KCET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $1$. बल आघूर्ण $(\tau) = \text{बल} \times \text{दूरी} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ (iv).
$2$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G) = \frac{Fr^2}{m^2} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ (iii).
$3$. धारिता $(C) = \frac{Q}{V} = \frac{[AT]}{[ML^2T^{-3}A^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ $(i)$.
$4$. प्लांक नियतांक $(h) = \frac{E}{f} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$ (ii).
अतः, सही मिलान $a-iv, b-iii, c-i, d-ii$ है।

(B) माना कुल दूरी $2d$ है। पहले आधे भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{40}$ है और दूसरे आधे भाग के लिए $t_2 = \frac{d}{50}$ है।
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{50}}$।
औसत चाल = $\frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{50}} = \frac{2 \times 40 \times 50}{40 + 50} = \frac{4000}{90} \approx 44.44 \text{ km/h}$।

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है, जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
चूँकि दोनों पिंडों के लिए $u$ और $g$ स्थिर हैं, अधिकतम ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta_1 = 30^\circ$ और $\theta_2 = 45^\circ$, हमारे पास है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(30^\circ)}{\sin^2(45^\circ)} = \frac{(1/2)^2}{(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।
अतः, अनुपात $1:2$ है।

(A) $1$. बल आघूर्ण $(\tau) = \text{बल} \times \text{दूरी} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$। यह $(iv)$ से मेल खाता है।
$2$. गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$: $F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$ से, $G = \frac{Fr^2}{m^2} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$। यह $(iii)$ से मेल खाता है।
$3$. धारिता $(C)$: $Q = CV$ से, $C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{W/Q} = \frac{Q^2}{W} = \frac{[AT]^2}{[ML^2T^{-2}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$। यह $(i)$ से मेल खाता है।
$4$. प्लांक नियतांक $(h)$: $E = h\nu$ से, $h = \frac{E}{\nu} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $a-iv, b-iii, c-i, d-ii$ है।

(C) त्वरण $a$ का मान $a = V \frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $V = x^2 - 5x + 4$, अतः $\frac{dV}{dx} = 2x - 5$ है।
इस प्रकार, $a = (x^2 - 5x + 4)(2x - 5)$ होगा।
वेग शून्य तब होता है जब $x^2 - 5x + 4 = 0$, जिसका अर्थ है $(x-1)(x-4) = 0$, अतः $x = 1 \text{ m}$ या $x = 4 \text{ m}$ है।
$x = 1 \text{ m}$ पर, $a = (0)(2(1) - 5) = 0 \text{ m/s}^2$ है।
$x = 4 \text{ m}$ पर, $a = (0)(2(4) - 5) = 0 \text{ m/s}^2$ है।
अतः, त्वरण का परिमाण शून्य है।

(D) त्वरण से ऊपर की ओर जा रही लिफ्ट में व्यक्ति का आभासी भार $W' = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 80 \text{ kg}$, त्वरण $a = 6 \text{ m/s}^2$, और $g = 10 \text{ m/s}^2$ है।
$W' = 80 \times (10 + 6) = 80 \times 16 = 1280 \text{ N}$।
इस आभासी भार को $\text{kg}$ में व्यक्त करने के लिए (जैसा कि वजन मशीन द्वारा दर्शाया गया है), हम $g$ से विभाजित करते हैं:
$\text{kg में आभासी भार} = \frac{1280 \text{ N}}{10 \text{ m/s}^2} = 128 \text{ kg}$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $T_1$ झुकी हुई डोरी में तनाव है, $T_2$ क्षैतिज डोरी में तनाव है, और $T_3$ द्रव्यमान $M$ को सहारा देने वाली ऊर्ध्वाधर डोरी में तनाव है।
साम्यावस्था में, ऊर्ध्वाधर डोरी भार को सहारा देती है, इसलिए $T_3 = Mg$।
जंक्शन $O$ पर बलों का वियोजन करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_1 \sin 45^\circ = T_3 = Mg$।
$T_1 = \frac{Mg}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} Mg$।
क्षैतिज घटक: $T_2 = T_1 \cos 45^\circ$।
$T_2 = (\sqrt{2} Mg) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = Mg$।
अतः, क्षैतिज डोरी में तनाव $Mg$ है।

(B) रैखिक संवेग $p$ और द्रव्यमान $m$ वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के लिए रैखिक संवेग $p$ समान है, इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
अतः, द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{K_2}{K_1}$ होगा।
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{3}{1}$ दिया गया है, इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार, उनके द्रव्यमानों का अनुपात $1:3$ है।

(D) चरण $1$: न्यूटन के द्वितीय नियम का उपयोग करके त्वरण की गणना करें: $a = \frac{F}{m} = \frac{5 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 1 \text{ m/s}^2$।
चरण $2$: $v = u + at$ का उपयोग करके $t = 10 \text{ s}$ के बाद अंतिम वेग ज्ञात करें: $v = 0 + (1 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) = 10 \text{ m/s}$।
चरण $3$: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें: $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times (10 \text{ m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 100 = 250 \text{ J}$।

(D) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ और कोणीय संवेग $\vec{L}$ के बीच संबंध $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि किसी पिंड पर कार्य करने वाला नेट बाह्य बल आघूर्ण शून्य है $(\vec{\tau} = 0)$, तो $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि कोणीय संवेग $\vec{L}$ समय के साथ स्थिर रहता है।

(A) कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, $L = I\omega = \text{constant}$.
चूंकि $I = \frac{2}{5}MR^2$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$, इसलिए $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{T_1} = \frac{R^2}{4T_2}$.
अतः, $T_2 = \frac{T_1}{4}$.
दिया गया है $T_1 = 24 \text{ h}$, तो नई अवधि $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \text{ h}$ होगी।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$, हम लिख सकते हैं $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
पृथ्वी के लिए, $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
नए ग्रह के लिए, $g' = \frac{4}{3} \pi G \rho (2R) = 2 \times (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 2g$।
अतः, $g' = 2g$।

(C) मान लीजिए $M_e$ और $R_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं, और $M_m$ और $R_m$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं। मान लीजिए $D$ पृथ्वी और चंद्रमा के केंद्रों के बीच की दूरी है।
यदि अंतरिक्ष यान पृथ्वी के केंद्र से $x$ दूरी पर है, तो $M$ द्रव्यमान वाले यात्री पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G M_e M}{x^2} - \frac{G M_m M}{(D-x)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि अंतरिक्ष यान स्थिर वेग $v$ से चलता है, $x = vt$। अतः, $F(t) = G M \left( \frac{M_e}{(vt)^2} - \frac{M_m}{(D-vt)^2} \right)$।
$t=0$ पर (पृथ्वी की सतह पर), $F = Mg$। $t=t_m$ पर (चंद्रमा की सतह पर), $F = Mg'$।
पृथ्वी और चंद्रमा के बीच एक बिंदु (तटस्थ बिंदु) मौजूद है जहाँ पृथ्वी और चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव एक-दूसरे को रद्द कर देता है, जिसका अर्थ है $F=0$। यह $0$ और $t_m$ के बीच किसी समय $t$ पर होता है।
वक्र $C$ एकमात्र ऐसा वक्र है जो बल को $Mg$ से घटते हुए, तटस्थ बिंदु पर शून्य तक पहुँचते हुए, और फिर चंद्रमा की सतह पर $Mg'$ तक बढ़ते हुए दिखाता है।

(B) चरण $1$: ऑटोमोबाइल का कार्बोरेटर हवा और ईंधन को मिलाने के लिए एक वेंचुरी ट्यूब का उपयोग करता है।
चरण $2$: जैसे ही हवा वेंचुरी के संकीर्ण हिस्से से गुजरती है, उसका वेग बढ़ जाता है, जिससे बरनौली के सिद्धांत के अनुसार दबाव कम हो जाता है।
चरण $3$: यह कम दबाव वाला क्षेत्र ईंधन को हवा की धारा में खींचता है, जिससे दहन के लिए आवश्यक हवा-ईंधन मिश्रण तैयार होता है।
चरण $4$: इसलिए, कार्बोरेटर का संचालन बरनौली के सिद्धांत पर आधारित है।

(B) तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है, जहाँ $F$ भार है, $L$ लंबाई है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, इसलिए $\Delta L = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$ होगा।
समान पदार्थ ($Y$ स्थिर है), समान लंबाई ($L$ स्थिर है) और समान भार ($F$ स्थिर है) के लिए, $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ है।
माना $d_1 = d$ और $d_2 = 2d$ है। तब $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = \frac{(2d)^2}{d^2} = \frac{4d^2}{d^2} = 4:1$ होगा।

(C) केशिकीय नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है, $\theta$ संपर्क कोण है, $r$ नली की त्रिज्या है, $\rho$ द्रव का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}} = g - a$ होता है। चूँकि लिफ्ट मुक्त रूप से गिर रही है, $a = g$, इसलिए $g_{\text{eff}} = 0$ होगा।
चूँकि $h \propto \frac{1}{g_{\text{eff}}}$, जब $g_{\text{eff}} = 0$ होता है, तो ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है।
हालाँकि, पानी तब तक ऊपर चढ़ेगा जब तक वह केशिकीय नली के ऊपरी सिरे तक नहीं पहुँच जाता। चूँकि नली $30 \text{ cm}$ लंबी है, इसलिए जल स्तंभ पूरी नली को भर देगा।

(B) चरण $1$: समतापीय प्रक्रम को स्थिर तापमान $(T = \text{constant})$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
चरण $2$: समदाबी प्रक्रम को स्थिर दाब $(P = \text{constant})$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, न कि स्थिर आयतन द्वारा। स्थिर आयतन वाले प्रक्रम को समआयतनिक प्रक्रम कहा जाता है।
चरण $3$: रुद्धोष्म प्रक्रम वह है जिसमें परिवेश के साथ कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है $(Q = 0)$, जिसका अर्थ है कि निकाय ऊष्मारोधी है। आदर्श गैस के रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए $PV^\gamma = \text{constant}$ संबंध लागू होता है।
चरण $4$: अतः, यह कथन कि समदाबी प्रक्रम में आयतन स्थिर रहता है, असत्य है।

(D) बॉयल के नियम के अनुसार, नियत ताप पर आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ का गुणनफल नियत रहता है, अर्थात $PV = \text{constant}$।
इसका अर्थ है $P = \frac{\text{constant}}{V}$, जिसका तात्पर्य है $P \propto \frac{1}{V}$।
इस संबंध के लिए $P$ और $V$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) होता है, जो ग्राफ-$IV$ के अनुरूप है।

(D) अधिकतम गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \text{ kg}$, कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$, और आयाम $A = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$।
मान रखने पर:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times (100 \text{ rad/s})^2 \times (0.06 \text{ m})^2$
$K_{max} = 0.5 \times 10000 \times 0.0036$
$K_{max} = 18 \text{ J}$।

(B) चरण $1$: पहली स्थिति से, विस्पंद आवृत्ति $|\nu - 200| = 6$ है। इसका अर्थ है $\nu = 200 \pm 6$, अतः $\nu = 206 \text{ Hz}$ या $\nu = 194 \text{ Hz}$।
चरण $2$: दूसरी स्थिति से, दूसरे संनादी $2\nu$ के लिए विस्पंद आवृत्ति $|2\nu - 420| = 8$ है। इसका अर्थ है $2\nu = 420 \pm 8$, अतः $2\nu = 428 \text{ Hz}$ या $2\nu = 412 \text{ Hz}$।
चरण $3$: दूसरी स्थिति में $\nu$ के लिए हल करने पर $\nu = 214 \text{ Hz}$ या $\nu = 206 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: दोनों स्थितियों के परिणामों की तुलना करने पर, उभयनिष्ठ मान $\nu = 206 \text{ Hz}$ है।

(D) $1$. गैस का मुक्त प्रसार एक स्वतः प्रवर्तित प्रक्रिया है जहाँ निकाय बाहरी कार्य के बिना अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस नहीं आ सकता, जिससे यह अनुत्क्रमणीय हो जाता है।
$2$. दहन एक रासायनिक अभिक्रिया है जो अत्यधिक ऊष्माक्षेपी और स्वतः प्रवर्तित होती है, जो इसे अनुत्क्रमणीय बनाती है।
$3$. सिलेंडर से गैस का रिसाव एक स्वतः प्रवर्तित प्रसार प्रक्रिया है जिसे स्वतः उलट नहीं किया जा सकता है।
$4$. गर्म वस्तु से ठंडी वस्तु में ऊष्मा का स्थानांतरण एक स्वतः प्रवर्तित प्रक्रिया है जो ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी को बढ़ाती है, जिससे यह अनुत्क्रमणीय हो जाती है।
अतः, सूचीबद्ध सभी प्रक्रियाएं ($I$, $II$, $III$, और $IV$) प्रकृति में अनुत्क्रमणीय हैं।

(A) $1$. इलेक्ट्रॉन पर बल $F = eE = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})(2.0 \times 10^4 \text{ N/C}) = 3.2 \times 10^{-15} \text{ N}$ है।
$2$. इलेक्ट्रॉन का त्वरण $a = \frac{F}{m_e} = \frac{3.2 \times 10^{-15} \text{ N}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}} \approx 3.51 \times 10^{15} \text{ m/s}^2$ है।
$3$. गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = 0$ और $s = 1.5 \text{ cm} = 0.015 \text{ m}$ है:
$0.015 = 0 + \frac{1}{2}(3.51 \times 10^{15})t^2$।
$4$. $t^2 = \frac{2 \times 0.015}{3.51 \times 10^{15}} = \frac{0.03}{3.51 \times 10^{15}} \approx 8.55 \times 10^{-18} \text{ s}^2$।
$5$. $t = \sqrt{8.55 \times 10^{-18}} \approx 2.92 \times 10^{-9} \text{ s}$।

(C) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
घन से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए, हमें आवेश '$Q$' को पूरी तरह से घेरना होगा।
एक घन का किनारा सममित व्यवस्था में $4$ समान घनों द्वारा साझा किया जाता है।
इसलिए, एक किनारे के मध्य-बिंदु पर रखा गया आवेश '$Q$' ऐसे $4$ घनों द्वारा समान रूप से साझा किया जाता है।
अतः, एक घन से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi = \frac{1}{4} \times \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{Q}{4\epsilon_0}$ होगा।

(D) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$(a)$ पृष्ठ $S_1$ के भीतर $-2Q$ और $Q$ आवेश हैं। कुल आवेश $q_{enclosed} = -2Q + Q = -Q$ है। अतः, फ्लक्स $\phi_1 = \frac{-Q}{\epsilon_0}$ है। यह (ii) से मेल खाता है।
$(b)$ पृष्ठ $S_2$ के भीतर $Q$ और $-Q$ आवेश हैं। कुल आवेश $q_{enclosed} = Q + (-Q) = 0$ है। अतः, फ्लक्स $\phi_2 = 0$ है। यह (iii) से मेल खाता है।
$(c)$ पृष्ठ $S_3$ के भीतर तीनों आवेश $-2Q$, $Q$ और $-Q$ हैं। कुल आवेश $q_{enclosed} = -2Q + Q - Q = -2Q$ है। अतः, फ्लक्स $\phi_3 = \frac{-2Q}{\epsilon_0}$ है। यह $(i)$ से मेल खाता है।
अतः, सही मिलान $a-ii, b-iii, c-i$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र '$E$' वाले क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व '$u$' का मान $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ होता है।
संधारित्र में संचित कुल ऊर्जा '$U$', ऊर्जा घनत्व और प्लेटों के बीच के स्थान के आयतन '$V$' का गुणनफल होती है।
आयतन '$V$' का मान $V = A \times d$ है।
अतः, संचित कुल ऊर्जा $U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 Ad$ है।

(C) $1$. परिपथ में $4 \mu\text{F}$ का संधारित्र, $9 \mu\text{F}$ और $3 \mu\text{F}$ के समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
$2$. समांतर भाग की तुल्य धारिता $C_p = 9 \mu\text{F} + 3 \mu\text{F} = 12 \mu\text{F}$ है।
$3$. परिपथ की कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu\text{F}} + \frac{1}{12 \mu\text{F}} = \frac{3+1}{12 \mu\text{F}} = \frac{4}{12 \mu\text{F}} = \frac{1}{3 \mu\text{F}}$। अतः $C_{eq} = 3 \mu\text{F}$।
$4$. $12 \text{ V}$ की बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu\text{F} \times 12 \text{ V} = 36 \mu\text{C}$ है।
$5$. यह आवेश $Q$, $4 \mu\text{F}$ संधारित्र से होकर प्रवाहित होता है। $4 \mu\text{F}$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{36 \mu\text{C}}{4 \mu\text{F}} = 9 \text{ V}$ है।

(B) चरण $1$: एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ का मान सदिश गुणनफल $\vec{P} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। अतः, कथन $I$ सही है।
चरण $2$: एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = -\vec{P} \cdot \vec{E}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। अतः, कथन $II$ सही है।
चरण $3$: एकसमान विद्युत क्षेत्र में, धनात्मक आवेश पर बल $q\vec{E}$ और ऋणात्मक आवेश पर बल $-q\vec{E}$ होता है। कुल बल $q\vec{E} + (-q\vec{E}) = 0$ होता है। अतः, कथन $III$ गलत है।
चरण $4$: चूंकि केवल कथन $I$ और कथन $II$ सही हैं, इसलिए विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है: $W = 200 \text{ J}$, $q = 5 \text{ C}$, $V_A = -20 \text{ V}$, $V_B = V$।
मान रखने पर: $200 = 5 \times (V - (-20))$।
$200 = 5 \times (V + 20)$।
$40 = V + 20$।
$V = 40 - 20 = 20 \text{ V}$।
अतः, बिंदु $B$ पर विभव $20 \text{ V}$ है।

(C) नोड्स पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ को लागू करने पर:
$1$. पहले जंक्शन पर: आने वाली धारा $5 \text{ A}$ है और एक बाहर जाने वाली शाखा $1 \text{ A}$ है। अतः, परिपथ के अगले भाग में प्रवेश करने वाली धारा $I_1 = 5 \text{ A} - 1 \text{ A} = 4 \text{ A}$ है।
$2$. दूसरे जंक्शन पर: आने वाली धारा $I_1 = 4 \text{ A}$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $1.5 \text{ A}$ और $I_2$ हैं। अतः, $4 \text{ A} = 1.5 \text{ A} + I_2$, जिससे $I_2 = 2.5 \text{ A}$ प्राप्त होता है।
$3$. तीसरे जंक्शन पर: आने वाली धारा $I_2 = 2.5 \text{ A}$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $1.5 \text{ A}$ और $I_3$ हैं। अतः, $2.5 \text{ A} = 1.5 \text{ A} + I_3$, जिससे $I_3 = 1 \text{ A}$ प्राप्त होता है।
अतः, मान $I_1 = 4 \text{ A}$, $I_2 = 2.5 \text{ A}$, और $I_3 = 1 \text{ A}$ हैं।

(C) चरण $1$: शक्ति सूत्र $P = VI$ का उपयोग करके धारा $I$ की गणना करें।
$I = \frac{P}{V} = \frac{60 \text{ W}}{120 \text{ V}} = 0.5 \text{ A}$।
चरण $2$: $I = \frac{q}{t} = \frac{ne}{t}$ का उपयोग करके प्रति सेकंड गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n$ ज्ञात करें।
चूंकि $t = 1 \text{ s}$ है, इसलिए $n = \frac{I}{e}$।
चरण $3$: $n$ का मान ज्ञात करने के लिए मान प्रतिस्थापित करें।
$n = \frac{0.5 \text{ A}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} = \frac{5}{16} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 3.125 \times 10^{18}$।
अतः, इलेक्ट्रॉनों की संख्या लगभग $3.1 \times 10^{18}$ है।

(D) चरण $1$: कथन $I$ का विश्लेषण करें। चालक की प्रतिरोधकता $\rho(T) = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ द्वारा दी जाती है। चूंकि चालकों के लिए $\alpha > 0$ होता है, इसलिए तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता बढ़ती है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
चरण $2$: कथन $II$ का विश्लेषण करें। अर्धचालकों के लिए, आवेश वाहकों की संख्या तापमान के साथ तेजी से बढ़ती है, जो विश्रांति काल (relaxation time) में कमी पर हावी हो जाती है। इसलिए, तापमान बढ़ने पर प्रतिरोधकता घटती है। कथन $II$ सत्य है।
चरण $3$: निष्कर्ष। कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(B) तार से प्रवाहित कुल आवेश $Q$, धारा-समय $(I-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
इस स्थिति में, ग्राफ एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार $b = 4 \text{ s}$ और ऊँचाई $h = 10 \text{ A}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$Q = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$
$Q = \frac{1}{2} \times 4 \text{ s} \times 10 \text{ A}$
$Q = 20 \text{ C}$
अतः, तार से प्रवाहित कुल आवेश $20 \text{ C}$ है।

(A) $1$. विद्युत धारा $I$ को आवेश के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $I = \frac{q}{t}$।
$2$. इलेक्ट्रॉनों पर $-e$ आवेश होता है और वे बाईं ओर गति करते हैं, इसलिए वे दाईं ओर $I_e = \frac{10^{19} \times e}{1} = 1.6 \text{ A}$ की धारा उत्पन्न करते हैं।
$3$. प्रोटॉन पर $+e$ आवेश होता है और वे बाईं ओर गति करते हैं, इसलिए वे बाईं ओर $I_p = \frac{10^{19} \times e}{1} = 1.6 \text{ A}$ की धारा उत्पन्न करते हैं।
$4$. $\alpha$-कणों पर $+2e$ आवेश होता है और वे दाईं ओर गति करते हैं, इसलिए वे दाईं ओर $I_{\alpha} = \frac{10^{19} \times 2e}{1} = 3.2 \text{ A}$ की धारा उत्पन्न करते हैं।
$5$. कुल धारा $I_{net} = (I_e + I_{\alpha}) - I_p = (1.6 + 3.2) - 1.6 = 3.2 \text{ A}$ दाईं ओर।

(B) $1$. ट्रेन में बैठे यात्री $A$ के लिए, बिंदु आवेश स्थिर है। स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$2$. जमीन पर खड़े व्यक्ति $B$ के लिए, ट्रेन (और इस प्रकार आवेश) एक समान वेग से गति कर रही है। एक गतिमान आवेश विद्युत धारा का निर्माण करता है, जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
$3$. इसलिए, $A$ केवल विद्युत क्षेत्र का अवलोकन करता है, और $B$ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों का अवलोकन करता है। अतः, विकल्प $B$ सही है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वेग $v$ से गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{mv}{qB}$ है।
चूँकि सभी कणों के लिए $v$ और $B$ स्थिर हैं, इसलिए $R \propto \frac{m}{q}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $m_p = m$, $q_p = e$, अतः $R_p \propto \frac{m}{e}$।
इलेक्ट्रॉन $(e)$ के लिए: $m_e \approx \frac{m}{1836}$, $q_e = e$, अतः $R_e \propto \frac{m}{1836e}$।
$\alpha$-कण के लिए: $m_{\alpha} \approx 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, अतः $R_{\alpha} \propto \frac{4m}{2e} = 2\frac{m}{e}$।
अनुपातों की तुलना करने पर: $R_{\alpha} = 2(\frac{m}{e})$, $R_p = 1(\frac{m}{e})$, $R_e \approx 0.0005(\frac{m}{e})$।
अतः, $R_{\alpha} > R_p > R_e$।

(B) गतिमान आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को व्यंजक $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{B}$, $\vec{v}$ और $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानुपाती है (अर्थात $\vec{B} \propto \vec{v} \times \vec{r}$), इसलिए सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार सदिश $\vec{B}$, $\vec{v}$ और $\vec{r}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
अतः, $\vec{B}$ सदैव $\vec{v}$ के लंबवत होता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के अक्ष पर केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + d^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $d = \sqrt{3}R$, अतः $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$।
माना पहला लूप $YZ$-तल में है और उसका अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है। $P$ पर इसका चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{16R} \hat{i}$ है।
दूसरे लूप का अक्ष $XY$-तल में $X$-अक्ष से $45^\circ$ पर झुका हुआ है। इसका चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_2$, $X$-अक्ष से $45^\circ$ पर होगा: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{16R} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$।
परिणामी क्षेत्र $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} [(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16R} [(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16\sqrt{2}R} [(\sqrt{2} + 1)\hat{i} + \hat{j}]$।

(A) $1$. अनुचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility) अल्प और धनात्मक होती है।
$2$. जब इन्हें असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है, तो ये दुर्बल रूप से अधिक शक्तिशाली चुंबकीय क्षेत्र की ओर आकर्षित होते हैं।
$3$. दंड चुंबक के ध्रुवों के पास चुंबकीय क्षेत्र असमान और अन्य स्थानों की तुलना में अधिक शक्तिशाली होता है।
$4$. चूंकि अनुचुंबकीय पदार्थ पर चुंबकीय बल हमेशा आकर्षण का होता है, चाहे क्षेत्र की ध्रुवता कुछ भी हो, इसलिए यह दंड चुंबक के उत्तरी और दक्षिणी दोनों ध्रुवों द्वारा आकर्षित होगा।

(C) $1$. प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति अल्प और ऋणात्मक $(-1 \le \chi < 0)$ होती है। अतः, कथन $I$ सही है।
$2$. अनुचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति अल्प और धनात्मक ($\chi > 0$ और $\chi \ll 1$) होती है। अतः, कथन $II$ गलत है।
$3$. लौहचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति बहुत अधिक और धनात्मक $(\chi \gg 1)$ होती है। अतः, कथन $III$ गलत है।
$4$. लौहचुंबकीय पदार्थों की सापेक्ष पारगम्यता बहुत अधिक $(\mu_r \gg 1)$ होती है। अतः, कथन $IV$ सही है।
$5$. गलत कथन $II$ और $III$ हैं।

(C) $1$. कार्य फलन $(\Phi)$ धातु की सतह का एक अभिलक्षणिक गुण है।
$2$. यह धातु की सतह से एक इलेक्ट्रॉन को ठीक बाहर निकालने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को दर्शाता है।
$3$. यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम है, तो कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है।
$4$. अतः, विकल्प $(C)$ सही परिभाषा है।

(A) $1$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव में, जब एनोड विभव ऋणात्मक होता है, तो मंदक विभव बढ़ने पर प्रकाश-विद्युत धारा कम हो जाती है।
$2$. निरोधी विभव $(V_0)$ पर, सबसे अधिक ऊर्जा वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षित हो जाते हैं, और प्रकाश-विद्युत धारा शून्य हो जाती है।
$3$. जैसे-जैसे एनोड विभव $V_0$ से धनात्मक मानों की ओर बढ़ता है, प्रकाश-विद्युत धारा बढ़ती है और अंततः सभी उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों के संग्रह के कारण एक संतृप्ति मान तक पहुँच जाती है।
$4$. ग्राफ-$I$ इस अभिलक्षणिक वक्र को सही ढंग से दर्शाता है, जिसमें धारा $V_0$ पर शून्य से शुरू होती है और एक संतृप्ति स्तर तक बढ़ती है।

(D) $1$. फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, जब भी किसी कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, तो उसमें एक प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ उत्पन्न होता है।
$2$. कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को बदलने के लिए कुंडली और चुंबक के बीच सापेक्ष गति आवश्यक है।
$3$. स्थितियों $(a)$, $(b)$, और $(c)$ में, कुंडली और चुंबक के बीच सापेक्ष गति होती है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स बदलता है और गैल्वेनोमीटर का संकेतक विक्षेपित होता है।
$4$. स्थिति $(d)$ में, कुंडली और चुंबक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है, इसलिए चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है और गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेपण नहीं होता है।
$5$. अतः, विक्षेपण की स्थिति के संबंध में केवल कथन $(d)$ गलत है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वेग $v$ से गतिमान $l$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है, बशर्ते वेग, चुंबकीय क्षेत्र और लंबाई परस्पर लंबवत हों।
चरण $1$: $0 \le x < b$ क्षेत्र के लिए, चालक एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहा है। अतः, प्रेरित विद्युत वाहक बल $\varepsilon = Blv$ है।
चरण $2$: $x > b$ क्षेत्र के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0$ है। इसलिए, प्रेरित विद्युत वाहक बल $\varepsilon = B \cdot l \cdot v = 0 \cdot l \cdot v = 0$ है।
निष्कर्ष: प्रेरित विद्युत वाहक बल $0 \le x < b$ के लिए $Blv$ है और $b \le x < 2b$ के लिए $0$ है।

(C) चरण $1$: एक शुद्ध प्रतिरोधक के लिए, तात्कालिक वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चरण $2$: ओम के नियम के अनुसार, धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{V_m}{R} \sin(\omega t) = I_m \sin(\omega t)$ है।
चरण $3$: वोल्टेज और धारा की कला की तुलना करने पर, दोनों का कला कोण $\omega t$ समान है।
चरण $4$: अतः, वोल्टेज और धारा समान कला में हैं।

(A) दिया गया है: शक्ति $P = 100\text{ W}$, वोल्टेज $V_{rms} = 220\text{ V}$।
शक्ति का सूत्र है: $P = V_{rms} \times I_{rms}$।
अतः, $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}}$।
$I_{rms} = \frac{100}{220} \text{ A} = \frac{10}{22} \text{ A} \approx 0.4545\text{ A}$।
सही विकल्प $A$ है।

(B) चरण $1$: दो-तार वाली लाइन का कुल प्रतिरोध ज्ञात करें।
लाइन की लंबाई $l = 20 \text{ km} = 20000 \text{ m}$।
चूंकि दो तार हैं, कुल लंबाई $L = 2 \times 20000 \text{ m} = 40000 \text{ m}$।
प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $r = 5 \times 10^{-4} \text{ } \Omega \text{ m}^{-1}$।
कुल प्रतिरोध $R = L \times r = 40000 \times 5 \times 10^{-4} = 20 \text{ } \Omega$।
चरण $2$: ट्रांसमिशन लाइन से बहने वाली धारा ज्ञात करें।
शक्ति $P = 900 \text{ kW} = 9 \times 10^5 \text{ W}$ को $V = 45000 \text{ V}$ पर प्रेषित किया जाता है।
$I = \frac{P}{V} = \frac{9 \times 10^5}{45000} = \frac{900000}{45000} = 20 \text{ A}$।
चरण $3$: लाइन में शक्ति हानि ज्ञात करें।
शक्ति हानि $P_{\text{loss}} = I^2 R = (20)^2 \times 20 = 400 \times 20 = 8000 \text{ W} = 8 \text{ kW}$।

(A) चरण $1$: स्थिरवैद्युतिकी के लिए गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\epsilon_0}$ होता है, जो $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$ है (a - i)।
चरण $2$: चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स शून्य होता है, जो $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ है (b - iii)।
चरण $3$: फैराडे का प्रेरण का नियम बताता है कि परिवर्तित चुंबकीय फ्लक्स एक विद्युत वाहक बल प्रेरित करता है, जो $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ है (c - iv)।
चरण $4$: एम्पीयर-मैक्सवेल का नियम एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र को चालन धारा और विस्थापन धारा से संबंधित करता है, जो $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 [i_c + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}]$ है (d - ii)।
अतः, सही मिलान $a-i, b-iii, c-iv, d-ii$ है।

(C) $1$. चित्र से, आपतन कोण $i = 30^\circ$ है।
$2$. परावर्तन के नियम के अनुसार, परावर्तन कोण $r = i = 30^\circ$ होता है। अतः, $(a) \rightarrow (iii)$।
$3$. कोण $\alpha$ परावर्तित किरण और दर्पण की सतह के बीच का कोण है। चूँकि अभिलंब दर्पण के लंबवत होता है, $\alpha + r = 90^\circ$। इसलिए, $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$। अतः, $(b) \rightarrow (i)$।
$4$. विचलन कोण $\delta$ का मान $\delta = 180^\circ - (i + r) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ होता है। अतः, $(c) \rightarrow (ii)$।
$5$. सही मिलान $a-iii, b-i, c-ii$ है।

(B) $1$. अवतल दर्पण के लिए परावर्तन के नियमों के अनुसार, मुख्य अक्ष के समांतर आपतित कोई भी प्रकाश किरण परावर्तन के बाद मुख्य फोकस $(F)$ से होकर गुजरती है।
$2$. दिए गए आरेख में, आपतित किरण $PQ$ मुख्य अक्ष के समांतर है।
$3$. इसलिए, परावर्तन के बाद, किरण को बिंदु $F$ से होकर गुजरना चाहिए।
$4$. दिए गए पथों में से, किरण $C$ मुख्य फोकस $F$ से होकर गुजरती है।
$5$. अतः, परावर्तित किरण की सही दिशा $C$ है।

(D) माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $2$ का अपवर्तनांक, माध्यम $1$ में प्रकाश की चाल और माध्यम $2$ में प्रकाश की चाल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दोनों माध्यमों के प्रकाशीय गुणों (प्रकृति) और उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है।
यह आपतन कोण से स्वतंत्र होता है।
अतः, यह कथन कि यह आपतन कोण पर निर्भर करता है, गलत है।

(C) जब प्रकाश माध्यम $A$ (सघन) से माध्यम $B$ (विरल) में जाता है, तो क्रांतिक कोण $\theta$ के लिए स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu_A \sin\theta = \mu_B \sin 90^\circ$ होता है।
चूँकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ होता है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है और $v$ माध्यम में चाल है, हम $\mu_A = \frac{c}{V}$ और $\mu_B = \frac{c}{V_B}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
इन्हें स्नेल के नियम के समीकरण में रखने पर: $\frac{c}{V} \sin\theta = \frac{c}{V_B} \times 1$ प्राप्त होता है।
$V_B$ के लिए हल करने पर, हमें $V_B = \frac{V}{\sin\theta}$ प्राप्त होता है।

(C) दृश्य प्रकाश विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम का वह भाग है जिसे मानव आँख द्वारा देखा जा सकता है।
दृश्य प्रकाश के लिए तरंगदैर्ध्य सीमा आमतौर पर लगभग $400 \text{ nm}$ (बैंगनी) से $700 \text{ nm}$ (लाल) तक होती है।
अतः, सही सीमा $400 \text{ nm}$ से $700 \text{ nm}$ है।

(A) संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $|\sin \theta| \le 1$, इसलिए $|n| \le \frac{d}{\lambda}$ होगा।
दिया गया है $d = 2.5\lambda$, अतः शर्त $|n| \le 2.5$ हो जाती है।
$n$ के संभावित पूर्णांक मान $0, \pm 1, \pm 2$ हैं।
ये मान $n = -2, -1, 0, 1, 2$ के संगत हैं।
इन मानों की गणना करने पर, कुल $5$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम कक्षा $(n=1)$ के लिए:
$1$. कुल ऊर्जा $E_T = -13.6 \text{ eV}$ होती है।
$2$. गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा में संबंध $E_K = -E_T$ है, अतः $E_K = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$।
$3$. स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा में संबंध $E_P = 2E_T$ है, अतः $E_P = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$।

(C) बोर का दूसरा अभिगृहीत यह बताता है कि इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $L$, $\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप में, $L = n \frac{h}{2\pi}$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इस स्थिति को कोणीय संवेग का क्वांटीकरण कहा जाता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए, ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है, $n$ का मान घटता है।
$1$. कुल ऊर्जा $E_T = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$। जैसे $n$ घटता है, $E_T$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है, इसलिए यह घटती है।
$2$. गतिज ऊर्जा $E_K = -E_T = \frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$। जैसे $n$ घटता है, $E_K$ बढ़ती है।
$3$. स्थितिज ऊर्जा $E_P = 2E_T = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$। जैसे $n$ घटता है, $E_P$ अधिक ऋणात्मक हो जाती है, इसलिए यह घटती है।

(C) चरण $1$: $n$-प्रकार का अर्धचालक शुद्ध सिलिकॉन (समूह $14$ का तत्व) में पंचसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (समूह $15$ के तत्व), जैसे फास्फोरस $(P)$ या आर्सेनिक $(As)$ के अपमिश्रण से बनता है।
चरण $2$: $p$-प्रकार का अर्धचालक शुद्ध सिलिकॉन में त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणुओं (समूह $13$ के तत्व), जैसे इंडियम $(In)$, एल्युमीनियम $(Al)$, या बोरॉन $(B)$ के अपमिश्रण से बनता है।
चरण $3$: विकल्पों की तुलना करने पर, फास्फोरस एक पंचसंयोजी परमाणु है ($n$-प्रकार के लिए) और इंडियम एक त्रिसंयोजी परमाणु है ($p$-प्रकार के लिए)। अतः, विकल्प $C$ सही है।

(B) एक डायोड उत्क्रम अभिनत (reverse biased) तब होता है जब $p$-टर्मिनल (एनोड) का विभव $n$-टर्मिनल (कैथोड) के विभव से कम होता है।
$(1)$ $p$-टर्मिनल = $5 \text{ V}$, $n$-टर्मिनल = $0 \text{ V}$ (ग्राउंड)। चूँकि $5 \text{ V} > 0 \text{ V}$, यह अग्र अभिनत (forward biased) है।
$(2)$ $p$-टर्मिनल = $-20 \text{ V}$, $n$-टर्मिनल = $-10 \text{ V}$। चूँकि $-20 \text{ V} < -10 \text{ V}$, यह उत्क्रम अभिनत है।
$(3)$ $p$-टर्मिनल = $15 \text{ V}$, $n$-टर्मिनल = $10 \text{ V}$। चूँकि $15 \text{ V} > 10 \text{ V}$, यह अग्र अभिनत है।
$(4)$ $p$-टर्मिनल = $20 \text{ V}$, $n$-टर्मिनल = $-5 \text{ V}$। चूँकि $20 \text{ V} > -5 \text{ V}$, यह अग्र अभिनत है।
अतः, डायोड चित्र $(2)$ में उत्क्रम अभिनत है।

(D) $1$. आर्सेनिक $(As)$ एक पंचसंयोजी अशुद्धि है। जर्मेनियम को आर्सेनिक के साथ डोप करने पर $n$-प्रकार का अर्धचालक बनता है। अतः, $X$ $n$-प्रकार है।
$2$. इंडियम $(In)$ एक त्रिसंयोजी अशुद्धि है। जर्मेनियम को इंडियम के साथ डोप करने पर $p$-प्रकार का अर्धचालक बनता है। अतः, $Y$ $p$-प्रकार है।
$3$. परिपथ आरेख में, बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $X$ ($n$-प्रकार) से और ऋणात्मक टर्मिनल $Y$ ($p$-प्रकार) से जुड़ा है।
$4$. जब $n$-सिरा धनात्मक टर्मिनल से और $p$-सिरा ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा होता है, तो $p-n$ जंक्शन पश्च अभिनत (reverse biased) होता है।
$5$. इसलिए, $X$ $n$-प्रकार है, $Y$ $p$-प्रकार है, और जंक्शन पश्च अभिनत है।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए, प्रिज्म का कोण $A = 60^\circ$ होता है।
दिए गए ग्राफ से, न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = 30^\circ$ है जो $i = 45^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2})}{\sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(B) ओम के नियम के सत्यापन के लिए, निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. एमीटर को प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम (series) में जोड़ा जाना चाहिए ताकि उसमें से प्रवाहित होने वाली धारा को मापा जा सके।
$2$. वोल्टमीटर को प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाना चाहिए ताकि उसके सिरों के बीच विभवांतर को मापा जा सके।
$3$. एमीटर और वोल्टमीटर दोनों का धनात्मक टर्मिनल बैटरी के धनात्मक टर्मिनल (या धनात्मक टर्मिनल के निकट वाले सिरे) से जुड़ा होना चाहिए।
चित्र $(2)$ में, एमीटर श्रेणीक्रम में है, वोल्टमीटर समांतर क्रम में है, और ध्रुवताएँ (polarities) बैटरी के साथ सही ढंग से संरेखित हैं।