KCET 2026 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $1$. ટોર્ક $(\tau) = \text{બળ} \times \text{અંતર} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$ (iv).
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G) = \frac{Fr^2}{m^2} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ (iii).
$3$. કેપેસીટન્સ $(C) = \frac{Q}{V} = \frac{[AT]}{[ML^2T^{-3}A^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$ $(i)$.
$4$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h) = \frac{E}{f} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$ (ii).
આમ, સાચી જોડ $a-iv, b-iii, c-i, d-ii$ છે.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2d$ છે. પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{40}$ અને બીજા અડધા ભાગ માટે $t_2 = \frac{d}{50}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{40} + \frac{d}{50}}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{50}} = \frac{2 \times 40 \times 50}{40 + 50} = \frac{4000}{90} \approx 44.44 \text{ km/h}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
બંને પદાર્થો માટે $u$ અને $g$ અચળ હોવાથી, મહત્તમ ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\theta_1 = 30^\circ$ અને $\theta_2 = 45^\circ$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2(30^\circ)}{\sin^2(45^\circ)} = \frac{(1/2)^2}{(1/\sqrt{2})^2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।
આમ, ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) $1$. ટોર્ક $(\tau) = \text{બળ} \times \text{અંતર} = [MLT^{-2}] \times [L] = [ML^2T^{-2}]$। જે $(iv)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $(G)$: $F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$ પરથી, $G = \frac{Fr^2}{m^2} = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$। જે $(iii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$3$. કેપેસીટન્સ $(C)$: $Q = CV$ પરથી, $C = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{W/Q} = \frac{Q^2}{W} = \frac{[AT]^2}{[ML^2T^{-2}]} = [M^{-1}L^{-2}T^4A^2]$। જે $(i)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$4$. પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$: $E = h\nu$ પરથી, $h = \frac{E}{\nu} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2T^{-1}]$। જે $(ii)$ સાથે બંધ બેસે છે.
તેથી, સાચી જોડ $a-iv, b-iii, c-i, d-ii$ છે।

(C) પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = V \frac{dV}{dx}$ છે.
આપેલ છે કે $V = x^2 - 5x + 4$, તેથી $\frac{dV}{dx} = 2x - 5$ મળે.
આમ, $a = (x^2 - 5x + 4)(2x - 5)$ થશે.
વેગ શૂન્ય ત્યારે થાય જ્યારે $x^2 - 5x + 4 = 0$, જેનો અર્થ છે કે $(x-1)(x-4) = 0$, તેથી $x = 1 \text{ m}$ અથવા $x = 4 \text{ m}$ મળે.
$x = 1 \text{ m}$ પર, $a = (0)(2(1) - 5) = 0 \text{ m/s}^2$ થાય.
$x = 4 \text{ m}$ પર, $a = (0)(2(4) - 5) = 0 \text{ m/s}^2$ થાય.
તેથી, પ્રવેગનું મૂલ્ય શૂન્ય છે.

(D) પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં વ્યક્તિનું આભાસી વજન $W' = m(g + a)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ દળ $m = 80 \text{ kg}$, પ્રવેગ $a = 6 \text{ m/s}^2$, અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ છે.
$W' = 80 \times (10 + 6) = 80 \times 16 = 1280 \text{ N}$.
આ આભાસી વજનને $\text{kg}$ માં દર્શાવવા માટે (જે વજન કાંટા દ્વારા માપવામાં આવે છે), આપણે તેને $g$ વડે ભાગીશું:
$\text{kg માં આભાસી વજન} = \frac{1280 \text{ N}}{10 \text{ m/s}^2} = 128 \text{ kg}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $T_1$ એ નમેલી દોરીમાં તણાવ છે, $T_2$ એ આડી દોરીમાં તણાવ છે, અને $T_3$ એ દળ $M$ ને ટેકો આપતી શિરોલંબ દોરીમાં તણાવ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં, શિરોલંબ દોરી વજનને ટેકો આપે છે, તેથી $T_3 = Mg$।
જંકશન $O$ પર બળોનું વિભાજન કરતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T_1 \sin 45^\circ = T_3 = Mg$।
$T_1 = \frac{Mg}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} Mg$।
આડો ઘટક: $T_2 = T_1 \cos 45^\circ$।
$T_2 = (\sqrt{2} Mg) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = Mg$।
આમ, આડી દોરીમાં તણાવ $Mg$ છે.

(B) રેખીય વેગમાન $p$ અને દળ $m$ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
બંને પદાર્થો માટે રેખીય વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી, $K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
તેથી, દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{K_2}{K_1}$ થશે.
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{3}{1}$ આપેલ છે, તેને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ, તેમના દળનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) પગલું $1$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગની ગણતરી કરો: $a = \frac{F}{m} = \frac{5 \text{ N}}{5 \text{ kg}} = 1 \text{ m/s}^2$।
પગલું $2$: $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને $t = 10 \text{ s}$ પછી અંતિમ વેગ શોધો: $v = 0 + (1 \text{ m/s}^2)(10 \text{ s}) = 10 \text{ m/s}$।
પગલું $3$: ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારની ગણતરી કરો: $\Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 5 \text{ kg} \times (10 \text{ m/s})^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 100 = 250 \text{ J}$।

(D) ટોર્ક $\vec{\tau}$ અને કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય $(\vec{\tau} = 0)$, તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(A) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{constant}$.
કારણ કે $I = \frac{2}{5}MR^2$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$, તેથી $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5}MR^2 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) = \frac{2}{5}M\left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{T_2}\right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{T_1} = \frac{R^2}{4T_2}$.
આમ, $T_2 = \frac{T_1}{4}$.
અહીં $T_1 = 24 \text{ h}$ આપેલ છે, તેથી નવો સમયગાળો $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \text{ h}$ થશે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
કારણ કે $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$, આપણે લખી શકીએ $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
પૃથ્વી માટે, $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
નવા ગ્રહ માટે, $g' = \frac{4}{3} \pi G \rho (2R) = 2 \times (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 2g$।
તેથી, $g' = 2g$।

(C) ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે, અને $M_m$ અને $R_m$ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $D$ એ પૃથ્વી અને ચંદ્રના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
જો અવકાશયાન પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે હોય, તો $M$ દળ ધરાવતા મુસાફર પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_e M}{x^2} - \frac{G M_m M}{(D-x)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવકાશયાન અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતું હોવાથી, $x = vt$ થાય. તેથી, $F(t) = G M \left( \frac{M_e}{(vt)^2} - \frac{M_m}{(D-vt)^2} \right)$.
$t=0$ પર (પૃથ્વીની સપાટી પર), $F = Mg$ થાય. $t=t_m$ પર (ચંદ્રની સપાટી પર), $F = Mg'$ થાય.
પૃથ્વી અને ચંદ્રની વચ્ચે એક એવો બિંદુ (તટસ્થ બિંદુ) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં પૃથ્વી અને ચંદ્રનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે, એટલે કે $F=0$ થાય. આ $0$ અને $t_m$ ની વચ્ચે કોઈ સમય $t$ પર થાય છે.
વક્ર $C$ એકમાત્ર એવો વક્ર છે જે બળને $Mg$ થી ઘટતું, તટસ્થ બિંદુ પર શૂન્ય સુધી પહોંચતું અને પછી ચંદ્રની સપાટી પર $Mg'$ સુધી વધતું દર્શાવે છે.

(B) પગલું $1$: ઓટોમોબાઈલનું કાર્બ્યુરેટર હવા અને બળતણને મિશ્ર કરવા માટે વેન્ચ્યુરી ટ્યુબનો ઉપયોગ કરે છે.
પગલું $2$: જેમ હવા વેન્ચ્યુરીના સાંકડા ભાગમાંથી પસાર થાય છે, તેમ તેનો વેગ વધે છે, જેના કારણે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
પગલું $3$: આ ઓછા દબાણવાળો વિસ્તાર બળતણને હવાની ધારામાં ખેંચે છે, જેથી દહન માટે જરૂરી હવા-બળતણનું મિશ્રણ તૈયાર થાય છે.
પગલું $4$: તેથી, કાર્બ્યુરેટરનું સંચાલન બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(B) તારમાં વિસ્તરણ $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે, જ્યાં $F$ ભાર છે, $L$ લંબાઈ છે, $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ છે.
કારણ કે $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, તેથી $\Delta L = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$ થશે.
સમાન દ્રવ્ય ($Y$ અચળ છે), સમાન લંબાઈ ($L$ અચળ છે) અને સમાન ભાર ($F$ અચળ છે) માટે, $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ થાય.
ધારો કે $d_1 = d$ અને $d_2 = 2d$ છે. તો $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = \frac{(2d)^2}{d^2} = \frac{4d^2}{d^2} = 4:1$ થશે.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે, $\theta$ સંપર્ક કોણ છે, $r$ નળીની ત્રિજ્યા છે, $\rho$ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં, અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a$ થાય છે. લિફ્ટ મુક્ત પતન કરતી હોવાથી, $a = g$, તેથી $g_{\text{eff}} = 0$ થાય છે.
જેમ કે $h \propto \frac{1}{g_{\text{eff}}}$, જ્યારે $g_{\text{eff}} = 0$ થાય, ત્યારે ઊંચાઈ $h$ અનંત તરફ જાય છે.
જોકે, પાણી કેશિકા નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી ઉપર ચઢશે. નળી $30 \text{ cm}$ લાંબી હોવાથી, પાણીનો સ્તંભ આખી નળીને ભરી દેશે.

(B) પગલું $1$: સમતાપી પ્રક્રિયા અચળ તાપમાન $(T = \text{constant})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પગલું $2$: સમદાબી પ્રક્રિયા અચળ દબાણ $(P = \text{constant})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે, અચળ કદ દ્વારા નહીં. અચળ કદ ધરાવતી પ્રક્રિયાને સમકદ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
પગલું $3$: એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એવી છે જેમાં આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી $(Q = 0)$, જેનો અર્થ છે કે તંત્ર ઉષ્મા અવાહક છે. આદર્શ વાયુની એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે $PV^\gamma = \text{constant}$ સંબંધ સાચો છે.
પગલું $4$: તેથી, સમદાબી પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ, અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે, એટલે કે $PV = \text{constant}$।
આનો અર્થ એ થાય કે $P = \frac{\text{constant}}{V}$, જે દર્શાવે છે કે $P \propto \frac{1}{V}$।
આ સંબંધ માટે $P$ વિરુદ્ધ $V$ નો આલેખ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, જે આલેખ-$IV$ ને અનુરૂપ છે.

(D) મહત્તમ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \text{ kg}$, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \text{ rad/s}$, અને કંપવિસ્તાર $A = 6.0 \text{ cm} = 0.06 \text{ m}$।
કિંમતો મૂકતા:
$K_{max} = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times (100 \text{ rad/s})^2 \times (0.06 \text{ m})^2$
$K_{max} = 0.5 \times 10000 \times 0.0036$
$K_{max} = 18 \text{ J}$।

(B) પગલું $1$: પ્રથમ શરત મુજબ, બીટ આવૃત્તિ $|\nu - 200| = 6$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $\nu = 200 \pm 6$, તેથી $\nu = 206 \text{ Hz}$ અથવા $\nu = 194 \text{ Hz}$ થાય.
પગલું $2$: બીજી શરત મુજબ, બીજા હાર્મોનિક $2\nu$ માટે બીટ આવૃત્તિ $|2\nu - 420| = 8$ છે. આનો અર્થ એ છે કે $2\nu = 420 \pm 8$, તેથી $2\nu = 428 \text{ Hz}$ અથવા $2\nu = 412 \text{ Hz}$ થાય.
પગલું $3$: બીજી શરત માટે $\nu$ શોધતા $\nu = 214 \text{ Hz}$ અથવા $\nu = 206 \text{ Hz}$ મળે છે.
પગલું $4$: બંને શરતોના પરિણામોની સરખામણી કરતા, સામાન્ય મૂલ્ય $\nu = 206 \text{ Hz}$ છે.

(D) $1$. વાયુનું મુક્ત વિસ્તરણ એ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા છે જ્યાં તંત્ર બાહ્ય કાર્ય વિના તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછું આવી શકતું નથી, જે તેને અપ્રતિવર્તી બનાવે છે.
$2$. દહન એ રાસાયણિક પ્રક્રિયા છે જે અત્યંત ઉષ્માક્ષેપક અને સ્વયંભૂ છે, જે તેને અપ્રતિવર્તી બનાવે છે.
$3$. સિલિન્ડરમાંથી ગેસનું લીકેજ એ સ્વયંભૂ વિસ્તરણ પ્રક્રિયા છે જેને આપમેળે ઉલટાવી શકાતી નથી.
$4$. ગરમ પદાર્થમાંથી ઠંડા પદાર્થમાં ઉષ્માનું સ્થળાંતર એ સ્વયંભૂ પ્રક્રિયા છે જે બ્રહ્માંડની એન્ટ્રોપીમાં વધારો કરે છે, જે તેને અપ્રતિવર્તી બનાવે છે.
તેથી, સૂચિબદ્ધ તમામ પ્રક્રિયાઓ ($I$, $II$, $III$, અને $IV$) પ્રકૃતિમાં અપ્રતિવર્તી છે.

(A) $1$. ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $F = eE = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})(2.0 \times 10^4 \text{ N/C}) = 3.2 \times 10^{-15} \text{ N}$ છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m_e} = \frac{3.2 \times 10^{-15} \text{ N}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}} \approx 3.51 \times 10^{15} \text{ m/s}^2$ છે.
$3$. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = 0$ અને $s = 1.5 \text{ cm} = 0.015 \text{ m}$ છે:
$0.015 = 0 + \frac{1}{2}(3.51 \times 10^{15})t^2$.
$4$. $t^2 = \frac{2 \times 0.015}{3.51 \times 10^{15}} = \frac{0.03}{3.51 \times 10^{15}} \approx 8.55 \times 10^{-18} \text{ s}^2$.
$5$. $t = \sqrt{8.55 \times 10^{-18}} \approx 2.92 \times 10^{-9} \text{ s}$.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ છે.
સમઘનમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સની ગણતરી કરવા માટે, આપણે વિદ્યુતભાર '$Q$' ને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવો પડશે.
સમઘનની એક કિનારી સંમિત ગોઠવણીમાં $4$ સમાન સમઘન દ્વારા વહેંચાયેલી હોય છે.
તેથી, કિનારીના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવેલ વિદ્યુતભાર '$Q$' આવા $4$ સમઘન દ્વારા સમાન રીતે વહેંચાય છે.
આમ, એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\Phi = \frac{1}{4} \times \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{Q}{4\epsilon_0}$ થશે.

(D) ગૌસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ સપાટી $S_1$ ની અંદર $-2Q$ અને $Q$ વિદ્યુતભાર છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = -2Q + Q = -Q$ છે. તેથી, ફ્લક્સ $\phi_1 = \frac{-Q}{\epsilon_0}$ થાય. આ (ii) સાથે સુસંગત છે.
$(b)$ સપાટી $S_2$ ની અંદર $Q$ અને $-Q$ વિદ્યુતભાર છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = Q + (-Q) = 0$ છે. તેથી, ફ્લક્સ $\phi_2 = 0$ થાય. આ (iii) સાથે સુસંગત છે.
$(c)$ સપાટી $S_3$ ની અંદર ત્રણેય વિદ્યુતભારો $-2Q$, $Q$ અને $-Q$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = -2Q + Q - Q = -2Q$ છે. તેથી, ફ્લક્સ $\phi_3 = \frac{-2Q}{\epsilon_0}$ થાય. આ $(i)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી, સાચી જોડ $a-ii, b-iii, c-i$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર '$E$' ધરાવતા વિસ્તારમાં ઉર્જા ઘનતા '$u$' નું મૂલ્ય $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા '$U$' એ ઉર્જા ઘનતા અને પ્લેટો વચ્ચેના અવકાશના કદ '$V$' નો ગુણાકાર છે.
કદ '$V$' નું મૂલ્ય $V = A \times d$ છે.
તેથી, સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = u \times V = (\frac{1}{2} \epsilon_0 E^2) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 Ad$ છે.

(C) $1$. પરિપથમાં $4 \mu\text{F}$ નું કેપેસિટર, $9 \mu\text{F}$ અને $3 \mu\text{F}$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$2$. સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 9 \mu\text{F} + 3 \mu\text{F} = 12 \mu\text{F}$ છે.
$3$. પરિપથનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ મુજબ છે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4 \mu\text{F}} + \frac{1}{12 \mu\text{F}} = \frac{3+1}{12 \mu\text{F}} = \frac{4}{12 \mu\text{F}} = \frac{1}{3 \mu\text{F}}$। તેથી $C_{eq} = 3 \mu\text{F}$.
$4$. $12 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu\text{F} \times 12 \text{ V} = 36 \mu\text{C}$ છે.
$5$. આ વિદ્યુતભાર $Q$, $4 \mu\text{F}$ કેપેસિટરમાંથી વહે છે. $4 \mu\text{F}$ કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{36 \mu\text{C}}{4 \mu\text{F}} = 9 \text{ V}$ છે.

(B) પગલું $1$: સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{P} \times \vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
પગલું $2$: સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ને $U = -\vec{P} \cdot \vec{E}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી, વિધાન $II$ સાચું છે.
પગલું $3$: સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $q\vec{E}$ અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $-q\vec{E}$ છે. કુલ બળ $q\vec{E} + (-q\vec{E}) = 0$ થાય છે. તેથી, વિધાન $III$ ખોટું છે.
પગલું $4$: માત્ર વિધાન $I$ અને વિધાન $II$ સાચા હોવાથી, વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $W = 200 \text{ J}$, $q = 5 \text{ C}$, $V_A = -20 \text{ V}$, $V_B = V$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 5 \times (V - (-20))$.
$200 = 5 \times (V + 20)$.
$40 = V + 20$.
$V = 40 - 20 = 20 \text{ V}$.
આમ, બિંદુ $B$ પર સ્થિતિમાન $20 \text{ V}$ છે.

(C) નોડ્સ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. પ્રથમ જંકશન પર: આવતો પ્રવાહ $5 \text{ A}$ છે અને એક બહાર જતી શાખા $1 \text{ A}$ છે. તેથી, પરિપથના આગળના ભાગમાં પ્રવેશતો પ્રવાહ $I_1 = 5 \text{ A} - 1 \text{ A} = 4 \text{ A}$ છે.
$2$. બીજા જંકશન પર: આવતો પ્રવાહ $I_1 = 4 \text{ A}$ છે. બહાર જતા પ્રવાહો $1.5 \text{ A}$ અને $I_2$ છે. તેથી, $4 \text{ A} = 1.5 \text{ A} + I_2$, જે $I_2 = 2.5 \text{ A}$ આપે છે.
$3$. ત્રીજા જંકશન પર: આવતો પ્રવાહ $I_2 = 2.5 \text{ A}$ છે. બહાર જતા પ્રવાહો $1.5 \text{ A}$ અને $I_3$ છે. તેથી, $2.5 \text{ A} = 1.5 \text{ A} + I_3$, જે $I_3 = 1 \text{ A}$ આપે છે.
તેથી, મૂલ્યો $I_1 = 4 \text{ A}$, $I_2 = 2.5 \text{ A}$, અને $I_3 = 1 \text{ A}$ છે.

(C) પગલું $1$: પાવરના સૂત્ર $P = VI$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ $I$ ની ગણતરી કરો.
$I = \frac{P}{V} = \frac{60 \text{ W}}{120 \text{ V}} = 0.5 \text{ A}$.
પગલું $2$: $I = \frac{q}{t} = \frac{ne}{t}$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રતિ સેકન્ડ પસાર થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n$ શોધો.
અહીં $t = 1 \text{ s}$ હોવાથી, $n = \frac{I}{e}$.
પગલું $3$: $n$ ની કિંમત શોધવા માટે મૂલ્યો મૂકો.
$n = \frac{0.5 \text{ A}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} = \frac{5}{16} \times 10^{19} = 0.3125 \times 10^{19} = 3.125 \times 10^{18}$.
આમ, ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આશરે $3.1 \times 10^{18}$ છે.

(D) પગલું $1$: વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ કરો. વાહકની અવરોધકતા $\rho(T) = \rho_0 [1 + \alpha(T - T_0)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વાહકો માટે $\alpha > 0$ હોવાથી, તાપમાન વધતા અવરોધકતા વધે છે. તેથી, વિધાન $I$ ખોટું છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ કરો. અર્ધવાહકો માટે, વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા તાપમાન સાથે ઝડપથી વધે છે, જે રિલેક્સેશન સમયમાં થતા ઘટાડા કરતા વધુ પ્રભાવશાળી છે. તેથી, તાપમાન વધતા અવરોધકતા ઘટે છે. વિધાન $II$ સાચું છે.
પગલું $3$: નિષ્કર્ષ. વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) તારમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પ્રવાહ-સમય $(I-t)$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા મળે છે.
આ કિસ્સામાં, આલેખ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 4 \text{ s}$ અને ઊંચાઈ $h = 10 \text{ A}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$Q = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$Q = \frac{1}{2} \times 4 \text{ s} \times 10 \text{ A}$
$Q = 20 \text{ C}$
આમ, તારમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $20 \text{ C}$ છે.

(A) $1$. વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહન દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $I = \frac{q}{t}$।
$2$. ઇલેક્ટ્રોન પર $-e$ વિદ્યુતભાર હોય છે અને તેઓ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે, તેથી તેઓ જમણી તરફ $I_e = \frac{10^{19} \times e}{1} = 1.6 \text{ A}$ નો પ્રવાહ આપે છે.
$3$. પ્રોટોન પર $+e$ વિદ્યુતભાર હોય છે અને તેઓ ડાબી તરફ ગતિ કરે છે, તેથી તેઓ ડાબી તરફ $I_p = \frac{10^{19} \times e}{1} = 1.6 \text{ A}$ નો પ્રવાહ આપે છે.
$4$. $\alpha$-કણો પર $+2e$ વિદ્યુતભાર હોય છે અને તેઓ જમણી તરફ ગતિ કરે છે, તેથી તેઓ જમણી તરફ $I_{\alpha} = \frac{10^{19} \times 2e}{1} = 3.2 \text{ A}$ નો પ્રવાહ આપે છે.
$5$. કુલ પ્રવાહ $I_{net} = (I_e + I_{\alpha}) - I_p = (1.6 + 3.2) - 1.6 = 3.2 \text{ A}$ જમણી તરફ.

(B) $1$. ટ્રેનમાં બેઠેલ મુસાફર $A$ માટે, બિંદુવત વિદ્યુતભાર સ્થિર છે. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. જમીન પર ઉભેલ વ્યક્તિ $B$ માટે, ટ્રેન (અને તેથી વિદ્યુતભાર) અચળ વેગથી ગતિ કરી રહી છે. ગતિમાન વિદ્યુતભાર વિદ્યુત પ્રવાહ રચે છે, જે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. તેથી, $A$ માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્રનું અવલોકન કરે છે, અને $B$ વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રોનું અવલોકન કરે છે. આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB}$ છે.
બધા કણો માટે $v$ અને $B$ અચળ હોવાથી, $R \propto \frac{m}{q}$ થાય.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $m_p = m$, $q_p = e$, તેથી $R_p \propto \frac{m}{e}$.
ઇલેક્ટ્રોન $(e)$ માટે: $m_e \approx \frac{m}{1836}$, $q_e = e$, તેથી $R_e \propto \frac{m}{1836e}$.
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} \approx 4m$, $q_{\alpha} = 2e$, તેથી $R_{\alpha} \propto \frac{4m}{2e} = 2\frac{m}{e}$.
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા: $R_{\alpha} = 2(\frac{m}{e})$, $R_p = 1(\frac{m}{e})$, $R_e \approx 0.0005(\frac{m}{e})$.
આમ, $R_{\alpha} > R_p > R_e$.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\vec{v} \times \vec{r})}{r^3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{r}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી (એટલે કે $\vec{B} \propto \vec{v} \times \vec{r}$), સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ સદિશ $\vec{B}$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{r}$ બંનેને લંબ હોવું જોઈએ.
તેથી, $\vec{B}$ હંમેશા $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + d^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $d = \sqrt{3}R$, તેથી $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + 3R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(8R^3)} = \frac{\mu_0 I}{16R}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રથમ લૂપ $YZ$-સમતલમાં છે અને તેનો અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે. $P$ પર તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I}{16R} \hat{i}$ છે.
બીજા લૂપનો અક્ષ $XY$-સમતલમાં $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે નમેલો છે. તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}_2$, $X$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે હશે: $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{\mu_0 I}{16R} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$.
પરિણામી ક્ષેત્ર $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I}{16R} [(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16R} [(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}})\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}] = \frac{\mu_0 I}{16\sqrt{2}R} [(\sqrt{2} + 1)\hat{i} + \hat{j}]$ થાય છે.

(A) $1$. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો નાની ધન ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવે છે.
$2$. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ નબળા રીતે વધુ શક્તિશાળી ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તાર તરફ આકર્ષાય છે.
$3$. ગજિયા ચુંબકના ધ્રુવોની નજીકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસમાન અને અન્ય સ્થાનો કરતા વધુ શક્તિશાળી હોય છે.
$4$. કારણ કે પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ પરનું ચુંબકીય બળ હંમેશા આકર્ષી હોય છે, ક્ષેત્રની ધ્રુવીયતા ગમે તે હોય, તેથી તે ગજિયા ચુંબકના ઉત્તર અને દક્ષિણ બંને ધ્રુવો દ્વારા આકર્ષિત થશે.

(C) $1$. ડાયમેગ્નેટિક પદાર્થોની સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને ઋણ $(-1 \le \chi < 0)$ હોય છે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
$2$. પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોની સસેપ્ટિબિલિટી નાની અને ધન ($\chi > 0$ અને $\chi \ll 1$) હોય છે. તેથી, વિધાન $II$ ખોટું છે.
$3$. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોની સસેપ્ટિબિલિટી ખૂબ મોટી અને ધન $(\chi \gg 1)$ હોય છે. તેથી, વિધાન $III$ ખોટું છે.
$4$. ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોની સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી ખૂબ મોટી $(\mu_r \gg 1)$ હોય છે. તેથી, વિધાન $IV$ સાચું છે.
$5$. ખોટા વિધાનો $II$ અને $III$ છે.

(C) $1$. કાર્ય વિધેય $(\Phi)$ એ ધાતુની સપાટીનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$2$. તે ધાતુની સપાટી પરથી ઇલેક્ટ્રોનને સપાટીની બરાબર બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા દર્શાવે છે.
$3$. જો આપાત ફોટોનની ઉર્જા કાર્ય વિધેય કરતા ઓછી હોય, તો કોઈ ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી.
$4$. તેથી, વિકલ્પ $(C)$ સાચી વ્યાખ્યા છે।

(A) $1$. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં, જ્યારે એનોડ પોટેન્શિયલ ઋણ હોય છે, ત્યારે રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ વધવાને કારણે ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ ઘટે છે.
$2$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ પર, સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોઈલેક્ટ્રોન અપાકર્ષાય છે, અને ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$3$. જેમ જેમ એનોડ પોટેન્શિયલ $V_0$ થી ધન મૂલ્યો તરફ વધે છે, તેમ ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ વધે છે અને અંતે તમામ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનના સંગ્રહને કારણે સંતૃપ્તિ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
$4$. ગ્રાફ-$I$ આ લાક્ષણિક વક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે, જેમાં પ્રવાહ $V_0$ પર શૂન્યથી શરૂ થાય છે અને સંતૃપ્તિ સ્તર સુધી વધે છે.

(D) $1$. ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, જ્યારે પણ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે, ત્યારે તેમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
$2$. ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલવા માટે ગૂંચળા અને ચુંબક વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ જરૂરી છે.
$3$. કિસ્સાઓ $(a)$, $(b)$, અને $(c)$ માં, ગૂંચળા અને ચુંબક વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ હોય છે, તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે અને ગેલ્વેનોમીટરનું પોઇન્ટર વિચલિત થાય છે.
$4$. કિસ્સા $(d)$ માં, ગૂંચળા અને ચુંબક વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી, તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન થતું નથી.
$5$. તેથી, વિચલનની સ્થિતિના સંદર્ભમાં માત્ર વિધાન $(d)$ ખોટું છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જો વેગ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને લંબાઈ પરસ્પર લંબ હોય.
પગલું $1$: $0 \le x < b$ વિસ્તાર માટે, વાહક એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે. તેથી, પ્રેરિત emf $\varepsilon = Blv$ છે.
પગલું $2$: $x > b$ વિસ્તાર માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0$ છે. તેથી, પ્રેરિત emf $\varepsilon = B \cdot l \cdot v = 0 \cdot l \cdot v = 0$ છે.
નિષ્કર્ષ: પ્રેરિત emf $0 \le x < b$ માટે $Blv$ છે અને $b \le x < 2b$ માટે $0$ છે.

(C) પગલું $1$: શુદ્ધ અવરોધ માટે, તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજ $V = V_m \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પગલું $2$: ઓહ્મના નિયમ મુજબ, પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{V_m}{R} \sin(\omega t) = I_m \sin(\omega t)$ છે.
પગલું $3$: વોલ્ટેજ અને પ્રવાહની કળાની સરખામણી કરતા, બંનેનો કળા કોણ $\omega t$ સમાન છે.
પગલું $4$: તેથી, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં છે.

(A) આપેલ છે: પાવર $P = 100\text{ W}$, વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220\text{ V}$.
પાવરનું સૂત્ર છે: $P = V_{rms} \times I_{rms}$.
તેથી, $I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}}$.
$I_{rms} = \frac{100}{220} \text{ A} = \frac{10}{22} \text{ A} \approx 0.4545\text{ A}$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પગલું $1$: બે-વાયર લાઇનનો કુલ અવરોધ ગણો.
લાઇનની લંબાઈ $l = 20 \text{ km} = 20000 \text{ m}$।
બે વાયર હોવાથી, કુલ લંબાઈ $L = 2 \times 20000 \text{ m} = 40000 \text{ m}$।
પ્રતિ એકમ લંબાઈનો અવરોધ $r = 5 \times 10^{-4} \text{ } \Omega \text{ m}^{-1}$।
કુલ અવરોધ $R = L \times r = 40000 \times 5 \times 10^{-4} = 20 \text{ } \Omega$।
પગલું $2$: ટ્રાન્સમિશન લાઇનમાંથી વહેતો પ્રવાહ ગણો.
પાવર $P = 900 \text{ kW} = 9 \times 10^5 \text{ W}$ ને $V = 45000 \text{ V}$ પર ટ્રાન્સમિટ કરવામાં આવે છે.
$I = \frac{P}{V} = \frac{9 \times 10^5}{45000} = \frac{900000}{45000} = 20 \text{ A}$।
પગલું $3$: લાઇનમાં પાવર વ્યય ગણો.
પાવર વ્યય $P_{\text{loss}} = I^2 R = (20)^2 \times 20 = 400 \times 20 = 8000 \text{ W} = 8 \text{ kW}$।

(A) પગલું $1$: સ્થિત-વિદ્યુતશાસ્ત્ર માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{Q}{\epsilon_0}$ છે, જે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$ છે (a - i).
પગલું $2$: ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે, જે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ છે (b - iii).
પગલું $3$: ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ જણાવે છે કે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વિદ્યુતચાલક બળ ઉત્પન્ન કરે છે, જે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ છે (c - iv).
પગલું $4$: એમ્પિયર-મેક્સવેલનો નિયમ બંધ લૂપની આસપાસના ચુંબકીય ક્ષેત્રને વહન પ્રવાહ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ સાથે જોડે છે, જે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 [i_c + \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}]$ છે (d - ii).
તેથી, સાચી જોડ $a-i, b-iii, c-iv, d-ii$ છે.

(C) $1$. આકૃતિ પરથી, આપાતકોણ $i = 30^\circ$ છે.
$2$. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ, પરાવર્તન કોણ $r = i = 30^\circ$ થાય. તેથી, $(a) \rightarrow (iii)$.
$3$. કોણ $\alpha$ એ પરાવર્તિત કિરણ અને અરીસાની સપાટી વચ્ચેનો કોણ છે. લંબ એ અરીસાને લંબ હોવાથી, $\alpha + r = 90^\circ$ થાય. તેથી, $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. તેથી, $(b) \rightarrow (i)$.
$4$. વિચલન કોણ $\delta$ નું મૂલ્ય $\delta = 180^\circ - (i + r) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ થાય. તેથી, $(c) \rightarrow (ii)$.
$5$. સાચું મિલન $a-iii, b-i, c-ii$ છે.

(B) $1$. અંતર્ગોળ અરીસા માટે પરાવર્તનના નિયમો અનુસાર, મુખ્ય અક્ષને સમાંતર આપાત થતું કોઈપણ પ્રકાશનું કિરણ પરાવર્તન પછી મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ માંથી પસાર થાય છે.
$2$. આપેલ આકૃતિમાં, આપાત કિરણ $PQ$ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર છે.
$3$. તેથી, પરાવર્તન પછી, કિરણ બિંદુ $F$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
$4$. આપેલા માર્ગોમાંથી, કિરણ $C$ મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ માંથી પસાર થાય છે.
$5$. આમ, પરાવર્તિત કિરણની સાચી દિશા $C$ છે.

(D) માધ્યમ $1$ ની સાપેક્ષમાં માધ્યમ $2$ નો વક્રીભવનાંક એ માધ્યમ $1$ માં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમ $2$ માં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
તે બંને માધ્યમોના પ્રકાશીય ગુણધર્મો (પ્રકૃતિ) અને ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે।
તે આપાતકોણથી સ્વતંત્ર છે।
તેથી, તે આપાતકોણ પર આધાર રાખે છે તેવું વિધાન ખોટું છે।

(C) જ્યારે પ્રકાશ માધ્યમ $A$ (ઘટ્ટ) થી માધ્યમ $B$ (પાતળા) માં જાય છે, ત્યારે ક્રાંતિકોણ $\theta$ માટે સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_A \sin\theta = \mu_B \sin 90^\circ$ થાય છે.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી, જ્યાં $c$ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ માધ્યમમાં ઝડપ છે, આપણે $\mu_A = \frac{c}{V}$ અને $\mu_B = \frac{c}{V_B}$ મૂકીએ છીએ.
આ કિંમતો સ્નેલના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{c}{V} \sin\theta = \frac{c}{V_B} \times 1$ મળે છે.
$V_B$ માટે સાદું રૂપ આપતા, આપણને $V_B = \frac{V}{\sin\theta}$ મળે છે.

(C) દ્રશ્ય પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનો તે ભાગ છે જેને માનવ આંખ દ્વારા જોઈ શકાય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઇની શ્રેણી સામાન્ય રીતે આશરે $400 \text{ nm}$ (જાંબલી) થી $700 \text{ nm}$ (લાલ) સુધીની હોય છે.
તેથી, સાચી શ્રેણી $400 \text{ nm}$ થી $700 \text{ nm}$ છે.

(A) સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત $d \sin \theta = n\lambda$ છે, જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
કારણ કે $|\sin \theta| \le 1$, તેથી $|n| \le \frac{d}{\lambda}$ થાય.
આપેલ છે કે $d = 2.5\lambda$, તેથી શરત $|n| \le 2.5$ બને છે.
$n$ માટેના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2$ છે.
આ મૂલ્યો $n = -2, -1, 0, 1, 2$ ને અનુરૂપ છે.
આ મૂલ્યોની ગણતરી કરતા, કુલ $5$ મહત્તમ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષા $(n=1)$ માટે:
$1$. કુલ ઊર્જા $E_T = -13.6 \text{ eV}$ છે.
$2$. ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $E_K = -E_T$ છે, તેથી $E_K = -(-13.6 \text{ eV}) = 13.6 \text{ eV}$.
$3$. સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $E_P = 2E_T$ છે, તેથી $E_P = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$.

(C) બોહરની બીજી અભિધારણા જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
ગાણિતિક રીતે, $L = n \frac{h}{2\pi}$, જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સ્થિતિને કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે, ઊર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે, તેમ $n$ ઘટે છે.
$1$. કુલ ઊર્જા $E_T = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$। જેમ $n$ ઘટે છે, $E_T$ વધુ ઋણ બને છે, તેથી તે ઘટે છે.
$2$. ગતિઊર્જા $E_K = -E_T = \frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$। જેમ $n$ ઘટે છે, $E_K$ વધે છે.
$3$. સ્થિતિઊર્જા $E_P = 2E_T = -\frac{27.2}{n^2} \text{ eV}$। જેમ $n$ ઘટે છે, $E_P$ વધુ ઋણ બને છે, તેથી તે ઘટે છે.

(C) પગલું $1$: $n$-પ્રકારનો અર્ધવાહક શુદ્ધ સિલિકોન (સમૂહ $14$ નું તત્વ) માં પંચ-સંયોજક અશુદ્ધિના પરમાણુઓ (સમૂહ $15$ ના તત્વો), જેમ કે ફોસ્ફરસ $(P)$ અથવા આર્સેનિક $(As)$ ના ડોપિંગ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.
પગલું $2$: $p$-પ્રકારનો અર્ધવાહક શુદ્ધ સિલિકોનમાં ત્રિ-સંયોજક અશુદ્ધિના પરમાણુઓ (સમૂહ $13$ ના તત્વો), જેમ કે ઇન્ડિયમ $(In)$, એલ્યુમિનિયમ $(Al)$, અથવા બોરોન $(B)$ ના ડોપિંગ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે.
પગલું $3$: વિકલ્પોની સરખામણી કરતા, ફોસ્ફરસ એ પંચ-સંયોજક પરમાણુ છે ($n$-પ્રકાર માટે) અને ઇન્ડિયમ એ ત્રિ-સંયોજક પરમાણુ છે ($p$-પ્રકાર માટે). તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) જ્યારે $p$-ટર્મિનલ (એનોડ) પરનું પોટેન્શિયલ $n$-ટર્મિનલ (કેથોડ) પરના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું હોય ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
$(1)$ $p$-ટર્મિનલ = $5 \text{ V}$, $n$-ટર્મિનલ = $0 \text{ V}$ (ગ્રાઉન્ડ). $5 \text{ V} > 0 \text{ V}$ હોવાથી, તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$(2)$ $p$-ટર્મિનલ = $-20 \text{ V}$, $n$-ટર્મિનલ = $-10 \text{ V}$. $-20 \text{ V} < -10 \text{ V}$ હોવાથી, તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
$(3)$ $p$-ટર્મિનલ = $15 \text{ V}$, $n$-ટર્મિનલ = $10 \text{ V}$. $15 \text{ V} > 10 \text{ V}$ હોવાથી, તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$(4)$ $p$-ટર્મિનલ = $20 \text{ V}$, $n$-ટર્મિનલ = $-5 \text{ V}$. $20 \text{ V} > -5 \text{ V}$ હોવાથી, તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
આમ, આકૃતિ $(2)$ માં ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે.

(D) $1$. આર્સેનિક $(As)$ એ પંચ-સંયોજક અશુદ્ધિ છે. જર્મેનિયમને આર્સેનિક સાથે ડોપ કરવાથી $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બને છે. તેથી, $X$ $n$-ટાઈપ છે.
$2$. ઇન્ડિયમ $(In)$ એ ત્રિ-સંયોજક અશુદ્ધિ છે. જર્મેનિયમને ઇન્ડિયમ સાથે ડોપ કરવાથી $p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બને છે. તેથી, $Y$ $p$-ટાઈપ છે.
$3$. સર્કિટ ડાયાગ્રામમાં, બેટરીનો પોઝિટિવ ટર્મિનલ $X$ ($n$-ટાઈપ) સાથે અને નેગેટિવ ટર્મિનલ $Y$ ($p$-ટાઈપ) સાથે જોડાયેલ છે.
$4$. જ્યારે $n$-સાઈડ પોઝિટિવ ટર્મિનલ સાથે અને $p$-સાઈડ નેગેટિવ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ હોય, ત્યારે $p-n$ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે.
$5$. તેથી, $X$ $n$-ટાઈપ છે, $Y$ $p$-ટાઈપ છે, અને જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે, પ્રિઝમનો કોણ $A = 60^\circ$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી, લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = 30^\circ$ છે જે $i = 45^\circ$ પર મળે છે.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin(\frac{60^\circ + 30^\circ}{2})}{\sin(\frac{60^\circ}{2})} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}$
$\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ઓમના નિયમની ચકાસણી માટે, નીચેની શરતો પૂરી થવી જોઈએ:
$1$. એમીટરને અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવું જોઈએ જેથી તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપી શકાય.
$2$. વોલ્ટમીટરને અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવું જોઈએ જેથી તેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપી શકાય.
$3$. એમીટર અને વોલ્ટમીટર બંનેનો ધન ટર્મિનલ બેટરીના ધન ટર્મિનલ (અથવા ધન ટર્મિનલની નજીકની બાજુ) સાથે જોડાયેલ હોવો જોઈએ.
આકૃતિ $(2)$ માં, એમીટર શ્રેણીમાં છે, વોલ્ટમીટર સમાંતર છે, અને પોલેરિટી બેટરી સાથે યોગ્ય રીતે ગોઠવાયેલી છે.