Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે,
દડાની પ્રારંભિક ઝડપ $(u) = 20 \,m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $(\theta) = 30^{\circ}$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $(g) = 10 \,m/s^2$
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આપેલ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{(20)^2 \times (\sin 30^{\circ})^2}{2 \times 10}$
$H = \frac{400 \times (1/2)^2}{20}$
$H = \frac{400 \times (1/4)}{20}$
$H = \frac{100}{20}$
$H = 5 \,m$
તેથી, દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \,m$ છે.

(C) વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta = 2 \sqrt{gh} \cos 60^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, તેથી $v_x = 2 \sqrt{gh} \times \frac{1}{2} = \sqrt{gh}$ મળે.
કણ બે દીવાલો વચ્ચે $d = 2h$ જેટલું સમક્ષિતિજ અંતર કાપે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી, દીવાલો વચ્ચે મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $t = \frac{2h}{\sqrt{gh}} = 2 \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(B) $v_1$ વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ પદાર્થ માટે, મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1 = \frac{v_1}{g}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g}$ છે.
$v_2$ વેગ સાથે $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા પદાર્થ માટે, મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_2 = \frac{v_2 \sin \theta}{g}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 2t_2$, તેથી $\frac{v_1}{g} = 2 \left( \frac{v_2 \sin \theta}{g} \right)$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ મળે છે.
હવે, ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \frac{v_1^2 / 2g}{v_2^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{v_1^2}{v_2^2 \sin^2 \theta}$ થાય.
$v_1 = 2 v_2 \sin \theta$ કિંમત મૂકતા, $\frac{h_1}{h_2} = \frac{(2 v_2 \sin \theta)^2}{v_2^2 \sin^2 \theta} = \frac{4 v_2^2 \sin^2 \theta}{v_2^2 \sin^2 \theta} = 4$.
આમ, ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) આપેલ માર્ગનું સમીકરણ $y = ax - bx^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના માર્ગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\tan \theta = a \implies \theta = \tan^{-1}(a)$.
વળી, $b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$\tan \theta = a$ પરથી, $\sin \theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ મળે.
$u^2 = \frac{g}{2b \cos^2 \theta}$ ને ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{g}{2b \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4b} = \frac{a^2}{4b}$.
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈ $\frac{a^2}{4b}$ અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\tan^{-1}(a)$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે, પ્રક્ષેપણ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
તેથી, $R_{\max} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \quad \dots (i)$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા, આપણને મળે $T = \frac{2u \sin 45^{\circ}}{g} = \frac{2u}{g \sqrt{2}} = \frac{u \sqrt{2}}{g}$.
આના પરથી, $u = \frac{Tg}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
હવે $u$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{1}{g} \left( \frac{Tg}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{g} \cdot \frac{T^2 g^2}{2} = \frac{g T^2}{2}$.

(C) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
ધારો કે કણને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી ફેંકવામાં આવે છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ, યામ $(R/2, H)$ છે, જ્યાં $R$ એ અવધિ અને $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \frac{R}{2} \hat{i} + H \hat{j}$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{(R/2)^2 + H^2}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{v \sin \theta}{g}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ અને $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
તેથી, $R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{\left(\frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}\right)^2 + \left(\frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}\right)^2} = \frac{v^2 \sin \theta}{g} \sqrt{\cos^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{4}} = \frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}$.
સરેરાશ વેગ $v_{av} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{v^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}}{\frac{v \sin \theta}{g}} = \frac{v}{2} \sqrt{1+3 \cos ^2 \theta}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે, તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે પ્રક્ષેપણ ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + \frac{g r^2}{2 u^2}}{\frac{g r^2}{2 u^2}} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
$r$ જેટલા આડા અંતરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
આમ, $t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, $t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુ $P$ નો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે, $t_1 t_2 = \frac{2 r^2}{g y}$. જો આપણે એવો કિસ્સો લઈએ કે જ્યાં બિંદુ પ્રક્ષેપણ બિંદુની સપાટી પર જ છે $(y=0)$, તો $t_1 t_2$ એ $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ હંમેશા તેના પથને સ્પર્શક હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે, જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે. તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ સદિશ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે, જે સમક્ષિતિજ સાથે $0^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = 20 \ m$ અને $\theta = 30^{\circ}$, તેથી $20 = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g}$.
$\Rightarrow 20 = \frac{u^2 \sin 60^{\circ}}{g} = \frac{u^2}{g} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી, $\frac{u^2}{g} = \frac{20 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left(\frac{u^2}{g}\right) \sin^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{40}{\sqrt{3}}\right) \times \sin^2 30^{\circ}$.
$H = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{\sqrt{3}} \ m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} x^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10x - \frac{5}{9}x^2$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
$\tan \theta = 10$
અને
$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$.
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી, તેને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{10}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies \frac{5}{u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9} \implies u^2 \cos^2 \theta = 9$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
આને આપણે $R = \frac{2(u^2 \cos^2 \theta) \tan \theta}{g}$ તરીકે પણ લખી શકીએ.
$u^2 \cos^2 \theta = 9$, $\tan \theta = 10$, અને $g = 10 \ m/s^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{2 \times 9 \times 10}{10} = 18 \ m$.

(A) સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = (u \cos \theta) t = 6t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2 = 8t - 5t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા, આપણને $u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ અને $\frac{1}{2} g = 5$ મળે છે, તેથી $g = 10 \text{ m/s}^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2(u \sin \theta)(u \cos \theta)}{g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{2 \times 8 \times 6}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ m}$.

(A) આપેલા સમીકરણો $x = 36t$ અને $2y = 96t - 9.8t^2$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા, આપણને $y = 48t - 4.9t^2$ મળે છે.
આને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો સાથે સરખાવતા:
$x = (u \cos \theta)t$ અને $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$.
આપણે વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકને $u \cos \theta = 36$ અને શિરોલંબ ઘટકને $u \sin \theta = 48$ તરીકે ઓળખીએ છીએ.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ શોધવા માટે, આપણે $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ ગણીએ છીએ.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$, આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થાય.
તેથી, $\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$.
આમ, $\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.

(D) સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = 36t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = u_x t$ સાથે સરખાવતા, આપણને પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 36 \ m/s$ મળે છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 48t - 4.9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (જ્યાં $g \approx 9.8 \ m/s^2$) સાથે સરખાવતા, આપણને પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = 48 \ m/s$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ એ તેના ઘટકોના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય છે:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \ m/s$, પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$, અને $g = 10 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $h = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આ સમીકરણને આપેલ સમીકરણ $h = Ax - Bx^2$ સાથે સરખાવતા:
$A = \tan \theta = \tan 45^{\circ} = 1$.
$B = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{10}{2 \times (20)^2 \times (\cos 45^{\circ})^2} = \frac{10}{2 \times 400 \times (1/\sqrt{2})^2} = \frac{10}{800 \times 1/2} = \frac{10}{400} = \frac{1}{40}$.
હવે, $A:B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{A}{B} = \frac{1}{1/40} = 40$.
તેથી, $A:B$ નો ગુણોત્તર $40:1$ છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $u$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} m u^2 = K$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે, જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $u \cos \theta$ અચળ રહે છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE_2$ નીચે મુજબ મળે:
$KE_2 = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$
$KE_2 = (\frac{1}{2} m u^2) \cos^2 \theta$
અહીં $KE_1 = K$ અને $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$KE_2 = K \cos^2 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, તેથી:
$KE_2 = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં, જ્યારે હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ, સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $(a_{x})$ શૂન્ય છે.
કારણ કે $a_{x} = 0$, તેથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_{x})$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી, $u_{x}$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સમક્ષિતિજ સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
આ આકૃતિ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) આપેલ છે:
પ્લેનનો આડો વેગ, $u = 360 \text{ km/h} = 360 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 100 \text{ m/s}$.
ઊંચાઈ, $h = 500 \text{ m}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \text{ m/s}^2$.
જ્યારે બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \text{ s}$.
આ સમય દરમિયાન બોમ્બ દ્વારા કાપવામાં આવેલ આડું અંતર $R = u \times t$ છે.
$R = 100 \text{ m/s} \times 10 \text{ s} = 1000 \text{ m}$.
તેથી, બોમ્બને લક્ષ્યથી $1000 \text{ m}$ આગળ ફેંકવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે, પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$.
અવધિ $R = 5 \ m$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{(10)^2 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = \frac{100 \sin(2\alpha)}{10}$
$5 = 10 \sin(2\alpha)$
$\sin(2\alpha) = \frac{5}{10} = 0.5$.
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$, તેથી $2\alpha = 30^{\circ}$ અથવા $2\alpha = 150^{\circ}$.
તેથી, $\alpha = 15^{\circ}$ અથવા $\alpha = 75^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચું મૂલ્ય $15^{\circ}$ છે.

(A) સમય $t$ પર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈ માટે:
$h_1 = (u \sin \theta)t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 \implies \frac{h_1}{t_1} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_1 \quad (1)$
$h_2 = (u \sin \theta)t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \implies \frac{h_2}{t_2} = u \sin \theta - \frac{1}{2}gt_2 \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$\frac{h_1}{t_1} - \frac{h_2}{t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1) \implies \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2}g(t_2 - t_1)$
$\frac{g}{2} = \frac{h_1 t_2 - h_2 t_1}{t_1 t_2 (t_2 - t_1)} \quad (3)$
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે. સમીકરણ $(1)$ પરથી, $u \sin \theta = \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1$.
$T = \frac{2}{g} \left( \frac{h_1}{t_1} + \frac{1}{2}gt_1 \right) = \frac{2h_1}{gt_1} + t_1$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $\frac{g}{2}$ ની કિંમત $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{h_1}{t_1} \left( \frac{t_1 t_2 (t_2 - t_1)}{h_1 t_2 - h_2 t_1} \right) + t_1 = \frac{h_1 t_2^2 - h_1 t_1 t_2 + h_1 t_1 t_2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$
$T = \frac{h_1 t_2^2 - h_2 t_1^2}{h_1 t_2 - h_2 t_1}$.

(A) આપેલ છે, પ્રારંભિક વેગ સદિશ $v = (3 \hat{i} + 10 \hat{j}) \text{ m/s}$.
$v = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $v_x = 3 \text{ m/s}$ અને $v_y = 10 \text{ m/s}$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{v_y^2}{2g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \text{ m}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) $R$ નું સૂત્ર $R = v_x \times T$ છે, જ્યાં $T = \frac{2v_y}{g}$ એ ઉડ્ડયન સમય છે.
ઉડ્ડયન સમયની ગણતરી: $T = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \text{ s}$.
અવધિની ગણતરી: $R = 3 \times 2 = 6 \text{ m}$.
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \text{ m}$ અને અવધિ $6 \text{ m}$ છે.

(C) જમીન પર, પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને કણનો વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો જ રહે છે, જે $v_x = u \cos \theta$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી, મહત્તમ બિંદુએ સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = u \cos 60^{\circ} = u \times \frac{1}{2} = \frac{u}{2}$ થાય છે.
મહત્તમ બિંદુએ ગતિઊર્જા $E^{\prime} = \frac{1}{2} m v_x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_x$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $E^{\prime} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u}{2} \right)^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{u^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right)$ મળે છે.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m u^{2}$ છે, તેથી $E^{\prime} = \frac{E}{4}$ થાય.

(C) આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 80 \ m$, પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $v = 8 \ ms^{-1}$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
લંબવત ગતિ માટે, જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$80 = 5t^2 \implies t^2 = 16 \implies t = 4 \ s$.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે, કાપેલું અંતર $d = v \times t$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 8 \times 4 = 32 \ m$.
આમ, સમય $t = 4 \ s$ અને અંતર $d = 32 \ m$ છે.

(A) પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m u^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થાય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $u \cos \beta$ રહે છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2} m (u \cos \beta)^2 = K \cos^2 \beta$ થાય.
આપેલ છે કે $K' = \frac{3}{4} K$, તેથી $K \cos^2 \beta = \frac{3}{4} K$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2 \beta = \frac{3}{4}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી, $\beta = 30^{\circ}$.

(B) દડાની ગતિ એ સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ છે.
શિરોલંબ ગતિ માટે, પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0 \text{ m/s}$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $H = 19.6 \text{ m}$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $H = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$19.6 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = \frac{19.6}{4.9} = 4$
$t = \sqrt{4} = 2 \text{ s}$.
આમ, દડાને જમીન પર પહોંચતા $2 \text{ s}$ લાગશે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં, સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ કાર્ય કરતું ન હોવાથી સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 60^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $u_x = u \cos(60^{\circ})$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 1/2$, તેથી સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \times (1/2) = u/2$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે, પરંતુ સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u/2$ છે.

(C) કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને કણનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે, જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $v_x = v \cos 60^{\circ} = \frac{v}{2}$ થશે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{1}{2} m (v_x)^2$ દ્વારા મળે છે.
$v_x$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $K' = \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{v^2}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m v^2)$ મળે છે.
આમ, $K = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી, $K' = \frac{K}{4}$ થાય.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_m = \frac{u_y}{g} = 2 \text{ s}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g = 10 \text{ m/s}^2$, તેથી $u_y = 2 \times 10 = 20 \text{ m/s}$ મળે.
કોઈપણ સમય $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ એ સમીકરણ $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 3 \text{ s}$ સમયે, દડો $H$ ઊંચાઈ પર છે, તેથી:
$H = (20 \text{ m/s}) \times (3 \text{ s}) - \frac{1}{2} \times (10 \text{ m/s}^2) \times (3 \text{ s})^2$
$H = 60 \text{ m} - 5 \times 9 \text{ m}$
$H = 60 \text{ m} - 45 \text{ m} = 15 \text{ m}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ છે.
બે કોટિકોણ $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે, સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન હોય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2v \sin \theta}{g} = 5 \text{ s}$ અને $T_2 = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g} = 10 \text{ s}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
$T_1$ અને $T_2$ નો ગુણાકાર કરતા, આપણને $T_1 T_2 = \frac{4v^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2} = \frac{2}{g} \left( \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$ મળે છે.
તેથી, $R = \frac{1}{2} g T_1 T_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \times 10 = 250 \text{ m}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોનો પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન હોવાથી, અવધિ એ $\sin(2\theta)$ ના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $R \propto \sin(2\theta)$.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે, $\theta_1 = 15^{\circ}$, તેથી $R_1 \propto \sin(2 \times 15^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 1/2$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે, $\theta_2 = 30^{\circ}$, તેથી $R_2 \propto \sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2$.
તેમની અવધિનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
આપેલ ગુણોત્તર $1:x$ હોવાથી, $1:x = 1:\sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી, $x = \sqrt{3}$.

(B) સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = 24t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક $v_x = \frac{dx}{dt} = 24 \text{ m/s}$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્થાન $y = 43.6t - 4.9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઉર્ધ્વ વેગનો ઘટક $v_y = \frac{dy}{dt} = 43.6 - 9.8t$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે, ઉર્ધ્વ વેગ $v_y = 43.6 - 9.8(2) = 43.6 - 19.6 = 24 \text{ m/s}$ થાય છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\tan \theta = \frac{24}{24} = 1$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(A) ગોળીઓ દ્વારા પહોંચી શકાતું સૌથી દૂરનું અંતર એ મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $(R_{max})$ છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ કિંમતો $R_{max} = 6.4 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $6.4 = \frac{u^2}{10}$.
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા, આપણને $u^2 = 64$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $u = 8 \text{ m/s}$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં, વેગ $v$ શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે તે સમક્ષિતિજ સાથે $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી, વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos(30^{\circ}) = v \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
પછીની ક્ષણે, વેગ $v'$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આ નવા વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v'_x = v' \cos(60^{\circ}) = v' \frac{1}{2}$ થાય.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહેતો હોવાથી, $v_x = v'_x$.
$v \frac{\sqrt{3}}{2} = v' \frac{1}{2}$.
$v'$ માટે ઉકેલતા, આપણને $v' = v\sqrt{3}$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે, $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે, અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે, અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\beta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$, તેથી $\beta = 90^{\circ} - \alpha$.
આ કિંમતને $R_2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે $R_2 = \frac{u^2 \sin(2(90^{\circ} - \alpha))}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા, $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ મળે છે.
આમ $R_1 = R_2$ હોવાથી, ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 1$ થશે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
આપેલ છે કે બંને દડા $A$ અને $B$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે, તેથી $H_A = H_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{u_A^2 \sin^2(45^{\circ})}{2g} = \frac{u_B^2 \sin^2(60^{\circ})}{2g}$.
બંને બાજુથી $2g$ દૂર કરતા, $u_A^2 \sin^2(45^{\circ}) = u_B^2 \sin^2(60^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા, $\sin(45^{\circ}) = 1/\sqrt{2}$ અને $\sin(60^{\circ}) = \sqrt{3}/2$, તેથી $u_A^2 (1/\sqrt{2})^2 = u_B^2 (\sqrt{3}/2)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $u_A^2 (1/2) = u_B^2 (3/4)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા, $\frac{u_A^2}{u_B^2} = \frac{3/4}{1/2} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\frac{u_A}{u_B} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
દડા $P$ માટે, શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે, તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
દડા $P$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_P = \frac{u^2 \sin^2(30^{\circ})}{2g} = \frac{u^2 (0.5)^2}{2g} = \frac{u^2}{8g}$ છે.
દડા $Q$ માટે, જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
દડા $Q$ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_Q = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ})}{2g} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
દડા $P$ અને દડા $Q$ ની સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{PE_P}{PE_Q} = \frac{mgH_P}{mgH_Q} = \frac{H_P}{H_Q} = \frac{u^2/8g}{u^2/2g} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = nH$, તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = n \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$2 \cos \theta = \frac{n \sin \theta}{2}$.
$\tan \theta$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4}{n}$.
તેથી, $\tan \theta = \frac{4}{n}$, જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(\frac{4}{n})$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = x - \frac{gx^2}{2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\tan \theta = 1$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.
વળી, $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા, $\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{g}{2}$ મળે છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $u^2 \cos^2 \theta = 1$ થાય છે.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ કિંમત મૂકતા, $u^2 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1$ મળે છે.
$u^2 (\frac{1}{2}) = 1 \implies u^2 = 2$.
તેથી, પ્રારંભિક વેગ $u = \sqrt{2} \text{ m/s}$ થાય.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે, તેથી $H_1 = H_2$.
તેથી, $\frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta_2}{2g}$.
આ સમીકરણ $u_1^2 \sin^2 \theta_1 = u_2^2 \sin^2 \theta_2$ માં પરિણમે છે.
આપેલ કિંમતો $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$u_1^2 \sin^2(30^{\circ}) = u_2^2 \sin^2(45^{\circ})$.
$u_1^2 (0.5)^2 = u_2^2 (1/\sqrt{2})^2$.
$u_1^2 (1/4) = u_2^2 (1/2)$.
$u_1^2 / u_2^2 = (1/2) / (1/4) = 4/2 = 2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $u_1 / u_2 = \sqrt{2} / 1$ મળે છે.
આમ, તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર $\sqrt{2}:1$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
બંને પદાર્થો માટે $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta_1 = 30^\circ$ અને $\theta_2 = 45^\circ$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(30^\circ)}{\sin^2(45^\circ)} = \frac{(1/2)^2}{(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।
આમ, ગુણોત્તર $1:2$ છે.