Rolling On Inclined Plane Questions in Hindi

(C) लुढ़कते हुए गोले की कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $K = \frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^2$ है और लुढ़कने की स्थिति $\omega = u/r$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $K = \frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (u/r)^2 = \frac{1}{2} mu^2 (1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2} mu^2 (\frac{7}{5}) = \frac{7}{10} mu^2$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, अधिकतम ऊँचाई $H$ पर कुल गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $K = mgH$.
अतः, $\frac{7}{10} mu^2 = mgH$.
$H$ के लिए हल करने पर, हमें $H = \frac{7 u^2}{10 g}$ प्राप्त होता है।

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में हुई हानि कुल गतिज ऊर्जा $(KE_{total})$ में हुई वृद्धि के बराबर होती है,जिसमें स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों शामिल हैं।
प्रारंभिक ऊँचाई $h_1 = 100 \ m$,अंतिम ऊँचाई $h_2 = 20 \ m$ है।
ऊँचाई में परिवर्तन $\Delta h = h_1 - h_2 = 100 \ m - 20 \ m = 80 \ m$ है।
$PE$ में हानि $= mg \Delta h = m \times 10 \times 80 = 800m \ J$ है।
$KE_{total}$ में वृद्धि $= \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
एक ठोस गोलाकार गेंद के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mr^2$ और $\omega = \frac{v}{r}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $KE_{total} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$ है।
$PE$ में हानि को $KE_{total}$ में वृद्धि के बराबर रखने पर:
$800m = \frac{7}{10} mv^2$.
$v^2 = \frac{8000}{7}$.
$v = \sqrt{\frac{8000}{7}} = \sqrt{\frac{1600 \times 5}{7}} = 40 \sqrt{\frac{5}{7}} \ m/s$।

(D) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि रिंग के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$,डिस्क के लिए $I = \frac{1}{2}MR^2$ और ठोस गोले के लिए $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है,इसलिए $I_{\text{ring}} > I_{\text{disc}} > I_{\text{sphere}}$ है।
परिणामस्वरूप,त्वरण का क्रम $a_{\text{sphere}} > a_{\text{disc}} > a_{\text{ring}}$ होता है।
नीचे पहुँचने पर गति $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{MR^2}}}$ है,इसलिए $v_{\text{sphere}} > v_{\text{disc}} > v_{\text{ring}}$ होता है।
नीचे उतरने का समय $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$ है,जिसका अर्थ है कि $t \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$। इसलिए,$t_{\text{sphere}} < t_{\text{disc}} < t_{\text{ring}}$।
अतः,दिए गए विकल्पों में से विकल्प $D$ गलत कथन है।

(A) ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए $v = R\omega$ की स्थिति लागू होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2 = \frac{1}{5} Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E_{total}$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $E_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = (\frac{5+2}{10}) Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_{total}}{E_{rot}} = \frac{\frac{7}{10} Mv^2}{\frac{1}{5} Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ है।

(D) ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{S} = \frac{2}{5} MR^2$ है।
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{C} = \frac{1}{2} MR^2$ है।
आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,बेलन के त्वरण '$a_{c}$' और गोले के त्वरण '$a_{s}$' का अनुपात:
$\frac{a_{c}}{a_{s}} = \frac{1 + \frac{I_{S}}{MR^2}}{1 + \frac{I_{C}}{MR^2}} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{5}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$ होगा।

(A) $h$ ऊँचाई वाले चिकने नत समतल पर फिसलने वाले पिंड के लिए,स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$,जिससे $V = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
उसी नत समतल पर लुढ़कने वाली वलय के लिए,स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ और लुढ़कने की स्थिति $v = r\omega$ है,इसलिए $\omega = v/r$.
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
अतः,$v^2 = gh$,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{gh}$.
दोनों वेगों की तुलना करने पर: $v = \sqrt{gh} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sqrt{2}} = \frac{V}{\sqrt{2}}$.

(B) बिना फिसले आनत तल पर लुढ़कने वाली वस्तु का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$.
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ दिया गया है,इसलिए:
$a = \frac{5}{7} g (0.5) = \frac{5}{7} g \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5g}{14}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बिना फिसले लुढ़कने वाले एक ठोस गोले के लिए, कुल गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $v = r\omega$, हमारे पास है $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
जब गोला रैंप पर ऊपर जाता है, तो यह गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ में परिवर्तित हो जाती है, जहाँ $h = d \sin \theta$ और $d$ रैंप पर तय की गई दूरी है।
$K = U$ रखने पर: $\frac{7}{10}mv^2 = mgd \sin \theta$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{7v^2}{10g \sin \theta}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v = 2 \,m/s$, $g = 10 \,m/s^2$, $\theta = 30^{\circ}$:
$d = \frac{7 \times (2)^2}{10 \times 10 \times (1/2)} = \frac{7 \times 4}{100 \times 0.5} = \frac{28}{50} = 0.56 \,m$.

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
शीर्ष पर प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ है।
शीर्ष पर प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = 0$ है (क्योंकि यह विराम अवस्था से शुरू होता है)।
निचले सिरे पर,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mr^2$ होता है।
चूँकि यह बिना फिसले लुढ़कता है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = v/r$।
इन मानों को गतिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $KE_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से,$mgh = \frac{7}{10}mv^2$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{10gh}{7}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \left(\frac{10gh}{7}\right)^{1/2}$।

(B) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
एक ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
दिए गए मानों $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \times 0.5}{\frac{7}{5}} = \frac{0.5g \times 5}{7} = \frac{2.5g}{7} = \frac{5g}{14}$.

(A) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रेखीय त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
एक ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ और त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}}$
$a = \frac{g \times (1/2)}{7/5}$
$a = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.

(D) स्थिति $1$: फिसलने वाले पिंड के लिए,स्थितिज ऊर्जा का रूपांतरण स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में होता है: $\frac{1}{2} m V^2 = mgh$ ... $(i)$
स्थिति $2$: लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,स्थितिज ऊर्जा का रूपांतरण स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में होता है: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ है और लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v'}{R}$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v'}{R})^2 = mgh$
$\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{4} m (v')^2 = mgh$
$\frac{3}{4} m (v')^2 = mgh$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} m V^2 = \frac{3}{4} m (v')^2$
$V^2 = \frac{3}{2} (v')^2$
$(v')^2 = \frac{2}{3} V^2$
$v' = V \sqrt{\frac{2}{3}}$

(A) नत समतल पर लुढ़कते हुए एक ठोस बेलन के लिए,शीर्ष पर कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $PE = Mgh$ है।
नीचे,कुल ऊर्जा स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है और लुढ़कने की स्थिति $v = R\omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$.
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$.
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$.
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$.
ऊँचाई $h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{3 v^2}{4 g}$.

(A) नत समतल पर लुढ़कते हुए ठोस बेलन के लिए,कुल स्थितिज ऊर्जा $Mgh$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
कुल ऊर्जा $E = Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ और लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
अतः,$Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$.
$K_{rot}$ के व्यंजक में $Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$ रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(A) नत समतल पर लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $mgh = K_{trans} + K_{rot}$.
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है।
चूंकि डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,$v = r\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{r}$।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$ है।
कुल ऊर्जा $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$।
अतः,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2}{3}mgh$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा के व्यंजक में यह मान रखने पर: $K_{rot} = \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mgh) = \frac{mgh}{3}$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा,नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए $v = R\omega$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$Mgh = \frac{1}{2} M(R\omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2$
$Mgh = \frac{1}{2} MR^2\omega^2 + \frac{1}{4} MR^2\omega^2 = \frac{3}{4} MR^2\omega^2$
अतः,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2 = \frac{1}{4} MR^2\omega^2$ है।
ऊर्जा समीकरण से,$MR^2\omega^2 = \frac{4}{3} Mgh$ प्राप्त होता है।
इस मान को $K_{rot}$ के व्यंजक में रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(D) दिया गया है,नत समतल की ऊँचाई $h = 7 \ m$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ठोस गोले द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा,प्राप्त कुल गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) के बराबर होती है।
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v}{R}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5}mR^2\right) \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(C) चिकने नत समतल पर फिसलने वाली वस्तु के लिए,स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अतः,$v = \sqrt{2gh}$।
खुरदरे नत समतल पर लुढ़कने वाले गोले के लिए,स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित हो जाती है। नीचे वेग $v_{CM} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \sqrt{2gh}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$ प्राप्त होता है।
ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ होता है।
यह मान रखने पर,$v_{CM} = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{2}{5}}} = \frac{v}{\sqrt{\frac{7}{5}}} = \sqrt{\frac{5}{7}} v$।

(C) $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले पिंड का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
जहाँ $K$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ पिंड की त्रिज्या है।
वलय के लिए,$K^2 = R^2$,अतः $v_{R} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस बेलन के लिए,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,अतः $v_{C} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1/2}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,अतः $v_{S} = \sqrt{\frac{2gh}{1+2/5}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $v_{R} < v_{C} < v_{S}$.

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE = KE_{\text{trans}} + KE_{\text{rot}}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
एक ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ होता है और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = R \omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^{2}) (\frac{v}{R})^{2}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m v^{2})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{2}{5})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (\frac{7}{5})$
$KE = \frac{7}{10} m v^{2}$

(B) बिना फिसले लुढ़कते हुए एक ठोस बेलन के लिए,कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूँकि ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v = R\omega$ (या $\omega = v/R$) है:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ में हुई हानि,गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mgh = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$

(D) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले के लिए त्वरण $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ है,इसलिए $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
दिया गया है कि $a_{roll} = 3.5 \ m \ s^{-2}$,इसलिए $3.5 = \frac{5}{7} g \sin \theta$,जिसका अर्थ है कि $g \sin \theta = 3.5 \times \frac{7}{5} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.
जब गोला बिना लुढ़के फिसलता है,तो कोई घूर्णन गति नहीं होती है,इसलिए त्वरण $a_{slide} = g \sin \theta$ होता है।
अतः,$a_{slide} = 4.9 \ m \ s^{-2}$.

(D) जब कोई डिस्क एक नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती है,तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में होने वाली हानि स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है और लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v}{r}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर: $gh = \frac{3}{4}v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
अतः,वेग $v$ केवल नत समतल की ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है।

(A) मान लीजिए कि वस्तु की घूर्णन त्रिज्या $K$,द्रव्यमान $m$,ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $R$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा,तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूंकि $I = mK^2$ और $\omega = v/R$,इसलिए:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
वलय के लिए,$K^2 = R^2$,इसलिए $v_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस बेलन के लिए,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,इसलिए $v_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15\sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए,$K^2 = \frac{2}{5}R^2$,इसलिए $v_{\text{sphere}} = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19\sqrt{gh}$.
वेगों की तुलना करने पर,वलय का वेग आनत तल के निचले हिस्से पर न्यूनतम होता है।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली दृढ़ वस्तु के लिए, घर्षण बल $f$ का सूत्र $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ है।
$(A)$ वलय के लिए, $I = MR^2$. अतः, $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
$(B)$ ठोस गोले के लिए, $I = \frac{2}{5}MR^2$. अतः, $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{Mg \sin \theta}{3.5}$.
$(C)$ ठोस बेलन के लिए, $I = \frac{1}{2}MR^2$. अतः, $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 2} = \frac{Mg \sin \theta}{3}$.
$(D)$ खोखले बेलन के लिए, $I = MR^2$. अतः, $f = \frac{Mg \sin \theta}{1 + 1} = \frac{Mg \sin \theta}{2}$.
इस प्रकार, सही मिलान $A-II, B-I, C-III, D-II$ है।

(C) माना गोले द्वारा रुकने से पहले प्राप्त ऊँचाई $h$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K_{\text{rot}} + K_{\text{trans}} = mgh$
$\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
चूँकि गोला लुढ़क रहा है, $v_{CM} = R\omega$ और एक ठोस गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} mR^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} mR^2 \right) \left( \frac{v_{CM}}{R} \right)^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$\frac{1}{5} m v_{CM}^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$m$ से भाग देने और सरल करने पर:
$v_{CM}^2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \right) = gh$
$v_{CM}^2 \left( \frac{2+5}{10} \right) = gh$
$\frac{7}{10} v_{CM}^2 = gh$
यहाँ $v_{CM} = 10 \,m/s$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है:
$\frac{7}{10} \times (10)^2 = 10 \times h$
$\frac{7}{10} \times 100 = 10h$
$70 = 10h$
$h = 7 \,m$

(C) दिया गया है:
ठोस गोलाकार गेंद का प्रारंभिक वेग $v = 10 \ m \ s^{-1}$ है।
गेंद का द्रव्यमान $m = 11 \ kg$ है।
चूंकि घर्षण के कारण होने वाली हानि नगण्य है, इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
लुढ़कते हुए ठोस गोले की प्रारंभिक कुल गतिज ऊर्जा उसकी स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$ है।
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 (1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2} m v^2 (\frac{7}{5}) = \frac{7}{10} m v^2$.
अधिकतम ऊंचाई $h$ पर, गेंद क्षण भर के लिए रुक जाती है, इसलिए इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ है।
गेंद द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा $U_f = m g h$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $K_i = U_f$:
$\frac{7}{10} m v^2 = m g h$
$h = \frac{7 v^2}{10 g} = \frac{7 \times (10)^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 100}{100} = 7 \ m$.
अतः, $h$ का मान $7 \ m$ है।

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
ठोस गोले के लिए, $I_{sphere} = \frac{2}{5} MR^2$। अतः, $a_{sphere} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta = 3 \,ms^{-2}$।
इससे $g \sin \theta = \frac{3 \times 7}{5} = 4.2 \,ms^{-2}$ प्राप्त होता है।
पतली एकसमान वृत्ताकार डिस्क के लिए, $I_{disc} = \frac{1}{2} MR^2$। अतः, $a_{disc} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$।
$g \sin \theta$ का मान रखने पर, हमें $a_{disc} = \frac{2}{3} \times 4.2 = 2.8 \,ms^{-2}$ प्राप्त होता है।

(A) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले के लिए, निचले सिरे पर वेग $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$
यहाँ $g = 10 \text{ ms}^{-2}$, $h = 28 \text{ m}$, और ठोस गोले के लिए घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है, इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 28}{1 + \frac{2}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560}{\frac{7}{5}}}$
$v = \sqrt{\frac{560 \times 5}{7}}$
$v = \sqrt{80 \times 5} = \sqrt{400} = 20 \text{ ms}^{-1}$.

(D) $l$ लंबाई और $\theta$ कोण वाले नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु के लिए त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2}$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ में $u=0$ और $s=l$ रखने पर, $l = \frac{1}{2} \left( \frac{g \sin \theta}{1 + K^2/R^2} \right) t^2$ प्राप्त होता है।
अतः, $t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$, जिसका अर्थ है $t \propto \sqrt{1 + K^2/R^2}$।
खोखले बेलन के लिए, घूर्णन त्रिज्या $K^2 = R^2$, इसलिए $K^2/R^2 = 1$। अतः $t_1 \propto \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$।
ठोस बेलन के लिए, घूर्णन त्रिज्या $K^2 = R^2/2$, इसलिए $K^2/R^2 = 1/2$। अतः $t_2 \propto \sqrt{1 + 1/2} = \sqrt{3/2}$।
अनुपात लेने पर, $\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{3/2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
दिया गया है $t_1 = 2 \ s$, इसलिए $t_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732 \ s$।

(B) चूंकि बेलन बिना फिसले लुढ़कता है, इसलिए घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य है। अतः, हम यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू कर सकते हैं।
शीर्ष पर, कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा है: $E_i = mgh$.
तल पर, कुल ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है: $E_f = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
एक ठोस बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mR^2$ है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए, $\omega = \frac{v}{R}$ है।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$v^2 = \frac{4gh}{3}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 30}{3}} = \sqrt{400} = 20 \ m \ s^{-1}$.

(B) दिया गया है: झुकाव $\theta = 30^{\circ}$, लंबाई $l = 60 \,cm = 0.6 \,m$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए, शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
यहाँ, $h = l \sin \theta = 0.6 \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3 \,m$.
एक ठोस बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ और बिना फिसले लुढ़कने के लिए, $\omega = \frac{v}{r}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 0.3}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$.

(D) दिया गया है: गोले की त्रिज्या $= R$, गोले का द्रव्यमान $= m$, और नत समतल का कोण $\theta = 45^{\circ}$।
नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाले ठोस गोले के लिए, रैखिक त्वरण है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{m R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 m R^2}{m R^2}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
नत समतल के अनुदिश रैखिक गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$m g \sin \theta - f = m a$
$f = m g \sin \theta - m \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} m g \sin \theta$
अभिलंब बल $N = m g \cos \theta$ है।
स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ के लिए शर्त:
$\mu_s \geq \frac{f}{N} = \frac{\frac{2}{7} m g \sin \theta}{m g \cos \theta} = \frac{2}{7} \tan \theta$
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$, $\tan 45^{\circ} = 1$, इसलिए $\mu_s \geq \frac{2}{7} \approx 0.2857$।
विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $\frac{3}{7} \approx 0.428 > 0.2857$
$(B)$ $\frac{1}{2} = 0.5 > 0.2857$
$(C)$ $\frac{5}{8} = 0.625 > 0.2857$
$(D)$ $\frac{1}{7} \approx 0.1428 < 0.2857$
चूंकि $\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$ से कम है, इसलिए गोला फिसलेगा। अतः, विकल्प $(D)$ बिना फिसले लुढ़कने के लिए गलत मान है।

(A) नत समतल पर शुद्ध लोटनिक गति करने वाली वस्तु के लिए, समतल की दिशा में कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण बल $f$ हैं। गति का समीकरण $ma = mg \sin \theta - f$ है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का समीकरण $\tau = I \alpha = fR$ है।
चूंकि वस्तु शुद्ध लोटनिक गति कर रही है, इसलिए $\alpha = \frac{a}{R}$ होगा। साथ ही, जड़त्व आघूर्ण $I = mk^2$ है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में रखने पर: $mk^2 \cdot \frac{a}{R} = fR$, जिससे हमें $f = \frac{ma k^2}{R^2}$ प्राप्त होता है।
अब $f$ का मान बल समीकरण में रखने पर: $ma = mg \sin \theta - \frac{ma k^2}{R^2}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $ma(1 + \frac{k^2}{R^2}) = mg \sin \theta$।
अतः, त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है और कोई घर्षण नहीं है, इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
मान लीजिए $R$ ट्रैक की त्रिज्या है और $r$ गोले की त्रिज्या है। दिया गया है $r \ll R$.
सबसे निचले बिंदु पर कुल ऊर्जा स्थानांतरण और घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग है:
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए, $I = \frac{2}{5}mr^2$। चूंकि यह बिना फिसले लुढ़कता है, $\omega = \frac{v}{r}$।
$E_{bottom} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\right)\left(\frac{v}{r}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
द्रव्यमान केंद्र द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $h$ पर, वेग शून्य हो जाता है, इसलिए कुल ऊर्जा पूरी तरह से स्थितिज ऊर्जा है:
$E_{top} = mgh$
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
ट्रैक की ज्यामिति से, $h = R(1 - \cos\theta)$।
मान रखने पर $v = 10 \ m/s$, $g = 10 \ m/s^2$, और $R = 10 \ m$:
$h = \frac{7 \times (10)^2}{10 \times 10} = 7 \ m$
$7 = 10(1 - \cos\theta) \Rightarrow 0.7 = 1 - \cos\theta \Rightarrow \cos\theta = 0.3 = \frac{3}{10}$
इसलिए, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{3}{10}\right)$।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या की कोई वस्तु $h$ ऊँचाई के नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कती है, तो नीचे पहुँचने पर उसका वेग $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है।
वलय के लिए, $k^2 = R^2$, इसलिए $v_R = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
ठोस चकती के लिए, $k^2 = \frac{R^2}{2}$, इसलिए $v_D = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
ठोस गोले के लिए, $k^2 = \frac{2R^2}{5}$, इसलिए $v_S = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
इन मानों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि $V_S > V_D > V_R$।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, कुल प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर कुल अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस गोले के लिए, $I = \frac{2}{5}mR^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए, $\omega = \frac{v}{R}$।
$E_i = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
उच्चतम बिंदु पर, अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य होती है, और स्थितिज ऊर्जा $mgh$ होती है।
अतः, $\frac{7}{10}mv^2 = mgh \Rightarrow h = \frac{7v^2}{10g}$
दिया गया है $v = 4 \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$, तो $h = \frac{7 \times 4^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 16}{100} = 1.12 \ m$।
समतल के अनुदिश दूरी $\ell$ का मान $\ell = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1.12}{0.5} = 2.24 \ m = 224 \ cm$ है।

(C) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कते हुए एक ठोस गोले के लिए, निचले सिरे पर कुल गतिज ऊर्जा $K$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूंकि $I = \frac{2}{5}mR^2$ और $v = R\omega$, इसलिए $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा निचले सिरे पर कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होती है:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2 \implies v^2 = \frac{10}{7}gh$.
जब गेंद को $v$ वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो यह गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति करती है। अधिकतम ऊँचाई $h'$ पर, अंतिम वेग $0$ होता है। गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 - 2gh'$ का उपयोग करने पर:
$0 = v^2 - 2gh' \implies h' = \frac{v^2}{2g}$.
$v^2 = \frac{10}{7}gh$ का मान रखने पर:
$h' = \frac{10/7 gh}{2g} = \frac{5}{7}h$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (स्थानांतरीय + घूर्णन) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ है।
चूँकि वस्तु बिना फिसले लुढ़कती है, $\omega = \frac{v_0}{R}$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = kmR^2$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$K_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(kmR^2)(\frac{v_0}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2(1+k)$।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर, स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh$ है।
$K_i = U_f$ को बराबर करने पर, हमें मिलता है $\frac{1}{2}mv_0^2(1+k) = mgh$।
अतः, $h = \frac{v_0^2(1+k)}{2g}$।
दिया गया है कि $h = \frac{7v_0^2}{10g}$, दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{v_0^2(1+k)}{2g} = \frac{7v_0^2}{10g} \Rightarrow 1+k = \frac{14}{10} = 1.4 \Rightarrow k = 0.4$।
ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है, इसलिए $k = 0.4$ है।
अतः, वह वस्तु एक ठोस गोला है।

(A) चिकने नत समतल पर फिसलने वाले पिंड के लिए, कोई घर्षण नहीं होता है, इसलिए पूरी स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mV^2$, जिससे $V = \sqrt{2gh}$ या $V^2 = 2gh$ प्राप्त होता है।
उसी नत समतल पर लुढ़कने वाली वलय के लिए, स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
वलय के लिए $I = mr^2$ और $\omega = v'/r$ होने के कारण, हमें प्राप्त होता है $mgh = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v'/r)^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}mv'^2 = mv'^2$.
अतः, $v'^2 = gh$.
$gh = V^2/2$ को समीकरण में रखने पर, हमें $v'^2 = V^2/2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $v' = \frac{V}{\sqrt{2}}$।

(A) नत समतल पर लुढ़कती हुई वस्तु का त्वरण $a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^2/R^2}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k$ घूर्णन त्रिज्या है और $R$ वस्तु की त्रिज्या है।
ठोस बेलन के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है, इसलिए $k^2 = R^2/2$, जिससे $k^2/R^2 = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः, $a_c = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
ठोस गोले के लिए, जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ है, इसलिए $k^2 = 2/5 R^2$, जिससे $k^2/R^2 = 2/5$ प्राप्त होता है।
अतः, $a_s = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
बेलन और गोले के त्वरण का अनुपात $a_c/a_s = (2/3) / (5/7) = (2/3) \times (7/5) = 14/15$ है।

(B) एक ठोस गोले के लिए, उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
चूंकि गोला बिना फिसले लुढ़क रहा है, इसलिए इसका रेखीय वेग $v$ और कोणीय वेग $\omega$ का संबंध $v = R\omega$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{2}{5}MR^2)(\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{5}Mv^2$ है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{\frac{7}{10}Mv^2}{\frac{1}{5}Mv^2} = \frac{7}{10} \times 5 = \frac{7}{2}$ है।

(D) जब एक ठोस गोला बिना फिसले लुढ़कता है, तो ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
चूँकि $I = \frac{2}{5}mr^2$ और $\omega = \frac{v_1}{r}$, इसलिए: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v_1}{r})^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{5}mv_1^2 = \frac{7}{10}mv_1^2$.
अतः, $v_1 = \sqrt{\frac{10gh}{7}}$.
जब गोला फिसलता है (घर्षण रहित), तो स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में बदल जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv_2^2$.
अतः, $v_2 = \sqrt{2gh}$.
अनुपात $V_1 : V_2 = \sqrt{\frac{10gh}{7}} : \sqrt{2gh} = \sqrt{\frac{10}{7}} : \sqrt{2} = \sqrt{\frac{5}{7}} = \sqrt{5} : \sqrt{7}$.