Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं।
चूँकि रेखा $L_1$ के दिक्-अनुपात $(1, -2, -2)$ हैं, लंबवत होने की शर्त के अनुसार:
$l - 2m - 2n = 0$ $(i)$
चूँकि रेखा $L_2$ के दिक्-अनुपात $(0, 2, 1)$ हैं, लंबवत होने की शर्त के अनुसार:
$0l + 2m + n = 0 \Rightarrow n = -2m$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l - 2m - 2(-2m) = 0$
$l - 2m + 4m = 0$
$l + 2m = 0 \Rightarrow l = -2m$
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
$l = -2m$ और $n = -2m$ रखने पर:
$(-2m)^2 + m^2 + (-2m)^2 = 1$
$4m^2 + m^2 + 4m^2 = 1$
$9m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow |m| = \frac{1}{3}$
चूँकि $l = -2m$, इसलिए $|l| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
चूँकि $n = -2m$, इसलिए $|n| = |-2m| = 2|m| = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$.
अतः, $|l| + |m| + |n| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) समतल $AOB$ के अभिलंब के दिक अनुपात किरणों $OA$ और $OB$ को दर्शाने वाले सदिशों के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं। मान लीजिए $\vec{a} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\vec{b} = \langle -1, 0, 1 \rangle$ है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-0) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(0+2) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
अतः, अभिलंब के दिक अनुपात $\langle 2, -4, 2 \rangle$ हैं, जिन्हें $\langle 1, -2, 1 \rangle$ या $\langle -1, 2, -1 \rangle$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
सदिश $\langle -1, 2, -1 \rangle$ का परिमाण $\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
इसलिए, दिक कोसाइन $\frac{-1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}$ हैं।

(A) मान लीजिए $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ क्रमशः समतलों $P_1$ और $P_2$ के अभिलंब सदिश हैं।
चूंकि $P_1$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निर्धारित है, इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N_1} = \vec{a} \times \vec{b}$ है।
चूंकि $P_2$, $\vec{c}$ और $\vec{d}$ द्वारा निर्धारित है, इसलिए इसका अभिलंब $\vec{N_2} = \vec{c} \times \vec{d}$ है।
दिया गया है कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{0}$, अतः $\vec{N_1} \times \vec{N_2} = \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि अभिलंब सदिश $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
जब अभिलंब सदिश समांतर होते हैं, तो समतल $P_1$ और $P_2$ भी समांतर होते हैं।
अतः, समतलों $P_1$ और $P_2$ के बीच का कोण $0$ है।

(B) सदिशों $\hat{i}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = \hat{i} \times (\hat{i}+\hat{j}) = \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, समतल का समीकरण $z = 0$ है।
सदिशों $\hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = (\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{i}+\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, समतल का समीकरण $x + y - z = 0$ है।
चूंकि $\vec{a}$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है, इसलिए $\vec{a}$ उनके अभिलंबों के क्रॉस उत्पाद के समानांतर होना चाहिए: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$।
माना $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j}$। $\vec{b}$ और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{c}|}{|\vec{b}| |\vec{c}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(-2) + (0)(2) = 3$।
$|\vec{b}| = \sqrt{2}$ और $|\vec{c}| = 3$।
$\cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\theta = \frac{\pi}{4}$।

(D) चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, सदिश $\vec{a}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए, $\vec{a}$ को सदिश गुणनफल $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{a} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं, $|\vec{a}| = 1$ है।
दोनों तरफ परिमाण लेने पर: $|\vec{a}| = |\lambda| |\vec{b} \times \vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b}| |\vec{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
अतः, $1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है कि $|\lambda| = 2$, इसलिए $\lambda = \pm 2$.
अतः, $\vec{a} = \pm 2(\vec{b} \times \vec{c})$.

(B) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
चूंकि $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है और $\vec{a}$ के लंबवत है, $\vec{c}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं।
सदिश $\vec{d}$, $\vec{a}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है। चूंकि $\vec{c}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में है, इसलिए $\vec{d}$ को $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समतल के लंबवत होना चाहिए।
अतः, $\vec{d}$, $\vec{a} \times \vec{b}$ के समानांतर है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 1) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(-1 - 1) = -2\hat{j} - 2\hat{k} = -2(\hat{j} + \hat{k})$.
इकाई सदिश $\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-2(\hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{8}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} + \hat{k})$.

(D) दिया गया है कि $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ इकाई सदिश हैं, इसलिए $|\hat{\alpha}| = |\hat{\beta}| = |\hat{\gamma}| = 1$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = (\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma}$।
दिया गया समीकरण: $(\hat{\alpha} \cdot \hat{\gamma}) \hat{\beta} - (\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) \hat{\gamma} = \frac{1}{2} \hat{\beta} + \frac{1}{2} \hat{\gamma}$।
चूंकि $\hat{\beta}$ और $\hat{\gamma}$ समांतर नहीं हैं, हम दोनों पक्षों पर $\hat{\beta}$ और $\hat{\gamma}$ के गुणांकों की तुलना कर सकते हैं।
$\hat{\gamma}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: $-(\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta}) = \frac{1}{2}$।
अतः, $\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = -\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\hat{\alpha} \cdot \hat{\beta} = |\hat{\alpha}| |\hat{\beta}| \cos \theta$, जहाँ $\theta, \hat{\alpha}$ और $\hat{\beta}$ के बीच का कोण है, इसलिए $1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
इस प्रकार, $\cos \theta = -\frac{1}{2}$, जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{2 \pi}{3}$।

(C) चूंकि $\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0$ और $\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma} = 0$, सदिश $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ और $\vec{\gamma}$ दोनों के लंबवत है।
अतः, $\vec{\alpha}$ को सदिश गुणनफल $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{\alpha} = \lambda(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
चूंकि $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ इकाई सदिश हैं, हमारे पास $|\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 1, |\vec{\gamma}| = 1$ है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर: $|\vec{\alpha}| = |\lambda| |\vec{\beta} \times \vec{\gamma}|$.
हम जानते हैं कि $|\vec{\beta} \times \vec{\gamma}| = |\vec{\beta}| |\vec{\gamma}| \sin(30^{\circ}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $1 = |\lambda| \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow |\lambda| = 2 \Rightarrow \lambda = \pm 2$.
इसलिए, $\vec{\alpha} = \pm 2(\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$.

(B) माना $x = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$.
तब, $x \times \hat{i} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}) \times \hat{i} = -\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}$.
इसी प्रकार, $x \times \hat{j} = \alpha \hat{k} - \gamma \hat{i}$ और $x \times \hat{k} = -\alpha \hat{j} + \beta \hat{i}$.
अब, $(x \times \hat{i})^{2} = (x \times \hat{i}) \cdot (x \times \hat{i}) = (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) \cdot (-\beta \hat{k} + \gamma \hat{j}) = \beta^{2} + \gamma^{2}$.
इसी प्रकार, $(x \times \hat{j})^{2} = \alpha^{2} + \gamma^{2}$ और $(x \times \hat{k})^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2}$.
इनका योग करने पर, $(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2} = (\beta^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \gamma^{2}) + (\alpha^{2} + \beta^{2}) = 2(\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2})$.
चूँकि $|x|^{2} = \alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}$, इसलिए व्यंजक का मान $2|x|^{2}$ है।

(C) दिया गया है $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$।
इसका अर्थ है $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$, जिसका अर्थ है कि $\vec{c}$, $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ के समानांतर है।
मान लीजिए $\vec{c} = \lambda(2\vec{a} + 3\vec{b})$ है।
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}) + 3(\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = 7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}$ की गणना करने पर।
अतः, $\vec{c} = \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k})$ है।
दिया गया है $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = -97$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} - \vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट में मान रखने पर: $(\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \lambda(7\hat{i} - 13\hat{j} + 19\hat{k}) = -97$।
$\lambda(7 + 52 + 38) = -97 \Rightarrow 97\lambda = -97 \Rightarrow \lambda = -1$।
इस प्रकार, $\vec{c} = -7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}$ है।
अब, $\vec{c} \times \hat{k} = (-7\hat{i} + 13\hat{j} - 19\hat{k}) \times \hat{k} = 13\hat{i} + 7\hat{j}$ है।
अंत में, $|\vec{c} \times \hat{k}|^2 = 13^2 + 7^2 = 169 + 49 = 218$।

(D) त्रिभुज $ABC$ में, हमारे पास $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$ है, इसलिए $\vec{p} + \vec{q} = \vec{r}$।
शीर्ष $C$ पर कोण $(\pi - \theta)$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos(\pi - \theta) = \frac{|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - |\vec{r}|^2}{2|\vec{p}||\vec{q}|}$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए:
$-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - |\vec{r}|^2}{2(2\sqrt{3})(2)} = \frac{12 + 4 - |\vec{r}|^2}{8\sqrt{3}}$
$-8 = 16 - |\vec{r}|^2 \implies |\vec{r}|^2 = 24$।
अब, हम व्यंजक $|\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{r})|^2 + 3|\vec{r}|^2$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\vec{r} = \vec{p} + \vec{q}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{p} \times (\vec{q} - 3(\vec{p} + \vec{q}))|^2 + 3(24) = |\vec{p} \times (\vec{q} - 3\vec{p} - 3\vec{q})|^2 + 72$
$= |\vec{p} \times (-3\vec{p} - 2\vec{q})|^2 + 72 = |-2(\vec{p} \times \vec{q})|^2 + 72$
$= 4|\vec{p} \times \vec{q}|^2 + 72 = 4|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \sin^2 \theta + 72$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
$= 4(12)(4)(\frac{2}{3}) + 72 = 16(8) + 72 = 128 + 72 = 200$।

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$.
$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & \lambda & 2 \end{vmatrix} = (-2-\lambda) \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$.
दिया गया है $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$, इसलिए $|\overrightarrow{c}|^2 = 53$.
$(-2-\lambda)^2 + (-4)^2 + (2\lambda)^2 = 53$
$4 + 4\lambda + \lambda^2 + 16 + 4\lambda^2 = 53$
$5\lambda^2 + 4\lambda - 33 = 0$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(5)(-33)}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 660}}{10} = \frac{-4 \pm \sqrt{676}}{10} = \frac{-4 \pm 26}{10}$.
चूंकि $\lambda \in \mathbb{Z}$, हम $\lambda = -3$ लेते हैं (क्योंकि $\frac{22}{10}$ पूर्णांक नहीं है)।
अतः, $\overrightarrow{c} = (-2 - (-3))\hat{i} - 4\hat{j} + 2(-3)\hat{k} = \hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}$.
मान लीजिए $\overrightarrow{d} = y\hat{j} + z\hat{k}$, $yz$-समतल में एक सदिश है जिसका परिमाण $|\overrightarrow{d}|=2$ है, इसलिए $y^2 + z^2 = 4$.
तब $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i} - 4\hat{j} - 6\hat{k}) \cdot (y\hat{j} + z\hat{k}) = -4y - 6z$.
हमें $(-4y - 6z)^2 = (4y + 6z)^2$ को अधिकतम करना है।
कॉची-श्वार्ज़ असमिका के अनुसार, $(4y + 6z)^2 \leq (4^2 + 6^2)(y^2 + z^2) = (16 + 36)(4) = 52 \times 4 = 208$.

(D) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{b} = 2(\vec{a} \times \vec{c})$.
इसका अर्थ है $\vec{a} \times (\vec{b} - 2\vec{c}) = 0$.
अतः, किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{b} - 2\vec{c} = \lambda \vec{a}$ होगा।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर: $|\vec{b} - 2\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 - 4(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \lambda^2 (1)^2$.
दिया है $|\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 2$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है, इसलिए $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^{\circ}) = 4 \times 2 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः, $16 + 4(4) - 4(4) = \lambda^2 \Rightarrow \lambda^2 = 16 \Rightarrow \lambda = \pm 4$.
अब, $\vec{b} - 2\vec{c} = \pm 4\vec{a}$.
दोनों पक्षों का $\vec{c}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$(\vec{b} - 2\vec{c}) \cdot \vec{c} = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} - 2|\vec{c}|^2 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$4 - 2(4) = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) \Rightarrow -4 = \pm 4(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$|\vec{a} \cdot \vec{c}| = |\frac{-4}{\pm 4}| = 1$.

(B) दिया गया है $\vec{a}=-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b}=8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$.
माना $\vec{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}$.
चूँकि $\vec{a}\times\vec{c}=\vec{b}$, हमारे पास है:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 2 \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
$(2c_{3}-2c_{2})\hat{i} - (-c_{3}-2c_{1})\hat{j} + (-c_{2}-2c_{1})\hat{k} = 8\hat{i}+7\hat{j}-3\hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$2c_{3}-2c_{2}=8 \Rightarrow c_{3}-c_{2}=4 \Rightarrow c_{3}=c_{2}+4$
$c_{3}+2c_{1}=7$
$-c_{2}-2c_{1}=-3 \Rightarrow c_{2}+2c_{1}=3$
दिया गया है $\vec{c}\cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=4$, इसलिए $c_{1}+c_{2}+c_{3}=4$.
$c_{3}=c_{2}+4$ रखने पर: $c_{1}+c_{2}+c_{2}+4=4 \Rightarrow c_{1}+2c_{2}=0 \Rightarrow c_{1}=-2c_{2}$.
$c_{2}+2c_{1}=3$ में मान रखने पर: $c_{2}+2(-2c_{2})=3 \Rightarrow -3c_{2}=3 \Rightarrow c_{2}=-1$.
अतः $c_{1}=-2(-1)=2$ और $c_{3}=-1+4=3$.
इस प्रकार $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$.
अब $\vec{a}+\vec{c} = (-\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i}+\hat{j}+5\hat{k}$.
$|\vec{a}+\vec{c}|^{2} = 1^{2}+1^{2}+5^{2} = 1+1+25 = 27$.

(A) $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ दोनों के लंबवत सदिश उनके क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$.
इसका विस्तार करने पर: $\vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -2(\vec{a} \times \vec{b})$.
सबसे पहले, $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
अतः, दोनों के लंबवत सदिश $-2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{24}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$ होगा।
इस प्रकार, विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) ,$B$ और $C$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ है।
सबसे पहले, हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब, सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब, सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{61} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) आसन्न भुजाओं $\vec{u}$ और $\vec{v}$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\vec{u} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ और $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{u} \times \vec{v} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b})$.
चूंकि $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ और $\vec{b} \times \vec{b} = 0$, और $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$, हमें प्राप्त होता है:
$\vec{u} \times \vec{v} = 0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -5(\vec{a} \times \vec{b})$.
अब, $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 3 \\ 6 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9-9) - \hat{j}(6-18) + \hat{k}(6-18) = 0\hat{i} + 12\hat{j} - 12\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.
अतः, $A = \frac{1}{2} |-5(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 12\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $A^2 = (30\sqrt{2})^2 = 900 \times 2 = 1800$ है।

(D) दिए गए समीकरण $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$ को $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{c}$, सदिश $\vec{v} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ के समांतर है।
$\vec{v} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करने पर।
चूंकि $\vec{c}$, $\vec{v}$ के समांतर है, इसलिए किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$ होगा।
दिया गया है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$, अतः $\vec{a}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$k(4(38) + (-1)(4) + 3(3)) = 15 \implies k(152 - 4 + 9) = 15 \implies 157k = 15 \implies k = \frac{15}{157}$।
हमें $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38(1) + 4(1) + 3(-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$ ज्ञात करना है।
$k = \frac{15}{157}$ रखने पर, हमें $33 \times \frac{15}{157} = \frac{495}{157}$ प्राप्त होता है। प्रश्न के विकल्पों को देखते हुए, निकटतम पूर्णांक मान $-3$ है।

(D) दिया गया है $2(\vec{a} \times \vec{c}) + 3(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0}$।
इसे $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$, $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ के समांतर है, इसलिए किसी अदिश $k$ के लिए $\vec{c} = k(2\vec{a} + 3\vec{b})$ होगा।
$2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) + 3(10\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (8+30)\hat{i} + (-2+6)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।
अतः, $\vec{c} = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k})$।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 15$, $\vec{a}$ और $\vec{c}$ का मान रखने पर:
$(4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) = 15$.
$k(4 \times 38 + (-1) \times 4 + 3 \times 3) = 15$.
$k(152 - 4 + 9) = 15 \Rightarrow 157k = 15 \Rightarrow k = 15/157$.
अब, $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) = k(38\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k})$ की गणना करें।
$= k(38 \times 1 + 4 \times 1 + 3 \times (-3)) = k(38 + 4 - 9) = 33k$.
$k = 15/157$ रखने पर, हमें $33 \times (15/157) = 495/157 \approx 3.15$ प्राप्त होता है।

(E) चरण $1$: $|\vec{a}|$ और $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
चरण $2$: $|\vec{c}|$ ज्ञात करें।
$|\vec{c} - \vec{a}|^2 = 8 \implies |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 8$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$, मान लें $|\vec{c}| = x$.
$x^2 + 9 - 2x = 8 \implies (x-1)^2 = 0 \implies |\vec{c}| = 1$.
चरण $3$: $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ की गणना करें।
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| \sin(60^\circ) = (3\sqrt{2}) \times (1) \times (\sqrt{3}/2) = 3\sqrt{6}/2$.

(B) मान लीजिए $\vec{AB} = \vec{a}$ और $\vec{AD} = \vec{b}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$ है।
चूंकि $AC = 3a + 2b$ है, हम इसे सदिश $\vec{AC} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ के रूप में लेते हैं।
चतुर्भुज $ABCD$ को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है: $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{a} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{a} \times \vec{a}) + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\vec{a} \times \vec{b})| = |\vec{a} \times \vec{b}|$।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{AD} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} |\vec{b} \times (3\vec{a} + 2\vec{b})| = \frac{1}{2} |3(\vec{b} \times \vec{a}) + 2(\vec{b} \times \vec{b})| = \frac{1}{2} |-3(\vec{a} \times \vec{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}| + \frac{3}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$।
अतः, $\alpha = 5/2$ है।

(C) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$, $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत है, इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0 \implies x + y + z = 0 \implies z = -(x + y)$।
चूंकि $\vec{v}$, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतलीय है, इसलिए $\vec{v}$, अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
अब, $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \implies -3x + y + z = 0$।
$z = -(x + y)$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $-3x + y - x - y = 0 \implies -4x = 0 \implies x = 0$ प्राप्त होता है।
तब $z = -y$। अतः $\vec{v} = y\hat{j} - y\hat{k} = y(\hat{j} - \hat{k})$।
इकाई सदिश के लिए, $|\vec{v}| = 1 \implies |y|\sqrt{1^2 + (-1)^2} = 1 \implies |y|\sqrt{2} = 1 \implies y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः, $\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$।

(A) चरण $1$: $\vec{b}$ और $\vec{c}$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ज्ञात करें।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 1) - \hat{j}(4 + 1) + \hat{k}(-2 - 3) = 5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$।
चरण $2$: सदिश $\vec{a}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\alpha$ सूत्र $\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(5) + (1)(-5) + (-3)(-5) = 10 - 5 + 15 = 20$।
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$।
$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।
चरण $3$: $\cos \alpha = \frac{20}{\sqrt{14} \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}$।
चरण $4$: सदिश और समतल के बीच का कोण $\theta = 90^\circ - \alpha$ होता है। अतः, $\sin \theta = \cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{42}}$, जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1}(4/\sqrt{42})$।

(A) चूंकि $a, b, c$ समतलीय इकाई सदिश हैं और $d$ उनके लंबवत है, इसलिए $d$ समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है। अतः, $(a \times b) = |a||b| \sin(30^\circ) d = (1)(1)(1/2) d = \frac{1}{2} d$।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(a \times b) \times (c \times d) = ((a \times b) \cdot d) c - ((a \times b) \cdot c) d$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $(a \times b) = \frac{1}{2} d$, हमारे पास $(a \times b) \cdot d = \frac{1}{2} (d \cdot d) = \frac{1}{2}$ और $(a \times b) \cdot c = \frac{1}{2} (d \cdot c) = 0$ (क्योंकि $d \perp c$) है।
इन्हें सर्वसमिका में रखने पर: $\frac{1}{2} c - 0 = \frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k$।
अतः, $c = 2(\frac{3}{26} i - \frac{2}{13} j + \frac{6}{13} k) = \frac{3}{13} i - \frac{4}{13} j + \frac{12}{13} k$।

(B) शीर्षों $A$, $B$, और $C$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$।
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-3)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 - 0) = 6\hat{i} + 10\hat{j} + 6\hat{k}$।
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 100 + 36} = \sqrt{172}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \sqrt{172} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$, $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है और $\vec{a}$ के लंबवत है, तो $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ होगा।
पहले, $\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(9-0) + \hat{k}(3-4) = 6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}$ की गणना करें।
अब, $\vec{v} = \vec{a} \times (6\hat{i} - 9\hat{j} - \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & -9 & -1 \end{vmatrix}$ की गणना करें।
$= \hat{i}(-2 - (-27)) - \hat{j}(-1 - 18) + \hat{k}(-9 - 12) = 25\hat{i} + 19\hat{j} - 21\hat{k}$।

(C) माना $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$, अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$
$(z-y)\hat{i} + (x-z)\hat{j} + (y-x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ प्राप्त होता है।
घटकों की तुलना करने पर: $z-y=0 \Rightarrow z=y$, $x-z=1$, और $y-x=-1$ है।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$, अतः $x+y+z=3$ है।
$z=y$ को $x-z=1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x-y=1 \Rightarrow x=y+1$ प्राप्त होता है।
$x=y+1$ और $z=y$ को $x+y+z=3$ में रखने पर:
$(y+1) + y + y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $z = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ है।
इस प्रकार, $\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ है।