Mathematical logic Questions in Gujarati

(C) પગલું $1$: તાર્કિક સમકક્ષતા $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરો.
પગલું $2$: આને આપેલ પદાવલિ $(p \lor q) \to \sim r$ પર લાગુ કરો, જ્યાં $A = (p \lor q)$ અને $B = \sim r$ છે.
પગલું $3$: પદાવલિ $\sim (p \lor q) \lor \sim r$ બને છે.
પગલું $4$: ડી મોર્ગનનો નિયમ, $\sim (p \lor q) \equiv (\sim p \land \sim q)$ લાગુ કરો.
પગલું $5$: આને પાછું મૂકતા, આપણને $(\sim p \land \sim q) \lor \sim r$ મળે છે.

(C) $1$. એક શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ $False$ હોય જ્યારે $A$ એ $True$ હોય અને $B$ એ $False$ હોય.
$2$. અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
$3$. કારણ કે $B = (p \land q)$ એ $False$ છે, તેથી $p \land q = F$ છે.
$4$. કારણ કે $A$ એ $True$ છે, તેથી બધા ઘટકો $True$ હોવા જોઈએ: $(p \lor q) = T$, $(q \to r) = T$, અને $(\sim r) = T$.
$5$. $(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$6$. $(q \to r) = T$ માં $r = F$ મૂકતા, આપણને $(q \to F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $q = F$.
$7$. $(p \lor q) = T$ માં $q = F$ મૂકતા, આપણને $(p \lor F) = T$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $p = T$.
$8$. હવે, $p \land q = T \land F = F$ તપાસો, જે આપણી શરત સાથે મેળ ખાય છે.
$9$. અંતે, $p \to q = T \to F = F$ અને $q \to p = F \to T = T$ છે.
$10$. આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(A) પગલું $1$: વિધાન $r$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \to q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $p=T$ અને $q=F$ હોય. આ કિસ્સામાં, $p \lor q = T \lor F = T$ થાય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $r$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $2$: વિધાન $s$ નું વિશ્લેષણ કરો.
$p \leftrightarrow q$ ત્યારે અસત્ય હોય જ્યારે $p$ અને $q$ ના સત્ય મૂલ્યો અલગ હોય (એટલે કે $(T, F)$ અથવા $(F, T)$).
જો $(p, q) = (T, F)$ હોય, તો $p \lor q = T$ થાય. જો $(p, q) = (F, T)$ હોય, તો $p \lor q = T$ થાય. બંને કિસ્સામાં, $p \lor q$ સત્ય છે. વિધાન દાવો કરે છે કે $p \lor q$ અસત્ય છે, તેથી $s$ અસત્ય $(F)$ છે.
પગલું $3$: $r \to s$ અને $s \to r$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$r = F$ અને $s = F$ હોવાથી, ગર્ભિતાર્થ $F \to F$ નું મૂલ્ય $T$ થાય છે.
આમ, $r \to s = T$ અને $s \to r = T$ છે.

(B) શરતી વિધાન $P \to Q$ ત્યારે જ અસત્ય હોય છે જ્યારે $P, T$ હોય અને $Q, F$ હોય.
અહીં, $P = (p \land q)$ અને $Q = (r \lor \sim s)$ છે.
$(p \land q) \to (r \lor \sim s)$ અસત્ય હોવા માટે, $(p \land q)$ એ $T$ હોવું જોઈએ અને $(r \lor \sim s)$ એ $F$ હોવું જોઈએ.
$(p \land q)$ એ $T$ હોવા માટે, $p$ અને $q$ બંને $T$ હોવા જોઈએ.
$(r \lor \sim s)$ એ $F$ હોવા માટે, $r$ અને $\sim s$ બંને $F$ હોવા જોઈએ.
જો $\sim s$ એ $F$ હોય, તો $s$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
આમ, $p = T, q = T, r = F, s = T$.

(B) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ: $(q \to p) \lor (p \to q) \equiv (\sim q \lor p) \lor (\sim p \lor q) \equiv (p \lor \sim p) \lor (q \lor \sim q) \equiv T \lor T \equiv T$। તેથી, $A$ એ નિત્યસત્ય છે.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ: $(\sim p \lor \sim q) \leftrightarrow \sim (p \land q)$। ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim (p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$। તેથી, $B$ એ $X \leftrightarrow X$ છે, જે નિત્યસત્ય છે.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ: $[(p \lor q) \land \sim p] \land \sim q \equiv [(p \land \sim p) \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv [F \lor (q \land \sim p)] \land \sim q \equiv (q \land \sim p \land \sim q) \equiv (q \land \sim q) \land \sim p \equiv F \land \sim p \equiv F$। તેથી, $C$ એ વિરોધાભાસ છે.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ: $(p \land q) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv (p \land q) \land \sim (p \land q) \equiv F$। તેથી, $D$ એ વિરોધાભાસ છે.
નિષ્કર્ષ: $A$ અને $B$ નિત્યસત્ય છે, $C$ અને $D$ વિરોધાભાસ છે.

(D) દ્વિ-શરતી વિધાન માટે તાર્કિક સમાનતા $(p \leftrightarrow q) \equiv (p \to q) \land (q \to p)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sim (p \leftrightarrow q)$ એ $p \leftrightarrow \sim q$ અથવા $\sim p \leftrightarrow q$ ને સમાન છે.
ચાલો $\sim (p \leftrightarrow q)$ માટે સત્યતા કોષ્ટક ચકાસીએ:
જો $p=T, q=T$, તો $\sim (T \leftrightarrow T) = \sim (T) = F$ થાય.
જો $p=T, q=F$, તો $\sim (T \leftrightarrow F) = \sim (F) = T$ થાય.
જો $p=F, q=T$, તો $\sim (F \leftrightarrow T) = \sim (F) = T$ થાય.
જો $p=F, q=F$, તો $\sim (F \leftrightarrow F) = \sim (T) = F$ થાય.
હવે વિકલ્પ $(D)$ ચકાસો: $p \leftrightarrow \sim q$.
જો $p=T, q=T$, તો $T \leftrightarrow F = F$ થાય.
જો $p=T, q=F$, તો $T \leftrightarrow T = T$ થાય.
જો $p=F, q=T$, તો $F \leftrightarrow F = T$ થાય.
જો $p=F, q=F$, તો $F \leftrightarrow T = F$ થાય.
સત્યતા મૂલ્યો સમાન હોવાથી, $\sim (p \leftrightarrow q) \equiv p \leftrightarrow \sim q$ થાય છે.

(A) શરતી વિધાન $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય હોય અને $B$ અસત્ય હોય.
અહીં, $A = [(p \lor q) \land (q \to r) \land (\sim r)]$ અને $B = (p \land q)$ છે.
કારણ કે $B = (p \land q)$ અસત્ય છે, $p$ અથવા $q$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક અસત્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $A$ સત્ય છે, બધા ઘટકો $(p \lor q)$, $(q \to r)$, અને $(\sim r)$ સત્ય હોવા જોઈએ.
$(\sim r) = T$ પરથી, આપણને $r = F$ મળે છે.
$r = F$ ને $(q \to r) = T$ માં મૂકતા, તે $(q \to F) = T$ બને છે. આનો અર્થ છે $q = F$.
હવે $q = F$ ને $(p \lor q) = T$ માં મૂકતા, તે $(p \lor F) = T$ બને છે. આનો અર્થ છે $p = T$.
સુસંગતતા તપાસો: $p=T, q=F, r=F$। $B = (T \land F) = F$ (સાચું)।
હવે સત્યતા મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
$p \to q = T \to F = F$।
$q \to p = F \to T = T$।
આમ, સત્યતા મૂલ્યો $(F, T)$ છે.

(B) આપેલ છે: $p = T, q = F, r = F$.
પગલું $1$: વિધાન $S = [\sim (p \land \sim q) \lor (q \lor \sim r)]$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$\sim q = T$, તેથી $(p \land \sim q) = (T \land T) = T$. આમ, $\sim (p \land \sim q) = F$.
$\sim r = T$, તેથી $(q \lor \sim r) = (F \lor T) = T$.
$S = (F \lor T) = T$.
પગલું $2$: દ્વૈત $S^*$ શોધો. $\land$ ને $\lor$ વડે, $\lor$ ને $\land$ વડે, $T$ ને $F$ વડે, અને $F$ ને $T$ વડે બદલો.
$S^* = [\sim (p \lor \sim q) \land (q \land \sim r)]$.
પગલું $3$: $S^*$ નું મૂલ્યાંકન કરો.
$(p \lor \sim q) = (T \lor T) = T$. આમ, $\sim (p \lor \sim q) = F$.
$(q \land \sim r) = (F \land T) = F$.
$S^* = (F \land F) = F$.
સત્યતા મૂલ્યો $T$ અને $F$ છે.

(B) ધારો કે વિધાન $S: p \to (q \to r)$ છે.
$1$. $S$ નું પ્રતિલોમ $\sim p \to \sim (q \to r)$ છે.
$2$. પ્રતિલોમનું વ્યસ્ત $\sim (q \to r) \to \sim p$ છે.
$3$. કારણ કે $\sim (q \to r) \equiv q \land \sim r$, વિધાન $(q \land \sim r) \to \sim p$ બને છે.
$4$. $A \to B \equiv \sim A \lor B$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\sim (q \land \sim r) \lor \sim p \equiv (\sim q \lor r) \lor \sim p$ મળે છે.
$5$. વિધાનનું દ્વૈત $\land$ ને $\lor$ સાથે, $\lor$ ને $\land$ સાથે, $T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. $(\sim q \lor r) \lor \sim p$ નું દ્વૈત $(\sim q \land r) \land \sim p$ છે.
$6$. વિકલ્પો તપાસતા, આપણે પ્રતિલોમના વ્યસ્તના દ્વૈતનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ: $p \to (q \to r)$ ના પ્રતિલોમનું વ્યસ્ત $(q \to r) \to p$ છે. $(q \to r) \to p$ નું દ્વૈત $(\sim q \lor r) \lor p$ છે, જે $p \lor (r \to q)$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ વિધાન "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે" છે અને $q$ એ વિધાન "તે $3$ નો ગુણક છે" છે.
આપેલ વિધાન "જો $p$, તો $q$" સ્વરૂપમાં છે, જેને $p \implies q$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$p \implies q$ નું નિષેધ $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ છે.
અહીં, $p \land \sim q$ નો અર્થ છે "એક પૂર્ણાંક $4$ કરતા મોટો અને $5$ કરતા નાનો છે અને તે $3$ નો ગુણક નથી".
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા, વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ સમાન તાર્કિક વિધાન દર્શાવે છે. વિકલ્પ $(A)$ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ હોવાથી, તે સાચો વિકલ્પ છે.

(C) પગલું $1$: વિધાન પેટર્નનું દ્વૈત શોધવા માટે, $\land$ ને $\lor$ વડે, $\lor$ ને $\land$ વડે, $T$ ને $F$ વડે અને $F$ ને $T$ વડે બદલો. નોંધો કે $\to$ એ મૂળભૂત સંયોજક નથી, તેથી આપણે પહેલા વિધાનને $\land, \lor, \sim$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખીએ છીએ.
પગલું $2$: વિધાન $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ છે. કારણ કે $A \to B \equiv \sim A \lor B$, વિધાન $\sim (p \land \sim q) \lor (q \land \sim p)$ બને છે.
પગલું $3$: ડી મોર્ગનનો નિયમ લાગુ કરતા, $\sim (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor q$ મળે. તેથી વિધાન $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ છે.
પગલું $4$: $(\sim p \lor q) \lor (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત $(\sim p \land q) \land (q \lor \sim p)$ છે.
પગલું $5$: આ $(\sim p \land q) \land (\sim p \lor q)$ માં સરળ બને છે. આ $\sim p \land q$ ના સમકક્ષ છે, જે $\sim (p \lor \sim q)$ છે.
પગલું $6$: વિકલ્પો તપાસતા, મૂળ અભિવ્યક્તિ $(p \land \sim q) \to (q \land \sim p)$ નું દ્વૈત $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ છે ($\to$ ને $\lor$ વડે અને $\land$ ને $\lor$ વડે બદલીને).
પગલું $7$: સાચું દ્વૈત $(p \lor \sim q) \land (q \lor \sim p)$ છે, જે $(\sim p \to q) \land (q \to p)$ ના સમકક્ષ છે.

(B) પગલું $1$: ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A$ સત્ય $(T)$ હોય અને $B$ અસત્ય $(F)$ હોય.
પગલું $2$: અહીં, $A = [(p \leftrightarrow q) \land (q \to r) \land \sim r]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે. કારણ કે $B$ અસત્ય છે, $(p \land \sim q)$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $3$: કારણ કે $A$ સત્ય છે, $(p \leftrightarrow q)$ સત્ય છે, $(q \to r)$ સત્ય છે, અને $\sim r$ સત્ય છે. તેથી, $r$ નું મૂલ્ય $F$ છે.
પગલું $4$: કારણ કે $(q \to r)$ સત્ય છે અને $r$ અસત્ય છે, તો $q$ અસત્ય હોવું જોઈએ (કારણ કે $T \to F$ અસત્ય છે).
પગલું $5$: કારણ કે $(p \leftrightarrow q)$ સત્ય છે અને $q$ અસત્ય છે, તો $p$ પણ અસત્ય હોવું જોઈએ.
પગલું $6$: સુસંગતતા તપાસો: $p=F, q=F, r=F$. તો $p \land \sim q = F \land T = F$. આ $B$ ના અસત્ય હોવા સાથે મેળ ખાય છે.
પગલું $7$: $(p \to q) \leftrightarrow (q \to r)$ નું મૂલ્યાંકન: $(F \to F) \leftrightarrow (F \to F) = T \leftrightarrow T = T$.
પગલું $8$: $\sim (p \lor r) \to (q \land p)$ નું મૂલ્યાંકન: $\sim (F \lor F) \to (F \land F) = \sim F \to F = T \to F = F$.
પગલું $9$: સત્યતા મૂલ્યો $(T, F)$ છે.

(A) ધારો કે $S$ એ વિધાન $(p \lor \sim q) \to (p \land \sim q)$ છે.
$1$. $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે.
$2$. $S$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim (p \land \sim q) \to \sim (p \lor \sim q)$ છે.
$3$. ડી મોર્ગનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા, આ $(\sim p \lor q) \to (\sim p \land q)$ થાય છે.
$4$. $P \to Q$ નું નિષેધ $P \land \sim Q$ છે.
$5$. પ્રતિધનાત્મકનું નિષેધ $(\sim p \lor q) \land \sim (\sim p \land q)$ છે.
$6$. ડી મોર્ગનનો નિયમ ફરીથી લાગુ કરતા, $\sim (\sim p \land q) = (p \lor \sim q)$ મળે છે.
$7$. આમ, પરિણામ $(\sim p \lor q) \land (p \lor \sim q)$ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ અસત્ય ગર્ભિતાર્થ $p \to (q \lor \sim r) \equiv F$ નું વિશ્લેષણ કરો. ગર્ભિતાર્થ $A \to B$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે $A, T$ હોય અને $B, F$ હોય.
પગલું $2$: આમ, $p = T$ અને $(q \lor \sim r) = F$ છે.
પગલું $3$: $(q \lor \sim r)$ ને $F$ થવા માટે, $q = F$ અને $\sim r = F$ બંને હોવા જોઈએ. તેથી, $q = F$ અને $r = T$ છે.
પગલું $4$: $(p \leftrightarrow q) \land r$ નું મૂલ્યાંકન કરો. કિંમતો મૂકતા: $(T \leftrightarrow F) \land T \equiv F \land T \equiv F$.
પગલું $5$: $\sim p \to \sim q$ નું મૂલ્યાંકન કરો. કિંમતો મૂકતા: $\sim T \to \sim F \equiv F \to T \equiv T$.
પગલું $6$: સત્ય મૂલ્યો $F, T$ છે.

(C) ધારો કે $V$ એ વિધાન 'વોલ્ટેજ વધે છે' છે અને $C$ એ વિધાન 'પ્રવાહ ઘટે છે' છે.
તો વિધાનો આ મુજબ છે:
$p: V \implies C$
$q: \neg V \implies \neg C$
$r: C \implies V$
$s: \neg C \implies \neg V$
$1$. ગર્ભિતાર્થ $A \implies B$ નો પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) $\neg B \implies \neg A$ છે, અને તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$2$. $p: V \implies C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg C \implies \neg V$ છે, જે $s$ છે. તેથી, $p \equiv s$.
$3$. $q: \neg V \implies \neg C$ માટે, પ્રતિધનાત્મક $\neg(\neg C) \implies \neg(\neg V)$ છે, જેનું સાદું રૂપ $C \implies V$ થાય છે, જે $r$ છે. તેથી, $q \equiv r$.
તેથી, સમાન અર્થ ધરાવતી જોડીઓ $(p, s)$ અને $(q, r)$ છે.

(B) ધારો કે $A = (p \land q)$ અને $B = (\sim p \lor r)$ છે.
આપેલ વિધાન પેટર્ન $(A \to B) \lor (B \to A)$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $(A \to B)$ એ તાર્કિક રીતે $(\sim A \lor B)$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી, પદાવલિ $(\sim A \lor B) \lor (\sim B \lor A)$ બને છે.
તર્કના જૂથના નિયમ અને ક્રમના નિયમ દ્વારા, આપણે તેને $(\sim A \lor A) \lor (\sim B \lor B)$ તરીકે ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ.
કારણ કે $(\sim A \lor A)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે અને $(\sim B \lor B)$ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે, તેથી પદાવલિ $T \lor T$ બને છે.
બે પુનરુક્તિઓનો વિકલ્પ એ પુનરુક્તિ $(T)$ છે.
તેથી, વિધાન પેટર્ન એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ વિધાન $S = (p \land q) \to ((p \lor r) \to \sim q)$ છે.
ગર્ભિતાર્થનો નિયમ $A \to B \equiv \sim A \lor B$ વાપરતા, આપણને $S \equiv \sim(p \land q) \lor ((p \lor r) \to \sim q)$ મળે છે.
બીજા ભાગ પર ફરીથી નિયમ લાગુ કરતા: $S \equiv \sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$S$ નું નિષેધ $\sim S \equiv \sim(\sim(p \land q) \lor (\sim(p \lor r) \lor \sim q))$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ દ્વારા, $\sim S \equiv (p \land q) \land \sim(\sim(p \lor r) \lor \sim q)$.
$\sim S \equiv (p \land q) \land ((p \lor r) \land q)$.
કારણ કે $(p \land q) \land q \equiv p \land q$, તેથી $\sim S \equiv (p \land q) \land (p \lor r)$.
કારણ કે $(p \land q) \implies p$, અને $p \implies (p \lor r)$, પદ સાદું રૂપ આપીને $p \land q$ બને છે.

(C) પગલું $1$: $S_1$ નું વિશ્લેષણ કરો. $n=1$ માટે, $1^2+1+2 = 4$, જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી, $S_1$ સત્ય છે.
પગલું $2$: $S_2$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x=1$ માટે, $1-17 = -16 < 20$. તેથી, $S_2$ સત્ય છે.
પગલું $3$: $S_3$ નું વિશ્લેષણ કરો. સમીકરણ $x^2+3x-10=0$ ના અવયવ $(x+5)(x-2)=0$ છે, જે $x=-5$ અથવા $x=2$ આપે છે. આ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય નથી. તેથી, $S_3$ અસત્ય છે.
પગલું $4$: $S_4$ નું વિશ્લેષણ કરો. તમામ $n \in N$ માટે, $n \ge 1$, તેથી $n^2 \ge 1$. તેથી, $S_4$ સત્ય છે.
પગલું $5$: માત્ર $S_3$ અસત્ય છે. તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $1$. આપેલ વિધાન $p \lor q$ છે.
$2$. વિધાન $p \implies q$ નું પ્રતિવિધાન $q \implies p$ થાય છે. જોકે, સાદા વિયોજન (disjunction) $p \lor q$ માટે, પ્રતિવિધાન $q \lor p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$3$. કારણ કે $p \lor q$ એ તાર્કિક રીતે $q \lor p$ ને સમાન છે (ક્રમનો નિયમ), તેથી $p \lor q$ નું પ્રતિવિધાન $p \lor q$ પોતે જ છે.
$4$. $p \lor q$ નું નિષેધ $\sim(p \lor q)$ છે.
$5$. ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

(D) વિધાન $A \to B$ નું પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ થાય છે.
અહીં, $A = [p \lor (p \to q)]$ અને $B = (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $1$: $\sim B = \sim (p \land \sim q) = (\sim p \lor \sim (\sim q)) = (\sim p \lor q)$ મેળવો.
પગલું $2$: $\sim A = \sim [p \lor (p \to q)] = \sim p \land \sim (p \to q)$ મેળવો.
કારણ કે $\sim (p \to q) = (p \land \sim q)$, તેથી $\sim A = \sim p \land (p \land \sim q)$ છે.
પગલું $3$: પ્રતિધનાત્મક $\sim B \to \sim A$ છે, જે $(\sim p \lor q) \to [\sim p \land (p \land \sim q)]$ થાય છે.

(D) પગલું $1$: $(I)$ નું વિશ્લેષણ કરો. નિકાસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, $p \to (q \to r) \equiv p \to (\sim q \lor r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor r \equiv \sim (p \land q) \lor r \equiv (p \land q) \to r$। તેથી, $(I)$ સાચું છે.
પગલું $2$: $(II)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv \sim (\sim p \lor q) \lor r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r)$। આ $p \to (q \lor r) \equiv \sim p \lor q \lor r$ ને સમાન નથી. તેથી, $(II)$ ખોટું છે.
પગલું $3$: $(III)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $(p \to q) \to r \equiv (p \land \sim q) \lor r \equiv (p \lor r) \land (\sim q \lor r) \equiv (p \to r) \land (\sim q \to r)$। તેથી, $(III)$ સાચું છે.
પગલું $4$: $(IV)$ નું વિશ્લેષણ કરો. $p \to (q \to r) \equiv \sim p \lor (\sim q \lor r) \equiv \sim q \lor (\sim p \lor r) \equiv q \to (p \to r)$। તેથી, $(IV)$ સાચું છે.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $(I)$, $(III)$ અને $(IV)$ નું સંયોજન નથી. વિકલ્પોનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા, $(I)$ અને $(IV)$ ચોક્કસપણે સાચા છે. તેથી, $(D)$ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(C) પગલું $1$: આપેલ પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (\sim p \land \sim q) \lor (p \land \sim q)$ ને સરળ બનાવો.
પગલું $2$: પ્રથમ બે પદો પર વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \land (q \lor \sim q)) \lor (p \land \sim q)$.
પગલું $3$: કારણ કે $(q \lor \sim q) \equiv T$, પદાવલિ $(\sim p \land T) \lor (p \land \sim q) \equiv \sim p \lor (p \land \sim q)$ બને છે.
પગલું $4$: ફરીથી વિભાજનનો નિયમ વાપરો: $(\sim p \lor p) \land (\sim p \lor \sim q) \equiv T \land (\sim p \lor \sim q) \equiv \sim p \lor \sim q$.
પગલું $5$: આપેલ સત્યતા મૂલ્ય $F$ છે, તેથી $\sim p \lor \sim q \equiv F$. આનો અર્થ છે કે $\sim p \equiv F$ (એટલે કે $p \equiv T$) અને $\sim q \equiv F$ (એટલે કે $q \equiv T$).
પગલું $6$: $(p \lor \sim q) \equiv (T \lor \sim T) \equiv (T \lor F) \equiv T$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $7$: $(p \to q) \equiv (T \to T) \equiv T$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $8$: સત્યતા મૂલ્યો $T, T$ છે.

(A) પુનરુક્તિ (tautology) એવું વિધાન છે જે તેના ઘટકોના તમામ સંભવિત સત્ય મૂલ્યો માટે સાચું હોય છે.
પગલું $1$: વિકલ્પ $A$ નું વિશ્લેષણ કરો: $[(p \to q) \land \sim q] \to \sim p$।
જો $p=T, q=T$: $[(T \to T) \land F] \to F \implies [T \land F] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=T, q=F$: $[(T \to F) \land T] \to F \implies [F \land T] \to F \implies F \to F = T$।
જો $p=F, q=T$: $[(F \to T) \land F] \to T \implies [T \land F] \to T \implies F \to T = T$।
જો $p=F, q=F$: $[(F \to F) \land T] \to T \implies [T \land T] \to T \implies T \to T = T$।
બધા મૂલ્યો $T$ હોવાથી, વિકલ્પ $A$ એક પુનરુક્તિ છે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = (p \lor q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)] \land \sim q$ છે.
પગલું $1$: મધ્ય કૌંસને સરળ બનાવો. પદાવલિ $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ એ $p \oplus q$ (exclusive $OR$) ની વ્યાખ્યા છે.
પગલું $2$: આને $S$ માં મૂકતા: $S = (p \lor q) \land (p \oplus q) \land \sim q$.
પગલું $3$: $\sim q$ ને પદાવલિમાં વિતરિત કરો. કારણ કે $(p \lor q) \land \sim q$ એ $(p \land \sim q) \lor (q \land \sim q)$ ને સમકક્ષ છે, અને $(q \land \sim q)$ એ $F$ (અસત્ય) છે, તેથી આ $(p \land \sim q)$ માં સરળ થાય છે.
પગલું $4$: હવે આપણી પાસે $S = (p \land \sim q) \land (p \oplus q)$ છે.
પગલું $5$: $p \oplus q$ ને $(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)$ તરીકે વિસ્તૃત કરો. તેથી, $S = (p \land \sim q) \land [(\sim p \land q) \lor (p \land \sim q)]$.
પગલું $6$: વિભાજનના નિયમ દ્વારા, $S = [(p \land \sim q) \land (\sim p \land q)] \lor [(p \land \sim q) \land (p \land \sim q)]$.
પગલું $7$: પ્રથમ ભાગ $(p \land \sim q \land \sim p \land q)$ એ $F$ છે કારણ કે $(p \land \sim p)$ એ $F$ છે. બીજો ભાગ $(p \land \sim q)$ છે. તેથી, $S = F \lor (p \land \sim q) = p \land \sim q$.