Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(A) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ, સદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 13\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
ઘનફળ $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(1, 1, 1) \cdot (13, -7, -2)| = |13 - 7 - 2| = 4 \text{ ઘન એકમ}$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પાયાના સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$A = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38}$.
ઊંચાઈ $h = V / A = 4 / \sqrt{38} = 2\sqrt{2} / \sqrt{19} \text{ એકમ}$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$, $\vec{b}$, અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હારને અનુસરીને વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
$-1(c_3 - 2) = 0$.
$c_3 - 2 = 0$.
$c_3 = 2$.

(C) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $OBDC$ માં, વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{OD} = \hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = -3\hat{i} - 2\hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\vec{OB} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) + (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} \implies \vec{OB} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2\vec{OC} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (-3\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k} \implies \vec{OC} = 2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
સમાંતર ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix}$.
$= 1(4 - 2) - 2(-4 - 4) + 3(-1 - 2) = 1(2) - 2(-8) + 3(-3) = 2 + 16 - 9 = 9$.
આમ, ઘનફળ $9$ ઘન એકમ છે.

(D) ધારો કે $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે. વ્યાખ્યા મુજબ, $\vec{a} \cdot \vec{p} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}{V} = 1$ થાય.
તે જ રીતે, $\vec{b} \cdot \vec{q} = 1$ અને $\vec{c} \cdot \vec{r} = 1$ થાય.
વળી, $\vec{b} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{p} = 0$, $\vec{c} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{q} = 0$, $\vec{a} \cdot \vec{r} = 0$, અને $\vec{b} \cdot \vec{r} = 0$ થાય કારણ કે સદિશનો તેની સાથેના ક્રોસ પ્રોડક્ટ સાથેનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય છે.
હવે, પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r} = (\vec{a} \cdot \vec{p} + \vec{b} \cdot \vec{p}) + (\vec{b} \cdot \vec{q} + \vec{c} \cdot \vec{q}) + (\vec{c} \cdot \vec{r} + \vec{a} \cdot \vec{r})$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $(1 + 0) + (1 + 0) + (1 + 0) = 3$ મળે છે.

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
ધારો કે સદિશો $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$, $\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$, અને $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$ છે.
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$।
બીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા: $-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$।
$-(ab - c^2) = 0$।
$c^2 = ab$।
$c = \sqrt{ab}$।
આમ, $c$ એ $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે।

(A) પગલું $1$: અદિશ ત્રિગુણન $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ નો ઉપયોગ કરીને સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ શોધો.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - (-2)) - \hat{j}(4 - 6) + \hat{k}(1 - (-9)) = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 10\hat{k}$.
ઘનફળ $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |(-2)(14) + (5)(2) + (3)(10)| = |-28 + 10 + 30| = 12$.
પગલું $2$: $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા રચિત પાયાનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જે $|\vec{b} \times \vec{c}|$ છે.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 4 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
પગલું $3$: ઊંચાઈ $h = V / \text{ક્ષેત્રફળ} = 12 / (10\sqrt{3}) = 6 / (5\sqrt{3}) = (6\sqrt{3}) / 15 = 2\sqrt{3} / 5$.

(D) વિધેય $f(x)$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે, જે નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના અનુસંધાનમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક મહત્તમ શોધવા માટે, $f'(x) = 3x^2 - 27$ મેળવો. $f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 9$, તેથી $x = \pm 3$ મળે છે.
$f''(x) = 6x$। સ્થાનિક મહત્તમ માટે, $f''(x) < 0$ હોવું જોઈએ, તેથી $x_0 = -3$ છે.
હવે $x = -3$ પર $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (-3)(7) + (-2)(-2) + (3)(-3) = -21 + 4 - 9 = -26$.

(B) અદિશ ત્રિપુટી ગુણાકાર $[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot ((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}))$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
સદિશ ત્રિપુટી ગુણાકાર નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})$ નું વિસ્તરણ કરીએ:
$(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$
$= ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) + ((\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}$
હવે, $\vec{a}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$[\vec{a} \quad \vec{a} + \vec{b} \quad \vec{a} \times \vec{b}] = \vec{a} \cdot [(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{b} + |\vec{b}|^2 \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b}]$
$= (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) - |\vec{a}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a}) - (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$= (8)(16) - (16)(8) + (9)(16) - (8)(8)$
$= 0 + 144 - 64 = 80$.

(D) કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે, તેથી અદિશ ત્રિગુણન $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$ થાય.
આ ઘટકોના નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$.
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$.
$4 + 2x = 0$.
$2x = -4$.
$x = -2$.

(A) શિરોબિંદુઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $\vec{a} = (5, -1, 1)$, $\vec{b} = (7, -4, p)$, $\vec{c} = (1, -6, 10)$, $\vec{d} = (-1, -3, 7)$ છે.
$\vec{b}-\vec{a} = (2, -3, p-1)$, $\vec{c}-\vec{a} = (-4, -5, 9)$, $\vec{d}-\vec{a} = (-6, -2, 6)$ છે.
ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\det \begin{pmatrix} 2 & -3 & p-1 \\ -4 & -5 & 9 \\ -6 & -2 & 6 \end{pmatrix}| = 11$ છે.
$|2(-30 + 18) + 3(-24 + 54) + (p-1)(8 - 30)| = 66$ છે.
$|2(-12) + 3(30) + (p-1)(-22)| = 66$ છે.
$|-24 + 90 - 22p + 22| = 66$ છે.
$|88 - 22p| = 66$ છે.
કિસ્સો $1$: $88 - 22p = 66 \implies 22p = 22 \implies p = 1$ છે.
કિસ્સો $2$: $88 - 22p = -66 \implies 22p = 154 \implies p = 7$ છે.
આમ, $p$ ની એક કિંમત $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે, સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$ છે.
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સહ-આદિમ ધારવાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં, $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{v} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$, $\vec{w} = 2(\vec{b} \times \vec{c})$ છે.
તેથી, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (2(\vec{a} \times \vec{c})) \ (2(\vec{b} \times \vec{c}))] = 4 [(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})]$ થાય.
નિત્યસમ $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{b} \times \vec{c}) \ (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા, $[(\vec{a} \times \vec{b}) \ (\vec{a} \times \vec{c}) \ (\vec{b} \times \vec{c})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ મળે છે.
તેથી, $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 4 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36$ થાય.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} \times 36 = 6 \text{ ઘન એકમ}$ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\left| \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix} \right|$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ દર્શાવે છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે, તેથી $\vec{a} = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$.
આમ, $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \pm |\vec{b} \times \vec{c}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં, આપણને કિંમત $|\vec{b} \times \vec{c}|^2$ મળે છે.
સૂત્ર $|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતાં, જ્યાં $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
$|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 \sin^2(\frac{\pi}{3}) = |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2$.