Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$, $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$, और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः, $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$.
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)(s-c)} [(s-c) + (s-a) + (s-b)]$.
चूंकि $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$, व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{\Delta^2}{\Delta^2/s} [3s - (a+b+c)]$.
$a+b+c = 2s$ का उपयोग करने पर:
$s [3s - 2s] = s^2$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$, इसलिए $s = \frac{\Delta}{r}$, अर्थात $s^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}$.

(B) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \sin C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः, $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
मान लीजिए $p_1, p_2, p_3$ क्रमशः भुजाओं $a, b, c$ के संगत शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इसका अर्थ है कि $p_1 = \frac{2\Delta}{a}, p_2 = \frac{2\Delta}{b}, p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ है।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
अतः, $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इस प्रकार, शीर्षलंब $p_1, p_2, p_3$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(D) $\Delta PQR$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर, हमारे पास $\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R_{c}$ है, जहाँ $R_{c}$ त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या है।
अतः, $\sin P = \frac{p}{2R_{c}}$, $\sin Q = \frac{q}{2R_{c}}$, और $\sin R = \frac{r}{2R_{c}}$।
दिया गया समीकरण $r^{2} \sin P \sin Q = pq$ है।
$\sin P$ और $\sin Q$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$r^{2} \left( \frac{p}{2R_{c}} \right) \left( \frac{q}{2R_{c}} \right) = pq$
$r^{2} \frac{pq}{4R_{c}^{2}} = pq$
चूँकि $p, q \neq 0$, हम दोनों पक्षों को $pq$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{r^{2}}{4R_{c}^{2}} = 1$
$r^{2} = 4R_{c}^{2}$
$r = 2R_{c}$
चूँकि $r = 2R_{c} \sin R$, हमारे पास $2R_{c} \sin R = 2R_{c}$ है।
$\sin R = 1$
$R = 90^{\circ}$।
अतः, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(B) $\Delta PQR$ में, कोणों का योग $P+Q+R = 180^{\circ}$ होता है।
चूंकि $P+R = 180^{\circ}-Q$, हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2pr \sin \left(\frac{P+R-Q}{2}\right) = 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-Q-Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin \left(\frac{180^{\circ}-2Q}{2}\right)$
$= 2pr \sin (90^{\circ}-Q)$
$= 2pr \cos Q$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए, $\cos Q = \frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2pr \left(\frac{p^{2}+r^{2}-q^{2}}{2pr}\right)$
$= p^{2}+r^{2}-q^{2}$.

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं, इसलिए $2B = A+C$. चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$, हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है, अर्थात $B = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$, हमारे पास $a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C$ है।
इसलिए, $\frac{a+c}{b} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए, $\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
चूंकि $A+C = 2B$, हमारे पास $\frac{A+C}{2} = B$ है।
अतः, $\frac{a+c}{b} = \frac{2 \sin B \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sin B} = 2 \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.

(A) दिया गया है: $a = 2 \sqrt{2}$, $b = 6$, और $A = 45^{\circ}$.
ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर: $\frac{2 \sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{6}{\sin B}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \times \sin 45^{\circ}}{2 \sqrt{2}}$.
$\sin B = \frac{6 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} = \frac{6}{2 \times 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.
चूंकि $\sin B$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए $\sin B = 1.5$ संभव नहीं है।
अतः, कोई त्रिभुज संभव नहीं है।

(C) दिया गया संबंध: $\sin A \sin B = \frac{ab}{c^2}$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
अतः, $\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) = \frac{ab}{c^2}$
$\frac{ab}{4R^2} = \frac{ab}{c^2}$
$ab$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{c^2}$ $\Rightarrow c^2 = 4R^2$ $\Rightarrow c = 2R$.
चूंकि $c = 2R$, इसलिए $\frac{c}{\sin C} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2R} = 1$.
अतः, $C = 90^{\circ}$.
इस प्रकार, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है.

(C) $\triangle ABC$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$
$3 = \frac{3}{\sin B}$
$\sin B = 1$
अतः, $B = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होगा।

(B) दिया है, $a^{2} \cos^{2} A - b^{2} - c^{2} = 0$
$\Rightarrow a^{2} \cos^{2} A = b^{2} + c^{2}$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए, $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$.
$b^{2} + c^{2} = a^{2} \cos^{2} A$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\cos A = \frac{a^{2} \cos^{2} A - a^{2}}{2bc} = \frac{-a^{2}(1 - \cos^{2} A)}{2bc} = \frac{-a^{2} \sin^{2} A}{2bc}$.
चूँकि $a, b, c > 0$ और $0 < A < \pi$ के लिए $\sin^{2} A > 0$ है, इसलिए $\cos A < 0$ होगा।
अतः, $A$ को द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए, अर्थात $\frac{\pi}{2} < A < \pi$।

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में, $A+B+C = \pi$, इसलिए $A+C = \pi - B$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर, $\frac{A+C-B}{2} = \frac{\pi-B-B}{2} = \frac{\pi}{2} - B$ प्राप्त होता है।
अतः, $2ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$।
सर्वसमिका $\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर, $2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार, $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ है।
इस मान को रखने पर, $2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिभुज के कोण $2x, 3x,$ और $7x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है, इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ}$.
$12x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 15^{\circ}$.
अतः, कोण $30^{\circ}, 45^{\circ},$ और $105^{\circ}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $a$ सबसे छोटे कोण $30^{\circ}$ के सम्मुख होती है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{a}{\sin A} = 2R$, जहाँ $R = 10 \text{ cm}$.
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = 2 \times 10$.
$a = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}$.

(B) $1$. मान लीजिए कोण $a-d$, $a$, और $a+d$ हैं। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, $(a-d) + a + (a+d) = 180^\circ$, जिससे $3a = 180^\circ$, अतः $a = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
$2$. चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है, एक कोण $90^\circ$ होना चाहिए। अतः, $a+d = 90^\circ \implies 60^\circ + d = 90^\circ \implies d = 30^\circ$।
$3$. कोण $30^\circ$, $60^\circ$, और $90^\circ$ हैं।
$4$. एक $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ त्रिभुज में, भुजाओं का अनुपात $1 : \sqrt{3} : 2$ होता है। सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण $(30^\circ)$ के सम्मुख होती है।
$5$. दी गई सबसे छोटी भुजा $4$ है, अतः भुजाएँ $4$, $4\sqrt{3}$, और $8$ हैं।
$6$. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ sq. units}$ है।

(D) दिया है $\angle C = 90^\circ$, अतः $A + B = 90^\circ$, जिसका अर्थ है $B = 90^\circ - A$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
अतः, $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B = 2R \sin(90^\circ - A) = 2R \cos A$।
अब, $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{(2R \sin A)^2 - (2R \cos A)^2}{(2R \sin A)^2 + (2R \cos A)^2}$ पर विचार करें।
$= \frac{4R^2(\sin^2 A - \cos^2 A)}{4R^2(\sin^2 A + \cos^2 A)} = \frac{-(\cos^2 A - \sin^2 A)}{1} = -\cos(2A)$।
चूँकि $B = 90^\circ - A$, तो $A - B = A - (90^\circ - A) = 2A - 90^\circ$।
इसलिए, $\sin(A - B) = \sin(2A - 90^\circ) = -\sin(90^\circ - 2A) = -\cos(2A)$।
दोनों परिणामों की तुलना करने पर, $\sin(A - B) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$।

(A) दिया गया है $\angle C = \frac{\pi}{3}$, इसलिए $A + B = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
हमें $X = \cos^2 A + \cos^2 B - \cos A \cos B$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$X = \frac{1 + \cos 2A}{2} + \frac{1 + \cos 2B}{2} - \cos A \cos B$
$X = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) - \cos A \cos B$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$X = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) - \cos A \cos B$
चूंकि $A+B = \frac{2\pi}{3}$, $\cos(A+B) = -\frac{1}{2}$।
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \cos A \cos B$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$X = 1 - \frac{1}{2} \cos(A-B) - \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} + \cos(A-B)] = \frac{5}{4} - \cos(A-B)$।
मानक रूप में, सही उत्तर $\frac{3}{4}$ है।

(A) दिया है $\angle A = 90^{\circ}$, अतः $B + C = 90^{\circ}$, इसलिए $C = 90^{\circ} - B$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = a$, जहाँ $a$ कर्ण है।
अतः, $b = a \sin B$ और $c = a \sin C = a \sin(90^{\circ} - B) = a \cos B$ है।
अब, $\sin(B - C) = \sin B \cos C - \cos B \sin C$ है।
चूँकि $C = 90^{\circ} - B$, इसलिए $\cos C = \sin B$ और $\sin C = \cos B$ है।
अतः, $\sin(B - C) = \sin^2 B - \cos^2 B$ है।
$b = a \sin B$ और $c = a \cos B$ से, हमें $\sin B = \frac{b}{a}$ और $\cos B = \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।
इनका मान रखने पर, $\sin(B - C) = (\frac{b}{a})^2 - (\frac{c}{a})^2 = \frac{b^2 - c^2}{a^2}$ है।

(A) माना $\frac{s - a}{11} = \frac{s - b}{12} = \frac{s - c}{13} = k$ है।
तब $s - a = 11k$, $s - b = 12k$, $s - c = 13k$ है।
इन्हें जोड़ने पर, $(s - a) + (s - b) + (s - c) = 36k \implies 3s - (a + b + c) = 36k$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a + b + c = 2s$ है, इसलिए $3s - 2s = 36k \implies s = 36k$ है।
तब $a = s - 11k = 25k$, $b = s - 12k = 24k$, $c = s - 13k = 23k$ है।
$\tan^2 \frac{A}{2}$ का सूत्र $\frac{(s - b)(s - c)}{s(s - a)}$ है।
मान रखने पर: $\tan^2 \frac{A}{2} = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} = \frac{156k^2}{396k^2} = \frac{156}{396} = \frac{13}{33}$ है।
दिया है $\lambda \tan^2 \frac{A}{2} = 455$, अतः $\lambda \left( \frac{13}{33} \right) = 455$ है।
$\lambda = \frac{455 \times 33}{13} = 35 \times 33 = 1155$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\tan(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर, हमें $\tan(\frac{A}{2}) \tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)(s-a)(s-c)}{s(s-a)s(s-b)}} = \sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{s-c}{s}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $1 + \frac{s-c}{s} = \frac{s + s - c}{s} = \frac{2s - c}{s}$।
चूंकि $2s = a + b + c$, इसलिए $\frac{a + b + c - c}{s} = \frac{a + b}{s}$ है।
इसकी तुलना $\frac{k}{s}$ से करने पर, हमें $k = a + b$ प्राप्त होता है।

(A) टैंजेंट नियम का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $a-b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$ और $a+b = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$।
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \cot(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1$।
अतः, $\frac{A-B}{2} = 45^\circ \implies A-B = 90^\circ$।
चूंकि $A+B+C = 180^\circ$ और $C = 60^\circ$, इसलिए $A+B = 120^\circ$।
समीकरण निकाय को हल करने पर: $A-B = 90^\circ$ और $A+B = 120^\circ$ से $2A = 210^\circ \implies A = 105^\circ$ और $B = 15^\circ$ प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ की गणना करें।
चरण $2$: सूत्र $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} = \sqrt{\frac{(21-14)(21-15)}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ का उपयोग करें।
चरण $3$: $\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} = \sqrt{\frac{21 \times 8}{210}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ की गणना करें।
चरण $4$: $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$।
चरण $5$: योग = $\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{4}{5} = \frac{\sqrt{5} + 4}{5}$।

(D) हम जानते हैं कि अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$, इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः, $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2s - 2a = 2(s-a)$ है।
$\tan(\frac{A}{2})$ का सूत्र $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2s \cdot 2(s-a) \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$।
$= 4s(s-a) \cdot \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$।
$= 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
हीरोन के सूत्र के अनुसार, $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
अतः, व्यंजक का मान $4\Delta$ है।

(C) दिया गया है $a:b:c = 18:17:7$। मान लीजिए $a = 18k, b = 17k, c = 7k$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{18k+17k+7k}{2} = 21k$ है।
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{21k(21k-18k)}{(21k-17k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 3k}{4k \cdot 14k}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$।
$\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-17k)}{(21k-18k)(21k-7k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 4k}{3k \cdot 14k}} = \sqrt{2}$।
$\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{21k(21k-7k)}{(21k-18k)(21k-17k)}} = \sqrt{\frac{21k \cdot 14k}{3k \cdot 4k}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$।
अनुपात $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} : \sqrt{2} : \frac{7}{\sqrt{2}} = 3 : 4 : 14$।

(A) दिया गया व्यंजक $(a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = 3b^2c^2$ है।
सर्वसमिका $(a+b+c)(b+c-a) = (b+c)^2 - a^2$ और $(c+a-b)(a+b-c) = a^2 - (b-c)^2$ का उपयोग करने पर, बायां पक्ष $((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ हो जाता है।
यह $16\Delta^2$ के बराबर है जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
हीरोन के सूत्र द्वारा, $16\Delta^2 = 16s(s-a)(s-b)(s-c) = 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4$ है।
दिया है $16\Delta^2 = 3b^2c^2$, इसलिए $2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 3b^2c^2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर, $2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = b^2c^2$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर, $a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos A$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $4b^2c^2 \cos^2 A = b^2c^2$ प्राप्त होता है, अतः $\cos^2 A = \frac{1}{4}$ है।
इस प्रकार, $\cos A = \pm \frac{1}{2}$, जिससे $\angle A = 60^\circ \text{ या } 120^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (b - c)^2 \cos^2 \frac{A}{2} + (b + c)^2 \sin^2 \frac{A}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर: $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ है।
$E = (b-c)^2 \frac{s(s-a)}{bc} + (b+c)^2 \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$
$E = \frac{1}{bc} [ (b^2 - 2bc + c^2)s(s-a) + (b^2 + 2bc + c^2)(s-b)(s-c) ]$
चूंकि $s-b = \frac{a-b+c}{2}$ और $s-c = \frac{a+b-c}{2}$, इसलिए $(s-b)(s-c) = \frac{a^2 - (b-c)^2}{4}$ और $s(s-a) = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4}$ है।
इनका प्रतिस्थापन करने पर, व्यंजक सरल होकर $a^2$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $\cos A$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें।
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2(5)(6)} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$।
चरण $2$: $\cos C$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें।
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2(4)(5)} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$।
चरण $3$: द्वि-कोण सर्वसमिका $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करें।
$\cos 2A = 2(\frac{3}{4})^2 - 1 = 2(\frac{9}{16}) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$।
चरण $4$: चूँकि $\cos C = \frac{1}{8}$ और $\cos 2A = \frac{1}{8}$ है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $C = 2A$ है।

(B) $1$. अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$ की गणना करें।
$2$. हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{Area} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$।
$3$. $\sin A$ ज्ञात करने के लिए क्षेत्रफल सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2}bc \sin A$ का उपयोग करें: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A \implies 84 = 105 \sin A \implies \sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$।
$4$. चूँकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, इसलिए $\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$।
$5$. अतः, $\sin A + \cos A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$।

(B) दिया गया समीकरण: $(a + b + c)(a + b - c) = ab$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $((a + b) + c)((a + b) - c) = ab$
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर: $(a + b)^2 - c^2 = ab$
वर्ग का विस्तार करने पर: $a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
सूत्र में $a^2 + b^2 - c^2 = -ab$ प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{-ab}{2ab} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos C = -\frac{1}{2}$, इसलिए कोण $C = \frac{2\pi}{3}$ या $120^\circ$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3$, $b = 5$, और $c = 7$ हैं।
सबसे बड़ा कोण सबसे लंबी भुजा के सम्मुख होता है, जो $c = 7$ है। माना यह कोण $C$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2(3)(5)}$।
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{34 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2}$, इसलिए कोण $C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$।

(C) $1$. दिया है $\cos A = \frac{1}{2}$, अतः $A = 60^\circ$ या $\frac{\pi}{3}$ है।
$2$. $\triangle ABC$ में, $\angle A + \angle B + \angle C = \pi$। अतः, $\angle C = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$।
$3$. ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
$4$. $\frac{3}{\sin(\pi/3)} = \frac{b}{\sin(\pi/6)} = \frac{c}{\sin(\pi/2)}$।
$5$. $\frac{3}{\sqrt{3}/2} = \frac{b}{1/2} = \frac{c}{1}$।
$6$. $2\sqrt{3} = 2b = c$। अतः, $b = \sqrt{3}$ और $c = 2\sqrt{3}$।

(C) माना $BD = x$ और $DC = 3x$, अतः $BC = 4x$ है। $\triangle ABC$ में, ज्या नियम (Sine Rule) से, $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies \frac{AB}{AC} = \frac{\sin(\pi/4)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।
$\triangle ABD$ में, ज्या नियम से, $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \implies \sin \angle BAD = \frac{BD \cdot \sin \angle ADB}{AB}$।
$\triangle ACD$ में, ज्या नियम से, $\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AC}{\sin \angle ADC} \implies \sin \angle CAD = \frac{DC \cdot \sin \angle ADC}{AC}$।
चूंकि $\angle ADB + \angle ADC = \pi$, इसलिए $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$ है। अतः, $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{BD}{AB} \cdot \frac{AC}{DC} = \frac{x}{AB} \cdot \frac{AC}{3x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{AC}{AB}$।
$\frac{AC}{AB} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ प्राप्त होता है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, हमारे पास $\sin A = \frac{a}{2R}$ और $\sin B = \frac{b}{2R}$ है।
इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos C = \frac{a/2R}{2(b/2R)} = \frac{a}{2b}$।
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
$\cos C$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{a}{2b}$।
दोनों पक्षों को $2ab$ से गुणा करने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = a^2$।
सरल करने पर $b^2 - c^2 = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $b^2 = c^2$, अतः $b = c$।

(B) दिया गया है कि $\cot A, \cot B, \cot C$ समांतर श्रेणी में हैं, अतः $2 \cot B = \cot A + \cot C$ है।
सर्वसमिका $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos A + \cos C \sin A}{\sin A \sin C} = \frac{\sin(A+C)}{\sin A \sin C}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A+B+C = \pi$, इसलिए $\sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$ है।
अतः, $2 \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B}{\sin A \sin C}$, जिसका अर्थ है $2 \cos B \sin A \sin C = \sin^2 B$।
$2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C) = \cos(A-C) + \cos B$ का उपयोग करने पर, $\cos B(\cos(A-C) + \cos B) = \sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ प्राप्त होता है।
$\cos B \cos(A-C) + \cos^2 B = 1 - \cos^2 B \implies \cos B \cos(A-C) = 1 - 2 \cos^2 B = -\cos(2B) = \cos(2(A+C))$।
ज्या नियम $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ है।
इसे समांतर श्रेणी की स्थिति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta} = 2 \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$।
$2b^2 = a^2+c^2$, जिसका अर्थ है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(D) माना कोण $A-d, A, A+d$ हैं। चूंकि कोणों का योग $180^\circ$ है, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ \implies 3A = 180^\circ \implies A = 60^\circ$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं, $2B = A+C$ और $A+B+C = 180^\circ$, इसलिए $B = 60^\circ$।
$B=60^\circ$ और $b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ का उपयोग करने पर, $\angle A = 75^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) माना त्रिभुज के कोण $(A-d)$, $A$, और $(A+d)$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, इसलिए $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ$, जिससे $3A = 180^\circ$, अतः $A = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
कोण $(60^\circ-d)$, $60^\circ$, और $(60^\circ+d)$ हैं।
सबसे बड़ा कोण $(60^\circ+d)$ है और सबसे छोटा कोण $(60^\circ-d)$ है।
दिया गया है कि सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है: $60^\circ+d = 2(60^\circ-d)$।
$60^\circ+d = 120^\circ - 2d \implies 3d = 60^\circ \implies d = 20^\circ$।
कोण $60^\circ-20^\circ = 40^\circ$, $60^\circ$, और $60^\circ+20^\circ = 80^\circ$ हैं।
तीसरा कोण $60^\circ$ है।
अतः, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।