Mathematical analysis of cubic system and Bragg’s equation Questions in Hindi

(A) फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ इकाई सेल में, परमाणु फलक विकर्ण के साथ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
माना इकाई सेल की कोर की लंबाई $a = x \text{ pm}$ है और परमाणु की त्रिज्या $r$ है।
फलक विकर्ण की लंबाई $d = \sqrt{2}a = \sqrt{2}x$ होती है।
चूंकि परमाणु फलक विकर्ण पर स्पर्श करते हैं, इसलिए विकर्ण की लंबाई $4r$ होती है।
अतः, $4r = \sqrt{2}x$, जिससे $r = \frac{\sqrt{2}x}{4} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
परमाणु का व्यास $D = 2r = 2 \times \frac{x}{2\sqrt{2}} = \frac{x}{\sqrt{2}} \text{ pm}$ होगा।

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $d = \frac{ZM}{a^3 N_0}$ है।
$bcc$ इकाई सेल के लिए: $Z = 2$ और $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
अतः,$d_{bcc} = \frac{2M}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^3 N_0}$.
$fcc$ इकाई सेल के लिए: $Z = 4$ और $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$.
अतः,$d_{fcc} = \frac{4M}{(\frac{4r}{\sqrt{2}})^3 N_0}$.
घनत्व का अनुपात $\frac{d_{bcc}}{d_{fcc}} = \frac{2}{a_{bcc}^3} \times \frac{a_{fcc}^3}{4} = \frac{1}{2} \times (\frac{a_{fcc}}{a_{bcc}})^3 = \frac{1}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^3 = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$.

(D) $NaCl$ का मोलर द्रव्यमान $= 58.5 \ g/mol$.
$1 \ g \ NaCl = \frac{1}{58.5} \text{ मोल } NaCl$.
$NaCl$ के सूत्र इकाइयों की संख्या $= \frac{1}{58.5} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 1.03 \times 10^{22} \text{ इकाइयाँ}$.
चूंकि $NaCl$ की संरचना $fcc$ होती है,प्रत्येक एकक कोष्ठिका में $4$ सूत्र इकाइयाँ होती हैं।
एकक कोष्ठिकाओं की संख्या $= \frac{\text{कुल सूत्र इकाइयाँ}}{4} = \frac{1.03 \times 10^{22}}{4} \approx 2.57 \times 10^{21} \text{ एकक कोष्ठिका}$.

(B) दिया गया है: परमाणु द्रव्यमान $(M) = 120 \ g \ mol^{-1}$,घनत्व $(d) = 6.25 \ g \ cm^{-3}$,किनारे की लंबाई $(a) = 400 \ pm = 400 \times 10^{-10} \ cm$,आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व के सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$.
मान रखने पर: $6.25 = \frac{Z \times 120}{6.022 \times 10^{23} \times (400 \times 10^{-10})^3}$.
गणना करने पर $Z = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ है,इसलिए क्रिस्टल जालक काय केंद्रित (body centered) है।

(B) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर लंबाई $a = x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
$Cu$ का परमाणु द्रव्यमान $= 63.5 \ g \ mol^{-1}$.
एवोगाड्रो संख्या $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व $d$ के लिए सूत्र:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
मान रखने पर:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(x \times 10^{-8})^3 \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 10^{-24} \times 6.0 \times 10^{23}}$
$d = \frac{254}{x^3 \times 0.6} = \frac{423.33}{x^3} \approx \frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ या $(C)$ है।

(B) दिया गया है, बॉडी सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ यूनिट सेल में परमाणु की त्रिज्या, $r = 173.2 \ pm = 173.2 \times 10^{-10} \ cm$.
$bcc$ संरचना के लिए, किनारे की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{3} \cdot a = 4r$ है।
अतः, $a = \frac{4r}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 173.2 \times 10^{-10}}{1.732} \ cm$.
$a = 4 \times 100 \times 10^{-10} \ cm = 400 \times 10^{-10} \ cm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
यूनिट सेल का आयतन $V = a^3 = (4 \times 10^{-8} \ cm)^3$.
$V = 64 \times 10^{-24} \ cm^3 = 6.4 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(C) घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N_A$ आवोगाद्रो संख्या है और $a$ कोर की लंबाई है।
$fcc$ के लिए,$Z_1 = 4$ और $a_1 = 3.5 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ के लिए,$Z_2 = 2$ और $a_2 = 3.0 \ \mathring{A}$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \frac{a_2^3}{a_1^3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{d_{fcc}}{d_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \frac{(3.0)^3}{(3.5)^3} = 2 \times \frac{27}{42.875} = 2 \times 0.6297 = 1.2594 \approx 1.26 : 1$.

(D) $FCC$ इकाई कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $(a)$ और त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 25 \ pm = 25 \times 10^{-10} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 25 \times 10^{-10} \ cm = 70.7 \times 10^{-10} \ cm = 7.07 \times 10^{-9} \ cm$.
एक इकाई कोष्ठिका का आयतन $(V_{cell})$ $a^3 = (7.07 \times 10^{-9} \ cm)^3 \approx 353.5 \times 10^{-27} \ cm^3 = 3.535 \times 10^{-25} \ cm^3$ है।
$1.0 \ cm^3$ में इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या $\frac{1.0 \ cm^3}{V_{cell}} = \frac{1}{3.535 \times 10^{-25}} \approx 0.2828 \times 10^{25} = 2.828 \times 10^{24}$ है।

(C) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ और कोर लंबाई $a = 3.5 \mathring{A}$ है।
$\rho_{fcc} = \frac{4 \times M}{(3.5)^3 \times N_A}$
$bcc$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ और कोर लंबाई $a = 3.0 \mathring{A}$ है।
$\rho_{bcc} = \frac{2 \times M}{(3.0)^3 \times N_A}$
दोनों घनत्वों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4 \times (3.0)^3}{2 \times (3.5)^3} = \frac{4 \times 27}{2 \times 42.875} = \frac{108}{85.75} \approx 1.26$
अतः,$fcc$ और $bcc$ चरणों के घनत्व का अनुपात लगभग $1.26:1$ है।

(A) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Z \times M}{N \times a^3}$,जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$N$ आवोगाद्रो संख्या है,और $a$ इकाई सेल की कोर लंबाई है।
$bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
घनत्व सूत्र में $Z = 2$ रखने पर: $d = \frac{2M}{N \times a^3}$.
$a^3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^3 = \frac{2M}{Nd}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $a = \left( \frac{2M}{Nd} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ = $2$ है।
दी गई किनारे की लंबाई $(a)$ = $400 \ pm = 4 \times 10^{-8} \ cm$.
परमाणु द्रव्यमान $(M)$ = $24 \ g \ mol^{-1}$.
एवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ = $6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
घनत्व $(d)$ का सूत्र:
$d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
मान रखने पर:
$d = \frac{2 \times 24}{(4 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{64 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$d = \frac{48}{38.4} = 1.25 \ g \ cm^{-3}$.

(A) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है。
दिया गया है:
घनत्व $d = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3} = 2.7 \ \text{g} \ cm^{-3}$.
मोलर द्रव्यमान $M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1} = 27 \ \text{g} \ mol^{-1}$.
किनारे की लंबाई $a = 405 \ pm = 405 \times 10^{-10} \ cm = 4.05 \times 10^{-8} \ cm$.
एवोगाड्रो संख्या $N_A = 6.02 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
$Z$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
मान रखने पर:
$Z = \frac{2.7 \times (4.05 \times 10^{-8})^3 \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{2.7 \times 66.43 \times 10^{-24} \times 6.02 \times 10^{23}}{27}$.
$Z = \frac{1079.7 \times 10^{-1}}{27} = \frac{107.97}{27} \approx 4$.
चूंकि प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है, इसलिए इकाई सेल $\text{फलक केंद्रित घनीय } (FCC)$ है。

(A) पाउडर $X$-रे विवर्तन $(PXRD)$ पैटर्न में,डेटा को तीव्रता ($y$-अक्ष) बनाम विवर्तन कोण $2 \theta$ ($x$-अक्ष) के रूप में आलेखित किया जाता है।
इस तकनीक का उपयोग क्रिस्टलीय पदार्थों के लक्षण वर्णन के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

(A) ब्रैग के समीकरण के अनुसार:
$n \lambda = 2 \ d \sin \theta$
दिया गया है: $n = 1$, $d = 280 \ pm = 280 \times 10^{-12} \ m$, $\sin \theta = 0.09$.
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 280 \times 10^{-12} \ m \times 0.09}{1}$
$\lambda = 50.4 \times 10^{-12} \ m$
$\lambda = 0.504 \times 10^{-10} \ m = 0.504 \ \mathring{A}$

(C) $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) जालक के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $a = 2\sqrt{2}r$.
दिया गया है कि $a = 4.242 \mathring{A}$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ है।
मान रखने पर: $4.242 = 2 \times 1.414 \times r$.
$4.242 = 2.828 \times r$.
$r = \frac{4.242}{2.828} \approx 1.5 \mathring{A}$.
अतः, $M$ परमाणु की त्रिज्या $1.5 \mathring{A}$ है।

(B) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$fcc$ क्रिस्टल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: $d = 2 \ g \ cm^{-3}$, $a = 600 \ pm = 6 \times 10^{-8} \ cm$, $N_A = 6 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $2 = \frac{4 \times M}{(6 \times 10^{-8})^3 \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{216 \times 10^{-24} \times 6 \times 10^{23}}$
$2 = \frac{4 \times M}{129.6}$
$M = \frac{2 \times 129.6}{4} = 64.8 \ g \ mol^{-1}$।

(B) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है, और $a$ कोर की लंबाई है।
$fcc$ के लिए, $Z_{fcc} = 4$ और $a_{fcc} = 3.5 \ \mathring{A}$ है।
$bcc$ के लिए, $Z_{bcc} = 2$ और $a_{bcc} = 3 \ \mathring{A}$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{Z_{fcc}}{Z_{bcc}} \times \left(\frac{a_{bcc}}{a_{fcc}}\right)^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{\rho_{fcc}}{\rho_{bcc}} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{3}{3.5}\right)^3 = 2 \times \left(\frac{6}{7}\right)^3 = 2 \times \frac{216}{343} = \frac{432}{343} \approx 1.26$.

(A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए, कोर लंबाई $(x)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $x = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
यहाँ $r = 1.86 \ \mathring{A}$ दिया गया है, इसलिए:
$x = \frac{4 \times 1.86}{\sqrt{3}}$
$x = \frac{7.44}{1.732}$
$x \approx 4.29 \ \mathring{A}$.
अतः, $x$ का सही मान $4.29 \ \mathring{A}$ है।

(B) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है, और $a$ किनारे की लंबाई है।
$Z$ के लिए सूत्र: $Z = \frac{\rho \times N_A \times a^3}{M}$
दिया गया है:
$\rho = 2.7 \times 10^3 \ kg \ m^{-3}$
$M = 2.7 \times 10^{-2} \ kg \ mol^{-1}$
$a = 405 \ pm = 4.05 \times 10^{-10} \ m$
$N_A = 6.023 \times 10^{23} \ mol^{-1}$
मान रखने पर:
$Z = \frac{(2.7 \times 10^3) \times (6.023 \times 10^{23}) \times (4.05 \times 10^{-10})^3}{2.7 \times 10^{-2}}$
$Z \approx 4$
अतः, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $4$ है।

(C) इकाई सेल का घनत्व $(d)$ ज्ञात करने का सूत्र: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$
$fcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $= 4$ है।
किनारे की लंबाई $(a)$ $= x \ \mathring{A} = x \times 10^{-8} \ cm$.
दिया गया है $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ और $N_A = 6.0 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$d = \frac{4 \times 63.5}{(6.0 \times 10^{23}) \times (x \times 10^{-8})^3} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{6.0 \times 10^{23} \times x^3 \times 10^{-24}} \ g \ cm^{-3}$
$d = \frac{254}{0.6 \times x^3} \ g \ cm^{-3} = \frac{423.33}{x^3} \ g \ cm^{-3}$
अतः, लगभग घनत्व $\frac{423}{x^3} \ g \ cm^{-3}$ है।

(A) $ccp$ (या $fcc$) इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
कोर की लंबाई $a$ और त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है।
दिया गया है $r = 1.28 \ \mathring{A} = 1.28 \times 10^{-8} \ cm$.
$a = 2 \times 1.414 \times 1.28 \times 10^{-8} \ cm = 3.62 \times 10^{-8} \ cm$.
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
मान रखने पर: $\rho = \frac{4 \times 63.5}{(3.62 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}$.
$\rho = \frac{254}{47.45 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}} = \frac{254}{28.57} \approx 8.89 \ g/cm^3$.
निकटतम मानक मान के अनुसार, घनत्व लगभग $8.96 \ g/cm^3$ है।
अतः, विकल्प $(A)$ सही है।

(A) $bcc$ जालक के लिए, काय विकर्ण (body diagonal) $\sqrt{3}a = 2r^{+} + 2r^{-}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोर लंबाई $a = 200 \ pm$ और धनायन त्रिज्या $r^{+} = 70 \ pm$ है।
$\sqrt{3} = 1.7$ का उपयोग करने पर, काय विकर्ण $1.7 \times 200 = 340 \ pm$ है।
अतः, $2(70) + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$140 + 2r^{-} = 340 \ pm$.
$2r^{-} = 200 \ pm$, इसलिए $r^{-} = 100 \ pm$.
त्रिज्या अनुपात $\frac{r^{+}}{r^{-}} = \frac{70}{100} = 0.7$ है।

(B) इकाई सेल का घनत्व $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\alpha$-रूप $(fcc)$ के लिए: $Z_1 = 4$, $a_1 = 2 \ pm$ है।
$\beta$-रूप $(bcc)$ के लिए: $Z_2 = 2$, $a_2 = 4 \ pm$ है।
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{Z_1}{Z_2} \times \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3$ है।
मान रखने पर: $\frac{\rho_\alpha}{\rho_\beta} = \frac{4}{2} \times \left(\frac{4}{2}\right)^3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$।

(D) दिया गया है: घनत्व $(d) = 10.3 \ g \ cm^{-3}$, कोर लंबाई $(a) = 314 \ pm = 314 \times 10^{-10} \ cm$, मोलर द्रव्यमान $(M) = 247 \ g \ mol^{-1}$ ($\text{$96$ परमाणु क्रमांक वाले तत्व के लिए}$), आवोगाद्रो संख्या $(N_A) = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$.
$Z$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$.
मान रखने पर: $Z = \frac{10.3 \times (314 \times 10^{-10})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{247}$.
$Z = \frac{10.3 \times 3.0959 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}{247} \approx \frac{192.0}{247} \approx 0.777 \approx 1$.
चूंकि $Z = 1$ है, इसलिए ठोस की संरचना सरल घनीय (simple cubic) है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{M \times Z}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है।
$Z$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M}$.
दिया गया है: $d = 8.92 \ g \ cm^{-3}$, $M = 63.55 \ g \ mol^{-1}$, $a = 362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm$, और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$Z = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times (362 \times 10^{-10})^3}{63.55} \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$ है, इसलिए इकाई सेल फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ है।

(D) रॉक साल्ट संरचना ($NaCl$ प्रकार) के लिए, प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
दिया गया है: घनत्व $(\rho)$ $= 3.70 \ g/cm^3$, मोलर द्रव्यमान $(M)$ $= 120 \ g/mol$, आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ $\approx 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\rho = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
$a^3 = \frac{Z \times M}{\rho \times N_A} = \frac{4 \times 120}{3.70 \times 6.022 \times 10^{23}}$
$a^3 = \frac{480}{22.28 \times 10^{23}} \approx 21.54 \times 10^{-23} = 215.4 \times 10^{-24} \ cm^3$
$a = \sqrt[3]{215.4 \times 10^{-24}} \approx 5.99 \times 10^{-8} \ cm \approx 6 \times 10^{-8} \ cm$.

(A) दिया गया है: विवर्तन कोण $(2 \theta) = 90^{\circ}$।
अतः, $\theta = 45^{\circ}$।
दो तलों के बीच की दूरी, $d = 2.28 \ \text{Å}$।
विवर्तन का क्रम, $n = 2$।
ब्रैग का समीकरण $n \lambda = 2 d \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $2 \times \lambda = 2 \times 2.28 \times \sin 45^{\circ}$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = 0.7071$, इसलिए $2 \lambda = 2 \times 2.28 \times 0.7071$।
$\lambda = 2.28 \times 0.7071 = 1.612 \ \text{Å}$।

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ इकाई कोशिका के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच का संबंध है: $4r = \sqrt{3}a$.
दिया गया है कि परमाणु त्रिज्या $r = 75 \ pm$ है।
सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$.
$a = \frac{4 \times 75}{\sqrt{3}} = \frac{300}{\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $a = \frac{300 \times \sqrt{3}}{3} = 100 \times \sqrt{3}$.
चूंकि $\sqrt{3} \approx 1.732$, इसलिए $a = 100 \times 1.732 = 173.2 \ pm$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ जालक के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है।
दिया गया है: $\rho = 5.0 \ g \ cm^{-3}$, $a = 200 \ pm = 2 \times 10^{-8} \ cm$.
$5.0 = \frac{2 \times M}{6.022 \times 10^{23} \times (2 \times 10^{-8})^3}$.
$M = \frac{5.0 \times 6.022 \times 10^{23} \times 8 \times 10^{-24}}{2} = 12.044 \ g \ mol^{-1}$.
$100 \ g$ में मोलों की संख्या $= \frac{100}{M} = \frac{100}{12.044} \approx 8.303 \ mol$.
परमाणुओं की संख्या $= \text{मोल} \times N_A = \frac{100}{M} \times N_A$.
$M$ का मान रखने पर:
परमाणुओं की संख्या $= \frac{100 \times 2}{5.0 \times 8 \times 10^{-24}} = \frac{200}{40 \times 10^{-24}} = 5 \times 10^{24}$.

(D) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(bcc)$ इकाई सेल में, परमाणु मुख्य विकर्ण (body diagonal) पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।
मुख्य विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3} a$ होती है।
चूंकि मुख्य विकर्ण कोने के दो परमाणुओं की त्रिज्या और केंद्र के परमाणु के पूर्ण व्यास से बना होता है, इसलिए $\sqrt{3} a = 4r$ होता है।
अतः, परमाणु त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{3}}{4} a$ है।

(A) दिया गया है कि,
एक $Ag$-परमाणु का द्रव्यमान $= m$ है।
$Ag$ धातु $fcc$ जालक में क्रिस्टलीकृत होती है।
$fcc$ जालक में प्रति इकाई कोशिका परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ होती है।
इसलिए, इकाई कोशिका का कुल द्रव्यमान $= Z \times m = 4m$ है।
$a$ किनारे की लंबाई वाली इकाई कोशिका का आयतन $V = a^{3}$ है।
घनत्व $(\rho) = \frac{\text{इकाई कोशिका का द्रव्यमान}}{\text{इकाई कोशिका का आयतन}} = \frac{4m}{a^{3}}$।

(C) $1$. प्रति इकाई सेल सूत्र इकाइयों की संख्या $(Z)$ ज्ञात कीजिए: ऋणायन $8$ कोनों पर हैं, जो $8 \times \frac{1}{8} = 1$ ऋणायन का योगदान देते हैं। धनायन काय-केंद्र पर है, जो $1$ धनायन का योगदान देता है। अतः, $Z = 1$ है।
$2$. घनत्व सूत्र का उपयोग करें: $d = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$, जहाँ $V$ इकाई सेल का आयतन है।
$3$. $V$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करें: $V = \frac{Z \times M}{d \times N_A}$।
$4$. मान प्रतिस्थापित करें: $V = \frac{1 \times 168.6 \text{ g mol}^{-1}}{4 \text{ g cm}^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}}$।
$5$. गणना करें: $V = \frac{168.6}{24.088 \times 10^{23}} \approx 7.0 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$।

(B) चरण $1$: दिए गए मापदंडों की पहचान करें। $bcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $Z = 2$ है। कोर लंबाई $a = 400 \text{ pm} = 400 \times 10^{-10} \text{ cm} = 4 \times 10^{-8} \text{ cm}$ है। घनत्व $d = 3.5 \text{ g cm}^{-3}$ है। आवोगाद्रो संख्या $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ है।
चरण $2$: इकाई सेल के लिए घनत्व सूत्र का उपयोग करें: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$।
चरण $3$: मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करें: $M = \frac{3.5 \times (4 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{2}$।
चरण $5$: गणना करें: $a^3 = 64 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$। $M = \frac{3.5 \times 64 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{2} = \frac{3.5 \times 64 \times 0.6022}{2} = 3.5 \times 32 \times 0.6022 = 67.4464 \text{ g mol}^{-1}$।
अतः, मोलर द्रव्यमान लगभग $67.4 \text{ g mol}^{-1}$ है।

(C) एकक कोष्ठिका का घनत्व सूत्र द्वारा दिया जाता है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$
जहाँ $d$ घनत्व है, $Z$ प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $a^3$ एकक कोष्ठिका का आयतन है, और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
दिया गया है: $d = 2.7 \text{ g cm}^{-3}$, $M = 27 \text{ g mol}^{-1}$, और $a^3 \times N_A = 40 \text{ cm}^3 \text{ mol}^{-1}$।
$Z$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times a^3 \times N_A}{M}$
मान रखने पर: $Z = \frac{2.7 \times 40}{27}$
$Z = \frac{108}{27} = 4$
अतः, एकक कोष्ठिका में उपस्थित परमाणुओं की संख्या $4$ है।

(D) चरण $1$: एक एकल एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान, धातु के घनत्व $(\rho)$ और एकक कोष्ठिका के आयतन $(V_{uc})$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान = $\rho \times V_{uc} = 2.5 \times 10^{-22} \text{ g}$।
चरण $2$: दिए गए द्रव्यमान $(m)$ में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान}}$।
चरण $3$: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{1 \text{ g}}{2.5 \times 10^{-22} \text{ g}} = \frac{1}{2.5} \times 10^{22} = 0.4 \times 10^{22} = 4.0 \times 10^{21}$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) $fcc$ एकक कोष्ठिका के लिए, प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $Z = 4$ है।
दिया गया है: घनत्व $d = 8.92 \text{ g cm}^{-3}$, कोर की लंबाई $a = 3.608 \times 10^{-8} \text{ cm}$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$।
घनत्व का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है।
मोलर द्रव्यमान $M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{d \times a^3 \times N_A}{Z}$।
$M = \frac{8.92 \times (3.608 \times 10^{-8})^3 \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$।
$M = \frac{8.92 \times 46.97 \times 10^{-24} \times 6.022 \times 10^{23}}{4}$।
$M = \frac{252.36}{4} \approx 63.09 \text{ g/mol}$।
अतः, परमाणु द्रव्यमान लगभग $63 \text{ g/mol}$ है।

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 2$ है।
घनत्व $d$ का सूत्र है: $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$।
दिया गया है: $M = 225 \text{ g mol}^{-1}$, $Z = 2$, और $a^3 \times N_A = 75 \text{ cm}^3 \text{ mol}^{-1}$।
मान रखने पर: $d = \frac{2 \times 225}{75}$।
$d = \frac{450}{75} = 6.0 \text{ g cm}^{-3}$।
अतः, घनत्व $6.0 \text{ g cm}^{-3}$ है।

(B) $fcc$ (फलक केंद्रित घनीय) एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई '$a$' और परमाणु त्रिज्या '$r$' के बीच संबंध है: $4r = a\sqrt{2}$।
दिया गया है: $a = 360 \text{ pm}$।
मान रखने पर: $r = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
$r = \frac{360}{2 \times 1.414} = \frac{360}{2.828} \approx 127.29 \text{ pm}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, त्रिज्या $127.26 \text{ pm}$ है।

(B) $1$. $fcc$ इकाई सेल के लिए, प्रति इकाई सेल कणों की संख्या $(Z)$ $4$ होती है।
$2$. एक कण का आयतन (गोलाकार मानकर) $V_p = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$3$. $fcc$ के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2\sqrt{2}r$ है, इसलिए $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
$4$. $4$ कणों का आयतन = $4 \times \frac{4}{3} \pi (\frac{a}{2\sqrt{2}})^3 = \frac{16}{3} \pi \frac{a^3}{16\sqrt{2}} = \frac{\pi a^3}{3\sqrt{2}}$।
$5$. दिया गया है $a = 200 \text{ pm} = 2 \times 10^{-8} \text{ cm}$।
$6$. आयतन = $\frac{3.14159 \times (2 \times 10^{-8})^3}{3 \times 1.414} = \frac{3.14159 \times 8 \times 10^{-24}}{4.242} \approx 5.92 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$।

(A) चरण $1$: धातु के नमूने का कुल आयतन ज्ञात कीजिए।
आयतन = $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{18 \text{ g}}{7.2 \text{ g cm}^{-3}} = 2.5 \text{ cm}^3$।
चरण $2$: एकक कोष्ठिकाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
एकक कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का आयतन}} = \frac{2.5 \text{ cm}^3}{2.5 \times 10^{-23} \text{ cm}^3} = 1.0 \times 10^{23}$।

(B) $1$. $bcc$ संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 2$ है।
$2$. एक इकाई सेल का द्रव्यमान $m = \rho \times V = \rho \times a^3$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. दिया गया है $\rho \times a^3 = 1.8 \times 10^{-22} \text{ g}$, अतः एक इकाई सेल का द्रव्यमान $1.8 \times 10^{-22} \text{ g}$ है।
$4$. धातु के $90 \text{ g}$ में इकाई सेलों की संख्या $N_{uc} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई सेल का द्रव्यमान}} = \frac{90 \text{ g}}{1.8 \times 10^{-22} \text{ g}} = 50 \times 10^{22} = 5.0 \times 10^{23}$ है।
$5$. परमाणुओं की कुल संख्या = $Z \times N_{uc} = 2 \times 5.0 \times 10^{23} = 1.0 \times 10^{24}$ परमाणु।

(B) $1$. फलक-केंद्रित घनीय $(FCC)$ एकक कोष्ठिका के लिए, प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या, $Z = 4$ है।
$2$. घनत्व $(d)$ का सूत्र $d = \frac{Z \times M}{a^3 \times N_A}$ है, जहाँ $a^3$ एकक कोष्ठिका का आयतन है।
$3$. दिया गया है: $Z = 4$, $M = 108 \text{ g/mol}$, $V = a^3 = 6.84 \times 10^{-23} \text{ cm}^3$, $N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$।
$4$. मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 108}{6.84 \times 10^{-23} \times 6.022 \times 10^{23}}$।
$5$. $d = \frac{432}{6.84 \times 6.022} = \frac{432}{41.19} \approx 10.49 \text{ g cm}^{-3}$।

(C) चरण $1$: कोर लंबाई $a$ को $\text{pm}$ से $\text{cm}$ में बदलें।
$a = 500 \text{ pm} = 500 \times 10^{-10} \text{ cm} = 5 \times 10^{-8} \text{ cm}$।
चरण $2$: एक इकाई सेल का आयतन $(V_{uc} = a^3)$ ज्ञात करें।
$V_{uc} = (5 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = 125 \times 10^{-24} \text{ cm}^3 = 1.25 \times 10^{-22} \text{ cm}^3$।
चरण $3$: $1 \text{ cm}^3$ में इकाई सेल की संख्या ज्ञात करें।
$\text{इकाई सेल की संख्या} = \frac{\text{कुल आयतन}}{\text{एक इकाई सेल का आयतन}} = \frac{1 \text{ cm}^3}{1.25 \times 10^{-22} \text{ cm}^3} = 0.8 \times 10^{22} = 8.0 \times 10^{21}$।

(C) $bcc$ क्रिस्टल संरचना के लिए, प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या, $Z = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times a^3}$ है, जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
एक इकाई सेल के द्रव्यमान के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $m_{cell} = \rho \times a^3 = \frac{Z \times M}{N_A}$।
दिया गया है $\rho \times a^3 = 6.6 \times 10^{-22} \text{ g}$, यह एक इकाई सेल का द्रव्यमान है।
$1 \text{ g}$ धातु में इकाई सेलों की संख्या $n = \frac{1 \text{ g}}{6.6 \times 10^{-22} \text{ g/unit cell}} \approx 1.515 \times 10^{21} \text{ unit cells}$ है।
चूंकि प्रत्येक $bcc$ इकाई सेल में $2$ परमाणु होते हैं, इसलिए कुल परमाणुओं की संख्या $= 2 \times 1.515 \times 10^{21} = 3.03 \times 10^{21} \text{ परमाणु}$ है।

(A) चरण $1$: सरल घनीय संरचना के लिए प्रति एकक कोष्ठिका परमाणुओं की संख्या $(Z)$ ज्ञात करें। सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, $Z = 1$ है।
चरण $2$: घनत्व सूत्र का उपयोग करें: $\rho = \frac{Z \times M}{N_A \times V}$, जहाँ $\rho$ घनत्व है, $M$ मोलर द्रव्यमान है, $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है, और $V$ एकक कोष्ठिका का आयतन है।
चरण $3$: एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: $\rho \times V = \frac{Z \times M}{N_A}$। दिया गया है $\rho \times V = 66.5 \times 10^{-24} \text{ g}$, जो एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान है।
चरण $4$: $1 \text{ g}$ धातु में एकक कोष्ठिकाओं की संख्या की गणना करें: $\text{एकक कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक एकक कोष्ठिका का द्रव्यमान}} = \frac{1 \text{ g}}{66.5 \times 10^{-24} \text{ g}} \approx 1.5037 \times 10^{22}$।
चरण $5$: चूँकि प्रत्येक एकक कोष्ठिका में $1$ परमाणु होता है $(Z=1)$, इसलिए परमाणुओं की कुल संख्या $1.5037 \times 10^{22} \times 1 = 1.504 \times 10^{22}$ है।

(B) चरण $1$: एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान उसके आयतन $(V)$ और घनत्व $(d)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान = $V \times d = 6.65 \times 10^{-23} \text{ g}$।
चरण $2$: धातु के दिए गए द्रव्यमान में इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या, धातु के कुल द्रव्यमान को एक इकाई कोष्ठिका के द्रव्यमान से विभाजित करके ज्ञात की जाती है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान}}$।
चरण $3$: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या = $\frac{0.5 \text{ g}}{6.65 \times 10^{-23} \text{ g}} = 0.07518 \times 10^{23} = 7.518 \times 10^{21}$।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(C) $fcc$ (फलक-केंद्रित घनीय) एकक कोष्ठिका के लिए, कोर की लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध है: $a = 2\sqrt{2}r$।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{a}{2\sqrt{2}}$।
दिया गया है $a = 408 \text{ pm}$।
मान रखने पर: $r = \frac{408}{2 \times 1.414} = \frac{408}{2.828} \approx 144.27 \text{ pm}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, $r = 144.2 \text{ pm}$।