Derivatives of Functions in Parametric Forms Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $x = \cos^3 \theta - \sin^3 \theta$ અને $y = (\cos \theta)^{1/3} - (\sin \theta)^{1/3}$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = 3\cos^2 \theta(-\sin \theta) - 3\sin^2 \theta(\cos \theta) = -3\sin \theta \cos \theta(\cos \theta + \sin \theta)$.
$\theta$ ની સાપેક્ષે $y$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = \frac{1}{3}(\cos \theta)^{-2/3}(-\sin \theta) - \frac{1}{3}(\sin \theta)^{-2/3}(\cos \theta) = -\frac{1}{3} \left( \frac{\sin \theta}{(\cos \theta)^{2/3}} + \frac{\cos \theta}{(\sin \theta)^{2/3}} \right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{9} \sqrt[3]{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin y = \sin 3t$ અને $x = \sin t$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin y = 3\sin t - 4\sin^3 t$.
$x = \sin t$ મૂકતા:
$\sin y = 3x - 4x^3$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sin y) = \frac{d}{dx}(3x - 4x^3)$.
$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 3 - 12x^2$.
અહીં $y = 3t$ લેતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\cos 3t}{\cos t} = 3(4\cos^2 t - 3) = 3(4(1-x^2) - 3) = 3(1-4x^2)$.

(C) આપણે $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ શોધવાની જરૂર છે.
$(i)$ $x = a(\theta - \sin \theta), y = a(1 - \cos \theta)$
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta) = 2a \sin^2(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta = 2a \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2a \sin^2(\theta/2)} = \cot(\frac{\theta}{2})$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર, $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. $(i)$ $\rightarrow$ $C$.
(ii) $x = 3\cos \theta - 2\cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - 2\sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 6\cos^2 \theta \sin \theta = 3\sin \theta(2\cos^2 \theta - 1) = 3\sin \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 6\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - 2\sin^2 \theta) = 3\cos \theta \cos(2\theta)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos \theta \cos(2\theta)}{3\sin \theta \cos(2\theta)} = \cot \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર, $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. (ii) $\rightarrow$ $D$.
(iii) $x = 3\cos \theta - \cos^3 \theta, y = 3\sin \theta - \sin^3 \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = -3\sin \theta + 3\cos^2 \theta \sin \theta = -3\sin \theta(1 - \cos^2 \theta) = -3\sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3\cos \theta - 3\sin^2 \theta \cos \theta = 3\cos \theta(1 - \sin^2 \theta) = 3\cos^3 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos^3 \theta}{-3\sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર, $\frac{dy}{dx} = -(\cot(\frac{\pi}{3}))^3 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^3 = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$. (iii) $\rightarrow$ $B$.
(iv) $x = a \log \sin \theta, y = a \tan \theta$
$\frac{dx}{d\theta} = a \cot \theta, \frac{dy}{d\theta} = a \sec^2 \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{a \sec^2 \theta}{a \cot \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} = \tan \theta \sec^2 \theta$. $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર, $\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi}{3}) \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \cdot (2)^2 = 4\sqrt{3}$. (iv) $\rightarrow$ $A$.
આમ, $(i)$ $\rightarrow$ $C$, (ii) $\rightarrow$ $D$, (iii) $\rightarrow$ $B$, (iv) $\rightarrow$ $A$.

(B) આપેલ છે, $x=\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta$.
તેથી, $\frac{d x}{d \theta}=-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta-\cos \theta=-\cot \theta(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)$.
કારણ કે $x^2+4=(\operatorname{cosec} \theta-\sin \theta)^2+4=(\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta)^2$, તેથી $\sqrt{x^2+4}=\operatorname{cosec} \theta+\sin \theta$.
આમ, $\frac{d x}{d \theta}=-\cot \theta \sqrt{x^2+4}$.
તે જ રીતે, $y=\operatorname{cosec}^{2022} \theta-\sin ^{2022} \theta$.
તેથી, $\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)$.
કારણ કે $y^2+4=(\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta)^2$, તેથી $\sqrt{y^2+4}=\operatorname{cosec}^{2022} \theta+\sin^{2022} \theta$.
આમ, $\frac{d y}{d \theta}=-2022 \cot \theta \sqrt{y^2+4}$.
બંને વિકલનોનો ભાગાકાર કરતા, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = 2022 \frac{\sqrt{y^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = (2022)^2 \frac{y^2+4}{x^2+4}$.
આને $\frac{k(y^2+4)}{g(x)}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $k=(2022)^2$ અને $g(x)=x^2+4$ મળે છે.
અંતે, $10+k-g(2022) = 10+(2022)^2-(2022^2+4) = 10-4 = 6$.

(C) આપેલ છે કે $x = a(\cos \theta + \theta \sin \theta)$.
પ્રથમ, $\frac{dx}{d\theta}$ શોધો:
$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta + \sin \theta + \theta \cos \theta) = a\theta \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\tan \theta}{\theta}$.
તેથી, $\frac{dy}{d\theta} = \frac{dx}{d\theta} \cdot \frac{\tan \theta}{\theta} = (a\theta \cos \theta) \cdot \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} = a \sin \theta$.
હવે, $f(\theta)$ શોધવા માટે $\frac{dy}{d\theta}$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરો:
$f(\theta) = \int a \sin \theta \, d\theta = -a \cos \theta + C$.
આપેલ છે કે $f(2\pi) = 0$, તેથી $-a \cos(2\pi) + C = 0 \implies -a(1) + C = 0 \implies C = a$.
આમ, $f(\theta) = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$.
હવે, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત શોધો:
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \cos \frac{\pi}{3}\right) = a\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{2}$.

(A) આપેલ છે, $x=a(t-\sin t)$ અને $y=a(1+\cos t)$.
પ્રથમ, $x$ અને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = a(1-\cos t)$ અને $\frac{dy}{dt} = -a \sin t$.
હવે, $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-a \sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{-2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = -\cot(t/2)$.
ત્યારબાદ, દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2}$ શોધો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt}(-\cot(t/2)) \cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-\csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{a(2 \sin^2(t/2))} = \frac{\csc^2(t/2)}{4a \sin^2(t/2)}$.
કારણ કે $\csc^2(t/2) = \frac{1}{\sin^2(t/2)}$, તેથી:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a \sin^4(t/2)}$.
આમ, વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે, $x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ અને $y=a \sin \theta$.
$x$ અને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
તેમજ, $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.

(B) ધારો કે $u = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ અને $v = \frac{2x}{1+x^2}$.
આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ, $\frac{du}{dx}$ શોધો:
$\frac{du}{dx} = \frac{(1+x^2)(-2x) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2}$.
ત્યારબાદ, $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = \frac{(1+x^2)(2) - (2x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$.
હવે, $\frac{du}{dv}$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{du}{dv} = \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \div \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{-4x}{2(1-x^2)} = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$.
$x=2$ આગળ:
$\frac{du}{dv} = \frac{2(2)}{2^2-1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $x = t + \frac{1}{t}$ અને $y = t - \frac{1}{t}$.
પ્રથમ, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2-1}{t^2}$
$\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}$
હવે, $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{(t^2+1)/t^2}{(t^2-1)/t^2} = \frac{t^2+1}{t^2-1}$
હવે, $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા $\frac{d^2y}{dx^2}$ મળે:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2+1}{t^2-1}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(t^2-1)(2t) - (t^2+1)(2t)}{(t^2-1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 2t}{(t^2-1)^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2}$
અહીં $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2-1}{t^2}$ હોવાથી, $\frac{dt}{dx} = \frac{t^2}{t^2-1}$ થાય.
તેથી, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-4t}{(t^2-1)^2} \cdot \frac{t^2}{t^2-1} = \frac{-4t^3}{(t^2-1)^3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dx}{dy} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1}\right) = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right)$.
કારણ કે $\frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dx}{dy} = \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$, તેથી:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\left(\frac{dy}{dx}\right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \cdot \left(\frac{dy}{dx}\right)^{-1} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}$.
બિંદુ $P$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 4$ અને $\frac{d^2y}{dx^2} = -3$ આપેલ છે:
$\left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)_P = -\frac{-3}{(4)^3} = \frac{3}{64}$.

(D) આપેલ છે, $x=\cos \theta$ અને $y=\sin 5 \theta$.
પ્રથમ, $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta$ અને $\frac{d y}{d \theta}=5 \cos 5 \theta$.
તેથી, $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta}$.
હવે, દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( \frac{d y}{d x} \right) \cdot \frac{d \theta}{d x}$ મેળવતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d \theta} \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right) \cdot \left( -\frac{1}{\sin \theta} \right) = \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta}$.
આ કિંમતોને $(1-x^2) \frac{d^2 y}{d x^2} - x \frac{d y}{d x}$ માં મૂકતા:
$(1-\cos^2 \theta) \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) - \cos \theta \left( -\frac{5 \cos 5 \theta}{\sin \theta} \right)$
$= \sin^2 \theta \left( \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin^3 \theta} \right) + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
$= \frac{25 \sin \theta \sin 5 \theta + 5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta} + \frac{5 \cos \theta \cos 5 \theta}{\sin \theta}$
આ પદાવલીનું સાદું રૂપ આપતા, $y = \sin(n \cos^{-1} x)$ માટેનું સૂત્ર $(1-x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0$ મુજબ,
અહીં $n=5$ હોવાથી, $(1-x^2) y'' - x y' = -25 y$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = t^2 - 7t + 7$ અને $y = t^2 - 4t - 10$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ આગળ $t$ ની કિંમત શોધવા માટે, $x = 1$ અને $y = 2$ લઈએ.
$x = 1$ માટે: $t^2 - 7t + 7 = 1 \Rightarrow t^2 - 7t + 6 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t - 1) = 0$, તેથી $t = 1$ અથવા $t = 6$.
$y = 2$ માટે: $t^2 - 4t - 10 = 2 \Rightarrow t^2 - 4t - 12 = 0 \Rightarrow (t - 6)(t + 2) = 0$, તેથી $t = 6$ અથવા $t = -2$.
સામાન્ય કિંમત $t = 6$ છે.
હવે, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2t - 7$ અને $\frac{dy}{dt} = 2t - 4$.
$t = 6$ આગળ:
$\frac{dx}{dt} = 2(6) - 7 = 12 - 7 = 5$.
$\frac{dy}{dt} = 2(6) - 4 = 12 - 4 = 8$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{8}{5}$ થાય.

(C) આપેલ છે $x = t - \sin t$ અને $y = 1 - \cos t$.
પ્રથમ, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = \sin t$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = \cot(t/2)$.
હવે, દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cot(t/2)) = \frac{d}{dt}(\cot(t/2)) \cdot \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{1 - \cos t} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2 \sin^2(t/2)} = -\frac{1}{4} \csc^4(t/2)$.
આપેલ છે કે $t=K$ પર $\frac{d^2y}{dx^2} = -1$:
$-\frac{1}{4} \csc^4(K/2) = -1 \implies \csc^4(K/2) = 4 \implies \csc^2(K/2) = 2 \implies \sin^2(K/2) = 1/2$.
$K>0$ હોવાથી, $\sin(K/2) = 1/\sqrt{2}$, તેથી $K/2 = \pi/4$, જેનો અર્થ છે $K = \pi/2$.
હવે, લક્ષની કિંમત મેળવો:
$\lim_{t \rightarrow K} \frac{y}{x} = \lim_{t \rightarrow \pi/2} \frac{1 - \cos t}{t - \sin t} = \frac{1 - \cos(\pi/2)}{\pi/2 - \sin(\pi/2)} = \frac{1 - 0}{\pi/2 - 1} = \frac{1}{(\pi - 2)/2} = \frac{2}{\pi - 2}$.

(C) ધારો કે $y = a \sin^3 t$ અને $x = a \cos^3 t$.
સૌ પ્રથમ, આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$
$\frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a \sin^2 t \cos t}{-3a \cos^2 t \sin t} = -\tan t$.
હવે, આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2 y}{dx^2}$ શોધીએ:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\sec^2 t) \cdot \frac{1}{-3a \cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3a \cos^4 t \sin t}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર કિંમત મૂકતા:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left. \frac{d^2 y}{dx^2} \right|_{t=\pi/4} = \frac{1}{3a (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{1}{3a (\frac{1}{4}) (\frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{4\sqrt{2}}{3a}$.

(A) આપેલ છે કે $x = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$.
સૌ પ્રથમ, $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
હવે, સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{dy}{dx}$ નું વિકલન કરો:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
કારણ કે $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \csc^2 \theta$ અને $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$, તેથી:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (\csc^2 \theta) \cdot \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \csc^3 \theta$.

(A) આપેલ છે કે $x = at^2$ અને $y = 2at$.
પ્રથમ, $\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$ મેળવો.
ત્યારબાદ, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
હવે, $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x = at^2$, તેથી $t^2 = \frac{x}{a}$ અને $y = 2at$, તેથી $t = \frac{y}{2a}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(t^2)(t)} = -\frac{1}{2a(\frac{x}{a})(\frac{y}{2a})} = -\frac{1}{\frac{xy}{a}} = -\frac{a}{xy}$.

(A) પગલું $1$: $x$ ને સરળ બનાવો. $t = \tan \theta$ લેતા, $x = \text{cosec}^{-1} \left( \frac{1 + \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) = 2\theta = 2 \tan^{-1} t$ મળે.
પગલું $2$: $y$ ને સરળ બનાવો. $t = \sin \theta$ લેતા, $y = \cot^{-1} \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \theta = \sin^{-1} t$ મળે.
પગલું $3$: $\frac{dy}{dx}$ શોધો. $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ અને $\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}}$ થાય. તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + t^2}{2 \sqrt{1 - t^2}}$ મળે.
પગલું $4$: $f(\tan \alpha)$ ની કિંમત $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{2 \sqrt{1 - \tan^2 \alpha}}$ થાય.

(A) પગલું $1$: બિંદુ $(-2, 2)$ પર $t$ ની કિંમત શોધો.
$x = 1 - 3t^2 = -2 \implies 3t^2 = 3 \implies t^2 = 1 \implies t = \pm 1$.
$y = t - 3t^3 = 2$. જો $t = 1$, $y = -2 \neq 2$. જો $t = -1$, $y = 2$. તેથી $t = -1$.
પગલું $2$: સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ શોધો.
$\frac{dx}{dt} = -6t$ અને $\frac{dy}{dt} = 1 - 9t^2$.
$t = -1$ પર, $\frac{dx}{dt} = 6$ અને $\frac{dy}{dt} = -8$.
ઢાળ $m = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
પગલું $3$: બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરો.
$y - 2 = -\frac{4}{3}(x + 2) \implies 3y - 6 = -4x - 8 \implies 4x + 3y + 2 = 0$.

(A) આપેલ છે $x = \sin(t)$, તેથી $\frac{dx}{dt} = \cos(t)$.
આપેલ છે $y = \cos(pt)$, તેથી $\frac{dy}{dt} = -p \sin(pt)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-p \sin(pt)}{\cos(t)}$.
કારણ કે $\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{1 - x^2}$, તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{-p \sin(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આમ, $\sqrt{1 - x^2} \frac{dy}{dx} = -p \sin(pt)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} \right) = -p^2 \cos(pt) \frac{dt}{dx}$.
કારણ કે $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos(t)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, આપણને મળે છે:
$\sqrt{1 - x^2} \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \frac{dy}{dx} = -p^2 \frac{\cos(pt)}{\sqrt{1 - x^2}}$.
આખા સમીકરણને $\sqrt{1 - x^2}$ વડે ગુણતા:
$(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -p^2 \cos(pt) = -p^2 y$.

(D) આપેલ છે $x = at^2 - 1$ અને $y = t^3 + 1$.
પ્રથમ, $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો: $\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 3t^2$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3t^2}{2at} = \frac{3t}{2a}$.
હવે, દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{3t}{2a}) = \frac{d}{dt}(\frac{3t}{2a}) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{3}{2a} \cdot \frac{1}{2at} = \frac{3}{4a^2t}$ મેળવો.
$t = 1$ પર, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4a^2(1)} = \frac{3}{4a^2}$.
આપેલ છે કે $\frac{3}{4a^2} = \frac{3}{16}$, તેથી $4a^2 = 16$, એટલે કે $a^2 = 4$.
કારણ કે $a > 0$, તેથી $a = 2$.

(C) આપેલ છે કે $x = a \sin^3 t$ અને $y = a \cos^3 t$.
$\frac{dx}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t$ અને $\frac{dy}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-3a \cos^2 t \sin t}{3a \sin^2 t \cos t} = -\cot t$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot t) = \frac{d}{dt}(-\cot t) \cdot \frac{dt}{dx} = \csc^2 t \cdot \frac{1}{3a \sin^2 t \cos t}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a \sin^4 t \cos t} = \frac{\sec t \csc^4 t}{3a}$.
$t = \frac{\pi}{3}$ આગળ, $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos t = \frac{1}{2}$.
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3a (\sqrt{3}/2)^4 (1/2)} = \frac{1}{3a (9/16) (1/2)} = \frac{1}{27a/32} = \frac{32}{27a}$.

(D) આપેલ છે $x = 4t^3 + 3$ અને $y = 3t^4 + 4$।
$\frac{dx}{dt} = 12t^2$ અને $\frac{dy}{dt} = 12t^3$।
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{12t^2}{12t^3} = \frac{1}{t} = t^{-1}$।
હવે, $\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy}) = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dy}) \cdot \frac{dt}{dy}$।
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{12t^3} = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{12t^3} = -\frac{1}{12t^5}$।
આપેલ છે કે $\frac{d^2x}{dy^2} = (\frac{dx}{dy})^n$, તેથી $-\frac{1}{12t^5} = (t^{-1})^n = t^{-n}$।
સમીકરણ $-\frac{1}{12} (t^{-1})^5 = (\frac{dx}{dy})^5$ સાથે સરખાવતા, $n = 5$ મળે છે।

(A) ધારો કે $u = f(\sin x)$ અને $v = g(\sec x)$ છે. આપણે $\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx}$ શોધવાનું છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{du}{dx} = f'(\sin x) \cdot \cos x$ અને $\frac{dv}{dx} = g'(\sec x) \cdot \sec x \tan x$ થાય.
$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ, $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sec x = \sqrt{2}$, અને $\tan x = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{du}{dx} = f'(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$\frac{dv}{dx} = g'(\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
તેથી, $\frac{du}{dv} = \frac{3/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$.