેનો $n$ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ માટે, $n \ge 1$, તેથી $n^2 \ge 1^2 = 1$ છે. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન $p \lor q$ છે. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિપ $q \implies p$ થાય છે. જોકે, તાર્કિક વિયોજન $p \lor q$ માટે, પ્રતિપ ઘટકોની અદલાબદલી કરવાથી મળે છે, જે $q \lor p$ જ રહે છે.
પગલું $2$: કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે, તેથી $p \lor q$ નું પ્રતિપ $p \lor q$ જ છે.
પગલું $3$: વિધાન $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ થાય.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

(D) શરતી વિધાન $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પ્રથમ, $\sim B$ શોધો: $\sim(p \land \sim q) \equiv \sim p \lor \sim(\sim q) \equiv \sim p \lor q$.
ત્યારબાદ, $\sim A$ શોધો: $\sim[p \lor (p \to q)] \equiv \sim p \land \sim(p \to q)$.
કારણ કે $(p \to q) \equiv (\sim p \lor q)$, તેથી $\sim(p \to q) \equiv \sim(\sim p \lor q) \equiv (p \land \sim q)$.
આમ, $\sim A \equiv \sim p \land (p \land \sim q)$.
તેથી, પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ એ $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા. આમ, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. આમ, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। આમ, $(III)$ સાચું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। આમ, $(IV)$ સાચું છે.
પગલું $5$: વિશ્લેષણના આધારે $(I)$, $(III)$, અને $(IV)$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પોમાં $(I)$ અને $(IV)$ સાચા હોવાથી, વિકલ્પ $(D)$ સૌથી યોગ્ય છે.

(C) આ સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે. સર્કિટ માટેનું તાર્કિક સમીકરણ છે:
$S = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ((S_1 \lor S_1') \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
કારણ કે $S_1 \lor S_1' = 1$ (સ્વતઃ સત્ય):
$S = (1 \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$
$S = S_2 \lor (S_3 \land S_2')$
વિભાજનના નિયમ $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$
કારણ કે $S_2 \lor S_2' = 1$:
$S = S_2 \lor S_3$
આ સરળ સર્કિટમાં માત્ર બે સ્વિચ, $S_2$ અને $S_3$, સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવી જરૂરી છે.

(C) પગલું $1$: આપેલી વિધાન પેટર્ન $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદ $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ લાગુ કરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ છે કે $\sim p \equiv F$ (એટલે કે $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (એટલે કે $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor F) \equiv T$ અને $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.

(C) ધારો કે $1$ એ ચાલુ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ બંધ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
સ્વિચ $S$ માટે, $S'$ એ પૂરક ($NOT$ ગેટ) દર્શાવે છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
આ $XNOR$ ગેટનો તર્ક છે.
આઉટપુટ $L$ નું મૂલ્ય $1$ (પ્રકાશિત) થાય છે જો બંને ઇનપુટ $S_1$ અને $S_2$ સમાન હોય.
તેથી, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંને ચાલુ $(1, 1)$ હોય અથવા બંને બંધ $(0, 0)$ હોય.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
પગલું $1$: મધ્ય કૌંસને સરળ બનાવો. પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને પદાવલિમાં મૂકતા: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$ મળે.
પગલું $3$: જો $\sim q$ સત્ય હોય, તો $q$ અસત્ય છે. $q = F$ મૂકતા:
$S = (p \lor F) \land (p \oplus F) \land T$
$S = p \land p \land T = p$ મળે.
સત્યતા કોષ્ટક (truth table) દ્વારા ચકાસતા:
જો $p=T, q=F$ હોય, તો $S = T$ મળે છે.
જો $p=F, q=F$ હોય, તો $S = F$ મળે છે.
આમ, $S \equiv p \land \sim q$ થાય.

(A) પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $A$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
પગલું $2$: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$ માટે સત્યતા કોષ્ટક બનાવો.
- જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
- જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
- જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી, તે એક પુનરુક્તિ છે.

(C) $1$. શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
$2$. આપેલ છે કે $\sim p \to q$ અસત્ય છે, તેથી $\sim p = T$ અને $q = F$ હોવું જોઈએ.
$3$. કારણ કે $\sim p = T$, તેથી $p = F$ થશે.
$4$. દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
$5$. કારણ કે $q = F$ અને $q \leftrightarrow r$ અસત્ય છે, તેથી $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$6$. આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(p, q, r) = (F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$.
પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું મૂલ્યાંકન: $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(B)$ નું મૂલ્યાંકન: $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(C)$ નું મૂલ્યાંકન: $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
પગલું $4$: વિકલ્પ $(D)$ નું મૂલ્યાંકન: $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
પગલું $1$: $[(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ ને સત્ય અને $(p \land q)$ ને અસત્ય લો.
પગલું $2$: સંયોજન સત્ય હોવા માટે, દરેક ભાગ સત્ય હોવો જોઈએ: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$.
પગલું $3$: $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે. કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
પગલું $5$: $(p \land q) = (T \land F) = F$ તપાસો, જે સુસંગત છે.
પગલું $6$: $p=T, q=F, r=F$ સાથે વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન)
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન)
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (આ સત્ય નથી, કારણ કે તે સત્ય છે)
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન)
આમ, વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) પગલું $1$: ધારો કે આપેલ વિધાન $S = \sim p \lor q$ છે. શરતી વિધાન $p \to q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે. વિધાન $\sim p \lor q$ એ $p \to q$ ને સમતુલ્ય છે.
પગલું $2$: $p \to q$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim q$ છે, જે $\sim(\sim p) \lor \sim q = p \lor \sim q$ ને સમતુલ્ય છે.
પગલું $3$: પ્રતિલોમનું નિષેધ $\sim(p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor \sim q) = \sim p \land \sim(\sim q) = \sim p \land q$ થાય છે.

(B) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. 'જો $1$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (સત્ય), તો $2$ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (અસત્ય)'. એક શરતી વિધાન $P \implies Q$ અસત્ય હોય છે જો $P$ સત્ય હોય અને $Q$ અસત્ય હોય. તેથી, $I$ અસત્ય છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$e$ એક સ્વર છે (સત્ય) અને $12 \times 3 = 36$ (સત્ય)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, સંયોજન સત્ય છે.
પગલું $3$: વિધાન $III$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$14$ એક વિભાજ્ય સંખ્યા છે (સત્ય) અને $3$ એક બેકી સંખ્યા છે (અસત્ય)'. સંયોજન '$14$ વિભાજ્ય છે અને $3$ બેકી છે' અસત્ય છે. તેથી, 'તે સત્ય નથી કે...' વિધાનને સત્ય બનાવે છે.
પગલું $4$: વિધાન $IV$ નું વિશ્લેષણ કરો. '$\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે (સત્ય), પરંતુ $3 + \sqrt{5}$ એક સંકર સંખ્યા છે (સત્ય, કારણ કે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સંકર સંખ્યાઓ છે)'. બંને ભાગ સત્ય હોવાથી, વિધાન સત્ય છે.
પગલું $5$: નિષ્કર્ષ. માત્ર વિધાન $I$ અસત્ય છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $1$. $p$ નું મૂલ્યાંકન: $3^4 = 81$ અને $4^3 = 64$ છે. $81 > 64$ સત્ય છે, અને $3^3 = 27 > 4^1 = 4$ પણ સત્ય છે, તેથી ગર્ભિતાર્થ $T \implies T$ એ $T$ છે. આમ, $p$ સત્ય છે.
$2$. $q$ નું મૂલ્યાંકન: $x^2 - 2x + 2 = 0$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$ છે. $D < 0$ હોવાથી, બીજ વાસ્તવિક નથી. 'મુંબઈ મહારાષ્ટ્રમાં છે' વિધાન સત્ય છે. દ્વિ-શરતી વિધાન $F \iff T$ અસત્ય છે. આમ, $q$ અસત્ય છે.
$3$. $r$ નું મૂલ્યાંકન: $r$ એ $p \vee \neg q$ છે. $p$ સત્ય છે અને $\neg q$ સત્ય છે, તેથી $T \vee T$ સત્ય છે. આમ, $r$ સત્ય છે.
$4$. વિકલ્પોની ચકાસણી:
$(A)$ $(T \vee F) \wedge T = T \wedge T = T$
$(B)$ $T \vee (F \wedge T) = T \vee F = T$
$(C)$ $T \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$
$(D)$ $(T \wedge F) \vee T = F \vee T = T$
નોંધ: બધા વિકલ્પો $T$ પરિણામ આપે છે.

(A) શરતી વિધાન $P \to Q$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ વિધાન $\sim q \to p$ છે.
અહીં, $P = \sim q$ અને $Q = p$ છે.
પ્રતિધનાત્મક $\sim Q \to \sim P$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $\sim p \to \sim(\sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $\sim(\sim q) = q$ થાય છે, તેથી પ્રતિધનાત્મક $\sim p \to q$ છે.

(C) તાર્કિક પદાવલિ $\sim p \vee q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ અને $q$ બંને અસત્ય હોય.
જો $\sim p$ અસત્ય હોય, તો $p$ સત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $q$ અસત્ય છે, આપણી પાસે $p = T$ અને $q = F$ છે.
હવે, વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$(A)$ $p \leftrightarrow q \equiv T \leftrightarrow F \equiv F$.
$(B)$ $p \to q \equiv T \to F \equiv F$.
$(C)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$.
$(D)$ $q \to p \equiv F \to T \equiv T$ (જે $F$ નથી).
આમ, $q \to p$ સત્ય છે.

(C) પગલું $1$: તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: આને આપેલ પદાવલિ પર લાગુ કરો: $(p \vee q) \to \sim r \equiv \sim (p \vee q) \vee \sim r$.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરો, જે જણાવે છે કે $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.
પગલું $4$: આને પદાવલિમાં મૂકતા આપણને $(\sim p \wedge \sim q) \vee \sim r$ મળે છે.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$, $False$ ત્યારે જ હોય જ્યારે $A$, $True$ હોય અને $B$, $False$ હોય.
અહીં, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$ છે.
$B$, $False$ હોવાથી, $(p \wedge q)$ એ $False$ છે.
$A$, $True$ હોવાથી, તમામ ઘટકો $(p \vee q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ એ $True$ હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = True$ પરથી, આપણને $r = False$ મળે છે.
$r = False$ ને $(q \to r) = True$ માં મૂકતા, તે $(q \to False) = True$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે $q = False$ છે.
$q = False$ ને $(p \vee q) = True$ માં મૂકતા, તે $(p \vee False) = True$ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે $p = True$ છે.
હવે, જરૂરી સત્યતા મૂલ્યોનું મૂલ્યાંકન કરો:
$p \to q$ એ $True \to False$ બને છે, જે $False$ છે.
$q \to p$ એ $False \to True$ બને છે, જે $True$ છે.
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) $1$. $r$ માટે: $p \to q$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $p=T$ અને $q=F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \vee q = T \vee F = T$ થાય છે. વિધાન કહે છે કે $p \vee q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
$2$. $s$ માટે: $p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય ($T, F$ અથવા $F, T$)।
- જો $p=T, q=F$, તો $p \vee q = T$ થાય. વિધાન $s$ દાવો કરે છે કે તે અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
- જો $p=F, q=T$, તો $p \vee q = T$ થાય. વિધાન $s$ દાવો કરે છે કે તે અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
જેથી $s$ તમામ કિસ્સાઓમાં અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
$3$. હવે, $r=F$ અને $s=F$ છે. $r \to s$ નું સત્ય મૂલ્ય $F \to F = T$ છે. $s \to r$ નું સત્ય મૂલ્ય $F \to F = T$ છે.

(B) $1$. એક ગર્ભિત વિધાન (implication) $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
$2$. અહીં, $A = (p \wedge q)$ અને $B = (r \vee \sim s)$ છે.
$3$. $(p \wedge q)$ સત્ય હોવા માટે, $p$ અને $q$ બંને સત્ય $(T)$ હોવા જોઈએ.
$4$. $(r \vee \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને અસત્ય $(F)$ હોવા જોઈએ.
$5$. જો $r$ અસત્ય $(F)$ હોય અને $\sim s$ અસત્ય $(F)$ હોય, તો $s$ સત્ય $(T)$ હોવું જોઈએ.
$6$. આમ, સત્ય મૂલ્યો $p=T, q=T, r=F, s=T$ છે.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \vee (p \to q) \equiv (\sim q \vee p) \vee (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \vee q) \vee (\sim p \vee p) \equiv T \vee T \equiv T$। તેથી, $A$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$। તેથી, $(\sim p \vee \sim q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી, $B$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \vee q) \wedge \sim p] \wedge \sim q \equiv [(p \wedge \sim p) \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv [F \vee (q \wedge \sim p)] \wedge \sim q \equiv (q \wedge \sim p \wedge \sim q) \equiv (q \wedge \sim q) \wedge \sim p \equiv F \wedge \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ એ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \wedge q \wedge \sim p) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p \wedge q) \vee (p \wedge q \wedge \sim q) \equiv (F \wedge q) \vee (p \wedge F) \equiv F \vee F \equiv F$। તેથી, $D$ એ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન $p \leftrightarrow q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોય.
તેથી, $\sim (p \leftrightarrow q)$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$: $p \leftrightarrow \sim q$ ત્યારે સત્ય હોય છે જ્યારે $p$ અને $\sim q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોય, જેનો અર્થ છે કે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોવા જોઈએ.
આમ, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$.

(A) શરતી વિધાન $A \to B$ માત્ર ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \vee q) \wedge (q \to r) \wedge (\sim r)]$ અને $B = (p \wedge q)$ છે.
કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \wedge q) = F$ છે.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \vee q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$ છે.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \to r) = T$ માં મૂકતા, $(q \to F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $q = F$ છે.
$q = F$ ને $(p \vee q) = T$ માં મૂકતા, $(p \vee F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $p = T$ છે.
હવે, $p \to q$ અને $q \to p$ ના સત્યતા મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$p \to q = T \to F = F$ છે.
$q \to p = F \to T = T$ છે.
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = F$.
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = \sim F = T$.
$(p \wedge \sim q) = (T \wedge T) = T$.
$\sim (p \wedge \sim q) = \sim T = F$.
$(q \vee \sim r) = (F \vee \sim F) = (F \vee T) = T$.
$S = (F \vee T) = T$.
પગલું $2$: દ્વૈત વિધાન $S^*$ શોધો. દ્વૈત માટે, $\wedge$ ને $\vee$ સાથે, $\vee$ ને $\wedge$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે, અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો.
$S^* = [\sim (p \vee \sim q) \wedge (q \wedge \sim r)]$.
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \vee \sim q) = (T \vee T) = T$.
$\sim (p \vee \sim q) = \sim T = F$.
$(q \wedge \sim r) = (F \wedge T) = F$.
$S^* = (F \wedge F) = F$.
આમ, સત્ય મૂલ્યો $T$ અને $F$ છે.

(B) ધારો કે વિધાન $S: p \to (q \to r)$ છે.
$1$. $S$ નો પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim (q \to r)$ છે.
$2$. પ્રતિલોમનો પ્રતીપ $\sim (q \to r) \to \sim p$ છે.
$3$. કારણ કે $\sim (q \to r) \equiv q \wedge \sim r$, વિધાન $(q \wedge \sim r) \to \sim p$ બને છે.
$4$. $A \to B \equiv \sim A \vee B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim (q \wedge \sim r) \vee \sim p \equiv (\sim q \vee r) \vee \sim p$ મળે છે.
$5$. વિધાનનું દ્વૈત $\vee$ ને $\wedge$ વડે, $\wedge$ ને $\vee$ વડે, $T$ ને $F$ વડે અને $F$ ને $T$ વડે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. $(\sim q \vee r) \vee \sim p$ નું દ્વૈત $(\sim q \wedge r) \wedge \sim p$ છે.
$6$. વિકલ્પો તપાસતા, સાચો જવાબ $p \vee (r \to q)$ છે.

(C) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ છે.
અહીં, $p$ એ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $\sim q$ એ "તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
તેથી, નિષેધ "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે પરંતુ તે $3$ નો ગુણક નથી" છે.
આ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) પગલું $1$: વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\wedge$ ને $\vee$ સાથે, $\vee$ ને $\wedge$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલો. નોંધો કે ગર્ભિત ઓપરેટર $\to$ બદલાતું નથી.
પગલું $2$: આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \to (q \wedge \sim p)$ છે.
પગલું $3$: $\wedge$ ને $\vee$ સાથે બદલતા, દ્વૈત $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p)$ મળે છે.
પગલું $4$: તાર્કિક સમકક્ષતા $a \to b \equiv \sim a \vee b$ નો ઉપયોગ કરો. તેથી, $(p \vee \sim q) \to (q \vee \sim p) \equiv \sim (p \vee \sim q) \vee (q \vee \sim p)$.
પગલું $5$: ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge q$. તેથી પદાવલિ $(\sim p \wedge q) \vee (q \vee \sim p)$ બને છે.

(C) ધારો કે $S_1$ અને $S_2$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે. સાંકેતિક નિરૂપણ નીચે મુજબ છે:
$L = (S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_2') \lor (S_1' \land S_2)$
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા:
$L = (S_1 \land (S_2 \lor S_2')) \lor (S_1' \land S_2)$
કારણ કે $(S_2 \lor S_2') = 1$ (પુનરુક્તિ):
$L = (S_1 \land 1) \lor (S_1' \land S_2)$
$L = S_1 \lor (S_1' \land S_2)$
વિભાજનનો નિયમ $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$ વાપરતા:
$L = (S_1 \lor S_1') \land (S_1 \lor S_2)$
કારણ કે $(S_1 \lor S_1') = 1$:
$L = 1 \land (S_1 \lor S_2) = S_1 \lor S_2$
આ સમાંતરમાં બે સ્વિચ $S_1$ અને $S_2$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે વિધાન $S: A \to B$ છે, જ્યાં $A = (p \vee \sim q)$ અને $B = (p \wedge \sim q)$ છે.
$S$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે.
પ્રતિધનાત્મકનું નિષેધ $\sim (\sim B \to \sim A)$ છે.
નિત્યસમ $\sim (X \to Y) \equiv X \wedge \sim Y$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim B \wedge \sim (\sim A) \equiv \sim B \wedge A$ મળે છે.
$A$ અને $B$ ની કિંમત મૂકતા: $(p \vee \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q)$.
ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરતા, $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$.
તેથી, પદાવલિ $(p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ છે.

(B) પગલું $1$: આપેલ ગર્ભિત વિધાન $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] \to (p \land \sim q) = F$ નું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિત વિધાન ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વવર્તી $T$ હોય અને પરિણામી $F$ હોય.
પગલું $2$: પરિણામી $(p \land \sim q) = F$. પૂર્વવર્તી $[(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r] = T$. આનો અર્થ છે $(p \leftrightarrow q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $\sim r = T$.
પગલું $3$: $\sim r = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે. કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ. કારણ કે $(p \leftrightarrow q) = T$ અને $q = F$, તેથી $p$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
પગલું $4$: પ્રથમ સ્વરૂપ $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $p=F, q=F, r=F$ મૂકતા: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) \equiv T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $5$: બીજા સ્વરૂપ $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ નું મૂલ્યાંકન કરો. $p=F, q=F, r=F$ મૂકતા: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) \equiv \sim F \to F \equiv T \to F = F$.
પગલું $6$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(C) $1$. પ્રત્યય $p \to (q \lor \sim r)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p$ એ $T$ હોય અને $(q \lor \sim r)$ એ $F$ હોય.
$2$. $(q \lor \sim r)$ ને $F$ થવા માટે, $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ અને $\sim r$ એ $F$ હોવું જોઈએ. તેથી, $q = F$ અને $r = T$ છે.
$3$. હવે, $(p \leftrightarrow q) \land r$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T, q = F, r = T$ છે, આપણને $(T \leftrightarrow F) \land T = F \land T = F$ મળે છે.
$4$. $\sim p \to \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો: કારણ કે $p = T, q = F$ છે, આપણને $\sim T \to \sim F = F \to T = T$ મળે છે.
$5$. તેથી, સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ 'વોલ્ટેજ વધે છે' વિધાન છે અને $C$ એ 'પ્રવાહ ઘટે છે' વિધાન છે.
$p: V \implies \neg C$
$q: \neg V \implies C$
$r: \neg C \implies V$
$s: C \implies \neg V$
યાદ રાખો કે શરતી વિધાન $A \implies B$ એ તેના પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$p: V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p \equiv s$ છે.
$q: \neg V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies V$ છે, જે $r$ છે. તેથી, $q \equiv r$ છે.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \to B) \equiv (\sim A \lor B)$ થાય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
જૂથના અને ક્રમના નિયમો દ્વારા, આ $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
કારણ કે $(\sim A \lor A)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે અને $(\sim B \lor B)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે, તેથી પદાવલિ $T \lor T$ બને છે, જે $T$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થ (implication) ના નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$S \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor ((\sim p \land \sim r) \lor \sim q)$.
જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ દ્વારા, $S \equiv \sim p \lor \sim q \lor (\sim p \land \sim r)$.
કારણ કે $(\sim p \land \sim r) \implies \sim p$, તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $S \equiv \sim p \lor \sim q$ થાય છે.
$S$ નું નિષેધ $\sim(\sim p \lor \sim q)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા, $\sim(\sim p \lor \sim q) \equiv p \land q$.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $n^2+n+2 = 1+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $n^2+3n-10 = 0$ ના અવયવો $(n+5)(n-2) = 0$ છે, જે $n=2$ અથવા $n=-5$ આપે છે. કારણ કે $n \in N$, તે માત્ર $n=2$ માટે સત્ય છે, બધા $n \in N$ માટે નહીં. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. બધા $n \in N$ $(n \ge 1)$ માટે, $n^2 \ge 1$ હંમેશા સત્ય છે. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
નિષ્કર્ષ: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે.

(A) $1$. આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે.
$2$. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિવિધાન $q \implies p$ થાય છે. એક સાદા વિયોજન (disjunction) $p \lor q$ માટે, પ્રતિવિધાન ઘટકોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે: $q \lor p$।
$3$. કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે, તેથી પ્રતિવિધાન $q \lor p$ છે.
$4$. પ્રતિવિધાનનું નિષેધ $\sim(q \lor p)$ છે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(q \lor p) \equiv \sim q \land \sim p$, જે $\sim p \land \sim q$ ને સમાન છે.

(D) શરતી વિધાન $A \to B$ નો પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ વિધાન: $[p \lor (p \to q)] \to (p \land \sim q)$.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = \sim p \lor \sim (\sim q) = \sim p \lor q$ શોધો.
પગલું $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ શોધો.
કારણ કે $\sim (p \to q) = p \land \sim q$ છે, તેથી $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ થશે.
પગલું $3$: $\sim B \to \sim A$ બનાવવા માટે સંયોજિત કરો, જે $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ છે.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। આ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (p \to q) \lor r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. આ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \to r) \land (q \to r)$। આ $(p \to r) \land (\sim q \to r)$ ને સમાન નથી. આ ખોટું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। આ સાચું છે.
નિષ્કર્ષ: $(I)$ અને $(IV)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ સ્વિચ છે. સર્કિટ ત્રણ સમાંતર શાખાઓની બનેલી છે.
શાખા $1$: $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_1 \land S_2)$
શાખા $2$: $S_1'$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_1' \land S_2)$
શાખા $3$: $S_3$ અને $S_2'$ શ્રેણીમાં $\rightarrow (S_3 \land S_2')$
કુલ સર્કિટનું પદ $C = (S_1 \land S_2) \lor (S_1' \land S_2) \lor (S_3 \land S_2')$ છે.
પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(S_1 \lor S_1') \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$.
કારણ કે $(S_1 \lor S_1') = T$ (એક નિત્યસત્ય), પદ $T \land S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ બને છે.
આ $S_2 \lor (S_3 \land S_2')$ માં સરળ થાય છે.
ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરતા: $(S_2 \lor S_3) \land (S_2 \lor S_2')$.
કારણ કે $(S_2 \lor S_2') = T$, પદ $(S_2 \lor S_3)$ માં સરળ થાય છે.
આ સમાંતરમાં બે સ્વિચ $S_2$ અને $S_3$ દર્શાવે છે. સ્વિચની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ વિધાન પેટર્ન $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q) = F$ છે.
કારણ કે વિયોજન (disjunction) $F$ છે, તેથી બધા ઘટકો $F$ હોવા જોઈએ: $(\sim p \land q) = F$, $(\sim p \land \sim q) = F$, અને $(p \land \sim q) = F$।
$(\sim p \land q) = F$ અને $(\sim p \land \sim q) = F$ પરથી, આપણે $\sim p$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ: $\sim p \land (q \lor \sim q) = F$। કારણ કે $(q \lor \sim q)$ એ નિત્યસત્ય (tautology) $T$ છે, આપણી પાસે $\sim p \land T = F$ છે, જેનો અર્થ છે $\sim p = F$, તેથી $p = T$।
હવે $p = T$ ને $(p \land \sim q) = F$ માં મૂકતા: $T \land \sim q = F$, જેનો અર્થ છે $\sim q = F$, તેથી $q = T$।
હવે $(p \lor \sim q) = (T \lor \sim T) = (T \lor F) = T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
હવે $(p \to q) = (T \to T) = T$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
આમ, સત્ય મૂલ્યો $T, T$ છે.

(C) ધારો કે $1$ એ $ON$ સ્થિતિ દર્શાવે છે અને $0$ એ $OFF$ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
સર્કિટને બુલિયન અભિવ્યક્તિ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $L = (S_1 \land S_2) \lor (S'_1 \land S'_2)$।
અહીં, $S'_1$ એ $S_1$ નું નિષેધ છે (એટલે કે $S'_1 = \neg S_1$) અને $S'_2$ એ $S_2$ નું નિષેધ છે (એટલે કે $S'_2 = \neg S_2$)।
સર્કિટ પ્રકાશિત $(L=1)$ થાય છે જો $(S_1 \land S_2) = 1$ અથવા $(S'_1 \land S'_2) = 1$ હોય.
$(S_1 \land S_2) = 1$ નો અર્થ છે $S_1 = 1$ અને $S_2 = 1$.
$(S'_1 \land S'_2) = 1$ નો અર્થ છે $S'_1 = 1$ અને $S'_2 = 1$, જેનો અર્થ છે $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$.
આમ, રૂમ ત્યારે પ્રકાશિત થાય છે જ્યારે $S_1$ અને $S_2$ બંને $ON$ હોય અથવા બંને $OFF$ હોય.

(A) નિત્યસત્ય (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $(A)$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
જો $p=T, q=T$, તો $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=T, q=F$, તો $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=F, q=T$, તો $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
જો $p=F, q=F$, તો $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
આમ, આ વિધાન તમામ કિસ્સાઓમાં સાચું હોવાથી તે એક નિત્યસત્ય છે.

(A) $1$. ધારો કે સ્વિચને $S_1, S_2, S_3$ ચલ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$2$. વર્ણવેલ સર્કિટ $(S_1 \lor S_2) \land S_3$ છે.
$3$. સ્વિચિંગ સર્કિટ તર્કમાં, '$OR$' પ્રક્રિયા સમાંતર જોડાણને અનુરૂપ છે અને '$AND$' પ્રક્રિયા શ્રેણી જોડાણને અનુરૂપ છે.
$4$. તેથી, $(S_1 \lor S_2)$ નો અર્થ છે $S_1$ અને $S_2$ સમાંતરમાં છે.
$5$. $\land S_3$ પદ સૂચવે છે કે આ સમાંતર બ્લોક $S_3$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$6$. આ વર્ણન સાથે મેળ ખાય છે: $S_3$ અને $S_1$ તથા $S_2$ ના સમાંતર જોડાણનું શ્રેણી જોડાણ.

(C) $1$. શરતી વિધાન $\sim p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $\sim p$ એ $T$ હોય અને $q$ એ $F$ હોય.
$2$. કારણ કે $\sim p = T$, તેથી $p = F$ મળે.
$3$. આપેલ છે કે $q = F$, દ્વિ-શરતી વિધાન $q \leftrightarrow r$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $q$ અને $r$ ના સત્યતા મૂલ્યો અલગ હોય.
$4$. કારણ કે $q = F$, તેથી $q \leftrightarrow r$ ને અસત્ય થવા માટે $r$ નું મૂલ્ય $T$ હોવું જોઈએ.
$5$. તેથી, સત્યતા મૂલ્યો $p = F$, $q = F$, અને $r = T$ છે, જે $(F, F, T)$ છે.

(C) આપેલ સત્ય મૂલ્યો: $p = T, q = F, r = T$.
$(A)$ $[F \land (T \to F)] \to T = [F \land F] \to T = F \to T = T$.
$(B)$ $(T \land F) \to (F \lor \sim T) = F \to (F \lor F) = F \to F = T$.
$(C)$ $[(\sim T \lor F) \land \sim T] \leftrightarrow T = [(F \lor F) \land F] \leftrightarrow T = [F \land F] \leftrightarrow T = F \leftrightarrow T = F$.
$(D)$ $(T \land F) \lor (\sim F \lor T) = F \lor (T \lor T) = F \lor T = T$.
વિકલ્પ $(C)$ નું પરિણામ $F$ હોવાથી, તે સત્ય વિધાન નથી.

(C) ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land q) = F$ છે.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$ છે.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
કારણ કે $(q \to r) = T$ અને $r = F$ છે, તેથી $q$ એ $F$ હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ એ $F$ છે).
કારણ કે $(p \lor q) = T$ અને $q = F$ છે, તેથી $p$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
આમ, $p = T, q = F, r = F$ છે.
હવે વિકલ્પો તપાસો:
$(A)$ $p \to q = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(B)$ $p \to r = T \to F = F$ (સત્ય વિધાન).
$(C)$ $(\sim q) \to p = (\sim F) \to T = T \to T = T$ (આ સત્ય નથી કારણ કે તે સત્ય છે).
$(D)$ $(\sim p) \land r = (\sim T) \land F = F \land F = F$ (સત્ય વિધાન).
તેથી, વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.