KCET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે: $P(A \cup B) = 0.6$ અને $P(A \cap B) = 0.2$।
સૂત્ર $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.6 = P(A) + P(B) - 0.2$
$P(A) + P(B) = 0.8$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$।
તેથી, $P(\overline{A}) + P(\overline{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
કિંમત મૂકતા: $2 - 0.8 = 1.2$।

(D) ધારો કે $f(x) = \sin(x + \pi/6) + \cos(x + \pi/6)$.
નિત્યસમ $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$ નો ઉપયોગ કરતા, $f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/6 + \pi/4)$ મળે.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ છે, જે ત્યારે મળે જ્યારે ખૂણો $\pi/2$ હોય.
તેથી $x + \pi/6 + \pi/4 = \pi/2$ લેતા.
$x + 5\pi/12 = \pi/2$.
$x = \pi/2 - 5\pi/12 = 6\pi/12 - 5\pi/12 = \pi/12$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $(A-d)$, $A$, અને $(A+d)$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી, $(A-d) + A + (A+d) = 180^\circ$, જે આપણને $3A = 180^\circ$ આપે છે, તેથી $A = 60^\circ$ મળે છે.
ખૂણાઓ $(60^\circ-d)$, $60^\circ$, અને $(60^\circ+d)$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $(60^\circ+d)$ છે અને સૌથી નાનો ખૂણો $(60^\circ-d)$ છે.
આપેલ છે કે સૌથી મોટો ખૂણો સૌથી નાના ખૂણા કરતાં બમણો છે: $60^\circ+d = 2(60^\circ-d)$।
$60^\circ+d = 120^\circ - 2d \implies 3d = 60^\circ \implies d = 20^\circ$।
ખૂણાઓ $60^\circ-20^\circ = 40^\circ$, $60^\circ$, અને $60^\circ+20^\circ = 80^\circ$ છે.
ત્રીજો ખૂણો $60^\circ$ છે.
તેથી, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) આપેલ છે: $n = 100$, મધ્યક $\bar{x} = 50$, અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 4$।
વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2$।
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$।
$16 + 2500 = \frac{\sum x_i^2}{100}$।
$2516 = \frac{\sum x_i^2}{100}$।
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$।

(D) આપેલ છે: $P(A) = 1/2$ અને $P(B) = 3/10$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી, $P(A \cap B) = 0$.
$A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/2 + 3/10 - 0$ થાય.
$P(A \cup B) = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5$.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ થાય.
$P(A' \cap B') = 1 - 4/5 = 1/5$.

(D) પ્રમાણિત પાસા પરની એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
એક પાસા પર $2$ મેળવવાની સંભાવના $P(2) = \frac{1}{6}$ છે.
બે પાસાઓ સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવતા હોવાથી, બંને પાસા પર $2$ મેળવવાની સંભાવના $P(2 \text{ and } 2) = P(2) \times P(2) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ થાય.

(D) ધારો કે $P(M)$ એ પુરુષના જીવિત રહેવાની સંભાવના છે અને $P(W)$ એ પત્નીના જીવિત રહેવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(M) = \frac{1}{4}$ અને $P(W) = \frac{1}{3}$.
પુરુષ જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(M') = 1 - P(M) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
પત્ની જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(W') = 1 - P(W) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી, બંનેમાંથી કોઈ પણ જીવિત ન હોય તેની સંભાવના $P(M' \cap W') = P(M') \times P(W')$ છે.
$P(M' \cap W') = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\tan^2\theta - 4\tan\theta + 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\tan\theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\tan\theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ લઘુકોણ છે, $\alpha+\beta$ અને $\alpha-\beta$ પણ લઘુકોણ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 75^\circ = 2+\sqrt{3}$ અને $\tan 15^\circ = 2-\sqrt{3}$ થાય છે.
તેથી, $\alpha+\beta = 75^\circ$ અને $\alpha-\beta = 15^\circ$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2\beta = 60^\circ \implies \beta = 30^\circ$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{-1} = i$ છે.
તેથી, પદાવલિ $\sum_{n=1}^{4} (i)^{2n} = i^2 + i^4 + i^6 + i^8$ થાય છે.
કારણ કે $i^2 = -1$, $i^4 = 1$, $i^6 = -1$, અને $i^8 = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-1 + 1 - 1 + 1 = 0$.

(A) પગલું $1$: અસમતાની બંને બાજુઓનું વિસ્તરણ કરો: $3x - 3 \leq 2x - 6$।
પગલું $2$: બંને બાજુઓમાંથી $2x$ બાદ કરો: $3x - 2x - 3 \leq -6$।
પગલું $3$: બંને બાજુઓમાં $3$ ઉમેરો: $x \leq -6 + 3$।
પગલું $4$: અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે સાદું રૂપ આપો: $x \leq -3$।

(D) પગલું $1$: વર્તુળ પરના $n$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $^{n}C_3$ દ્વારા મળે છે. $n=10$ માટે, ત્રિકોણોની સંખ્યા = $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે. તેથી, વિધાન $I$ ખોટું છે.
પગલું $2$: વર્તુળ પરના $n$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી જીવાઓની સંખ્યા $^{n}C_2$ દ્વારા મળે છે. $n=10$ માટે, જીવાઓની સંખ્યા = $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ છે. તેથી, વિધાન $II$ સાચું છે.
પગલું $3$: પરિણામોની સરખામણી કરતા, વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) "$KCET$ $2025$" સ્ટ્રિંગમાં $8$ અક્ષરો છે: $K, C, E, T, 2, 0, 2, 5$ (સ્પેસને અવગણતા).
પ્રથમ સ્થાને $K$ અને છેલ્લા સ્થાને $5$ ને નિશ્ચિત કરો.
બાકીના $6$ અક્ષરો $C, E, T, 2, 0, 2$ છે.
આ $6$ અક્ષરોમાં, અંક $2$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
આ $6$ અક્ષરોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(a+b)^n$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે અંશને $(x+1)^3$ અને છેદને $(x+1)^4$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ, પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{(x+1)^3}{(x+1)^4} = \frac{1}{x+1}$ થાય છે.
સામાન્ય પદાવલિમાં $x = 2$ મૂકતા, આપણને $\frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $\sqrt{2}, g_1, g_2, 4$ છે.
અહીં, પ્રથમ પદ $a = \sqrt{2}$ અને ચોથું પદ $ar^3 = 4$ છે.
$r^3 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - 1/2} = 2^{3/2}$।
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, $r = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$।
આમ, મૂકેલી સંખ્યાઓ છે:
$g_1 = a \cdot r = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$।
$g_2 = a \cdot r^2 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$।

(B) પગલું $1$: $L_1$ નો ઢાળ શોધો. ઢાળ $m_1 = \frac{6 - 2}{3 - (-1)} = \frac{4}{4} = 1$ છે.
પગલું $2$: $L_2$ એ $L_1$ ને લંબ હોવાથી, $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1$ થશે.
પગલું $3$: $(3, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L_2$ માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરો: $y - (-1) = -1(x - 3)$.
પગલું $4$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો: $y + 1 = -x + 3$, જે $x + y - 2 = 0$ આપે છે.

(A) અતિવલય માટે, શરત $\alpha > \beta \ge 0$ છે.
ઉપવલય માટે, શરત $0 \le \alpha < \beta < 90^\circ$ છે.
આમ, વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax - 3b}{x - 3} = 5$.
જેમ $x \to 3$ થાય તેમ છેદ $0$ ને અનુલક્ષે છે, તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ ત્યારે જ હોય જો અંશ પણ $x = 3$ આગળ $0$ થાય.
અંશમાં $x = 3$ મૂકતા: $3^2 - a(3) - 3b = 0$.
$9 - 3a - 3b = 0$.
$3(3 - a - b) = 0$.
$3 - a - b = 0$.
તેથી, $a + b = 3$.

(D) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો $x = \sqrt{3} \cos \theta$ અને $y = \sqrt{3} \sin \theta$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3} \cos \theta)^2 + (\sqrt{3} \sin \theta)^2$.
$x^2 + y^2 = 3 \cos^2 \theta + 3 \sin^2 \theta = 3(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 3$.
આ $r = \sqrt{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
$A = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
અહીં, $n = 6$ છે, તેથી કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^6 = 64$ છે.
$0$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો (ખાલી ગણ) $= \binom{6}{0} = 1$ છે.
$1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો $= \binom{6}{1} = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો $=$ કુલ ઉપગણો $-$ ($0$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો $+$ $1$ ઘટક ધરાવતા ઉપગણો).
ઓછામાં ઓછા $2$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણો $= 64 - (1 + 6) = 64 - 7 = 57$ છે.

(A) ગણ $A$ માં બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ છે.
આવી $5$ બેકી સંખ્યાઓ છે.
આ $5$ ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે.
આપણે અરિક્ત ઉપગણો શોધવાના હોવાથી, આપણે ખાલી ગણ $\emptyset$ ને બાદ કરીશું.
તેથી, અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $32 - 1 = 31$ છે.

(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના સંબંધોની સંખ્યા $2^{n(A) \times n(B)}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $2^{n(A) \times n(B)} = 1024$ છે.
$1024 = 2^{10}$ હોવાથી, $n(A) \times n(B) = 10$ મળે.
$n(A) = 2$ આપેલ હોવાથી, કિંમત મૂકતા: $2 \times n(B) = 10$ થાય.
તેથી, $n(B) = \frac{10}{2} = 5$.

(C) સંબંધ $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(2, 4)$ માટે: $b = 4$, જે $6$ કરતા મોટું નથી. તેથી, $(2, 4) \notin R$.
$(3, 8)$ માટે: $a = 3$ અને $b = 8$. શરત $a = b - 2$ ચકાસતા: $3 = 8 - 2 = 6$, જે અસત્ય છે.
$(6, 8)$ માટે: $a = 6$ અને $b = 8$. શરત $a = b - 2$ ચકાસતા: $6 = 8 - 2 = 6$, જે સત્ય છે. તેમજ, $b = 8 > 6$ પણ સત્ય છે. તેથી, $(6, 8) \in R$.
$(8, 7)$ માટે: $a = 8$ અને $b = 7$. શરત $a = b - 2$ ચકાસતા: $8 = 7 - 2 = 5$, જે અસત્ય છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $(6, 8) \in R$ છે.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_k = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1 + k(k + 1)} \right)$ છે.
આપણે દલીલને $\frac{(k + 1) - k}{1 + k(k + 1)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $T_k = \tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k)$ મળે છે.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k + 1) - \tan^{-1}(k))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1} n)$.
બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે, અને $S_n = \tan^{-1}(n + 1) - \tan^{-1}(1)$ બાકી રહે છે.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, $S_n = \tan^{-1} \left( \frac{(n + 1) - 1}{1 + (n + 1)(1)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n + 2} \right)$.

(D) $z$ નું મહત્તમ મૂલ્ય બંને બિંદુઓ $(15, 15)$ અને $(0, 20)$ પર મળે તે માટે, આ બંને બિંદુઓ પર $z$ નું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ.
યામોને હેતુલક્ષી વિધેય $z = px + qy$ માં મૂકતા:
$(15, 15)$ પર, $z_1 = p(15) + q(15) = 15p + 15q$ મળે.
$(0, 20)$ પર, $z_2 = p(0) + q(20) = 20q$ મળે.
$z_1$ અને $z_2$ ને સરખાવતા:
$15p + 15q = 20q$ મળે.
બંને બાજુથી $15q$ બાદ કરતા:
$15p = 5q$ મળે.
$5$ વડે ભાગતા:
$q = 3p$ મળે.

(D) $1$. $LPP$ માં, હેતુલક્ષી વિધેય $Z = ax + by$ એ એક સુરેખ વિધેય છે.
$2$. જો $Z$ બે ભિન્ન ખૂણાના બિંદુઓ પર સમાન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે, તો સુરેખ વિધેયોના ગુણધર્મ મુજબ, $Z$ આ બે ખૂણાના બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ પરના દરેક બિંદુ પર પણ સમાન મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરશે.
$3$. કારણ કે એક રેખાખંડમાં અનંત બિંદુઓ હોય છે, તેથી હેતુલક્ષી વિધેય $Z$ અનંત બિંદુઓ પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 - x^2) \frac{dy}{dx} - xy = 1$ છે.
પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ મેળવવા માટે $(1 - x^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1 - x^2}y = \frac{1}{1 - x^2}$.
અહીં, $P(x) = -\frac{x}{1 - x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{x}{1 - x^2} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = 1 - x^2$, તો $dt = -2x dx$, જેનો અર્થ છે કે $-x dx = \frac{dt}{2}$.
$I.F. = e^{\int \frac{dt}{2t}} = e^{\frac{1}{2} \log |t|} = e^{\log |t|^{1/2}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - x^2}$.

(C) બેયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A|L) = \frac{P(L|A)P(A)}{P(L|A)P(A) + P(L|B)P(B) + P(L|C)P(C) + P(L|D)P(D)}$।
આપેલ છે કે $P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4$, તેથી $1/4$ પદ ઉડી જશે:
$P(A|L) = \frac{P(L|A)}{P(L|A) + P(L|B) + P(L|C) + P(L|D)}$।
આપેલ સંભાવનાઓ મૂકતા: $P(A|L) = \frac{0.24}{0.24 + 0.09 + 0.17 + 0.22}$।
$P(A|L) = \frac{0.24}{0.72} = \frac{1}{3}$।

(C) પગલું $1$: એક શ્રેણિક જેમાં હારની સંખ્યા સ્તંભની સંખ્યા જેટલી ન હોય તેને $\text{લંબચોરસ }\ \text{શ્રેણિક}$ કહેવાય છે (a-iii).
પગલું $2$: એક ચોરસ શ્રેણિક $A$ સંમિત હોય છે જો $A' = A$ હોય (b-i).
પગલું $3$: એક વિકર્ણ શ્રેણિક જેમાં બધા વિકર્ણ ઘટકો સમાન હોય તેને $\text{અદિશ }\ \text{શ્રેણિક}$ કહેવાય છે (c-iv).
પગલું $4$: એક શ્રેણિક જે સંમિત $(A' = A)$ અને વિસંમિત $(A' = -A)$ બંને હોય, તેણે $A = -A$ નું પાલન કરવું પડે, જેનો અર્થ છે $2A = 0$, તેથી $A$ એ $\text{શૂન્ય }\ \text{શ્રેણિક}$ છે (d-ii).
તેથી, સાચી જોડ $a-iii, b-i, c-iv, d-ii$ છે.

(C) પગલું $1$: વિધાન $I$ સત્ય છે કારણ કે અસામાન્ય શ્રેણિક માટે, $|A| \neq 0$ હોય છે, જે પ્રતિલોમ શ્રેણિક $A^{-1}$ ના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પૂરતી શરત છે.
પગલું $2$: વિધાન $II$ સત્ય છે. આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત છે, તેથી $A' = A$ અને $B' = B$ થાય. $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત (transpose) લેતા:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)' = B'A' - A'B' = BA - AB = -(AB - BA)$ મળે.
કારણ કે $(AB - BA)$ નો પરિવર્ત તેની ઋણ કિંમત છે, તેથી $(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) જો શ્રેણિકમાં માત્ર એક જ હાર હોય, તો તેને હાર શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે. સ્તંભોની સંખ્યા કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n \ge 1$ હોઈ શકે છે. તેથી, હાર શ્રેણિકની કક્ષા $1 \times n$ હોય છે.

(A) બે શ્રેણિકોના સરવાળા કે બાદબાકી માટે, તેમની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે શ્રેણિક $X$ ની કક્ષા $2 \times n$ છે અને શ્રેણિક $Z$ ની કક્ષા $2 \times p$ છે.
કારણ કે $n = p$ છે, તેથી બંને શ્રેણિકોની કક્ષા સમાન $2 \times n$ છે.
$8X - 9Z$ પ્રક્રિયા દ્વારા મળતા પરિણામી શ્રેણિકની કક્ષા પણ સમાન રહેશે, જે $2 \times n$ છે.

(C) $1$. નિશ્ચાયક ફક્ત ચોરસ શ્રેણિકો માટે જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$2$. દરેક ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે, તેની સાથે સંકળાયેલ એક અનન્ય અદિશ મૂલ્ય (scalar value) હોય છે, જેને તેનો નિશ્ચાયક કહેવામાં આવે છે, જેને $|A|$ અથવા $\det(A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$3$. તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે નિશ્ચાયક એ ચોરસ શ્રેણિક સાથે સંકળાયેલી એક અનન્ય સંખ્યા છે.

(A) પગલું $1$: શ્રેણિક $A$ ના એડજોઈન્ટ (adjoint) નો મૂળભૂત ગુણધર્મ $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$ છે, જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
પગલું $2$: વિકલ્પ $(A)$ જણાવે છે કે $A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = AI$ છે. આ ખોટું છે કારણ કે તેમાં નિશ્ચાયક અવયવ $|A|$ નો અભાવ છે.
પગલું $3$: વિકલ્પ $(B)$ એ સાચું નિત્યસમ છે. વિકલ્પ $(C)$ એ શ્રેણિકોના ગુણાકારના વ્યસ્ત માટેનો પ્રમાણિત ઉલટાવવાનો નિયમ છે. વિકલ્પ $(D)$ એ શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટેની શરત છે.
પગલું $4$: તેથી, ખોટું વિધાન $(A)$ છે.

(C) $1$. ગુણધર્મ $det(AB) = det(A) \cdot det(B)$ તમામ ચોરસ શ્રેણિકો માટે સાચો છે.
$2$. ગુણધર્મ $det(kA) = k^n det(A)$ એ $n$ ક્રમના શ્રેણિક માટે સાચો છે.
$3$. ગુણધર્મ $det(A') = det(A) = 1 / det(A^{-1})$ એ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવા શ્રેણિકો માટે સાચો છે.
$4$. સરવાળાનો નિશ્ચાયક સામાન્ય રીતે નિશ્ચાયકોનો સરવાળો હોતો નથી, એટલે કે $det(A + B) \neq det(A) + det(B)$। તેથી, વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(C) $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(3, 8)$, $(-4, 2)$ અને $(5, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(2 - 1) + (-4)(1 - 8) + 5(8 - 2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(1) - 4(-7) + 5(6)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3 + 28 + 30| = \frac{61}{2}$।
આપેલ છે કે $\text{Area} = \frac{P}{4}$, તેથી $\frac{P}{4} = \frac{61}{2}$।
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા, આપણને $P = \frac{61 \times 4}{2} = 122$ મળે છે.

(B) સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ માટે, અનન્ય ઉકેલ હોવાની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
અહીં, $a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = 3$ અને $a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = 3$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3}$ છે, તેથી આ સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|\vec{u} \pm \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \pm 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા, $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$2\alpha + 2\beta - 2 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા, $\alpha + \beta - 1 = 0$ મળે, તેથી $\alpha + \beta = 1$.

(C) ધારો કે $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$, તેથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$
$(z-y)\hat{i} + (x-z)\hat{j} + (y-x)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ મળે છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા: $z-y=0 \Rightarrow z=y$, $x-z=1$, અને $y-x=-1$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$, તેથી $x+y+z=3$ થાય.
$z=y$ ને $x-z=1$ માં મૂકતા, આપણને $x-y=1 \Rightarrow x=y+1$ મળે છે.
$x=y+1$ અને $z=y$ ને $x+y+z=3$ માં મૂકતા:
$(y+1) + y + y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી $z = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ થાય.
આમ, $\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ છે.

(B) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$.
$2 + 2\lambda + 3 = 0$.
$2\lambda + 5 = 0$.
$2\lambda = -5$.
$\lambda = -\frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે બે દિક્-સદિશો $\vec{v_1} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = (b-c)\hat{i} + (c-a)\hat{j} + (a-b)\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)$ ની ગણતરી કરો.
પદોનું વિસ્તરણ કરો: $ab - ac + bc - ba + ca - cb$.
પદાવલિને સરળ બનાવો: $(ab - ba) + (bc - cb) + (ca - ac) = 0 + 0 + 0 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી, સદિશો પરસ્પર લંબ છે અને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(B) પ્રથમ રેખા $x = 1 + 1k, y = -1 + 2k, z = 3 + 2k$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. તેના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે. તેના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{b} = (2, 1, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$, $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(1) + (2)(1) = 2 + 2 + 2 = 6$ છે.
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
$\cos \theta = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
તેથી, $\theta = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{2}{3}})$ છે.

(B) પગલું $1$: સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ શોધો.
$\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (a-4)\hat{j} + (9-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (a-4)\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = (10-4)\hat{i} + (-1-a)\hat{j} + (7-9)\hat{k} = 6\hat{i} - (1+a)\hat{j} - 2\hat{k}$.
પગલું $2$: કારણ કે $\angle B = 90^\circ$ છે, તેથી ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ થશે.
પગલું $3$: ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $2(6) + (a-4)(-(1+a)) + 6(-2) = 0$.
પગલું $4$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપો: $12 - (a-4)(a+1) - 12 = 0$.
પગલું $5$: $a$ માટે ઉકેલો: $-(a-4)(a+1) = 0$, જે $(a-4)(a+1) = 0$ આપે છે.
તેથી, $a = 4$ અથવા $a = -1$.

(B) પગલું $1$: $\lim_{x \to 1} f(x)$ ની ગણતરી કરો. કારણ કે $1 < 2$ છે, આપણે $f(x) = x + 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેથી, $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ થાય.
પગલું $2$: $\lim_{x \to 2} f(x)$ ની ગણતરી કરો. આપણે ડાબી બાજુ અને જમણી બાજુની લક્ષની કિંમત તપાસીએ છીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3$ થાય.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ થાય.
બંને લક્ષ સમાન હોવાથી, $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ થાય.
પગલું $3$: સરવાળો $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 3 = 5$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $y = (\tan x + y)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન લેતા: $y^3 = \tan x + y$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(\tan x + y)$.
$3y^2 \frac{dy}{dx} = \sec^2 x + \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા: $3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \sec^2 x$.
$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 1) = \sec^2 x$.
તેથી, $\frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2 x}{3y^2 - 1}$.

(D) $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ સતત હોવા માટે, શરત $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ નું પાલન થવું જોઈએ.
પગલું $1$: $f(1) = 3(1) - 1 = 2$ ની ગણતરી કરો.
પગલું $2$: ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ શોધો: $\lim_{x \to 1^-} (ax + 7) = a(1) + 7 = a + 7$। તેને $f(1)$ સાથે સરખાવતા, $a + 7 = 2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $a = -5$.
પગલું $3$: જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ શોધો: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 3}{b} = \frac{1 + 3}{b} = \frac{4}{b}$। તેને $f(1)$ સાથે સરખાવતા, $\frac{4}{b} = 2$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $b = 2$.
આમ, $a = -5$ અને $b = 2$ છે.

(A) ધારો કે $u = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)$ અને $v = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{2} < x < 1$, આપણે $x = \cos \theta$ આદેશ લઈ શકીએ, જ્યાં $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ છે.
તેથી $u = \cos^{-1}(\cos 3\theta) = 3\theta$ અને $v = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta$ થશે.
આપણે $\frac{d^2u}{dv^2}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $u = 3\theta$ અને $v = 2\theta$ છે, તેથી $\theta = \frac{v}{2}$ થશે.
$u$ માં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા, $u = 3(\frac{v}{2}) = \frac{3}{2}v$ મળે છે.
હવે, $\frac{du}{dv} = \frac{3}{2}$ છે.
તેથી, દ્વિતીય ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^2u}{dv^2} = \frac{d}{dv}(\frac{3}{2}) = 0$ થશે.

(A) ધારો કે $x = \tan \theta$ છે. $|x| \le 1$ માટે, $f(x) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1} x$ થાય.
તેથી, $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\tan^{-1} x) = \frac{2}{1 + x^2}$ થાય.
$x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$f' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{1 + (1/2)^2} = \frac{2}{1 + 1/4} = \frac{2}{5/4} = \frac{8}{5}$ મળે.

(C) આપેલ છે $x^{1/2} y^{1/3} = (x + y)^n$।
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{3} \ln y = n \ln(x + y)$।
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} \frac{dy}{dx} = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{dy}{dx})$।
આપેલ છે $x \frac{dy}{dx} - y = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$।
વિકલિત સમીકરણમાં $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ મૂકતા: $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} (\frac{y}{x}) = \frac{n}{x + y} (1 + \frac{y}{x})$।
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{n}{x + y} (\frac{x + y}{x})$।
$\frac{3 + 2}{6x} = \frac{n}{x}$।
$\frac{5}{6x} = \frac{n}{x} \implies n = \frac{5}{6}$।

(C) માર્ગનું સમીકરણ આપેલ છે: $3y = x^3 - 3$।
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા: $3 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
શરત આપેલ છે: $\frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$।
વિકલિત સમીકરણમાં શરત મૂકતા: $3(9 \frac{dx}{dt}) = 3x^2 \frac{dx}{dt}$।
આનું સાદું રૂપ $27 \frac{dx}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 9$, તેથી $x = \pm 3$।
જો $x = 3$ હોય, તો $3y = (3)^3 - 3 = 27 - 3 = 24$, તેથી $y = 8$। બિંદુ $(3, 8)$ છે.
જો $x = -3$ હોય, તો $3y = (-3)^3 - 3 = -27 - 3 = -30$, તેથી $y = -10$। બિંદુ $(-3, -10)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $(3, 8)$ એ સાચું સ્થાન છે।

(A) પગલું $1$: $t$ ની સાપેક્ષમાં વિધેય $f(t) = -2t^3 + 3t^2 + 5$ નું પ્રથમ વિકલન શોધો.
$f'(t) = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 3t^2 + 5) = -6t^2 + 6t$।
પગલું $2$: ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે પ્રથમ વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવો.
$-6t^2 + 6t = 0 \Rightarrow -6t(t - 1) = 0$।
આનાથી $t = 0$ અને $t = 1$ મળે છે.
પગલું $3$: ક્રાંતિક બિંદુઓનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે દ્વિતીય વિકલન શોધો.
$f''(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 6t) = -12t + 6$।
પગલું $4$: ક્રાંતિક બિંદુઓ પર દ્વિતીય વિકલનનું મૂલ્ય શોધો.
$t = 1$ માટે, $f''(1) = -12(1) + 6 = -6$।
કારણ કે $f''(1) < 0$ છે, તેથી વિધેયનું $t = 1$ કલાકે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int x f(x) dx + \frac{f(x)}{2} = 0$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x f(x) + \frac{1}{2} f'(x) = 0$ મળે છે.
પદોને વ્યવસ્થિત કરીને ચલ અલગ કરતા:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = -2x$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int -2x dx$ મળે છે.
$\ln|f(x)| = -x^2 + C_1$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$f(x) = e^{-x^2 + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-x^2}$ મળે છે.
$e^{C_1} = C$ લેતા, આપણને $f(x) = C e^{-x^2}$ મળે છે.

(A) સંમિત અંતરાલ $[-a, a]$ પર અયુગ્મ વિધેયનું સંકલન શૂન્ય થાય છે.
ધારો કે $f(x) = \log \left( \frac{2+x}{2-x} \right)$ છે.
તો $f(-x) = \log \left( \frac{2-x}{2-(-x)} \right) = \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) = \log \left( \left( \frac{2+x}{2-x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2+x}{2-x} \right) = -f(x)$ થાય.
કારણ કે $f(-x) = -f(x)$ છે, તેથી વિધેય અયુગ્મ છે, અને તેથી $\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $t = x+6$, તો $dt = dx$ થાય.
જ્યારે $x = a-6$, ત્યારે $t = (a-6)+6 = a$ થાય.
જ્યારે $x = b-6$, ત્યારે $t = (b-6)+6 = b$ થાય.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા, આપણને $\int_{a}^{b} f(t) dt$ મળે છે.
સંકલનનો ચલ એક ડમી ચલ હોવાથી, $\int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(x) dx$ થાય.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\sin^n x}{\cos^{n+2} x} dx$ છે.
સંકલ્યને $I = \int \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^n \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx$ તરીકે ફરીથી લખો.
કારણ કે $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ અને $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ છે, તેથી આપણને $I = \int \tan^n x \sec^2 x dx$ મળે છે.
ધારો કે $t = \tan x$, તો $dt = \sec^2 x dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા, આપણને $I = \int t^n dt$ મળે છે.
સંકલનના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $I = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ મળે.
$t = \tan x$ ની કિંમત પાછી મૂકતા, આપણને $I = \frac{\tan^{n+1} x}{n+1} + C$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: $e^{\log a} = a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સંકલ્યને સરળ બનાવો. આપણી પાસે $e^{-x \log 2} = (e^{\log 2})^{-x} = 2^{-x}$ છે.
પગલું $2$: આને સંકલનમાં મૂકો: $\int 2^{-x} \cdot 2^x dx$.
પગલું $3$: ગુણાકારને સરળ બનાવો: $\int 2^{-x+x} dx = \int 2^0 dx = \int 1 dx$.
પગલું $4$: $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરો: $\int 1 dx = x + C$.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = x^3$ છે, જેને આપણે $x = y^{2/3}$ તરીકે લખી શકીએ.
વક્ર, $y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 8$ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{1}^{8} x \, dy = \int_{1}^{8} y^{2/3} \, dy$
$y^{2/3}$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$A = \left[ \frac{y^{(2/3) + 1}}{(2/3) + 1} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{y^{5/3}}{5/3} \right]_{1}^{8} = \left[ \frac{3}{5} y^{5/3} \right]_{1}^{8}$
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$A = \frac{3}{5} [8^{5/3} - 1^{5/3}]$
કારણ કે $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$ અને $1^{5/3} = 1$:
$A = \frac{3}{5} [32 - 1] = \frac{3}{5} \times 31 = \frac{93}{5} \text{ ચોરસ એકમ}$।

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2y' + (y'')^2 = \sqrt{y'' - 3}$ છે.
પરિમાણ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરવું પડશે: $(2y' + (y'')^2)^2 = y'' - 3$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલન $y''$ છે, તેથી કક્ષા $2$ છે.
સમીકરણને વિકલનોમાં બહુપદી સ્વરૂપમાં ફેરવ્યા પછી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલનની મહત્તમ ઘાત $4$ છે (કારણ કે $(y'')^2$ નો વર્ગ $(y'')^4$ થાય છે). તેથી, પરિમાણ $4$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણના વર્ગોનો સરવાળો $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$ થાય છે.

(B) વિધેય વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે, વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ (non-negative) હોવી જોઈએ: $\frac{x-7}{9-x} \ge 0$।
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા: $\frac{x-7}{x-9} \le 0$ મળે.
અહીં ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 7$ અને $x = 9$ છે.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે, તેથી $x \neq 9$ થાય.
અંતરાલો $(-\infty, 7]$, $[7, 9)$, અને $[9, \infty)$ ની ચકાસણી કરતા, અસમતા $\frac{x-7}{x-9} \le 0$ એ $x \in [7, 9)$ માટે સાચી છે.
આમ, પ્રદેશ $[7, 9)$ છે।

(C) $y = x$ રેખામાં વિધેય $f(x)$ ના આલેખનું પ્રતિબિંબ તેનું પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ છે.
ધારો કે $y = f(x) = (x + 1)^2$ છે.
પ્રતિવિધેય શોધવા માટે, $y$ ના સ્વરૂપમાં $x$ ની કિંમત મેળવો:
$y = (x + 1)^2$
$\sqrt{y} = x + 1$ (કારણ કે $x \ge 1$, તેથી $x+1 \ge 2$, એટલે આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ)
$x = \sqrt{y} - 1$।
આમ, $g(x) = f^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1$।

(A) આપેલ છે કે $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \pi/2$, તેથી $\sin^{-1} y = \pi/2 - \cos^{-1} y$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin^{-1} x = \pi/2 - \sin^{-1} y = \cos^{-1} y$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $x = \sin(\cos^{-1} y)$.
નિત્યસમ $\sin(\cos^{-1} y) = \sqrt{1 - y^2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $x = \sqrt{1 - y^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $x^2 = 1 - y^2$ મળે છે.