Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Hindi

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $g' = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $g' = 9 m s^{-2}$ और $h = R/20$,इसलिए:
$9 = g(1 - 2(R/20)/R) = g(1 - 1/10) = g(9/10)$.
अतः,$g = 10 m s^{-2}$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण में परिवर्तन $g'' = g(1 - d/R)$ होता है।
समान गहराई $d = h = R/20$ के लिए:
$g'' = 10(1 - (R/20)/R) = 10(1 - 1/20) = 10(19/20) = 9.5 m s^{-2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण $40 \%$ कम हो जाता है,इसलिए $d$ गहराई पर इसका मान $g_d = g - 0.40g = 0.60g$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $0.60g = g(1 - \frac{d}{R})$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $0.60 = 1 - \frac{d}{R}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{d}{R} = 1 - 0.60 = 0.40$.
अतः,$d = 0.40 \times R$.
चूँकि $R = 6400 \ km$ दिया गया है,इसलिए $d = 0.40 \times 6400 \ km = 2560 \ km$ प्राप्त होता है।

(A) ऊंचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$h = 1600 \ km$ और $R = 6400 \ km$ लेने पर,$g_h = g(1 - 2 \times 1600 / 6400) = g(1 - 0.5) = 0.5g$।
गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_d = 0.5 g_h = 0.5 \times 0.5g = 0.25g$।
अतः,$0.25g = g(1 - d/R)$।
$0.25 = 1 - d/R \Rightarrow d/R = 0.75$।
$d = 0.75 \times 6400 \ km = 4800 \ km = 4.8 \times 10^6 \ m$।

(C) अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ है,जहाँ $\omega$ पृथ्वी के घूर्णन का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^\circ$ होता है। इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $g' = g - \omega^2 R \cos^2(90^\circ) = g - 0 = g$ प्राप्त होता है।
चूंकि ध्रुवों पर $g'$ का मान कोणीय वेग $\omega$ से स्वतंत्र है,इसलिए यदि पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमना बंद कर दे तो भी शरीर का वजन $(w = mg')$ नहीं बदलेगा।
अतः,ध्रुवों पर हमारे शरीर के वजन में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(A) दिया गया है: पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$ $= 6400 \,km$,मंगल की त्रिज्या $(R_m)$ $= 3200 \,km$.
पृथ्वी का द्रव्यमान $(M_e)$ $= 10 M_m$,जहाँ $M_m$ मंगल का द्रव्यमान है।
किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मंगल पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m)$ और पृथ्वी पर $(g_e)$ का अनुपात:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{G M_m / R_m^2}{G M_e / R_e^2} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left(\frac{6400}{3200}\right)^2 = \frac{1}{10} \times (2)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
वस्तु का भार $W = mg$ होता है।
पृथ्वी पर दिया गया भार $W_e = m g_e = 200 \,N$.
मंगल पर भार $W_m = m g_m = m \left(\frac{2}{5} g_e\right) = \frac{2}{5} W_e$.
$W_m = \frac{2}{5} \times 200 \,N = 80 \,N$.

(B) दिया गया है कि अक्षांश कोण $\lambda = 45^{\circ}$ है।
अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g_{\lambda} = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
इस बिंदु पर $m$ द्रव्यमान वाले व्यक्ति का आभासी भार $w = m g_{\lambda} = m(g - \omega^2 R \cos^2 \lambda)$ है।
प्रश्न के अनुसार,व्यक्ति भारहीनता महसूस करता है,इसलिए $w = 0$ है।
अतः,$m(g - \omega^2 R \cos^2 45^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि $m \neq 0$,हमें $g - \omega^2 R (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $g - \frac{\omega^2 R}{2} = 0$ हो जाता है।
इससे $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ या $\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ प्राप्त होता है।
दिन की अवधि (समय अवधि $T$) $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा दी जाती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें $T = \frac{2\pi}{\sqrt{2g/R}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{2g}} = \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g' = g \left( 1 + \frac{h}{R_e} \right)^{-2}$
$h \ll R_e$ के लिए द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार अनुमानित कर सकते हैं:
$g' \approx g \left( 1 - \frac{2h}{R_e} \right)$
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे ऊंचाई $h$ बढ़ती है,पद $\frac{2h}{R_e}$ बढ़ता है,जिसके कारण $g'$ का मान घट जाता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण ऊंचाई के साथ घटता है।

(B) मान लीजिए कि $g$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
प्रश्न के अनुसार, $g_h = \frac{g}{2}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g}{2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R_e})^2}$
$(1 + \frac{h}{R_e})^2 = 2$
$1 + \frac{h}{R_e} = \sqrt{2}$
$h = (\sqrt{2} - 1) R_e$
$R_e \approx 6400 \,km$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर:
$h = (1.414 - 1) \times 6400 \,km$
$h = 0.414 \times 6400 \,km$
$h = 2649.6 \,km$
दिए गए विकल्पों के अनुसार, ऊँचाई लगभग $2625 \,km$ है।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e})$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$g_h = g_d$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर:
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-\frac{2h}{R_e} = -\frac{d}{R_e}$
$-R_e$ से गुणा करने पर:
$2h = d$ या $d = 2h$।

(A) पृथ्वी की सतह पर अक्षांश $\lambda$ पर गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e \cos^2 \lambda$
जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है,$\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है,और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
ध्रुवों पर,अक्षांश $\lambda = 90^{\circ}$ होता है।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$g^{\prime} = g - \omega^2 R_e (0)^2 = g$
भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$,जिससे $g^{\prime} = g - \omega^2 R_e$ प्राप्त होता है,जो कि न्यूनतम मान है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का मान ध्रुवों पर अधिकतम होता है।

(C) पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g_d = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
चूँकि भार $w = mg$ होता है,इसलिए $d$ गहराई पर नया भार $w' = m g_d = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2} = \frac{w}{2}$ होगा।
अतः,पृथ्वी के केंद्र तक की आधी गहराई पर पिंड का भार $\frac{w}{2}$ होगा।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी $(r < R_e)$ पर $m$ द्रव्यमान के कण पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMmr}{R_e^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $F \propto -r$,बल केंद्र से विस्थापन के समानुपाती एक प्रत्यानयन बल है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बताता है,जो स्वयं एक सत्य कथन है $(F \propto 1/r^2)$।
हालाँकि,पृथ्वी के अंदर की गति एक गोले के भीतर प्रभावी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा निर्धारित होती है,जहाँ बल $r$ के समानुपाती होता है,न कि $1/r^2$ के। इसलिए,कारण $(R)$,कथन $(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ शून्य होता है।
चूंकि किसी वस्तु का भार $w$ उसके द्रव्यमान $m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ का गुणनफल होता है, इसलिए $w = m \times g$।
दिए गए मानों को रखने पर, $w = 10 \,kg \times 0 \,m/s^2 = 0 \,N$।
अतः, पृथ्वी के केंद्र पर बिंदु द्रव्यमान का भार शून्य होता है।

(C) पृथ्वी के घूर्णन के कारण भूमध्य रेखा पर आभासी गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime}$ का सूत्र है:
$g^{\prime} = g_0 - \omega^2 R$
दिया गया है कि आभासी $g^{\prime}$ अपने मूल मान $g_0$ का $(1/6)$ है,इसलिए:
$g^{\prime} = \frac{g_0}{6}$
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{g_0}{6} = g_0 - \omega^2 R$
$\omega^2 R$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 R = g_0 - \frac{g_0}{6} = \frac{5}{6} g_0$
$\omega = \sqrt{\frac{5 g_0}{6 R}}$
$g_0 = 9.8 \ m/s^2$ और $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ के मान रखने पर:
$\omega = \sqrt{\frac{5 \times 9.8}{6 \times 6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{49}{38.4 \times 10^6}} = \sqrt{1.276 \times 10^{-6}}$
$\omega \approx 1.13 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$
अतः,कोणीय गति लगभग $1.14 \times 10^{-3} \ rad \ s^{-1}$ है।

(A) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी के लिए,$g_e = \frac{GM}{R^2}$ है।
नए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = 100M$ और त्रिज्या $R' = 10R$ है।
इसलिए,नए ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{G(100M)}{(10R)^2} = \frac{100GM}{100R^2} = \frac{GM}{R^2} = g_e$ होगा।
चूँकि ऊँचाई $h$ समान है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ भी समान है,इसलिए जमीन तक पहुँचने में लगा समय $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
चूँकि $h$ और $g$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए लगा समय $t$ समान ही रहेगा।

(C) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान के पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल $F_0 = \frac{G M_e m}{R^2}$ होता है।
$h$ ऊँचाई पर बल $F_h = \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$ होता है।
वजन में त्रुटि बलों का अंतर है: $\Delta F = F_0 - F_h = \frac{G M_e m}{R^2} - \frac{G M_e m}{(R+h)^2}$.
$\Delta F = \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 + \frac{h}{R})^{-2} \right]$.
द्विपद विस्तार $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करते हुए,जब $h \ll R$ हो,तो $(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta F \approx \frac{G M_e m}{R^2} \left[ 1 - (1 - \frac{2h}{R}) \right] = \frac{G M_e m}{R^2} \left( \frac{2h}{R} \right) = \frac{2 G M_e m h}{R^3}$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M_e}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ है,इसलिए $M_e = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta F = \frac{2 G m h}{R^3} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{8}{3} \pi \rho G m h$.

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g / (1 + \frac{h}{R})^2}} = T(1 + \frac{h}{R})$ होता है।
दिया गया है कि $T' = 2T$, इसलिए $2T = T(1 + \frac{h}{R})$.
$2 = 1 + \frac{h}{R} \Rightarrow \frac{h}{R} = 1$.
अतः, $h = R = 6400 \text{ km}$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$g'$ पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण है,जो $g' = g (\frac{R_E}{R_E + h} )^2$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g'}} \propto \frac{R_E + h}{R_E}$ है।
ऊँचाई $h_1 = 2 R_E$ पर,आवर्तकाल $T_1 \propto \frac{R_E + 2 R_E}{R_E} = \frac{3 R_E}{R_E} = 3$ है।
ऊँचाई $h_2 = 3 R_E$ पर,आवर्तकाल $T_2 \propto \frac{R_E + 3 R_E}{R_E} = \frac{4 R_E}{R_E} = 4$ है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{4}$ या $3: 4$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है $R = 6400 \ km$।
$h_1 = 1280 \ km$ के लिए:
$g_1 = g \left( \frac{6400}{6400 + 1280} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{7680} \right)^2 = g \left( \frac{5}{6} \right)^2 = \frac{25}{36} g$।
$h_2 = 3200 \ km$ के लिए:
$g_2 = g \left( \frac{6400}{6400 + 3200} \right)^2 = g \left( \frac{6400}{9600} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} g$।
अब,अनुपात $\frac{g_1}{g_2}$ है:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{25/36 g}{4/9 g} = \frac{25}{36} \times \frac{9}{4} = \frac{25}{16}$।
अतः,अनुपात $25:16$ है।

(D) $h$ ऊंचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g_h$ केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए ऊंचाई $h$ बढ़ने पर $g_h$ घटता है।
सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जो पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है।
पृथ्वी की सतह के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए एक भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल ठीक $24 \ h$ होना चाहिए।
$d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R}) = g(\frac{R-d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे गहराई $d$ बढ़ती है,पद $(\frac{R-d}{R})$ घटता है,इसलिए गहराई बढ़ने के साथ $g_d$ घटता है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से दूरी $(r)$ के साथ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ में परिवर्तन इस प्रकार है:
$1$. पृथ्वी के अंदर $(r < R_e)$: गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM r}{R_e^3}$ होता है। चूंकि $G, M, R_e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $g' \propto r$ होता है। यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$2$. पृथ्वी के बाहर $(r \geq R_e)$: गुरुत्वीय त्वरण $g' = \frac{GM}{r^2}$ होता है। अतः,$g' \propto \frac{1}{r^2}$ होता है। यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
सतह पर $(r = R_e)$,$g$ का मान अधिकतम होता है। इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ $r = R_e$ तक एक रैखिक वृद्धि और उसके बाद व्युत्क्रम-वर्ग नियम के अनुसार गिरावट दिखाता है। इसलिए,सही ग्राफ वह है जो $R_e$ पर शिखर तक रैखिक वृद्धि और उसके बाद एक वक्र दिखाता है।

(C) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,इसलिए $g \propto \frac{1}{R^2}$ है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर,हमें $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि त्रिज्या $1 \%$ कम हो जाती है,इसलिए $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ प्राप्त होता है।
अतः,$g$ में प्रतिशत परिवर्तन $0.02 \times 100 = 2 \%$ है।
इस प्रकार,गुरुत्वीय त्वरण में $2 \%$ की वृद्धि होगी।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण समान हैं,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$g(1 - \frac{2h}{R}) = g(1 - \frac{d}{R})$
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने पर:
$1 - \frac{2h}{R} = 1 - \frac{d}{R}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$-\frac{2h}{R} = -\frac{d}{R}$
$-R$ से गुणा करने पर:
$2h = d$
अतः,ऊँचाई और गहराई का अनुपात है:
$\frac{h}{d} = \frac{1}{2} = 0.5$

(D) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र है: $g = \frac{4}{3} \pi \rho G R$, जहाँ $\rho$ औसत घनत्व है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $g \propto \rho R$.
ग्रह $(1)$ और पृथ्वी $(2)$ के लिए दिया गया है:
त्रिज्याओं का अनुपात: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$
घनत्व का अनुपात: $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{1}$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण: $g_2 = 9.8 \,ms^{-2}$.
समानुपातिकता $g_1 / g_2 = (\rho_1 / \rho_2) \times (R_1 / R_2)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{4}{1} \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः, $g_1 = 2 \times g_2 = 2 \times 9.8 \,ms^{-2} = 19.6 \,ms^{-2}$.

(D) पृथ्वी की आंतरिक संरचना उन परतों से बनी है जिनमें केंद्र की ओर जाने पर घनत्व और दबाव बढ़ता जाता है।
पृथ्वी के केंद्र (आंतरिक कोर) में, ऊपर की परतों द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण संपीड़न के कारण दबाव अधिकतम होता है।
तीव्र दबाव और रेडियोधर्मी क्षय के साथ-साथ ग्रह के निर्माण से बची हुई गर्मी के कारण, तापमान भी केंद्र में सबसे अधिक होता है।
इसलिए, पृथ्वी का केंद्र तापमान, घनत्व और दबाव के लिए उच्चतम मान प्रदर्शित करता है।

(B) किसी पिंड का द्रव्यमान उसमें निहित पदार्थ की मात्रा के रूप में परिभाषित होता है और यह वस्तु का एक आंतरिक गुण है।
ब्रह्मांड में पिंड का स्थान चाहे जो भी हो, चाहे वह पृथ्वी की सतह पर हो, सतह से $d$ गहराई पर हो, या सतह से $h$ ऊंचाई पर हो, द्रव्यमान हमेशा स्थिर रहता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ में परिवर्तन के कारण पिंड का भार तो बदलता है, लेकिन पिंड का द्रव्यमान नहीं बदलता है।
अतः, द्रव्यमान में परिवर्तन शून्य है और यह स्थिर रहता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र है: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$।
दिया गया है कि $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण सतह पर इसके मान का $1 \%$ है, इसलिए $g' = \frac{1}{100} g$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{g}{100} = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
$\frac{1}{100} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{10} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-1}$
$1 + \frac{h}{R} = 10$
$\frac{h}{R} = 9$
$h = 9 R$।
अतः, ऊँचाई $9 R$ है।

(B) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
हम $d = 16 \text{ km}$ गहराई से $h = 16 \text{ km}$ ऊँचाई पर जा रहे हैं।
$g$ में परिवर्तन $\Delta g = g_h - g_d = g(1 - \frac{2h}{R}) - g(1 - \frac{d}{R})$ है।
मान रखने पर: $\Delta g = g(1 - \frac{2 \times 16}{6400}) - g(1 - \frac{16}{6400}) = g(1 - \frac{32}{6400} - 1 + \frac{16}{6400}) = g(-\frac{16}{6400}) = -\frac{g}{400}$।
प्रतिशत परिवर्तन $\alpha = |\frac{\Delta g}{g}| \times 100 = |-\frac{1}{400}| \times 100 = 0.25 \%$ होता है।
अतः, $\alpha$ का मान $0.25$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र इस प्रकार है: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दिया गया है कि $g' = g/9$, इसलिए हम समीकरण में मान रखते हैं:
$\frac{g}{9} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{9} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{R}{R+h}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$R + h = 3R$.
अतः, $h = 3R - R = 2R$.

(C) कथन $I$ सही है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ पृथ्वी की सतह पर अधिकतम होता है और ऊँचाई $(h)$ तथा गहराई $(d)$ दोनों के साथ घटता है।
कथन $II$ गलत है। $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ (जब $h \ll R$) द्वारा और $d$ गहराई पर $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $h = d$ है, तो $g_h = g(1 - 2h/R)$ और $g_d = g(1 - h/R)$ होगा।
स्पष्ट रूप से, $h = d$ के लिए $g_h \neq g_d$ होता है (जहाँ $h, d > 0$)।
अतः, कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान $g' = g - \omega^2 R$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega$ पृथ्वी का कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर भार अपने प्रारंभिक मान का $(3/5)$ गुना हो जाता है, इसलिए $g' = (3/5)g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(3/5)g = g - \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$ प्राप्त होता है।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = (2g)/(5R)$।
अतः, $\omega = \sqrt{(2g)/(5R)}$ या $(2g/5R)^{1/2}$।

(B) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g' = g - \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $g$ ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण है, $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दिया गया है कि भूमध्य रेखा पर वजन वर्तमान वजन का $3/5$ हो जाता है, इसलिए $g' = (3/5)g$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(3/5)g = g - \omega^2 R$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\omega^2 R = g - (3/5)g = (2/5)g$।
$\omega$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = 2g / (5R)$, जिससे $\omega = \sqrt{2g/5R}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर, $T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$, जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह से $h = 2R$ की ऊँचाई पर, गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का मान $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = 2R$ रखने पर, हमें $g_h = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = g \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{g}{9}$ प्राप्त होता है।
ऊँचाई $h$ पर आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g_h} = 2\pi \sqrt{l/(g/9)} = 2\pi \sqrt{9l/g} = 3 \times 2\pi \sqrt{l/g} = 3T_1$ होता है।
अतः, अनुपात $T_1 : T_2 = T_1 : 3T_1 = 1:3$ है।

(A) सेकंड लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \text{ s}$ होता है।
लोलक की लंबाई का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ है, जिसका अर्थ है $l = g(T/2\pi)^2$।
पृथ्वी की सतह पर, $l_s = g(T/2\pi)^2$।
'$h$' ऊंचाई पर, $l_h = g_h(T/2\pi)^2$, जहाँ $g_h$ ऊंचाई '$h$' पर गुरुत्वीय त्वरण है।
अनुपात लेने पर, $l_h/l_s = g_h/g = (R/(R+h))^2$, जहाँ '$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $\sqrt{l_h/l_s} = R/(R+h)$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(R+h)\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$।
$R\sqrt{l_h} + h\sqrt{l_h} = R\sqrt{l_s}$।
$h\sqrt{l_h} = R(\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h})$।
अतः, $R = \frac{h\sqrt{l_h}}{\sqrt{l_s} - \sqrt{l_h}}$।

(D) पृथ्वी की सतह से '$h$' ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_h = g(1 - 2h/R)$ होता है, जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह से '$d$' गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g_d = g(1 - d/R)$ होता है।
प्रश्न के अनुसार, $d = 90 \text{ km}$ गहराई पर $g_h = g_d$ है।
अतः, $g(1 - 2h/R) = g(1 - d/R)$।
दोनों पक्षों से $g$ को हटाने और सरल करने पर:
$1 - 2h/R = 1 - d/R$
$-2h/R = -d/R$
$2h = d$
$h = d/2$
चूँकि $d = 90 \text{ km}$ दिया गया है, इसलिए:
$h = 90 / 2 = 45 \text{ km}$।

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
वस्तु का भार $W = mg$ होता है, इसलिए $h$ ऊँचाई पर भार $W_h = mg_h = mg(1 - 2h/R)$ होगा।
भार में कमी $\Delta W = W - W_h = mg - mg(1 - 2h/R) = mg(2h/R)$ है।
भार में प्रतिशत कमी $(\Delta W / W) \times 100 = (2h/R) \times 100$ है।
यहाँ $h = 48 \text{ km}$ और $R = 6400 \text{ km}$ दिया गया है।
प्रतिशत कमी $= (2 \times 48 / 6400) \times 100 = (96 / 6400) \times 100 = 96 / 64 = 1.5\%$.

(A) $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ और $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ होता है।
चूँकि दोनों ही स्थितियों में गुरुत्वीय त्वरण $g$ से कम होता है, इसलिए विकल्प $A$ सही है।
विकल्प $B$ के लिए, $g_h = g_d$ होने हेतु $2h = d$ होना आवश्यक है, अतः $h=d$ गलत है।
विकल्प $C$ के लिए, भिन्नात्मक परिवर्तन $\Delta g/g = 2h/R = 2(640)/6400 = 0.2 = 20\%$ है, इसलिए $10\%$ गलत है।
विकल्प $D$ के लिए, पृथ्वी के घूर्णन के कारण ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण प्रभावित नहीं होता है क्योंकि ध्रुवों पर अपकेंद्री बल शून्य होता है ($r=0$ होने के कारण)। अतः विकल्प $D$ गलत है।

(A) गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
अतः, $g_p$ और $g_e$ का अनुपात होगा:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p}{R_e} \times \frac{\rho_p}{\rho_e}$.
दिया गया है कि $\frac{R_p}{R_e} = 2.5$ और $\frac{\rho_p}{\rho_e} = 3$, इसलिए:
$\frac{g_p}{g_e} = 2.5 \times 3 = 7.5$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर, $g = \frac{GM}{R^2}$, इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{LR^2}{GM}}$.
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ होता है।
$h = R$ रखने पर, $g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ प्राप्त होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2T$ है।
$T' = 2T$ की तुलना $T' = xT$ से करने पर, $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
चूंकि $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$, हम लिख सकते हैं $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
पृथ्वी के लिए, $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$।
नए ग्रह के लिए, $g' = \frac{4}{3} \pi G \rho (2R) = 2 \times (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = 2g$।
अतः, $g' = 2g$।