KCET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है: $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करने पर:
$0.6 = P(A) + P(B) - 0.2$
$P(A) + P(B) = 0.8$
हम जानते हैं कि $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$।
अतः, $P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $2 - 0.8 = 1.2$।

(D) माना $f(x) = \sin(x + \pi/6) + \cos(x + \pi/6)$ है।
सर्वसमिका $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$ का उपयोग करने पर, हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/6 + \pi/4)$ प्राप्त होता है।
ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान $1$ होता है, जो तब प्राप्त होता है जब कोण $\pi/2$ हो।
अतः $x + \pi/6 + \pi/4 = \pi/2$ रखें।
$x + 5\pi/12 = \pi/2$।
$x = \pi/2 - 5\pi/12 = 6\pi/12 - 5\pi/12 = \pi/12$।

(A) माना त्रिभुज के कोण $(A-d)$, $A$, और $(A+d)$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, इसलिए $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ$, जिससे $3A = 180^\circ$, अतः $A = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
कोण $(60^\circ-d)$, $60^\circ$, और $(60^\circ+d)$ हैं।
सबसे बड़ा कोण $(60^\circ+d)$ है और सबसे छोटा कोण $(60^\circ-d)$ है।
दिया गया है कि सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है: $60^\circ+d = 2(60^\circ-d)$।
$60^\circ+d = 120^\circ - 2d \implies 3d = 60^\circ \implies d = 20^\circ$।
कोण $60^\circ-20^\circ = 40^\circ$, $60^\circ$, और $60^\circ+20^\circ = 80^\circ$ हैं।
तीसरा कोण $60^\circ$ है।
अतः, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दिया गया है: $n = 100$, माध्य $\bar{x} = 50$, और मानक विचलन $\sigma = 4$।
प्रसरण का सूत्र है $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2$।
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$।
$16 + 2500 = \frac{\sum x_i^2}{100}$।
$2516 = \frac{\sum x_i^2}{100}$।
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$।

(D) दिया है: $P(A) = 1/2$ और $P(B) = 3/10$।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं, इसलिए $P(A \cap B) = 0$।
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 3/10 - 0$ है।
$P(A \cup B) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5$।
न तो $A$ और न ही $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ है।
$P(A' \cap B') = 1 - 4/5 = 1/5$।

(D) मानक पासे पर एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
एक पासे पर $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(2) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि दोनों पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं, इसलिए दोनों पासों पर $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(2 \text{ and } 2) = P(2) \times P(2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ है।

(D) माना $P(M)$ पुरुष के जीवित रहने की प्रायिकता है और $P(W)$ पत्नी के जीवित रहने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(M) = \frac{1}{4}$ और $P(W) = \frac{1}{3}$।
पुरुष के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(M') = 1 - P(M) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
पत्नी के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(W') = 1 - P(W) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं, इसलिए दोनों के जीवित न रहने की प्रायिकता $P(M' \cap W') = P(M') \times P(W')$ है।
$P(M' \cap W') = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\tan^2\theta - 4\tan\theta + 1 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $\tan\theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर, हमें $\tan\theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ न्यून कोण हैं, $\alpha+\beta$ और $\alpha-\beta$ भी न्यून कोण हैं। हम जानते हैं कि $\tan 75^\circ = 2+\sqrt{3}$ और $\tan 15^\circ = 2-\sqrt{3}$ होता है।
अतः, $\alpha+\beta = 75^\circ$ और $\alpha-\beta = 15^\circ$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2\beta = 60^\circ \implies \beta = 30^\circ$।

(C) हम जानते हैं कि $\sqrt{-1} = i$ है।
अतः, व्यंजक $\sum_{n=1}^{4} (i)^{2n} = i^2 + i^4 + i^6 + i^8$ हो जाता है।
चूंकि $i^2 = -1$, $i^4 = 1$, $i^6 = -1$, और $i^8 = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-1 + 1 - 1 + 1 = 0$।

(A) चरण $1$: असमिका के दोनों पक्षों का विस्तार करें: $3x - 3 \leq 2x - 6$।
चरण $2$: दोनों पक्षों से $2x$ घटाएं: $3x - 2x - 3 \leq -6$।
चरण $3$: दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें: $x \leq -6 + 3$।
चरण $4$: अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए सरल करें: $x \leq -3$।

(D) चरण $1$: एक वृत्त पर $n$ बिंदुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुजों की संख्या $^{n}C_3$ द्वारा दी जाती है। $n=10$ के लिए, त्रिभुजों की संख्या = $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ है। अतः, कथन $I$ असत्य है।
चरण $2$: एक वृत्त पर $n$ बिंदुओं द्वारा बनाई गई जीवाओं की संख्या $^{n}C_2$ द्वारा दी जाती है। $n=10$ के लिए, जीवाओं की संख्या = $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ है। अतः, कथन $II$ सत्य है।
चरण $3$: परिणामों की तुलना करने पर, कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(B) "$KCET$ $2025$" स्ट्रिंग में $8$ वर्ण हैं: $K, C, E, T, 2, 0, 2, 5$ (स्पेस को छोड़कर)।
पहले स्थान पर $K$ और अंतिम स्थान पर $5$ को स्थिर करें।
शेष $6$ वर्ण $C, E, T, 2, 0, 2$ हैं।
इन $6$ वर्णों में, अंक $2$ दो बार आता है।
इन $6$ वर्णों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1}$ है।
द्विपद प्रसार सूत्र $(a+b)^n$ का उपयोग करते हुए, हम अंश को $(x+1)^3$ और हर को $(x+1)^4$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः, व्यंजक सरल होकर $\frac{(x+1)^3}{(x+1)^4} = \frac{1}{x+1}$ हो जाता है।
सरल व्यंजक में $x = 2$ रखने पर, हमें $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना अनुक्रम $\sqrt{2}, g_1, g_2, 4$ है।
यहाँ, प्रथम पद $a = \sqrt{2}$ और चौथा पद $ar^3 = 4$ है।
$r^3 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - 1/2} = 2^{3/2}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, $r = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
अतः, रखी गई संख्याएँ हैं:
$g_1 = a \cdot r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$।
$g_2 = a \cdot r^2 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$।

(B) चरण $1$: $L_1$ की ढाल ज्ञात करें। ढाल $m_1 = \frac{6 - 2}{3 - (-1)} = \frac{4}{4} = 1$ है।
चरण $2$: चूँकि $L_2$, $L_1$ के लंबवत है, $L_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1$ होगी।
चरण $3$: $(3, -1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $L_2$ के लिए बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करें: $y - (-1) = -1(x - 3)$।
चरण $4$: समीकरण को सरल करें: $y + 1 = -x + 3$, जिससे $x + y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) अतिपरवलय के लिए, स्थिति $\alpha > \beta \ge 0$ है।
दीर्घवृत्त के लिए, स्थिति $0 \le \alpha < \beta < 90^\circ$ है।
अतः, कथन $I$ सत्य है और कथन $II$ असत्य है।

(C) दिया गया है $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax - 3b}{x - 3} = 5$।
चूंकि $x \to 3$ होने पर हर (denominator) $0$ की ओर अग्रसर है, सीमा का अस्तित्व तभी संभव है जब अंश (numerator) भी $x = 3$ पर $0$ हो जाए।
अंश में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 - a(3) - 3b = 0$।
$9 - 3a - 3b = 0$।
$3(3 - a - b) = 0$।
$3 - a - b = 0$।
अतः, $a + b = 3$।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = \sqrt{3} \cos \theta$ और $y = \sqrt{3} \sin \theta$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3} \cos \theta)^2 + (\sqrt{3} \sin \theta)^2$।
$x^2 + y^2 = 3 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta = 3(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 3$।
यह $r = \sqrt{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \text{ वर्ग इकाई}$।

(C) $n$ अवयवों वाले एक समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
यहाँ, $n = 6$ है, इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^6 = 64$ है।
$0$ अवयवों वाले उपसमुच्चय (रिक्त समुच्चय) $= \binom{6}{0} = 1$ है।
$1$ अवयव वाले उपसमुच्चय $= \binom{6}{1} = 6$ है।
कम से कम $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चय $=$ कुल उपसमुच्चय $-$ ($0$ अवयवों वाले उपसमुच्चय $+$ $1$ अवयव वाले उपसमुच्चय)।
कम से कम $2$ अवयवों वाले उपसमुच्चय $= 64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$ है।

(A) समुच्चय $A$ में सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ हैं।
ऐसी $5$ सम संख्याएँ हैं।
इन $5$ अवयवों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^5 = 32$ है।
चूँकि हमें अरिक्त उपसमुच्चय चाहिए, हम रिक्त समुच्चय $\emptyset$ को घटा देते हैं।
अतः, अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $32 - 1 = 31$ है।

(B) समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में संबंधों की संख्या $2^{n(A) \times n(B)}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $2^{n(A) \times n(B)} = 1024$ है।
चूंकि $1024 = 2^{10}$, इसलिए $n(A) \times n(B) = 10$ है।
दिया है $n(A) = 2$, मान प्रतिस्थापित करने पर: $2 \times n(B) = 10$।
अतः, $n(B) = \frac{10}{2} = 5$।

(C) संबंध को $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$(2, 4)$ के लिए: $b = 4$, जो $6$ से बड़ा नहीं है। अतः, $(2, 4) \notin R$।
$(3, 8)$ के लिए: $a = 3$ और $b = 8$। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर: $3 = 8 - 2 = 6$, जो असत्य है।
$(6, 8)$ के लिए: $a = 6$ और $b = 8$। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर: $6 = 8 - 2 = 6$, जो सत्य है। साथ ही, $b = 8 > 6$ भी सत्य है। अतः, $(6, 8) \in R$।
$(8, 7)$ के लिए: $a = 8$ और $b = 7$। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर: $8 = 7 - 2 = 5$, जो असत्य है।
इसलिए, सही विकल्प $(6, 8) \in R$ है।

(A) श्रेणी का व्यापक पद $T_k = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} \right)$ है।
हम तर्क को $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ का उपयोग करने पर, हमें $T_k = \tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k)$ प्राप्त होता है।
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1} n)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं, जिससे $S_n = \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(1)$ बचता है।
पुनः सर्वसमिका का उपयोग करने पर, $S_n = \tan^{-1} \left( \frac{(n + 1) - 1}{1 + (n + 1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} \right)$।

(D) $z$ का अधिकतम मान दोनों बिंदुओं $(15, 15)$ और $(0, 20)$ पर प्राप्त होने के लिए, इन दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
निर्देशांकों को उद्देश्य फलन $z = px + qy$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(15, 15)$ पर, $z_1 = p(15) + q(15) = 15p + 15q$।
$(0, 20)$ पर, $z_2 = p(0) + q(20) = 20q$।
$z_1$ और $z_2$ को बराबर करने पर:
$15p + 15q = 20q$।
दोनों पक्षों से $15q$ घटाने पर:
$15p = 5q$।
$5$ से भाग देने पर:
$q = 3p$।

(D) $1$. $LPP$ में, उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ एक रैखिक फलन होता है।
$2$. यदि $Z$ दो अलग-अलग कोणीय बिंदुओं पर समान अधिकतम मान प्राप्त करता है, तो रैखिक फलनों के गुणधर्म के अनुसार, $Z$ इन दो कोणीय बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर भी वही अधिकतम मान प्राप्त करेगा।
$3$. चूंकि एक रेखाखंड में अनंत बिंदु होते हैं, इसलिए उद्देश्य फलन $Z$ अनंत बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ है।
मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्राप्त करने के लिए $(1 - x^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1 - x^2}y = \frac{1}{1 - x^2}$।
यहाँ, $P(x) = -\frac{x}{1 - x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{x}{1 - x^2} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $t = 1 - x^2$, तब $dt = -2x dx$, जिसका अर्थ है $-x dx = \frac{dt}{2}$।
$I.F. = e^{\int \frac{dt}{2t}} = e^{\frac{1}{2} \log |t|} = e^{\log |t|^{1/2}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - x^2}$।

(C) बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A|L) = \frac{P(L|A)P(A)}{P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) + P(L|C)P(C) + P(L|D)P(D)}$।
चूंकि $P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4$ है, इसलिए $1/4$ पद कट जाएंगे:
$P(A|L) = \frac{P(L|A)}{P(L|A) + P(L|B) + P(L|C) + P(L|D)}$।
दी गई प्रायिकताओं को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A|L) = \frac{0.24}{0.24 + 0.09 + 0.17 + 0.22}$।
$P(A|L) = \frac{0.24}{0.72} = \frac{1}{3}$।

(C) चरण $1$: एक आव्यूह जहाँ पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर नहीं होती है, उसे $\text{आयताकार }\ \text{आव्यूह}$ कहते हैं (a-iii)।
चरण $2$: एक वर्ग आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A' = A$ (b-i)।
चरण $3$: एक विकर्ण आव्यूह जिसके सभी विकर्ण अवयव समान हों, उसे $\text{अदिश }\ \text{आव्यूह}$ कहते हैं (c-iv)।
चरण $4$: एक आव्यूह जो सममित $(A' = A)$ और विषम-सममित $(A' = -A)$ दोनों हो, उसे $A = -A$ को संतुष्ट करना होगा, जिसका अर्थ है $2A = 0$, अतः $A$ एक $\text{शून्य }\ \text{आव्यूह}$ है (d-ii)।
अतः, सही मिलान $a-iii, b-i, c-iv, d-ii$ है।

(C) चरण $1$: कथन $I$ सत्य है क्योंकि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए, $|A| \neq 0$ होता है, जो प्रतिलोम आव्यूह $A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।
चरण $2$: कथन $II$ सत्य है। दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित हैं, अतः $A' = A$ और $B' = B$। $(AB - BA)$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA)$।
चूंकि $(AB - BA)$ का परिवर्त उसका ऋणात्मक है, इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(B) एक आव्यूह को पंक्ति आव्यूह कहा जाता है यदि उसमें केवल एक पंक्ति हो। स्तंभों की संख्या कोई भी धनात्मक पूर्णांक $n \ge 1$ हो सकती है। अतः, एक पंक्ति आव्यूह की कोटि $1 \times n$ होती है।

(A) दो आव्यूहों के योग या घटाव के लिए, उनकी कोटि समान होनी चाहिए।
दिया गया है कि आव्यूह $X$ की कोटि $2 \times n$ है और आव्यूह $Z$ की कोटि $2 \times p$ है।
चूंकि $n = p$ है, इसलिए दोनों आव्यूहों की कोटि समान $2 \times n$ है।
संक्रिया $8X - 9Z$ द्वारा प्राप्त परिणामी आव्यूह की कोटि भी वही होगी, जो $2 \times n$ है।

(C) $1$. सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित होता है।
$2$. प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A$ के लिए, उससे जुड़ी एक अद्वितीय अदिश मान (scalar value) होता है, जिसे उसका सारणिक कहा जाता है, जिसे $|A|$ या $\det(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$3$. अतः, सही कथन यह है कि सारणिक एक वर्ग आव्यूह से जुड़ी एक अद्वितीय संख्या है।

(A) चरण $1$: आव्यूह $A$ के सहखंडज (adjoint) का मूलभूत गुण $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$ है, जहाँ $|A|$, $A$ का सारणिक है और $I$ तत्समक आव्यूह है।
चरण $2$: विकल्प $(A)$ कहता है $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = AI$। यह गलत है क्योंकि इसमें सारणिक गुणक $|A|$ लुप्त है।
चरण $3$: विकल्प $(B)$ सही सर्वसमिका है। विकल्प $(C)$ आव्यूहों के गुणनफल के व्युत्क्रम के लिए मानक व्युत्क्रमण नियम है। विकल्प $(D)$ किसी आव्यूह के व्युत्क्रमणीय होने की शर्त है।
चरण $4$: अतः, गलत कथन $(A)$ है।

(C) $1$. गुणधर्म $det(AB) = det(A) \cdot det(B)$ सभी वर्ग आव्यूहों के लिए सत्य है।
$2$. गुणधर्म $det(kA) = k^n det(A)$, $n$ क्रम के आव्यूह के लिए सत्य है।
$3$. गुणधर्म $det(A') = det(A) = 1 / det(A^{-1})$ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के लिए सत्य है।
$4$. योग का सारणिक सामान्यतः सारणिकों का योग नहीं होता है, अर्थात $det(A + B) \neq det(A) + det(B)$। अतः, विकल्प $C$ गलत है।

(C) $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $(3, 8)$, $(-4, 2)$ और $(5, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(2 - 1) + (-4)(1 - 8) + 5(8 - 2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(1) - 4(-7) + 5(6)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3 + 28 + 30| = \frac{61}{2}$।
यह दिया गया है कि $\text{Area} = \frac{P}{4}$, इसलिए $\frac{P}{4} = \frac{61}{2}$।
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर, हमें $P = \frac{61 \times 4}{2} = 122$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के लिए, अद्वितीय हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ है।
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 3$ और $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 3$ है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$ है, इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल है।

(D) दिया है $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ का उपयोग करने पर, $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$।
$2\alpha + 2\beta - 2 = 0$।
$2$ से भाग देने पर, $\alpha + \beta - 1 = 0$ प्राप्त होता है, अतः $\alpha + \beta = 1$।

(C) माना $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$, अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$
$(z-y)\hat{i} + (x-z)\hat{j} + (y-x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ प्राप्त होता है।
घटकों की तुलना करने पर: $z-y=0 \Rightarrow z=y$, $x-z=1$, और $y-x=-1$ है।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$, अतः $x+y+z=3$ है।
$z=y$ को $x-z=1$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x-y=1 \Rightarrow x=y+1$ प्राप्त होता है।
$x=y+1$ और $z=y$ को $x+y+z=3$ में रखने पर:
$(y+1) + y + y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $z = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ है।
इस प्रकार, $\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ है।

(B) दो सदिश लंबकोणीय होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो, अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिया है $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$।
$2 + 2\lambda + 3 = 0$।
$2\lambda + 5 = 0$।
$2\lambda = -5$।
$\lambda = -\frac{5}{2}$।

(A) माना दो दिक्-सदिश $\vec{v_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ और $\vec{v_2} = (b-c)\hat{i} + (c-a)\hat{j} + (a-b)\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)$ की गणना करें।
पदों का विस्तार करें: $ab - ac + bc - ba + ca - cb$।
व्यंजक को सरल करें: $(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac) = 0 + 0 + 0 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है, इसलिए सदिश लंबवत हैं और रेखाओं के बीच का कोण $90^\circ$ है।

(B) पहली रेखा $x = 1 + 1k, y = -1 + 2k, z = 3 + 2k$ द्वारा दी गई है। इसके दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1}$ है। इसके दिक अनुपात $\vec{b} = (2, 1, 1)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 + 2 = 6$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
$\cos \theta = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
अतः, $\theta = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{2}{3}})$ है।

(B) चरण $1$: सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{BC}$ ज्ञात कीजिए।
$\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (a-4)\hat{j} + (9-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (a-4)\hat{j} + 6\hat{k}$।
$\vec{BC} = (10-4)\hat{i} + (-1-a)\hat{j} + (7-9)\hat{k} = 6\hat{i} - (1+a)\hat{j} - 2\hat{k}$।
चरण $2$: चूँकि $\angle B = 90^\circ$ है, इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ होगा।
चरण $3$: अदिश गुणनफल की गणना कीजिए: $2(6) + (a-4)(-(1+a)) + 6(-2) = 0$।
चरण $4$: समीकरण को सरल कीजिए: $12 - (a-4)(a+1) - 12 = 0$।
चरण $5$: $a$ के लिए हल कीजिए: $-(a-4)(a+1) = 0$, जिससे $(a-4)(a+1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, $a = 4$ या $a = -1$।

(B) चरण $1$: $\lim_{x \to 1} f(x)$ की गणना करें। चूँकि $1 < 2$ है, हम $f(x) = x + 1$ का उपयोग करते हैं। अतः, $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ है।
चरण $2$: $\lim_{x \to 2} f(x)$ की गणना करें। हम बाएँ और दाएँ पक्ष की सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3$ है।
दाएँ पक्ष की सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ है।
चूँकि दोनों सीमाएँ बराबर हैं, इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ है।
चरण $3$: योग $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 3 = 5$ है।

(B) दिया गया है $y = (\tan x + y)^{1/3}$।
दोनों पक्षों का घन करने पर: $y^3 = \tan x + y$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$।
$3y^2 \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$।
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 1) = \sec^2 x$।
अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{3y^2 - 1}$।

(D) $f(x)$ के $x = 1$ पर संतत होने के लिए, शर्त $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ का पालन होना चाहिए।
चरण $1$: $f(1) = 3(1) - 1 = 2$ की गणना करें।
चरण $2$: बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \to 1^-} (ax + 7) = a(1) + 7 = a + 7$। इसे $f(1)$ के बराबर रखने पर, $a + 7 = 2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $a = -5$।
चरण $3$: दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ ज्ञात करें: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 3}{b} = \frac{1 + 3}{b} = \frac{4}{b}$। इसे $f(1)$ के बराबर रखने पर, $\frac{4}{b} = 2$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $b = 2$।
अतः, $a = -5$ और $b = 2$ है।

(A) माना $u = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$ और $v = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ है।
दिया है $\frac{1}{2} < x < 1$, हम $x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जहाँ $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ है।
तब $u = \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta$ और $v = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ होगा।
हमें $\frac{d^2u}{dv^2}$ ज्ञात करना है।
चूँकि $u = 3\theta$ और $v = 2\theta$ है, इसलिए $\theta = \frac{v}{2}$ होगा।
$u$ में $\theta$ का मान रखने पर, $u = 3(\frac{v}{2}) = \frac{3}{2}v$ प्राप्त होता है।
अब, $\frac{du}{dv} = \frac{3}{2}$ है।
अतः, द्वितीय कोटि का अवकलज $\frac{d^2u}{dv^2} = \frac{d}{dv}(\frac{3}{2}) = 0$ होगा।

(A) माना $x = \tan \theta$ है। $|x| \le 1$ के लिए, $f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$ है।
अतः, $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x) = \frac{2}{1 + x^2}$ है।
$x = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{1 + (1/2)^2} = \frac{2}{1 + 1/4} = \frac{2}{5/4} = \frac{8}{5}$ है।

(C) दिया गया है $x^{1/2} y^{1/3} = (x + y)^n$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{3} \ln y = n \ln(x + y)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} \frac{dy}{dx} = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{dy}{dx})$।
दिया है $x \frac{dy}{dx} - y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$।
अवकलित समीकरण में $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} (\frac{y}{x}) = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{y}{x})$।
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{n}{x + y} (\frac{x + y}{x})$।
$\frac{3 + 2}{6x} = \frac{n}{x}$।
$\frac{5}{6x} = \frac{n}{x} \implies n = \frac{5}{6}$।

(C) पथ का समीकरण दिया गया है: $3y = x^3 - 3$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $3 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
शर्त दी गई है: $\frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$।
अवकलित समीकरण में शर्त को प्रतिस्थापित करने पर: $3(9 \frac{dx}{dt}) = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
यह $27 \frac{dx}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है $x^2 = 9$, अतः $x = \pm 3$।
यदि $x = 3$, तो $3y = (3)^3 - 3 = 27 - 3 = 24$, अतः $y = 8$। बिंदु $(3, 8)$ है।
यदि $x = -3$, तो $3y = (-3)^3 - 3 = -27 - 3 = -30$, अतः $y = -10$। बिंदु $(-3, -10)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर, $(3, 8)$ सही स्थिति है।

(A) चरण $1$: $t$ के सापेक्ष फलन $f(t) = -2t^3 + 3t^2 + 5$ का प्रथम अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 3t^2 + 5) = -6t^2 + 6t$।
चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखें।
$-6t^2 + 6t = 0 \Rightarrow -6t(t - 1) = 0$।
इससे $t = 0$ और $t = 1$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात कीजिए।
$f''(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 6t) = -12t + 6$।
चरण $4$: क्रांतिक बिंदुओं पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।
$t = 1$ के लिए, $f''(1) = -12(1) + 6 = -6$।
चूँकि $f''(1) < 0$ है, इसलिए फलन का $t = 1$ घंटे पर स्थानीय उच्चतम मान है।

(A) दिया गया समीकरण: $\int x f(x) dx + \frac{f(x)}{2} = 0$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$x f(x) + \frac{1}{2} f'(x) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करके चर पृथक्करण करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int -2x dx$।
$\ln|f(x)| = -x^2 + C_1$।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर:
$f(x) = e^{-x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-x^2}$।
$e^{C_1} = C$ रखने पर, हमें $f(x) = C e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।

(A) एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर एक विषम फलन का समाकलन शून्य होता है।
माना $f(x) = \log \left( \frac{2+x}{2-x} \right)$ है।
तब $f(-x) = \log \left( \frac{2-x}{2-(-x)} \right) = \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) = \log \left( \left( \frac{2+x}{2-x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2+x}{2-x} \right) = -f(x)$ है।
चूंकि $f(-x) = -f(x)$ है, इसलिए फलन विषम है, और अतः $\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$ है।

(C) माना $t = x+6$, तब $dt = dx$ है।
जब $x = a-6$, तो $t = (a-6)+6 = a$ है।
जब $x = b-6$, तो $t = (b-6)+6 = b$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\int_{a}^{b} f(t) dt$ प्राप्त होता है।
चूँकि समाकलन का चर एक डमी चर है, इसलिए $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(x) dx$ होगा।

(D) हमारे पास समाकल $I = \int \frac{\sin^n x}{\cos^{n+2} x} dx$ है।
समाकल्य को $I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^n \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx$ के रूप में पुनः लिखें।
चूँकि $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ और $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ है, हमें $I = \int \tan^n x \sec^2 x dx$ प्राप्त होता है।
माना $t = \tan x$, तब $dt = \sec^2 x dx$ है।
इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = \int t^n dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन के घात नियम का उपयोग करने पर, $I = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ है।
$t = \tan x$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = \frac{\tan^{n+1} x}{n+1} + C$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: $e^{\log a} = a$ गुणधर्म का उपयोग करके समाकल्य को सरल करें। हमारे पास $e^{-x \log 2} = (e^{\log 2})^{-x} = 2^{-x}$ है।
चरण $2$: इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करें: $\int 2^{-x} \cdot 2^x dx$।
चरण $3$: गुणनफल को सरल करें: $\int 2^{-x+x} dx = \int 2^0 dx = \int 1 dx$।
चरण $4$: $x$ के सापेक्ष समाकलन करें: $\int 1 dx = x + C$।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = x^3$ है, जिसे हम $x = y^{2/3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
वक्र, $y$-अक्ष और रेखाओं $y = 1$ तथा $y = 8$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A$ निम्न समाकल द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{1}^{8} x \, dy = \int_{1}^{8} y^{2/3} \, dy$
$y^{2/3}$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$A = \left[ \frac{y^{(2/3) + 1}}{(2/3) + 1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{1}^{8}$
निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$A = \frac{3}{5} [8^{5/3} - 1^{5/3}]$
चूँकि $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ और $1^{5/3} = 1$:
$A = \frac{3}{5} [32 - 1] = \frac{3}{5} \times 31 = \frac{93}{5} \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2y' + (y'')^2 = \sqrt{y'' - 3}$ है।
घात को परिभाषित करने के लिए, हमें दोनों पक्षों का वर्ग करके करणी (radical) को हटाना होगा: $(2y' + (y'')^2)^2 = y'' - 3$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y''$ है, इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात $4$ है (क्योंकि $(y'')^2$ का वर्ग $(y'')^4$ हो जाता है)। अतः, घात $4$ है।
कोटि और घात के वर्गों का योग $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$ है।

(B) फलन को परिभाषित होने के लिए, वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणेतर (non-negative) होना चाहिए: $\frac{x-7}{9-x} \ge 0$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर और असमिका का चिह्न बदलने पर: $\frac{x-7}{x-9} \le 0$।
क्रांतिक बिंदु $x = 7$ और $x = 9$ हैं।
चूंकि हर (denominator) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए $x \neq 9$।
अंतरालों $(-\infty, 7]$, $[7, 9)$, और $[9, \infty)$ की जांच करने पर, असमिका $\frac{x-7}{x-9} \le 0$, $x \in [7, 9)$ के लिए सत्य है।
अतः, प्रांत $[7, 9)$ है।

(C) $y = x$ रेखा में किसी फलन $f(x)$ के आलेख का परावर्तन उसका प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ होता है।
माना $y = f(x) = (x + 1)^2$ है।
प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए, $y$ के पदों में $x$ का मान निकालें:
$y = (x + 1)^2$
$\sqrt{y} = x + 1$ (चूंकि $x \ge 1$, इसलिए $x+1 \ge 2$, अतः हम धनात्मक मूल लेते हैं)
$x = \sqrt{y} - 1$।
अतः, $g(x) = f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$।

(A) दिया गया है $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi/2$।
हम जानते हैं कि $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \pi/2$, इसलिए $\sin^{-1} y = \pi/2 - \cos^{-1} y$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin^{-1} x = \pi/2 - \sin^{-1} y = \cos^{-1} y$।
दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर: $x = \sin(\cos^{-1} y)$।
सर्वसमिका $\sin(\cos^{-1} y) = \sqrt{1 - y^2}$ का उपयोग करने पर, हमें $x = \sqrt{1 - y^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $x^2 = 1 - y^2$ प्राप्त होता है।