Binomial distribution Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $\lim _{t \rightarrow 0}(1+5t)^{\frac{1}{t}} = K$.
मानक सीमा $\lim _{t \rightarrow 0}(1+at)^{\frac{1}{t}} = e^a$ का उपयोग करने पर, हमें $K = e^5$ प्राप्त होता है।
यादृच्छिक चर $X$ के लिए जो $n = 100$ स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को दर्शाता है और सफलता की प्रायिकता $p = 0.05$ है, यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है, इसलिए हम पॉइसन वितरण का उपयोग करके $\lambda = np = 100 \times 0.05 = 5$ प्राप्त कर सकते हैं।
कम से कम एक सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
पॉइसन सूत्र $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करने पर, $P(X = 0) = e^{-5}$ प्राप्त होता है।
अतः, $P(X \geq 1) = 1 - e^{-5} = 1 - \frac{1}{e^5} = 1 - \frac{1}{K} = \frac{K-1}{K}$.

(B) मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q$ विफलता की प्रायिकता है। दिया गया है कि $p = 3q$। चूँकि $p + q = 1$, हमारे पास $3q + q = 1$ है, जिसका अर्थ है $4q = 1$, इसलिए $q = \frac{1}{4}$ और $p = \frac{3}{4}$।
$n = 5$ परीक्षणों के साथ द्विपद वितरण के लिए, $x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
हमें कम से कम $4$ सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जो $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \cdot \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \cdot \frac{243}{1024} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$।
अतः, $P(X \ge 4) = \frac{405}{1024} + \frac{243}{1024} = \frac{648}{1024} = \frac{81}{128}$।

(C) दिया गया है कि माध्य $\mu = np = \frac{5}{2}$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = \frac{5}{4}$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p = 1 - q$, इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = \frac{5}{2}$ में रखने पर, हमें $n \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n = 5$ है।
हमें $P(X > 1) = 1 - \{P(X = 0) + P(X = 1)\}$ ज्ञात करना है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32}$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{32}$.
अतः, $P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{32} + \frac{5}{32}) = 1 - \frac{6}{32} = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$.

(C) दिया गया है कि व्यक्ति $9$ खेलों में $4$ बार असफल होता है, इसलिए सफलताओं की संख्या $9 - 4 = 5$ है।
अतः, एक खेल में सफलता की प्रायिकता $p = \frac{5}{9}$ है।
परिणामस्वरूप, असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ है।
$n = 15$ प्रयासों के लिए, हम अधिकतम एक सफलता की प्रायिकता ज्ञात करना चाहते हैं, अर्थात $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^{15}C_{0} \left(\frac{5}{9}\right)^0 \left(\frac{4}{9}\right)^{15} = \left(\frac{4}{9}\right)^{15}$।
$P(X = 1) = {}^{15}C_{1} \left(\frac{5}{9}\right)^1 \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = 15 \times \frac{5}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X \leq 1) = \left(\frac{4}{9}\right)^{15} + \frac{75}{9} \times \left(\frac{4}{9}\right)^{14} = \left(\frac{4}{9}\right)^{14} \left[ \frac{4}{9} + \frac{75}{9} \right] = \frac{79}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^{14}$।

(D) मान लीजिए $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि $A$ से रवाना हुआ जहाज $B$ पर सुरक्षित पहुँचता है।
अतः, $p = \frac{9}{10} = 0.9$।
इसलिए, $q = 1 - p = 1 - 0.9 = 0.1$।
मान लीजिए $X$ उन जहाजों की संख्या को दर्शाता है जो $n = 5$ जहाजों में से $B$ पर सुरक्षित पहुँचते हैं।
यह द्विपद बंटन $B(n, p) = B(5, 0.9)$ का पालन करता है।
आवश्यक प्रायिकता $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = {}^5C_4 (0.9)^4 (0.1)^1 = 5 \times (0.9)^4 \times 0.1 = 0.5 \times (0.9)^4$।
$P(X = 5) = {}^5C_5 (0.9)^5 (0.1)^0 = 1 \times (0.9)^5 \times 1 = 0.9 \times (0.9)^4$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X \geq 4) = 0.5(0.9)^4 + 0.9(0.9)^4 = (0.5 + 0.9)(0.9)^4 = 1.4(0.9)^4$।

(C) माना $X$ $100$ उछालों में चितों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 100$ है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $P(X=50) = P(X=51)$, इसलिए:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$
दोनों पक्षों को $p^{50} (1-p)^{49}$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$
${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{100!}{50! 50!} (1-p) = \frac{100!}{51! 49!} p$
$\frac{1-p}{50} = \frac{p}{51}$
$51(1-p) = 50p$
$51 - 51p = 50p$
$101p = 51$
$p = \frac{51}{101}$

(B) द्विपद वितरण के लिए, माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, $\frac{npq}{np} = \frac{3}{4}$, जिसका अर्थ है $q = \frac{3}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$np = 4$ में $p = \frac{1}{4}$ रखने पर, $n(\frac{1}{4}) = 4$, जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \geq 1)$ ज्ञात करना है। पूरक नियम का उपयोग करते हुए, $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
द्विपद वितरण के लिए, $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$।
अतः, $P(X = 0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{16} = 1 \times 1 \times (\frac{3}{4})^{16} = (\frac{3}{4})^{16}$।
इसलिए, $P(X \geq 1) = 1 - (\frac{3}{4})^{16}$।

(C) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q = 1-p$ है।
यहाँ $n=4$ दिया गया है और समीकरण $P(X=4) = 6 P(X=2)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: ${ }^4 C_4 p^4 q^0 = 6 \cdot { }^4 C_2 p^2 q^2$.
हम जानते हैं कि ${ }^4 C_4 = 1$ और ${ }^4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$, इसलिए:
$1 \cdot p^4 = 6 \cdot 6 \cdot p^2 q^2$.
$p^4 = 36 p^2 q^2$.
दोनों पक्षों को $p^2$ से विभाजित करने पर ($p \neq 0$ मानते हुए):
$p^2 = 36 q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$p = 6q$ (चूंकि $p$ और $q$ प्रायिकताएं हैं, इसलिए वे धनात्मक होनी चाहिए)।
$q = 1-p$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p = 6(1-p)$.
$p = 6 - 6p$.
$7p = 6$.
$p = \frac{6}{7}$.

(A) एक द्विपद बंटन के लिए, माध्य $E(X) = np = 3$ और प्रसरण $Var(X) = npq = 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, हमें $\frac{npq}{np} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $q = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
$p = \frac{1}{3}$ को $np = 3$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $n \times \frac{1}{3} = 3$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $n = 9$ है।
अतः, द्विपद बंटन $(q + p)^n = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)^9$ है।

(C) मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $3$ प्रयासों में चुनी गई गणित की पुस्तकों की संख्या को दर्शाता है।
कुल पुस्तकों की संख्या = $3 + 2 = 5$.
एक प्रयास में गणित की पुस्तक चुनने की प्रायिकता $p = \frac{3}{5}$ है।
भौतिकी की पुस्तक चुनने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।
चूंकि प्रत्येक चयन के बाद पुस्तकों को वापस रखा जाता है, इसलिए परीक्षण स्वतंत्र हैं और यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है, जहाँ $n = 3$ और $p = \frac{3}{5}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E[X] = np$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $E[X] = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। इक्कों की संख्या $4$ है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं, इसलिए एक प्रयास में इक्का निकलने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है। इक्का न निकलने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
यह एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) द्विपद वितरण के लिए, माध्य $np = 16/5$ और प्रसरण $npq = 48/25$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, हमें $q = (48/25) / (16/5) = (48/25) \times (5/16) = 3/5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - 3/5 = 2/5$ है।
माध्य के समीकरण में $p$ का मान रखने पर: $n(2/5) = 16/5 \Rightarrow n = 8$।
हमें $P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = ^8C_0 (2/5)^0 (3/5)^8 = (3/5)^8$।
$P(X = 1) = ^8C_1 (2/5)^1 (3/5)^7 = 8 \times (2/5) \times (3/5)^7 = (16/5) \times (3/5)^7$।
अतः, $P(X > 1) = 1 - (3/5)(3/5)^7 - (16/5)(3/5)^7 = 1 - (3/5 + 16/5)(3/5)^7 = 1 - (19/5)(3/5)^7$।
इसकी तुलना $1 - K(3/5)^7$ से करने पर, हमें $K = 19/5$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $5K = 5 \times (19/5) = 19$।

(A) माना $X$ निकाले गए हुकुम के पत्तों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं, इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है, जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
सफलता की प्रायिकता (हुकुम का पत्ता प्राप्त करना) $p = \frac{1}{4}$ है और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $Var(X) = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(D) $5$ सिक्कों को उछालने के यादृच्छिक प्रयोग में, चितों की संख्या $X$ एक द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करती है, जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{2}$ (चित आने की प्रायिकता) है।
द्विपद वितरण का माध्य $E(X) = np$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $E(X) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से, प्रायिकता वितरण तालिका का उपयोग करते हुए:

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X)$	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{1}{32}$

माध्य की गणना $\sum X P(X) = (0 \times \frac{1}{32}) + (1 \times \frac{5}{32}) + (2 \times \frac{10}{32}) + (3 \times \frac{10}{32}) + (4 \times \frac{5}{32}) + (5 \times \frac{1}{32})$ के रूप में की जाती है।
$= 0 + \frac{5}{32} + \frac{20}{32} + \frac{30}{32} + \frac{20}{32} + \frac{5}{32} = \frac{80}{32} = \frac{5}{2}$.

(D) सफलताओं का वितरण एक द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जिसके पैरामीटर $n$ और $p$ हैं।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रयासों की संख्या है, $p$ सफलता की प्रायिकता है, और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
पासे के एक उछाल में, संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
इसलिए, सफलता की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
यहाँ पासे को $n = 5$ बार उछाला गया है।
इन मानों को प्रसरण के सूत्र में रखने पर:
$Var(X) = n \times p \times q = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(A) दिया गया है कि प्रयोग $n = 5$ बार किया जाता है। मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है। द्विपद वितरण का माध्य $np$ है और प्रसरण $npq$ है।
दिया गया है $np - npq = \frac{5}{9}$।
$n = 5$ रखने पर: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$।
चूँकि $1 - q = p$, हमें $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = \frac{1}{3}$।
अतः, $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अधिकतम दो सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$।
$P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$।
$P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$।

(B) दिया गया है कि $X$ एक द्विपद चर है जहाँ $n=6$ और सफलता की प्रायिकता $p$ है। मान लीजिए $q = 1-p$ असफलता की प्रायिकता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें शर्त $4 P(X=4) = P(X=2)$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{6-4} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{6-2}$
$4 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} q^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} q^{4}$
चूंकि ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$, इसलिए वे कट जाएंगे:
$4 p^{4} q^{2} = p^{2} q^{4}$
दोनों पक्षों को $p^{2} q^{2}$ से विभाजित करने पर ($p, q \neq 0$ मानते हुए):
$4 p^{2} = q^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2p = q$
चूंकि $q = 1-p$, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$2p = 1-p$
$3p = 1$
$p = 1/3$

(B) द्विपद बंटन के लिए, माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर, $n \times \frac{1}{2} = 2$, जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^4 = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ है।
हमें $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः, $P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(B) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ बार सिक्का उछालने पर एक भी बार चित न आने की प्रायिकता $P(\text{no heads}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ है।
कम से कम एक बार चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ है।
दिया गया है कि $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$, इसलिए:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ के लिए, $2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ के लिए, $2^3 = 8 > 5$.
अतः, $n$ का न्यूनतम मान $3$ है।

(D) माना $X$ सही उत्तरों की संख्या है। $3$ प्रश्नों के लिए सफलता की प्रायिकता $p_1 = \frac{1}{4}$ और असफलता $q_1 = \frac{3}{4}$ है। $2$ प्रश्नों के लिए सफलता की प्रायिकता $p_2 = \frac{1}{2}$ और असफलता $q_2 = \frac{1}{2}$ है।
हमें कम से कम $4$ सही उत्तरों की प्रायिकता चाहिए, अर्थात $P(X=4) + P(X=5)$.
$X=5$ के लिए: सभी $5$ सही हैं। $P(X=5) = (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{256}$.
$X=4$ के लिए: या तो $3$ प्रश्नों में से एक गलत है, या $2$ प्रश्नों में से एक गलत है।
स्थिति $1$: $3$ प्रश्नों में से एक गलत है। प्रायिकता $= {^3C_2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^1 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{256}$.
स्थिति $2$: $2$ प्रश्नों में से एक गलत है। प्रायिकता $= {^3C_3} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot {^2C_1} \cdot (\frac{1}{2})^1 \cdot (\frac{1}{2})^1 = \frac{2}{256}$.
कुल प्रायिकता $= \frac{1}{256} + \frac{9}{256} + \frac{2}{256} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

(A) द्विपद बंटन के लिए, माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर, हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर, $n \times \frac{1}{2} = 4$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $n = 8$।
ठीक $x$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ द्वारा दी जाती है।
$x = 2$ के लिए, $P(X=2) = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-2} = {}^{8}C_{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$।
मान की गणना करने पर, ${}^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः, $P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$।

(B) मान लीजिए कि फायर किए गए राउंड की संख्या $n$ है।
एक प्रयास में लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = 10 \% = 0.1$ है।
एक प्रयास में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 0.9$ है।
$n$ प्रयासों में कम से कम एक बार लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^n$ द्वारा दी जाती है।
हम चाहते हैं कि यह प्रायिकता $50 \%$ से अधिक हो, इसलिए:
$1 - (0.9)^n > 0.5$
$(0.9)^n < 0.5$
अब, हम $n$ के लिए मानों की जाँच करते हैं:
$n = 6$ के लिए, $(0.9)^6 = 0.531441 > 0.5$ है।
$n = 7$ के लिए, $(0.9)^7 = 0.4782969 < 0.5$ है।
अतः, आवश्यक राउंड की न्यूनतम संख्या $n = 7$ है।

(B) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
कम से कम एक बार चित आने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $P(X = 0)$ कोई भी चित न आने (अर्थात सभी पट आने) की प्रायिकता है, जो $q^n = (\frac{1}{2})^n$ है।
हमें दिया गया है कि $P(X \geq 1) \geq 0.9$ है।
अतः, $1 - (\frac{1}{2})^n \geq 0.9$.
$1 - 0.9 \geq (\frac{1}{2})^n$.
$0.1 \geq \frac{1}{2^n}$.
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$.
$2^n \geq 10$.
$n = 3$ के लिए, $2^3 = 8 < 10$.
$n = 4$ के लिए, $2^4 = 16 \geq 10$.
अतः, सिक्का उछालने की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(B) मान लीजिए सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
मान लीजिए चित आना एक सफलता है। $\therefore p = \frac{1}{2}, q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
यह दिया गया है कि $P(X = 3) = P(X = 5)$.
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
${}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} (\frac{1}{2})^{n-5}$.
चूंकि दोनों पक्षों पर $(\frac{1}{2})$ के घातों का योग $n$ है, इसलिए ${}^{n}C_{3} = {}^{n}C_{5}$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \Rightarrow x + y = n$ (जहाँ $x \neq y$) का उपयोग करने पर, $n = 3 + 5 = 8$ मिलता है।
अब, हमें ठीक एक चित आने की प्रायिकता $P(X = 1)$ ज्ञात करनी है:
$P(X = 1) = {}^{8}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^{8} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$.

(D) मान लीजिए कि $n$ उत्पादित पुर्जों की संख्या है। एक पुर्जे के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $p = 0.05 = \frac{1}{20}$ है।
एक पुर्जे के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता $q = 1 - 0.05 = 0.95 = \frac{19}{20}$ है।
हम चाहते हैं कि कम से कम एक पुर्जा दोषपूर्ण होने की प्रायिकता $1/2$ से अधिक हो, अर्थात $P(X \geq 1) \geq 1/2$।
यह $1 - P(X = 0) \geq 1/2$ के बराबर है, जहाँ $P(X = 0)$ वह प्रायिकता है कि कोई भी पुर्जा दोषपूर्ण नहीं है।
$1 - (0.95)^n \geq 0.5 \implies 0.5 \geq (0.95)^n$।
दोनों तरफ $\log_{10}$ लेने पर: $\log_{10}(0.5) \geq n \log_{10}(0.95)$।
$-\log_{10}(2) \geq n(\log_{10}(95) - \log_{10}(100))$।
$-0.3 \geq n(1.977 - 2)$।
$-0.3 \geq n(-0.023)$।
चूंकि हम एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित कर रहे हैं, इसलिए असमानता का चिह्न बदल जाएगा: $n \geq \frac{0.3}{0.023} = \frac{300}{23} \approx 13.04$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए, इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $n = 14$ है।

(D) कुल बल्ब = $100$। दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = $10$। गैर-दोषपूर्ण बल्बों की संख्या = $90$।
दोषपूर्ण बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$।
गैर-दोषपूर्ण बल्ब चुनने की प्रायिकता $q = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$।
चूंकि बल्बों को प्रतिस्थापन के साथ चुना जाता है, यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 8$ और $p = 0.1$।
कम से कम $7$ दोषपूर्ण बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 7) = P(X = 7) + P(X = 8)$ है।
$P(X = 7) = \binom{8}{7} \times (0.1)^7 \times (0.9)^1 = 8 \times \frac{1}{10^7} \times \frac{9}{10} = \frac{72}{10^8}$।
$P(X = 8) = \binom{8}{8} \times (0.1)^8 \times (0.9)^0 = 1 \times \frac{1}{10^8} \times 1 = \frac{1}{10^8}$।
कुल प्रायिकता = $\frac{72}{10^8} + \frac{1}{10^8} = \frac{73}{10^8}$।

(A) माध्य $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\sum f_i = \sum_{k=0}^n {}^nC_k = 2^n$ है।
मान $x_k = k(k-1)$ हैं जहाँ $k=0, 1, ..., n$ है।
योग $\sum_{k=0}^n k(k-1) {}^nC_k = n(n-1) 2^{n-2}$ होता है।
अतः, $\bar{X} = \frac{n(n-1) 2^{n-2}}{2^n} = \frac{n(n-1)}{4} = 60$ है।
$n^2 - n - 240 = 0 \implies (n-16)(n+15) = 0$। चूँकि $n > 0$, इसलिए $n = 16$ है।
कुल आवृत्ति $2^{16} = 65536$ है। माध्यिका $\frac{65536+1}{2} \approx 32768$ वें स्थान पर स्थित मान है।
आवृत्तियों का वितरण $(1+1)^n$ के द्विपद विस्तार का अनुसरण करता है। $p=0.5$ वाले द्विपद वितरण $B(n, p)$ की माध्यिका लगभग $np = 16 \times 0.5 = 8$ होती है। $k=8$ पर मान $8(8-1) = 56$ है।

(C) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए, $E(X) = np = 2$ और $Var(X) = npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर: $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2} = 0.5$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - 0.5 = 0.5$।
$p$ का मान $np = 2$ में रखने पर: $n(0.5) = 2 \implies n = 4$।
हमें $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.5)^0 (0.5)^4 = 1 \times 1 \times 0.0625 = 0.0625$।
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.5)^1 (0.5)^3 = 4 \times 0.5 \times 0.125 = 0.25$।
$P(X \le 1) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125$।

(A) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{^5C_x}{2^5}$ है।
यह $n = 5$ और $p = 0.5$ के साथ एक द्विपद बंटन $B(n, p)$ है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{^5C_0 + ^5C_1 + ^5C_2}{2^5} = \frac{1 + 5 + 10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ की गणना करें।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{^5C_3 + ^5C_4 + ^5C_5}{2^5} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$ की गणना करें।
चूंकि $P(X \leq 2) = 0.5$ और $P(X \geq 3) = 0.5$ है, इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ है।

(A) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q = 1 - p$ है।
हमारे पास $P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$ और $P(X = k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \times \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$।
पदों को सरल करने पर: $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{(k-1)!}{k!} \times \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \times \frac{p^k}{p^{k-1}} \times \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$।
यह $\frac{1}{k} \times (n-k+1) \times p \times \frac{1}{q} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$ के बराबर है।

(C) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए, प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $n = 6$ और $p = 1/2$ है।
चूँकि $p = 1/2$ है, बंटन सममित (symmetric) है।
एक सममित द्विपद बंटन के लिए, अधिकतम प्रायिकता माध्य पर होती है, जो $E[X] = np = 6 \times (1/2) = 3$ है।
वैकल्पिक रूप से, $k=3$ के लिए गणना करने पर: $P(X=3) = \binom{6}{3} (1/2)^3 (1/2)^3 = 20 \times (1/64) = 20/64$।
$k=2$ या $k=4$ के लिए: $P(X=2) = P(X=4) = \binom{6}{2} (1/2)^6 = 15 \times (1/64) = 15/64$।
चूँकि $20/64 > 15/64$ है, अधिकतम प्रायिकता $X = 3$ पर होती है।

(C) माना $x$ सही उत्तरों की संख्या है और $y$ गलत उत्तरों की संख्या है।
कुल प्रश्न $x + y = 10$ हैं।
प्राप्त अंक $4x - y = 30$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $5x = 40 \implies x = 8$।
तब $y = 10 - 8 = 2$।
सही उत्तर की प्रायिकता $p = 1/4$ है और गलत उत्तर की प्रायिकता $q = 3/4$ है।
$8$ सही और $2$ गलत उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र $P(X=8) = \binom{10}{8} p^8 q^2$ द्वारा दी जाती है।
$P(X=8) = \binom{10}{2} (1/4)^8 (3/4)^2 = 45 \times \frac{1}{4^8} \times \frac{9}{4^2} = \frac{45 \times 9}{4^{10}} = \frac{405}{4^{10}}$।

(D) के एक खेल जीतने की प्रायिकता $p = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ है।
$A$ के एक खेल हारने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
माना $X$, $n=3$ खेलों में $A$ द्वारा जीते गए खेलों की संख्या है। $X$ द्विपद बंटन $B(n, p) = B(3, 1/3)$ का पालन करता है।
$A$ द्वारा कम से कम दो खेल जीतने की प्रायिकता $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3)$ है।
$P(X=2) = \binom{3}{2} p^2 q^1 = 3 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$।
$P(X=3) = \binom{3}{3} p^3 q^0 = 1 \times (\frac{1}{3})^3 \times 1 = \frac{1}{27}$।
$P(X \ge 2) = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$।

(B) यह द्विपद बंटन (binomial distribution) का प्रश्न है जहाँ $n = 8$, $p = 0.8$, और $q = 1 - p = 0.2$ है।
ठीक $k$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 4$ के लिए:
$P(X = 4) = \binom{8}{4} (0.8)^4 (0.2)^{8-4}$
$P(X = 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
$P(X = 4) = 70 \times (0.8)^4 \times (0.2)^4$
चूंकि $70 \times (0.2)^4 = 70 \times 0.0016 = 0.112$, इसलिए प्रायिकता $(0.112)(0.8)^4$ है।

(D) $1$. दो पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$2$. द्विक $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
$3$. सफलता की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$4$. असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$5$. परीक्षणों की संख्या $n = 4$ है। कम से कम $1$ सफलता प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
$6$. $P(X = 0) = ^nC_0 \cdot p^0 \cdot q^n = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = \frac{625}{1296}$ है।
$7$. $P(X \ge 1) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{1296 - 625}{1296} = \frac{671}{1296}$ है।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए, चित आने की प्रायिकता $p = 1/2$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1/2$ है। परीक्षणों की संख्या $n = 8$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए, हमें $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{8}{0} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$।
$P(X=1) = \binom{8}{1} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$।
$P(X=2) = \binom{8}{2} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$।
इन प्रायिकताओं का योग: $P(X \le 2) = (1 + 8 + 28) / 256 = 37/256$।

(B) द्विपद बंटन के लिए, माध्य $\mu = np = 1$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 0.75$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर: $\frac{npq}{np} = \frac{0.75}{1} \implies q = 0.75 = \frac{3}{4}$।
चूंकि $p + q = 1$, इसलिए $p = 1 - 0.75 = 0.25 = \frac{1}{4}$।
$np = 1$ का उपयोग करने पर, $n(\frac{1}{4}) = 1 \implies n = 4$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{4}{k} (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{4-k}$ है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{4})^1 (\frac{3}{4})^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64}$।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।
चूंकि $P(X = 1) = 2 \cdot P(X = 2)$, अतः विकल्प $(B)$ सही है।

(D) माना $n = 6$ परीक्षणों की संख्या है और $p = 1/10$ व्यक्ति के व्यस्त होने की प्रायिकता है। तब $q = 1 - p = 9/10$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
कम से कम $5$ व्यक्तियों के व्यस्त होने के लिए, हमें $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ की आवश्यकता है।
$P(X = 5) = \binom{6}{5} (1/10)^5 (9/10)^1 = 6 \times (1/10^5) \times (9/10) = 54/10^6$।
$P(X = 6) = \binom{6}{6} (1/10)^6 (9/10)^0 = 1 \times (1/10^6) \times 1 = 1/10^6$।
$P(X \ge 5) = 54/10^6 + 1/10^6 = 55/10^6$।

(C) माना $X$ सफल भविष्यवाणियों (चित) की संख्या है। चूंकि सिक्का निष्पक्ष है, चित की प्रायिकता $p = 1/2$ और पट की प्रायिकता $q = 1/2$ है। उछालों की संख्या $n = 9$ है।
$X$ एक द्विपद बंटन $B(9, 1/2)$ का पालन करता है।
हमें उस प्रायिकता की आवश्यकता है जहाँ सफल भविष्यवाणियों की संख्या असफल भविष्यवाणियों की संख्या से अधिक हो।
माना $S$ सफलताओं की संख्या है और $F$ विफलताओं की संख्या है। हमारे पास $S + F = 9$ है और हम $S > F$ चाहते हैं।
चूंकि $F = 9 - S$, स्थिति $S > 9 - S$ का अर्थ है $2S > 9$, या $S > 4.5$।
चूंकि $S$ एक पूर्णांक होना चाहिए, हमें $S \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$ की आवश्यकता है।
चूंकि $p = 1/2$ के लिए बंटन सममित है, $P(S \ge 5) = P(S \le 4)$।
चूंकि $P(S \le 9) = 1$, हमारे पास $P(S \le 4) + P(S \ge 5) = 1$ है।
अतः, $2 \cdot P(S \ge 5) = 1$, जिससे $P(S \ge 5) = 1/2$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. एक निष्पक्ष पासे का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है, इसलिए कुल परिणाम $n(S) = 6$ हैं।
$2$. पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं, इसलिए सफल परिणामों की संख्या $3$ है।
$3$. एक बार फेंकने पर सफलता की प्रायिकता, $p = 3/6 = 1/2$ है।
$4$. एक बार फेंकने पर असफलता की प्रायिकता, $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$ है।
$5$. पासे को $n = 4$ बार फेंका जाता है। कोई सफलता न मिलने (अर्थात $0$ सफलता) की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$6$. $k = 0$ के लिए, $P(X = 0) = \binom{4}{0} (1/2)^0 (1/2)^{4-0} = 1 \times 1 \times (1/2)^4 = 1/16$।

(D) द्विपद बंटन के लिए, $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, जहाँ $n = 6$, $p$ सफलता की प्रायिकता है, और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
दिया गया है $9P(X = 4) = P(X = 2)$, अतः $9 \binom{6}{4} p^4 q^2 = \binom{6}{2} p^2 q^4$ है।
चूँकि $\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = 15$, समीकरण सरल होकर $9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$ हो जाता है।
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $p, q \neq 0$), हमें $9p^2 = q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $3p = q$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p + q = 1$, समीकरण में $q = 3p$ प्रतिस्थापित करने पर: $p + 3p = 1 \implies 4p = 1 \implies p = 0.25$।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$ है।

(D) माना $p$ बम के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता है, अतः $p = 0.8 = 4/5$ है।
माना $q$ बम के लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता है, अतः $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 = 1/5$ है।
हम $n = 6$ बम गिरा रहे हैं। माना $X$ लक्ष्य से चूकने वाले बमों की संख्या है।
हमें कम से कम $1$ बम के चूकने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, जो $P(X \ge 1)$ है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए, $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
$P(X = 0)$ वह प्रायिकता है कि कोई भी बम नहीं चूकता, अर्थात सभी $6$ बम लक्ष्य पर लगते हैं।
$P(X = 0) = p^6 = (4/5)^6$ है।
अतः, $P(X \ge 1) = 1 - (4/5)^6$ है।

(C) माना $n = 4$ परीक्षणों की संख्या है।
एक बार में 'क्लब' का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
'क्लब' का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
द्विपद बंटन सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $k = 2$:
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^{4-2}$
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{16}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right)$
$P(X = 2) = \frac{54}{256} = \frac{27}{128}$।

(A) द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
दिया गया है $n = 6$, अतः $P(X = 4) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2 = 15 p^4 (1-p)^2$ और $P(X = 2) = \binom{6}{2} p^2 (1-p)^4 = 15 p^2 (1-p)^4$ है।
दिया गया है $9P(X = 4) = P(X = 2)$, व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9 \times 15 p^4 (1-p)^2 = 15 p^2 (1-p)^4$।
दोनों पक्षों को $15 p^2 (1-p)^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $p \neq 0, 1$):
$9 p^2 = (1-p)^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$3p = 1-p$ या $3p = -(1-p)$।
$3p = 1-p$ के लिए, हमें $4p = 1$ प्राप्त होता है, अतः $p = 1/4$ है।
$3p = p-1$ के लिए, हमें $2p = -1$ प्राप्त होता है, जिससे $p = -1/2$ मिलता है (जो संभव नहीं है क्योंकि $0 \le p \le 1$)।
अतः, $p = 1/4$ है।

(D) माना $P(A) = 0.4$ एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है।
एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
चूंकि $3$ स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं, इसलिए $3$ परीक्षणों में से किसी में भी घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $(P(A'))^3 = (0.6)^3 = 0.216$ है।
घटना $A$ के कम से कम एक बार घटित होने की प्रायिकता $1 - P(\text{घटना } A \text{ कभी नहीं घटित होती}) = 1 - 0.216 = 0.784$ है।