Section Formula Questions in Hindi

(B) मान लीजिए बिंदु $P(1,2,3)$ और $R(4,5,6)$ हैं। बिंदु $Q(3,4,5)$,$PR$ को $\lambda: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$Q = \left( \frac{\lambda(4) + 1(1)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(5) + 1(2)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(6) + 1(3)}{\lambda + 1} \right) = (3,4,5)$
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = 3$
$4\lambda + 1 = 3\lambda + 3$
$\lambda = 2$
अब,हमें वह बिंदु ज्ञात करना है जो $Q(3,4,5)$ और $P(1,2,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $-1: \lambda$ (अर्थात $-1: 2$) के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए अभीष्ट बिंदु $S(x, y, z)$ है। $-1: 2$ के अनुपात के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{-1(1) + 2(3)}{-1 + 2} = \frac{-1 + 6}{1} = 5$
$y = \frac{-1(2) + 2(4)}{-1 + 2} = \frac{-2 + 8}{1} = 6$
$z = \frac{-1(3) + 2(5)}{-1 + 2} = \frac{-3 + 10}{1} = 7$
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5,6,7)$ है।

(D) माना $A = (3, -2, 2)$ और $B = (6, -17, -4)$ हैं। माना $P = (2, 3, 4)$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left(\frac{6m + 3n}{m+n}, \frac{-17m - 2n}{m+n}, \frac{-4m + 2n}{m+n}\right) = (2, 3, 4)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $\frac{6m + 3n}{m+n} = 2 \implies 6m + 3n = 2m + 2n \implies 4m = -n \implies \frac{m}{n} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$P$,$AB$ को $1:4$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$P$ का $A$ और $B$ के सापेक्ष हार्मोनिक संयुग्मी,रेखाखंड $AB$ को $1:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करेगा।
अंतः विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q = \left(\frac{1(6) + 4(3)}{1+4}, \frac{1(-17) + 4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4) + 4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $R$,रेखाखंड $PQ$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए ($x$-निर्देशांक के लिए):
$x = \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}$
$-5 = \frac{\lambda(-9) + 1(-3)}{\lambda + 1}$
$-5(\lambda + 1) = -9\lambda - 3$
$-5\lambda - 5 = -9\lambda - 3$
$-5\lambda + 9\lambda = 5 - 3$
$4\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $\lambda : 1$ का मान $\frac{1}{2} : 1$ है,जो $1 : 2$ के बराबर है।

(C) माना बिंदु $P(-9, 12, -15)$,$A(1, -2, 3)$ और $B(-4, 5, -6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-9 = \frac{-4\lambda + 1}{\lambda + 1} \implies -9\lambda - 9 = -4\lambda + 1 \implies -5\lambda = 10 \implies \lambda = -2$.
अतः,बिंदु $P$,$AB$ को $2 : 1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$AB$ के सापेक्ष $P$ का हार्मोनिक संयुग्मी वह बिंदु $Q$ है जो $AB$ को $2 : 1$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है।
अंतः विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$Q = \left(\frac{2(-4) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-6) + 1(3)}{2+1}\right)$
$Q = \left(\frac{-8 + 1}{3}, \frac{10 - 2}{3}, \frac{-12 + 3}{3}\right)$
$Q = \left(-\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -3\right)$.

(C) और $C$ के सापेक्ष बिंदु $A$ का हार्मोनिक संयुग्मी वह बिंदु $P$ है जो रेखाखंड $BC$ को उसी अनुपात में विभाजित करता है जिसमें $A$ करता है।
सबसे पहले,हम $AB$ और $AC$ की दूरियाँ निकालते हैं:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (2-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{14}$.
$AC = \sqrt{(8-5)^2 + (-2-4)^2 + (-7-2)^2} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}$.
अनुपात $1:3$ है।
हार्मोनिक संयुग्मी $P$,$BC$ को $1:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$P = \left(\frac{1(8) + 3(6)}{1+3}, \frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(-7) + 3(-1)}{1+3}\right) = (\frac{26}{4}, \frac{4}{4}, \frac{-10}{4}) = (\frac{13}{2}, 1, \frac{-5}{2})$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
दिया गया है कि बिंदु $P(-2, 3, 5)$,$A(1, 3, 4)$ और $B(x, y, z)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
आंतरिक विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$
मान रखने पर:
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{1(x) + 3(1)}{1+3}, \frac{1(y) + 3(3)}{1+3}, \frac{1(z) + 3(4)}{1+3} \right)$
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{x+3}{4}, \frac{y+9}{4}, \frac{z+12}{4} \right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$1) \frac{x+3}{4} = -2 \Rightarrow x+3 = -8 \Rightarrow x = -11$
$2) \frac{y+9}{4} = 3 \Rightarrow y+9 = 12 \Rightarrow y = 3$
$3) \frac{z+12}{4} = 5 \Rightarrow z+12 = 20 \Rightarrow z = 8$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(-11, 3, 8)$ हैं।

(A) माना कि $yz$-समतल,बिंदुओं $A(-3, 4, -2)$ और $B(2, 1, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$k: 1$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0 \implies 2k = 3 \implies k = \frac{3}{2}$.
इस प्रकार,अभीष्ट अनुपात $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ है।

(D) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई की गणना की जाती है।
$c = AB = \sqrt{(2-2)^2 + (5-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = 6$.
$b = AC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
$a = BC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{4+49+4} = \sqrt{57}$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $c:b$ के अनुपात में विभाजित करता है,जो $6:3 = 2:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ प्राप्त होते हैं।
अब,$AD = \sqrt{(\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{1}{3}-(-1))^2 + (\frac{7}{3}-1)^2} = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(B) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण की आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $BD/DC = AB/AC$।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$।
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$।
अतः,अनुपात $BD:DC = AB:AC = 3:13$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$D = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ जहाँ $m=3, n=13$,$B(5,3,2)$,और $C(-9,6,-3)$ है।
$x = \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13} = \frac{-27 + 65}{16} = \frac{38}{16}$।
$y = \frac{3(6) + 13(3)}{3+13} = \frac{18 + 39}{16} = \frac{57}{16}$।
$z = \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} = \frac{-9 + 26}{16} = \frac{17}{16}$।
अतः,$D$ के निर्देशांक $\left(\frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16}\right)$ हैं।

(B) माना कि अभीष्ट बिंदु $P(x, y, z)$ है। विभाजन सूत्र के अनुसार,$(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, -2, 1)$,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 3, 11)$,$m = 2$,और $n = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \left(\frac{2(-2) + 3(3)}{2+3}, \frac{2(3) + 3(-2)}{2+3}, \frac{2(11) + 3(1)}{2+3}\right)$
$P = \left(\frac{-4 + 9}{5}, \frac{6 - 6}{5}, \frac{22 + 3}{5}\right)$
$P = \left(\frac{5}{5}, \frac{0}{5}, \frac{25}{5}\right)$
$P = (1, 0, 5)$

(A) कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को संलग्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है,अर्थात $BD:CD = AB:AC$।
सबसे पहले भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(0-4)^2 + (-2-3)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
$AC = \sqrt{(3-4)^2 + (2-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $BD:CD = AB:AC = 5\sqrt{2} : 3\sqrt{2} = 5:3$ है।
बिंदु $D$,$BC$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$D$ के निर्देशांक:
$D = \left(\frac{5(3) + 3(0)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(2)}{5+3}\right) = \left(\frac{15}{8}, \frac{4}{8}, \frac{11}{8}\right)$।

(C) भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई इस प्रकार है:
$AB = \sqrt{(4-3)^2 + (1-2)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{3}$
$AC = \sqrt{(2-3)^2 + (1-2)^2 + (4-(-1))^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, $\angle BAC$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{3}$
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $D(p, q, r)$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{1(2) + 3(4)}{4}, \frac{1(1) + 3(1)}{4}, \frac{1(4) + 3(0)}{4} \right) = \left( \frac{7}{2}, 1, 1 \right)$
अतः, $p = \frac{7}{2}, q = 1, r = 1$.
अंत में, $\sqrt{2p + q + r} = \sqrt{2(\frac{7}{2}) + 1 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(C) दिए गए शीर्ष $A(4,7,8)$, $B(2,3,4)$ और $C(2,5,7)$ हैं।
सबसे पहले, भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$.
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (7-5)^2 + (8-7)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, कोण $A$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB:AC = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए $D$, $BC$ पर एक बिंदु है जो इसे $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए:
$D = \left( \frac{2(2) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(7) + 1(4)}{2+1} \right) = \left( \frac{6}{3}, \frac{13}{3}, \frac{18}{3} \right) = \left( 2, \frac{13}{3}, 6 \right)$.
आंतरिक समद्विभाजक की लंबाई दूरी $AD$ है:
$AD = \sqrt{(4-2)^2 + (7 - \frac{13}{3})^2 + (8-6)^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 34}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{34}$.

(C) चतुष्फलक के शीर्ष $O(0,0,0), A(3,1,4), B(1,3,2)$ और $C(0,4,-2)$ हैं।
चतुष्फलक का केंद्रक $G$ इसके शीर्षों का औसत है: $G = \left(\frac{0+3+1+0}{4}, \frac{0+1+3+4}{4}, \frac{0+4+2-2}{4}\right) = \left(1, 2, 1\right)$.
फलक $ABC$ का केंद्रक $G_1$ शीर्षों $A, B$ और $C$ का औसत है: $G_1 = \left(\frac{3+1+0}{3}, \frac{1+3+4}{3}, \frac{4+2-2}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3}\right)$.
हमें वह बिंदु $P$ ज्ञात करना है जो रेखाखंड $GG_1$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$ जहाँ $m=1, n=2$, $G(1,2,1)$ और $G_1(\frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ है:
$x = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
$y = \frac{1(\frac{8}{3}) + 2(2)}{1+2} = \frac{\frac{8}{3} + 4}{3} = \frac{20}{9}$.
$z = \frac{1(\frac{4}{3}) + 2(1)}{1+2} = \frac{\frac{4}{3} + 2}{3} = \frac{10}{9}$.
अतः, बिंदु $\left(\frac{10}{9}, \frac{20}{9}, \frac{10}{9}\right)$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2, p, 2)$ और $B(p, -2, p)$ हैं। बिंदु $P\left(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5}, \frac{8}{5}\right)$ रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $P$ का $y$-निर्देशांक इस प्रकार है:
$\frac{m(-2) + n(p)}{m+n} = -\frac{1}{5}$
$-10m + 5np = -m - n$
$9m = n(5p + 1) \implies \frac{m}{n} = \frac{5p+1}{9}$
$P$ के $x$-निर्देशांक का उपयोग करते हुए:
$\frac{m(p) + n(2)}{m+n} = \frac{8}{5}$
$5mp + 10n = 8m + 8n$
$m(5p - 8) = -2n \implies \frac{m}{n} = \frac{-2}{5p-8} = \frac{2}{8-5p}$
दोनों अनुपातों की तुलना करने पर:
$\frac{5p+1}{9} = \frac{2}{8-5p}$
$(5p+1)(8-5p) = 18$
$40p - 25p^2 + 8 - 5p = 18$
$25p^2 - 35p + 10 = 0$
$5p^2 - 7p + 2 = 0$
$(5p-2)(p-1) = 0$
चूंकि $p$ एक पूर्णांक है, इसलिए $p = 1$.
तब $\frac{m}{n} = \frac{5(1)+1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
हमें $\frac{3m+n}{3n} = \frac{3(m/n) + 1}{3} = \frac{3(2/3) + 1}{3} = \frac{2+1}{3} = 1$ ज्ञात करना है।
चूंकि $p=1$, इसलिए परिणाम $p$ है।

(B) सबसे पहले, दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-(-2))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (3-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, $\angle BAC$ का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को कोण बनाने वाली भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है:
$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3}$
इस प्रकार, बिंदु $D$, $BC$ को $5:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके, $D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{5(3) + 3(1)}{5+3}, \frac{5(2) + 3(-2)}{5+3}, \frac{5(1) + 3(1)}{5+3} \right) = \left( \frac{18}{8}, \frac{4}{8}, \frac{8}{8} \right) = \left( \frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1 \right)$
अब, $C(3,2,1)$ और $D(\frac{9}{4}, \frac{1}{2}, 1)$ के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करके $CD$ की लंबाई ज्ञात करें:
$CD = \sqrt{(\frac{9}{4} - 3)^2 + (\frac{1}{2} - 2)^2 + (1 - 1)^2}$
$CD = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9 + 36}{16}} = \sqrt{\frac{45}{16}} = \frac{3\sqrt{5}}{4}$

(C) $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$P = \left( \frac{1(2) + 2(1)}{1+2}, \frac{1(3) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(1) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3} \right)$
$BC$ को $-2:3$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $Q$ के निर्देशांक:
$Q = \left( \frac{-2(3) + 3(2)}{-2+3}, \frac{-2(1) + 3(3)}{-2+3}, \frac{-2(2) + 3(1)}{-2+3} \right) = (0, 7, -1)$
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$:
$PQ = \sqrt{\left(0 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(7 - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{7}{3}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{196}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{312}{9}} = \frac{2\sqrt{78}}{3}$

(C) माना कि बिंदु $B$, रेखाखंड $AC$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, $B$ के निर्देशांक हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
दिया गया है कि $B = \left( \frac{33}{5}, \frac{28}{5}, \frac{38}{5} \right)$, इसलिए $x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k + 1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$45k - 33k = 33 - 15$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः, अनुपात $k: 1$ का मान $3: 2$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $A(-1,0,7), B(3,2, t)$ और $C(5, k,-2)$ संरेख हैं, इसलिए $AB$ और $BC$ के दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
$\frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{2-0}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$\frac{4}{2} = \frac{2}{k-2} = \frac{t-7}{-2-t}$
$2 = \frac{2}{k-2} \Rightarrow k-2 = 1 \Rightarrow k = 3$
$2 = \frac{t-7}{-2-t} \Rightarrow -4-2t = t-7 \Rightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$
अतः, बिंदु $B(3,2,1)$ और $C(5,3,-2)$ हैं।
बिंदु $P$ का मान $P(t, k-2t, t+k) = P(1, 3-2(1), 1+3) = P(1, 1, 4)$ है।
मान लीजिए कि $P$ रेखाखंड $BC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$x$-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{\lambda(5) + 1(3)}{\lambda + 1}$
$\lambda + 1 = 5\lambda + 3$
$-2 = 4\lambda$
$\lambda = -\frac{1}{2}$
अतः, अभीष्ट अनुपात $-1: 2$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(4,3,2), B(5,4,6)$ और $C(-1,-1,5)$ हैं।
सबसे पहले, दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(5-4)^2 + (4-3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$AC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-3)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, कोण $A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को उन भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है जो कोण बनाती हैं, जो $AB : AC = 3\sqrt{2} : 5\sqrt{2} = 3 : 5$ है।
मान लीजिए $D$ भुजा $BC$ पर वह बिंदु है जहाँ समद्विभाजक मिलता है। $D$, $BC$ को $3:5$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र $D = \left(\frac{mx_C + nx_B}{m+n}, \frac{my_C + ny_B}{m+n}, \frac{mz_C + nz_B}{m+n}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$x_D = \frac{3(-1) + 5(5)}{3+5} = \frac{22}{8}$.
$y_D = \frac{3(-1) + 5(4)}{3+5} = \frac{17}{8}$.
$z_D = \frac{3(5) + 5(6)}{3+5} = \frac{45}{8}$.
अतः, बिंदु $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{22}{8}, \frac{17}{8}, \frac{45}{8}\right)$ हैं।

(B) $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले $P_1$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$P_1 = \left( \frac{1(9) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(2)}{1+2}, \frac{1(-10) + 2(-4)}{1+2} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{12}{3}, \frac{-18}{3} \right) = (5, 4, -6)$.
$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले $P_2$ के निर्देशांक:
$P_2 = \left( \frac{2(9) + 1(3)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(2)}{2+1}, \frac{2(-10) + 1(-4)}{2+1} \right) = \left( \frac{21}{3}, \frac{18}{3}, \frac{-24}{3} \right) = (7, 6, -8)$.
चूंकि $P(\alpha, \beta, \gamma)$, $P_1 P_2$ का मध्य-बिंदु है ($1:1$ अनुपात):
$P = \left( \frac{5+7}{2}, \frac{4+6}{2}, \frac{-6-8}{2} \right) = (6, 5, -7)$.
अतः, $\alpha = 6$, $\beta = 5$, और $\gamma = -7$.
व्यंजक की गणना करने पर:
$\alpha + 2\beta + 2\gamma = 6 + 2(5) + 2(-7) = 6 + 10 - 14 = 2$.

(D) माना कि $B$, रेखाखंड $\overline{AC}$ को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर, $B$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$B = \left( \frac{k(9) + 1(3)}{k+1}, \frac{k(8) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(10) + 1(4)}{k+1} \right)$
$x$-निर्देशांक की तुलना करने पर:
$\frac{9k + 3}{k+1} = \frac{33}{5}$
$5(9k + 3) = 33(k + 1)$
$45k + 15 = 33k + 33$
$12k = 18$
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
अतः, अनुपात $k: 1$ का मान $\frac{3}{2}: 1$ अर्थात $3: 2$ है।

(B) माना कि $P$, बिंदुओं $Q(2,2,1)$ और $R(5,1,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर, $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{5m+2}{m+1}, \frac{m+2}{m+1}, \frac{-2m+1}{m+1} \right)$.
दिया गया है कि $P$ का $x$-निर्देशांक $4$ है, इसलिए:
$\frac{5m+2}{m+1} = 4$.
दोनों पक्षों को $(m+1)$ से गुणा करने पर:
$5m + 2 = 4(m + 1) \Rightarrow 5m + 2 = 4m + 4$.
$m$ के लिए हल करने पर, हमें $m = 2$ प्राप्त होता है।
अब, $z$-निर्देशांक के व्यंजक में $m = 2$ रखने पर:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
अतः, $P$ का $z$-निर्देशांक $-1$ है।

(A) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ है।
मान लीजिए कि $yz$-समतल $A(-3, 4, -2)$ और $B(2, 1, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए, विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{k(2) + 1(-3)}{k+1}, \frac{k(1) + 1(4)}{k+1}, \frac{k(3) + 1(-2)}{k+1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$, $yz$-समतल पर स्थित है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{2k - 3}{k+1} = 0$.
$2k - 3 = 0
\implies 2k = 3
\implies k = \frac{3}{2}$.
अतः, अनुपात $k: 1 = \frac{3}{2}: 1 = 3: 2$ है।

(D) मान लीजिए चतुष्फलक के शीर्ष $A(1,2,3), B(2,-3,1), C(3,2,-1)$ और $D(a, b, c)$ हैं।
चूंकि $G\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ चतुष्फलक $ABCD$ का केंद्रक है, हमारे पास है:
$G = \frac{A+B+C+D}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(1+2+3+a, 2-3+2+b, 3+1-1+c)}{4}$
$\left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right) = \frac{(6+a, 1+b, 3+c)}{4}$
$4$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$(10, 6, 9) = (6+a, 1+b, 3+c)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$6+a = 10 \Rightarrow a = 4$
$1+b = 6 \Rightarrow b = 5$
$3+c = 9 \Rightarrow c = 6$
अतः, $D = (4, 5, 6)$ है।
अब, विभाजन सूत्र का उपयोग करके $GD$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $P$ ज्ञात करते हैं:
$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}, \frac{m z_2 + n z_1}{m+n}\right)$
यहाँ $m=1, n=2$, $G = \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ और $D = (4, 5, 6)$ है।
$x = \frac{1(4) + 2(5/2)}{1+2} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{1(5) + 2(3/2)}{1+2} = \frac{5+3}{3} = \frac{8}{3}$
$z = \frac{1(6) + 2(9/4)}{1+2} = \frac{6+9/2}{3} = \frac{21/2}{3} = \frac{7}{2}$
इसलिए, अभीष्ट बिंदु $\left(3, \frac{8}{3}, \frac{7}{2}\right)$ है।

(C) माना कि $XOZ$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, 1)$ और $B(6, 7, 1)$ को मिलाने वाली रेखा को $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर, विभाजन बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$\left(\frac{m(6)+n(2)}{m+n}, \frac{m(7)+n(3)}{m+n}, \frac{m(1)+n(1)}{m+n}\right)$
चूंकि यह बिंदु $XOZ$-समतल पर स्थित है, इसलिए इसका $y$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
अतः, $\frac{7m + 3n}{m+n} = 0$
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$
इस प्रकार, अनुपात $-3: 7$ है।

(B) एक चतुष्फलक जिसके शीर्ष $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$, और $(x_4, y_4, z_4)$ हैं, का केंद्रक $G$ $(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $O(0, 0, 0)$, $A(a, 2, 3)$, $B(1, b, 2)$, $C(2, 1, c)$ और केंद्रक $G(1, 2, -1)$।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{0+a+1+2}{4} = 1 \implies a+3 = 4 \implies a = 1$।
$\frac{0+2+b+1}{4} = 2 \implies b+3 = 8 \implies b = 5$।
$\frac{0+3+2+c}{4} = -1 \implies c+5 = -4 \implies c = -9$।
अतः, $P = (1, 5, -9)$।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P$ की दूरी $\sqrt{1^2 + 5^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 25 + 81} = \sqrt{107}$ इकाई है।