SHM of Spring Mass System Questions in Gujarati

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{total} = \Delta KE$
દળ $x = -a$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને $x = b$ પર ક્ષણિક અટકે છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta KE = 0 - 0 = 0$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = \int_{-a}^{b} -Kx \, dx = -K \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-a}^{b} = -\frac{K}{2}(b^2 - a^2) = \frac{K}{2}(a^2 - b^2)$ છે.
ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_f = -\mu mg(a + b)$ છે,કારણ કે કુલ કાપેલું અંતર $(a + b)$ છે અને ઘર્ષણ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
$W_{total} = W_s + W_f = 0$ લેતા:
$\frac{K}{2}(a^2 - b^2) - \mu mg(a + b) = 0$
$\frac{K}{2}(a - b)(a + b) = \mu mg(a + b)$
$a + b \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $(a + b)$ વડે ભાગતા:
$\frac{K}{2}(a - b) = \mu mg$
$(a - b) = \frac{2 \mu mg}{K}$
આમ,કંપવિસ્તારમાં થતો ઘટાડો $\frac{2 \mu mg}{K}$ છે.

(B) જ્યારે બ્લોકને શિરોલંબ નીચેની તરફ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્ય સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે,જે ઉપરની તરફ $F_1 = kx$ જેટલું પુનઃસ્થાપક બળ આપે છે.
બે બાજુની સ્પ્રિંગ્સ,જે સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તે પણ $\Delta l = x \sin 45^{\circ} = \frac{x}{\sqrt{2}}$ જેટલી ખેંચાશે.
દરેક બાજુની સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ $F_s = k \Delta l = \frac{kx}{\sqrt{2}}$ છે.
દરેક બાજુની સ્પ્રિંગમાંથી લાગતા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_v = F_s \sin 45^{\circ} = \left( \frac{kx}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{kx}{2}$ છે.
બ્લોક પર લાગતું કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net}$ એ ત્રણેય સ્પ્રિંગ્સ દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F_{net} = F_1 + 2 \times F_v = kx + 2 \times \left( \frac{kx}{2} \right) = kx + kx = 2kx$.
$F_{net} = ma$ હોવાથી,આપણને $ma = 2kx$ મળે છે,જે $a = \left( \frac{2k}{m} \right) x$ આપે છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{2k}{m}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ મળે છે.

(B) આપેલ આકૃતિમાં,બે સ્પ્રિંગ બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. જ્યારે જંકશન પર બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ સ્થાનાંતર $x$ એ બે સ્પ્રિંગના વ્યક્તિગત સ્થાનાંતર $x_1$ અને $x_2$ નો સરવાળો છે.
$x = x_1 + x_2$
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F$ સમાન હોય છે.
$F = K_1x_1 = K_2x_2 = K_{eff}x$
તેથી,$x_1 = F / K_1$ અને $x_2 = F / K_2$.
આ કિંમતોને સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F / K_{eff} = F / K_1 + F / K_2$
$1 / K_{eff} = 1 / K_1 + 1 / K_2$
$1 / K_{eff} = (K_1 + K_2) / (K_1K_2)$
$K_{eff} = (K_1K_2) / (K_1 + K_2)$

(B) $SHM$ માં ગતિ કરતી પ્લેટ પર મૂકેલી વસ્તુ સંપર્ક ગુમાવે નહીં તે માટે,પ્લેટનો મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$SHM$ માં પ્લેટનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \alpha \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે,શરત $a_{max} \le g$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \omega^2 \le g$.
લઘુત્તમ આવર્તકાળ $T$ માટે,આપણે સીમાંત કિસ્સો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $\alpha \omega^2 = g$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $\alpha (\frac{2\pi}{T})^2 = g$ મળે છે.
$T$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{4\pi^2 \alpha}{T^2} = g$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T^2 = \frac{4\pi^2 \alpha}{g}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{\alpha}{g}}$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ $A$ માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} \implies k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$.
સ્પ્રિંગ $B$ માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} \implies k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$ દ્વારા મળે છે.
$k, k_1$ અને $k_2$ ના પદોને સમાંતર જોડાણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$.
બંને બાજુ $4\pi^2 m$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે તંત્રનું કુલ દળ $M = 2m$ છે. સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ બંને બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે: $k x_{eq} = 2mg$,તેથી $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$.
બ્લોક સંપર્કમાં રહે તે માટે,તેમની વચ્ચેનું લંબબળ $N$ શૂન્ય અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ. $m$ દળના ઉપરના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ $mg - N = ma$ છે,જ્યાં $a$ એ નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે. આમ,$N = m(g - a)$.
બ્લોક સંપર્કમાં રહે તે માટે,આપણે $N \ge 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $a \le g$. સરળ આવર્ત ગતિમાં તંત્રનો મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}$.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ,પ્રવેગ નીચેની તરફ $\omega^2 A$ ના મૂલ્ય સાથે હોય છે. આ બિંદુએ $a \le g$ ની શરત જળવાવી જોઈએ. જો પ્રવેગ $g$ કરતા વધી જાય તો બ્લોક સંપર્ક ગુમાવશે. મર્યાદિત કિસ્સો $a = g$ છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્પ્રિંગ બળ શૂન્ય હોય (સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ પર).
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ $x_{eq} = \frac{2mg}{k}$ જેટલી દબાયેલી હોય છે. જો કંપવિસ્તાર $A$ એ $x_{eq}$ જેટલો હોય,તો બ્લોક સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ સ્પ્રિંગની કુદરતી લંબાઈ સુધી પહોંચે છે. આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $A = \frac{2mg}{k}$ છે.

(B) આપેલ દળ $(m) = 5\; kg$ અને આવર્તકાળ $(T) = 2\pi\; s$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2\pi = 2\pi \sqrt{\frac{5}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \frac{5}{k}$,જેનાથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5\; N/m$ મળે છે.
જ્યારે પદાર્થ લટકાવેલ હોય,ત્યારે વજન $mg$ ને કારણે સ્પ્રિંગમાં $x$ જેટલું વિસ્તરણ થાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$mg = kx$.
તેથી,લંબાઈમાં ઘટાડો $x = \frac{mg}{k}$.
$m = 5\; kg$ અને $k = 5\; N/m$ મૂકતા: $x = \frac{5g}{5} = g\; m$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{4\pi^2 m}{t^2}$.
બે સ્પ્રિંગ માટે વ્યક્તિગત રીતે,સ્પ્રિંગ અચળાંકો $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{t_1^2}$ અને $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}$ છે.
જ્યારે સ્પ્રિંગને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k_1 + k_2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ છે.
$k_1$ અને $k_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{4\pi^2 m}{t_1^2} + \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4\pi^2 m (\frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2})}}$.
$t = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{t_2^2 + t_1^2}{t_1^2 t_2^2}}} = \frac{t_1 t_2}{\sqrt{t_1^2 + t_2^2}}$.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2}kA^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $k = m\omega^2$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $k = m\omega^2$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{1}{2}(m\omega^2)A^2$ મળે છે.
જ્યારે દળ $m$ ને $2m$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ બદલાતો નથી કારણ કે સ્પ્રિંગ પોતે બદલાતી નથી.
કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2}kA^2$ માત્ર સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ અને કંપવિસ્તાર $A$ પર આધાર રાખે છે,અને $k$ તથા $A$ બંને સમાન રહેતા હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ સમાન રહેશે.

(B) $1$. આપેલી આકૃતિમાં,$k_1$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે. આ બે સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_p = k_1 + k_1 = 2k_1$ થાય.
$2$. આ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ $k_p$ એ $k_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણમાં રહેલી બે સ્પ્રિંગ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_p} + \frac{1}{k_2}$ છે.
$4$. $k_p = 2k_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2}$ મળે છે.
$5$. તેથી,$k_{eq} = \left[ \frac{1}{2k_1} + \frac{1}{k_2} \right]^{-1}$ થાય.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ પ્રણાલીનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
શરૂઆતમાં,કુલ દળ $M_1 = 400\,g + 500\,g + 700\,g = 1600\,g$ છે. જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ $700\,g$ દળ દૂર કર્યા પછી આવર્તકાળ $3\,s$ છે.
ધારો કે બાકી રહેલું દળ $m_1 = 400\,g + 500\,g = 900\,g$ છે. તેથી,$m_1 = 900\,g$ માટે $T_1 = 3\,s$ છે.
જ્યારે $500\,g$ દળ પણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું દળ $m_2 = 400\,g$ થાય છે.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{3} = \sqrt{\frac{400}{900}}$
$\frac{T_2}{3} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$T_2 = 2\,s$.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,$t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_1}} \implies t_1^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_1} \implies k_1 = \frac{4\pi^2 M}{t_1^2}$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,$t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_2}} \implies t_2^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_2} \implies k_2 = \frac{4\pi^2 M}{t_2^2}$.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} = \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $k_{eq} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
શ્રેણી જોડાણ માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k_{eq}}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{M}{k_{eq}} = 4\pi^2 M \left( \frac{k_1 + k_2}{k_1 k_2} \right) = 4\pi^2 M \left( \frac{1}{k_2} + \frac{1}{k_1} \right)$.
$k_1$ અને $k_2$ ના મૂલ્યો મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 M \left( \frac{t_2^2}{4\pi^2 M} + \frac{t_1^2}{4\pi^2 M} \right) = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$
જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $m$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આપેલ છે:
$K = 1200\, Nm^{-1}$
$m = 3\, kg$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{1200}{3}}$
$\omega = \sqrt{400}$
$\omega = 20\, rad/s$
આમ,દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $20\, rad/s$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_1 = m_2 = m)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = \sqrt{\frac{k_1}{m}}$ અને $\omega_2 = \sqrt{\frac{k_2}{m}}$ થશે.
મહત્તમ વેગ સમાન હોવાથી,$A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ થાય.
કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$ મળે.
$\omega_1$ અને $\omega_2$ ના સૂત્રો મૂકતા,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{k_2/m}}{\sqrt{k_1/m}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ મળે.
આમ,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ છે.

(A) જ્યારે $m$ દળને સ્પ્રિંગ પર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ $F = kx$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરે છે. તેથી,$kx = mg$,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{mg}{x}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $k = \frac{mg}{x}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{mg/x}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$ મળે છે.

(B) આપેલ આકૃતિમાં,$K_1$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ બે સમાંતર સ્પ્રિંગોનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_p = K_1 + K_1 = 2K_1$ થાય.
હવે,આ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ $K_p$ એ $K_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે.
શ્રેણી જોડાણમાં રહેલી બે સ્પ્રિંગો માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_p} + \frac{1}{K_2}$ છે.
$K_p = 2K_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K_1} + \frac{1}{K_2} = \frac{K_2 + 2K_1}{2K_1K_2}$ મળે છે.
તેથી,$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{2K_1 + K_2}$ થાય.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$k_1$ સ્પ્રિંગ માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{T_1^2} = \frac{k_1}{4\pi^2 m}$.
બીજા કિસ્સામાં,$k_2$ સ્પ્રિંગ માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{T_2^2} = \frac{k_2}{4\pi^2 m}$.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે. આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m}$.
$\frac{k_1}{4\pi^2 m}$ અને $\frac{k_2}{4\pi^2 m}$ માટેના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2}$ મળે છે.
આને $T^{-2} = T_1^{-2} + T_2^{-2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સ્પ્રિંગ માટે અલગ-અલગ,આપણી પાસે $t_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ અને $t_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $t_1^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_1}$ અને $t_2^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{k_1} = \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m}$ અને $\frac{1}{k_2} = \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m}$.
સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણ માટે,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq}$ એ $\frac{1}{k_{eq}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે.
શ્રેણી જોડાણ માટે આવર્તકાળ $t = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ છે,તેથી $t^2 = 4 \pi^2 \frac{m}{k_{eq}}$.
$\frac{1}{k_{eq}}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $t^2 = 4 \pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right) = 4 \pi^2 m \left( \frac{t_1^2}{4 \pi^2 m} + \frac{t_2^2}{4 \pi^2 m} \right) = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.
તેથી,$t = \sqrt{t_1^2 + t_2^2}$.

(A) ધારો કે કણને સ્પ્રિંગ $C$ ની દિશામાં $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
આ સ્થાનાંતર $x$ ને ત્રણેય સ્પ્રિંગના અક્ષો પરના ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
સ્પ્રિંગ $C$ માં $x$ જેટલું સંકોચન થાય છે.
સ્પ્રિંગ $A$ અને $B$ સ્થાનાંતરની દિશા સાથે અનુક્રમે $45^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
સ્પ્રિંગ $A$ અને $B$ પર સ્થાનાંતરના ઘટકો અનુક્રમે $x \cos(45^{\circ}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ અને $x \cos(45^{\circ}) = \frac{x}{\sqrt{2}}$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળો $F_C = Kx$,$F_A = K \frac{x}{\sqrt{2}}$,અને $F_B = K \frac{x}{\sqrt{2}}$ છે.
સ્થાનાંતરની દિશામાં કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net}$ એ આ દિશામાં લાગતા બળોના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_{net} = F_C + F_A \cos(45^{\circ}) + F_B \cos(45^{\circ}) = Kx + (K \frac{x}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (K \frac{x}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} = Kx + \frac{Kx}{2} + \frac{Kx}{2} = 2Kx$.
આને $F = k_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k_{eff} = 2K$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}}$ છે.

(A) આપેલ આકૃતિમાં,દળ $m$ ને બે સ્પ્રિંગોની વચ્ચે જોડવામાં આવ્યું છે. જ્યારે દળને સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ દબાય છે જ્યારે બીજી સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે. આ ગોઠવણી સ્પ્રિંગોના સમાંતર જોડાણ જેવી છે.
સમાંતર જોડાણમાં સ્પ્રિંગો માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$k_{eff} = k_1 + k_2$
દોલન આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \quad ...(1)$
જો $k_1$ અને $k_2$ બંનેને તેમના મૂળ મૂલ્યો કરતા ચાર ગણા કરવામાં આવે,તો નવા સ્પ્રિંગ અચળાંકો $k_1' = 4k_1$ અને $k_2' = 4k_2$ થશે. નવો અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff}'$:
$k_{eff}' = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)$
નવી આવૃત્તિ $f'$:
$f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{eff}'}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4(k_1 + k_2)}{m}}$
$f' = 2 \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 + k_2}{m}} \right)$
$f' = 2f$

(B) સમાંતર જોડાણમાં રહેલી બે સ્પ્રિંગ માટે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ સ્થાને $(x)$ કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ $x/2$ સ્થાને રહેલી કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
અંતિમ સ્થાને $(x)$,વેગ શૂન્ય છે,તેથી કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા છે: $E = \frac{1}{2} k_{eff} x^2 = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) x^2$.
$x/2$ સ્થાને,કુલ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = \frac{1}{2} k_{eff} (x/2)^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} (k_1 + k_2) x^2 = \frac{1}{2} (k_1 + k_2) (x/2)^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
$(k_1 + k_2) x^2 = (k_1 + k_2) \frac{x^2}{4} + m v^2$.
$m v^2 = (k_1 + k_2) x^2 - \frac{(k_1 + k_2) x^2}{4} = \frac{3}{4} (k_1 + k_2) x^2$.
$v^2 = \frac{3(k_1 + k_2) x^2}{4m}$.
$v = \sqrt{\frac{3(k_1 + k_2) x^2}{4m}}$.

(C) આ તંત્રમાં,બંને બ્લોક્સ $M$ અને $m$ એક એકમ તરીકે સાથે ગતિ કરે છે કારણ કે તેમની વચ્ચેનું ઘર્ષણ નાના દોલનો માટે સાપેક્ષ ગતિને રોકવા માટે પૂરતું છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,દોલન કરતા તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + m = 3\,kg + 1\,kg = 4\,kg$ થાય.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 2\,N\,m^{-1}$ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ શોધવાનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{M_{total}}{k}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{4}{2}} = 2\pi \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવતા $SHM$ નો આવર્તકાળ $2\sqrt{2}\pi\,s$ છે.

(D) તંત્રનું રિડ્યુસ્ડ માસ (reduced mass) નીચે મુજબ મળે છે:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot m}{m + m} = \frac{m^2}{2m} = \frac{m}{2}$
સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે કણોનું આપેલ તંત્ર,$k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $\mu$ દળના એક કણના તંત્રને સમતુલ્ય છે.
આ સમતુલ્ય તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$
$\mu = \frac{m}{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m/2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}} = \pi \sqrt{\frac{4m}{2k}} = \pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બ્લોક પ્લેટફોર્મ સાથે સંપર્કમાં રહે તે માટે,પ્લેટફોર્મનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$SHM$ કરતા પ્લેટફોર્મનો મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $d$ એ કંપવિસ્તાર છે.
બ્લોક પ્લેટફોર્મ છોડે નહીં તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $a_{max} \le g$ લઈએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\omega^2 d = g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \sqrt{g/d}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે,આપણી પાસે $2\pi f = \sqrt{g/d}$ છે.
તેથી,મહત્તમ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{d}}$ છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિ એવા બિંદુએ સ્થાનાંતરિત થશે જ્યાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોય.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_{eq}$ પર,સ્પ્રિંગ બળ એ વિદ્યુત બળને સંતુલિત કરે છે:
$k x_{eq} = qE \Rightarrow x_{eq} = \frac{qE}{k}$
તંત્રની કુલ ઉર્જા એ કંપન ઉર્જા અને નવી સંતુલન સ્થિતિ પરની સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k x_{eq}^2$
સમીકરણમાં $x_{eq} = \frac{qE}{k}$ મૂકતા:
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} k \left( \frac{qE}{k} \right)^2$
$E_{total} = \frac{1}{2} M \omega^2 A^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2 E^2}{k}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{1}}$,જે સૂચવે છે કે $k = 4 \pi^2 \, N/m$.
બીજા કિસ્સામાં,બે સમાન સ્પ્રિંગો સમાંતરમાં જોડાયેલ છે,તેથી સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k + k = 2k = 2(4 \pi^2) = 8 \pi^2 \, N/m$ થાય.
નવું દળ $M = 8 \, kg$ છે.
નવી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eq}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{8 \pi^2}{8}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\pi^2} = \frac{\pi}{2 \pi} = 0.5 \, Hz$.

(C) મોટા પદાર્થનું દળ $M = 4\, kg$.
નાના પદાર્થનું દળ $m = 1\, kg$.
નાનો પદાર્થ $(m = 1\, kg)$ એ $25\, rad/s$ ની કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ અને $1.6\, cm = 1.6 \times 10^{-2}\, m$ ના કંપનવિસ્તાર $(A)$ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,તેથી $K = m\omega^2 = 1 \times (25)^2 = 625\, N/m$.
તંત્ર દ્વારા જમીન પર લાગતું બળ એ મોટા પદાર્થનું વજન,નાના પદાર્થનું વજન અને સ્પ્રિંગ બળનો સરવાળો છે.
જમીન દ્વારા તંત્ર પર લાગતું લંબબળ $N = Mg + mg + F_{spring}$ છે.
જેમ નાનો પદાર્થ દોલન કરે છે તેમ સ્પ્રિંગ બળ $F_{spring}$ બદલાય છે. જમીન પર લાગતું મહત્તમ બળ ત્યારે મળે છે જ્યારે સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ મહત્તમ હોય.
મહત્તમ સ્પ્રિંગ બળ $F_{max} = KA = 625 \times 1.6 \times 10^{-2} = 10\, N$ છે.
આમ,જમીન પર લાગતું મહત્તમ બળ $F_{total} = Mg + mg + F_{max} = (4 \times 10) + (1 \times 10) + 10 = 40 + 10 + 10 = 60\, N$ થાય.

(D) આપણે સ્પ્રિંગના તમામ સૂક્ષ્મ દળના ઘટકોની ગતિઊર્જાનું સંકલન કરીને તેની અસરકારક ગતિઊર્જા શોધી શકીએ છીએ.
ધારો કે સ્પ્રિંગની લંબાઈ $L$ છે. સ્થિર છેડાથી $y$ અંતરે $dy$ લંબાઈનો એક ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = (m/L) dy$ છે.
આ ઘટકનો વેગ $u$ એ સ્થિર છેડાથી તેના અંતર $y$ ના પ્રમાણમાં છે: $u = (y/L)v$.
આ ઘટકની ગતિઊર્જા $dT = \frac{1}{2} (dm) u^2 = \frac{1}{2} (m/L) dy (yv/L)^2$ છે.
$y = 0$ થી $y = L$ સુધી સંકલન કરતા:
$T = \int_{0}^{L} \frac{1}{2} \frac{m}{L} \frac{v^2}{L^2} y^2 dy$
$T = \frac{mv^2}{2L^3} \int_{0}^{L} y^2 dy$
$T = \frac{mv^2}{2L^3} [y^3/3]_{0}^{L} = \frac{mv^2}{2L^3} (L^3/3) = \frac{1}{6} mv^2$.

(A) જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે અને તેને $F$ બળ દ્વારા દબાવવામાં આવે,ત્યારે દરેક સ્પ્રિંગ પર લાગતું બળ $F$ સમાન હોય છે.
સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{F^2}{2k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં હોવાથી બંને સ્પ્રિંગ માટે બળ $F$ સમાન હોવાથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{\frac{F^2}{2k_A}}{\frac{F^2}{2k_B}} = \frac{k_B}{k_A}$ થશે.
અહીં $k_A = 300 \, N/m$ અને $k_B = 400 \, N/m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{E_A}{E_B} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$.

(C) પદાર્થ $m$ તાસકથી અલગ થાય તે માટે,દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ પદાર્થ અને તાસક વચ્ચેનું લંબબળ $N$ શૂન્ય થવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પદાર્થનો પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે અને તે $a = \omega^2 A$ જેટલો હોય છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $mg - N = ma$ છે.
અલગ થવાની શરત માટે $N = 0$ લેતા,આપણને $mg = m\omega^2 A$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $g = \omega^2 A$ મળે છે.
કારણ કે $\omega^2 = k/m$,તેથી $g = (k/m) A$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $10 = (500 / 1.0) \times A$.
$A = 10 / 500 = 0.02\,m = 2.0\,cm$.
તેથી,જો કંપવિસ્તાર $A$ એ $2.0\,cm$ કે તેથી વધુ હોય તો પદાર્થ તાસકથી અલગ થવાની તૈયારીમાં હશે.

(D) ધારો કે નળાકારનું તેના સંતુલન સ્થાનથી નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
જ્યારે નળાકારને $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = A \sigma g x$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -(k + A \sigma g)x$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m \omega^2 = k + A \sigma g$ મળે છે.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k + A \sigma g}{M}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k + A \sigma g}}$ છે.
નળાકાર અડધો ડૂબેલો હોવાથી,જ્યાં સુધી તે આંશિક રીતે ડૂબેલો રહે ત્યાં સુધી ઉત્પ્લાવક બળ અચળ રહે છે. તારવેલું સૂત્ર નાના દોલનો માટે સચોટ છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડેલી સ્પ્રિંગો માટે સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} + \frac{1}{K_3} + \dots$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K} + \frac{1}{4K} + \frac{1}{8K} + \dots$
$\frac{1}{K}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} [1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots]$
કૌંસમાં રહેલ પદ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/2$ છે. તેનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$ થાય.
આમ,$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} \times 2 = \frac{2}{K}$,જેનો અર્થ છે કે $K_{eq} = \frac{K}{2}$.
અહીં $K = 2 \, N/cm = 200 \, N/m$ આપેલ છે,તેથી $K_{eq} = \frac{200}{2} = 100 \, N/m$.
દળ $m = 40 \, g = 0.04 \, kg$.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.04}{100}} = 2 \pi \sqrt{0.0004} = 2 \pi \times 0.02 = 0.04 \pi \approx 0.04 \times 3.14 = 0.1256 \approx 0.13 \, s$.

(C) બ્લોકને $A = 2x_0$ જેટલા સંકોચનથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,જેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
બ્લોક અંતિમ સ્થાન $(x = -A = -2x_0)$ થી શરૂ કરીને સંતુલન સ્થાન $(x = 0)$ તરફ ગતિ કરે છે.
અંતિમ સ્થાનથી સંતુલન સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{T}{4}$ છે.
સંતુલન સ્થાન પર પહોંચ્યા પછી,બ્લોક બીજી દીવાલ તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે,જે સંતુલન સ્થાનથી $x_0$ અંતરે છે.
સમયના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
$x = 0$ થી $x = x_0$ સુધી પહોંચવા માટે,$x_0 = (2x_0) \sin(\omega t_2)$,જે આપે છે $\sin(\omega t_2) = \frac{1}{2}$.
આમ,$\omega t_2 = \frac{\pi}{6}$,તેથી $t_2 = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{T}{12}$.
દીવાલ સાથે અથડાવા માટે લાગતો કુલ સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{T}{4} + \frac{T}{12} = \frac{3T + T}{12} = \frac{4T}{12} = \frac{T}{3}$ છે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{1}{3} (2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{2\pi}{3} \sqrt{\frac{m}{k}}$ મળે છે.

(C) સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈ $\ell$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $k \propto 1/\ell$.
ધારો કે આકૃતિ $B$ માં સ્પ્રિંગની લંબાઈ $\ell$ છે. તો આકૃતિ $A$ માં સ્પ્રિંગની લંબાઈ $3\ell$ થશે.
ધારો કે આકૃતિ $B$ માં સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k_B = k$ છે. તો આકૃતિ $A$ માં સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k_A = k/3$ થશે.
આકૃતિ $A$ માં,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_A = k/3$ છે.
આકૃતિ $B$ માં,ત્રણ સમાન સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડેલી છે,દરેકનો બળ અચળાંક $k$ છે. તેથી,સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_B = k + k + k = 3k$ થશે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{M/K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{K_B}{K_A}} = \sqrt{\frac{3k}{k/3}} = \sqrt{9} = 3$.

(C) તંત્રમાં દરેક $m$ દળના બે બ્લોક્સ છે,જે એક એકમ તરીકે સાથે ગતિ કરે છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ છે.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{K}{M}} = \sqrt{\frac{K}{2m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્રનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A = \left(\frac{K}{2m}\right) A = \frac{KA}{2m}$ છે.
ઘર્ષણ બળ $f$ એ નીચેના બ્લોક $P$ ને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. બ્લોક $P$ નું દળ $m$ હોવાથી,તેને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ $f = m \cdot a_{max}$ છે.
$a_{max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = m \cdot \left(\frac{KA}{2m}\right) = \frac{KA}{2}$ મળે છે.
આમ,બ્લોક્સ વચ્ચેનું મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $\frac{KA}{2}$ છે.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ $m$ દળ માટે દોલન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_1$ અને $K_2$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ $S_1$ અને $S_2$ માટે:
$n_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1}{m}} \implies n_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{K_1}{m} \implies K_1 = 4\pi^2 m n_1^2$
$n_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_2}{m}} \implies n_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{K_2}{m} \implies K_2 = 4\pi^2 m n_2^2$
આકૃતિમાં,$m$ દળ બે સ્પ્રિંગ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે. અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eff} = K_1 + K_2$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n_{eff}$ નીચે મુજબ મળે:
$n_{eff} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
$K_1$ અને $K_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n_{eff} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m n_1^2 + 4\pi^2 m n_2^2}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{4\pi^2 (n_1^2 + n_2^2)} = \sqrt{n_1^2 + n_2^2}$

(B) $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ વડે લટકાવેલ $m$ દળનો આવર્તકાળ $t = 2 \pi \sqrt{m/k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્પ્રિંગ માટે,$t_1 = 2 \pi \sqrt{m/k_1}$,તેથી $k_1 = 4 \pi^2 m / t_1^2$.
બીજી સ્પ્રિંગ માટે,$t_2 = 2 \pi \sqrt{m/k_2}$,તેથી $k_2 = 4 \pi^2 m / t_2^2$.
જ્યારે બંને સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં જોડાયેલ હોય,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = k_1 + k_2$ થાય છે.
તંત્રનો આવર્તકાળ $t_0 = 2 \pi \sqrt{m/k_{eff}} = 2 \pi \sqrt{m/(k_1 + k_2)}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_0^2 = 4 \pi^2 m / (k_1 + k_2)$,તેથી $1/t_0^2 = (k_1 + k_2) / (4 \pi^2 m)$.
$k_1$ અને $k_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1/t_0^2 = (4 \pi^2 m / t_1^2 + 4 \pi^2 m / t_2^2) / (4 \pi^2 m) = 1/t_1^2 + 1/t_2^2$.
આમ,${t_0}^{-2} = {t_1}^{-2} + {t_2}^{-2}$.

(B) આ સિસ્ટમમાં એક દળ $m$ ગરગડી દ્વારા સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું છે. જ્યારે દળને એવી સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે સ્પ્રિંગનું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું થાય.
સંતુલન સ્થિતિએ,$k x_{eq} = mg$,તેથી સંતુલન સ્થાનાંતર $x_{eq} = \frac{mg}{k} = \frac{8 \times 10}{200} = 0.4\,m$ છે.
દોલનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ સંતુલન સ્થિતિથી પ્રારંભિક સ્થાનાંતર જેટલો હોય છે,એટલે કે $A = x_{eq} = 0.4\,m$.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{8}} = \sqrt{25} = 5\,rad/s$ છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max}$ એ $v_{max} = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{max} = 5 \times 0.4 = 2\,m/s$ મળે છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
અહીં આપેલ કિંમતો દળ $m = 5\, kg$ અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $K = 500\, N/m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{5}{500}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{100}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{10}$
$T = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\,s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) જ્યારે વધારાનું દળ $m$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલા અંતરે ખેંચાય છે. હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ એ ઉમેરેલા દળના વજન જેટલું હોય છે:
$mg = Kx$
જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આના પરથી,આપણે સ્પ્રિંગ અચળાંક શોધી શકીએ છીએ:
$K = \frac{mg}{x}$
હવે,સ્પ્રિંગ પર દોલન કરતું કુલ દળ $(M + m)$ છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\text{કુલ દળ}}{K}}$
કુલ દળ અને $K$ ની કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)}{\frac{mg}{x}}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{(M + m)x}{mg}}$

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $2\pi$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{m}$ થાય.
તેથી,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 3\,s$ અને $m_1 = m$.
જ્યારે દળમાં $1\,kg$ નો વધારો થાય,ત્યારે $m_2 = m + 1$ અને $T_2 = 3 + 1 = 4\,s$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{m}{m + 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{9}{16} = \frac{m}{m + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $9(m + 1) = 16m$.
$9m + 9 = 16m$.
$7m = 9$.
$m = \frac{9}{7}\,kg$.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $m = 1\, kg$ દળ લટકાવવાથી થતું સ્થાનાંતર $x_0 = 9.8\, cm = 9.8 \times 10^{-2}\, m$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં $mg = kx_0$ હોવાથી,$\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$ થાય.
આ કિંમત આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_0}{g}}$ મળે.
$g = 9.8\, m/s^2$ લેતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{9.8 \times 10^{-2}}{9.8}} = 2\pi \sqrt{10^{-2}} = 2\pi \times 0.1 = \frac{2\pi}{10}\, s$ થાય.

(C) જ્યારે બ્લોકને મધ્યસ્થ સ્થાનથી $x$ અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે એક રબરની પટ્ટી $x$ જેટલી ખેંચાય છે,જ્યારે બીજી પટ્ટી ઢીલી થઈ જાય છે અને કોઈ બળ લગાડતી નથી,કારણ કે રબરની પટ્ટીઓને સ્પ્રિંગની જેમ દબાવી શકાતી નથી.
બ્લોક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = Kx$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = Kx$,જે પ્રવેગ $a = \frac{Kx}{m}$ આપે છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $a = \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{K}{m}$ અથવા $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$ મળે છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતી વસ્તુની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(KE_{max})$ નું સૂત્ર $KE_{max} = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે વસ્તુઓ $A$ અને $B$ ની મહત્તમ ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી:
$\frac{1}{2} k_A A_A^2 = \frac{1}{2} k_B A_B^2$
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_A}{A_B}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{A_A^2}{A_B^2} = \frac{k_B}{k_A}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{A_A}{A_B} = \sqrt{\frac{k_B}{k_A}}$

(D) બે સ્પ્રિંગો શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય બળ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
અહીં $K_1 = K$ અને $K_2 = 2K$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K} = \frac{2+1}{2K} = \frac{3}{2K}$
તેથી,$K_{eq} = \frac{2K}{3}$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K_{eq}}{M}}$
$K_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K/3}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{3M}}$
આ પદને સાદું રૂપ આપતા:
$f = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{2K}{4 \cdot 3M}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{K}{6M}}$
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ છે:
દળ $m = 200\,g = 0.2\,kg$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 80\,N/m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.2}{80}}$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{400}}$
$T = 2\pi \times \frac{1}{20}$
$T = \frac{\pi}{10}$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$T \approx 0.314\,s$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $T = 0.31\,s$ મળે છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
આકૃતિ $(A)$ માં,સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $K = k_1 + k_2$ છે. આમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$. આ $(Q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આકૃતિ $(B)$ માં,સ્પ્રિંગો શ્રેણી જોડાણમાં છે,તેથી $\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$,જે $K = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$ આપે છે. આમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}$. આ $(P)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આકૃતિ $(C)$ માં,દળ બે સ્પ્રિંગોની વચ્ચે છે. જ્યારે દળ $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે એક સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી દબાય છે અને બીજી $x$ જેટલી ખેંચાય છે. પુનઃસ્થાપક બળ $F = -(k+k)x = -2kx$ છે. તેથી,$K = 2k$,અને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$. આ $(S)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આકૃતિ $(D)$ માં,સ્પ્રિંગો શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે છે. જો દળને $y$ જેટલું નીચે ખેંચવામાં આવે,તો દરેક સ્પ્રિંગ $y' = y \cos 45^{\circ}$ જેટલી ખેંચાય છે. શિરોલંબ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળનો ઘટક $F = -2(ky') \cos 45^{\circ} = -2k(y \cos 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} = -2ky(1/2) = -ky$ છે. તેથી,$K = k$,અને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$. આ $(R)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-Q, B-P, C-S, D-R$ છે.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_{eq}$ એ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
ગોઠવણી $(i)$ માટે: એક જ સ્પ્રિંગનો ઉપયોગ થાય છે,તેથી $k_{eq,1} = k$. આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
ગોઠવણી $(ii)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $\frac{1}{k_{eq,2}} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k} = \frac{2}{k}$ છે,તેથી $k_{eq,2} = \frac{k}{2}$. આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}} = \sqrt{2} T_1$ છે.
ગોઠવણી $(iii)$ માટે: બે સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq,3} = k + k = 2k$ છે. આવર્તકાળ $T_3 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2k}} = \frac{1}{\sqrt{2}} T_1$ છે.
તેથી,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $T_1 : T_2 : T_3 = 1 : \sqrt{2} : \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(A) શરૂઆતમાં,સ્પ્રિંગ કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ દ્વારા ખેંચાયેલી છે. સંતુલન સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $x_0 = \frac{(m_1 + m_2)g}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $m_1$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલા દળ $m_2$ માટે નવી સંતુલન સ્થિતિ $x_{new} = \frac{m_2g}{k}$ થાય છે.
તંત્ર આ નવી સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરવાનું શરૂ કરે છે. કંપનનો કંપવિસ્તાર $A$ એ પ્રારંભિક સ્થિતિ અને નવી સંતુલન સ્થિતિ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$A = x_0 - x_{new} = \frac{(m_1 + m_2)g}{k} - \frac{m_2g}{k} = \frac{m_1g}{k}$.

(A) જ્યારે બ્લોક $A$ ને ડાબી બાજુ $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ડાબી બાજુની સ્પ્રિંગ દબાય છે અને જમણી બાજુની સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે.
બંને સ્પ્રિંગ સંતુલન સ્થિતિ તરફ પુનઃસ્થાપક બળ લગાડે છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F = -k x - k x = -2k x$ થાય છે.
આને સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $F = -k_{eff} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2k$ મળે છે.
અહીં $m = 1\, kg$ અને $k = 800\, N/m$ આપેલ છે,તેથી અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eff} = 2 \times 800 = 1600\, N/m$ થાય.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{1600}} = 2\pi \times \frac{1}{40} = \frac{\pi}{20}\,s$.