RL, RC and LC AC Circuits Questions in Hindi

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ में व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र है:
$P_{avg} = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$
यहाँ,$Z$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) है,जो $Z = \sqrt{X_L^2 + R^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $X_L = 1 \ \Omega$,$R = 3 \ \Omega$,और $V_{rms} = 10 \ V$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \ \Omega$.
अब,औसत शक्ति $P_{avg}$ की गणना करें:
$P_{avg} = \frac{(10)^2 \times 3}{(\sqrt{10})^2} = \frac{100 \times 3}{10} = 30 \ W$.
अतः,परिपथ में व्यय होने वाली शक्ति $30 \ W$ है।

(A) चूंकि प्रतिरोधक और प्रेरक (inductor) $AC$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $(V_L)$,प्रतिरोधक के विभवांतर $(V_R)$ से $90^{\circ}$ कला (phase) में आगे रहता है।
$RL$ श्रेणी परिपथ के फेजर आरेख के अनुसार,कुल विभवांतर $V$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}$
दिया गया है कि कुल विभवांतर $V = 20 V$ और प्रतिरोधक का विभवांतर $V_R = 12 V$ है,अतः:
$20 = \sqrt{12^2 + V_L^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$400 = 144 + V_L^2$
$V_L^2 = 400 - 144 = 256$
$V_L = \sqrt{256} = 16 V$
अतः,कुंडली के सिरों पर विभवांतर $16 V$ है।

(C) कोणीय आवृत्ति $\omega$ पर,$RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}}$ ... $(i)$
जब आवृत्ति को बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ कर दिया जाता है,तो नया प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ हो जाता है। नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है।
अतः,$\frac{I}{2} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(A) दिए गए परिपथ में,धारा वोल्टेज से आगे है,जो दर्शाता है कि यह एक $RC$ परिपथ है। इसलिए,$P$ एक प्रतिरोधक है और $Q$ एक संधारित्र (capacitor) है।
$RC$ परिपथ के लिए,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है।
कलांतर $\phi = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = 1$,जिसका अर्थ है $X_C = R$।
दिया गया है $Z = 1414 \Omega \approx 1000\sqrt{2} \Omega$।
प्रतिबाधा सूत्र में $X_C = R$ रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$।
अतः,$R\sqrt{2} = 1000\sqrt{2} \implies R = 1000 \Omega = 1 \text{ k}\Omega$।
अब,$X_C = R = 1000 \Omega$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है,$\omega = 100 \text{ rad/s}$ मानते हुए:
$C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{100 \times 1000} = 10^{-5} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$।
अतः,$P = 1 \text{ k}\Omega$ और $Q = 10 \mu\text{F}$ है।

(C) वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\Delta \phi = \phi_i - \phi_e = (\omega t + \phi + \frac{\pi}{4}) - (\omega t + \phi) = +\frac{\pi}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कला कोण धनात्मक है,धारा वोल्टेज से आगे है,जो इंगित करता है कि परिपथ की प्रकृति धारिता (capacitive) है।
एक $AC$ परिपथ में,यदि धारा वोल्टेज से आगे है,तो कुल प्रतिघात (net reactance) धारितात्मक $(X_C > X_L)$ होना चाहिए।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है यदि परिपथ में एक संधारित्र और एक प्रतिरोधक ($C-R$ परिपथ) हो या एक प्रेरक,संधारित्र और प्रतिरोधक ($L-C-R$ परिपथ) का संयोजन हो,जहाँ धारितात्मक प्रतिघात,प्रेरणिक प्रतिघात से अधिक हो।

(B) दिया गया है,शिखर वोल्टेज $V_0 = 150 \text{ V}$ और शिखर धारा $I_0 = 5 \text{ A}$ है।
कलांतर (Phase difference) $\phi = (100 \pi t + \pi) - (100 \pi t + \frac{2 \pi}{3}) = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
औसत व्ययित शक्ति $P_{av} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = \frac{V_0}{\sqrt{2}} \cdot \frac{I_0}{\sqrt{2}} \cos 60^{\circ} = \frac{150 \times 5}{2} \times \frac{1}{2} = 187.5 \text{ W}$ प्राप्त होती है।
प्रतिबाधा (Impedance) $Z = \frac{V_0}{I_0} = \frac{150}{5} = 30 \Omega$ है।
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,इसलिए $R = Z \cos 60^{\circ} = 30 \times 0.5 = 15 \Omega$ होगा।

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = 50 \, Hz$, धारा $I = 4 \, A$, शक्ति $P = 240 \, W$, वोल्टेज $V = 100 \, V$.
कुंडली द्वारा उपभोग की गई शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $240 = (4)^2 \times R \Rightarrow 240 = 16R \Rightarrow R = 15 \, \Omega$.
कुंडली का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V}{I} = \frac{100}{4} = 25 \, \Omega$ है।
हम जानते हैं कि $Z^2 = R^2 + X_L^2$, जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
$(25)^2 = (15)^2 + X_L^2 \Rightarrow 625 = 225 + X_L^2 \Rightarrow X_L^2 = 400 \Rightarrow X_L = 20 \, \Omega$.
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$, इसलिए $20 = 2 \pi (50) L$.
$20 = 100 \pi L \Rightarrow L = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \, H$.

(B) $1$. जब $12 \, V$ के d.c. स्रोत से जोड़ा जाता है, तो कुंडली एक शुद्ध प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करती है। ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $R = V/I = 12 \, V / 4 \, A = 3 \, \Omega$.
$2$. जब a.c. स्रोत से जोड़ा जाता है, तो $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = V/I_{ac} = 12 \, V / 2.4 \, A = 5 \, \Omega$ होती है।
$3$. $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_L = 2\pi fL$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
$4$. मान रखने पर: $5 = \sqrt{3^2 + X_L^2} \implies 25 = 9 + X_L^2 \implies X_L^2 = 16 \implies X_L = 4 \, \Omega$.
$5$. चूँकि $X_L = 2\pi fL$, इसलिए $4 = 2\pi \times (25/\pi) \times L$.
$6$. सरल करने पर: $4 = 50L \implies L = 4/50 \, H = 0.08 \, H = 80 \, mH$.

(B) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 450 \Omega$,$\cos \phi = 0.6$ और $f = \frac{75}{\pi} \text{ Hz}$ दिया गया है।
चूँकि $\cos \phi = 0.6 = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{R}{Z} = \frac{3}{5}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{9}{25}$।
$25R^2 = 9R^2 + 9X_L^2 \implies 16R^2 = 9X_L^2$।
वर्गमूल लेने पर,$4R = 3X_L \implies X_L = \frac{4}{3}R$।
$R = 450 \Omega$ रखने पर,$X_L = \frac{4}{3} \times 450 = 600 \Omega$।
हम जानते हैं कि $X_L = 2\pi f L$,इसलिए $600 = 2\pi \times \frac{75}{\pi} \times L$।
$600 = 150 \times L$।
$L = \frac{600}{150} = 4 \text{ H}$।

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $f_1 = 50 \ Hz$ पर,$\cos \phi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$\frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_1 L)^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + (2\pi f_1 L)^2} = \frac{3}{4}$.
$4R^2 = 3R^2 + 3(2\pi f_1 L)^2$,जिसका अर्थ है $R^2 = 3(2\pi f_1 L)^2$,अर्थात $R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$.
जब आवृत्ति में $200 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई आवृत्ति $f_2 = f_1 + 200\% \text{ of } f_1 = f_1 + 2f_1 = 3f_1 = 150 \ Hz$ होगी।
नया शक्ति गुणांक $\cos \phi_2 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi f_2 L)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2\pi (3f_1) L)^2}}$ है।
$R = \sqrt{3}(2\pi f_1 L)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \phi_2 = \frac{\sqrt{3}(2\pi f_1 L)}{\sqrt{(\sqrt{3}(2\pi f_1 L))^2 + (3(2\pi f_1 L))^2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 0.5$.

(C) जब इंडक्टर में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो कॉइल का स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है क्योंकि कोर की पारगम्यता (permeability) बढ़ जाती है।
परिपथ का प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे $L$ बढ़ता है,$X_L$ भी बढ़ता है।
श्रेणी परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है,जहाँ $R$ बल्ब का प्रतिरोध है।
चूंकि $X_L$ बढ़ता है,इसलिए परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = V/Z$ द्वारा दी जाती है।
जैसे $Z$ बढ़ता है,बल्ब से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब में व्यय होने वाली शक्ति $P = I^2 R$ है,इसलिए धारा में कमी के कारण शक्ति कम हो जाती है और इस प्रकार बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(B) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 100 \sqrt{3} \Omega$,वोल्टेज $V = 100 \sin(200t) \text{ V}$,कलान्तर $\phi = 30^{\circ}$.
वोल्टेज समीकरण की तुलना $V = V_m \sin(\omega t)$ से करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में,कलान्तर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\omega C R}$.
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{200 \times C \times 100 \sqrt{3}}$.
दोनों पक्षों से $\sqrt{3}$ को हटाने पर: $1 = \frac{1}{200 \times 100 \times C}$.
$C = \frac{1}{20000} \text{ F} = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.
अतः,धारिता $50 \mu \text{F}$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए,प्रतिबाधा $Z$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
दिया गया है: $X_L = R$,$X_C = 2R$,और प्रतिरोध $= R$।
इन मानों को प्रतिबाधा सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (R - 2R)^2}$
$Z = \sqrt{R^2 + (-R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$
$LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित होता है।
$Z$ का मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) $LR$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज $V$,प्रेरक के वोल्टेज $V_L$ और प्रतिरोधक के वोल्टेज $V_R$ का फेजर योग होता है।
संबंध इस प्रकार है: $V^2 = V_L^2 + V_R^2$.
दिया गया है: $V = 10 \ V$ और $V_L = 6 \ V$.
मान रखने पर: $(10)^2 = (6)^2 + V_R^2$.
$100 = 36 + V_R^2$.
$V_R^2 = 100 - 36 = 64$.
$V_R = \sqrt{64} = 8 \ V$.

(C) दिया गया है: $C = 100 \mu F = 10^{-4} F$,$R = 20 \Omega$,$L = 12.5 mH = 12.5 \times 10^{-3} H$,$V_{rms} = 220 V$,$f = \frac{200}{\pi} Hz$.
सबसे पहले,कोणीय आवृत्ति की गणना करें: $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{200}{\pi} = 400 rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात की गणना: $X_L = \omega L = 400 \times 12.5 \times 10^{-3} = 5 \Omega$.
धारितीय प्रतिघात की गणना: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \Omega$.
प्रतिबाधा की गणना: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{20^2 + (5 - 25)^2} = \sqrt{400 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \Omega$.
शिखर वोल्टेज $V_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220\sqrt{2} V$ है।
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220\sqrt{2}}{20\sqrt{2}} = 11 A$ है।

(A) दिया गया है,इनपुट $AC$ वोल्टेज $V_i(t) = 20 \sin(10^5 t) \text{ mV}$ है।
इसे मानक रूप $V = V_{\max} \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = 10^5 \text{ rad/s}$ और $V_{\max} = 20 \text{ mV}$ प्राप्त होता है।
यह परिपथ एक $RC$ श्रेणी परिपथ है जहाँ आउटपुट वोल्टेज $V_0$ संधारित्र के सिरों पर लिया जाता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{10^5 \times 10^{-8}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \text{ } \Omega$ है।
प्रतिरोध $R = 1000 \text{ } \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{1000^2 + 1000^2} = 1000\sqrt{2} \text{ } \Omega$ है।
संधारित्र के सिरों पर आउटपुट वोल्टेज का आयाम वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$V_0 = \frac{X_C}{Z} V_{\max} = \frac{1000}{1000\sqrt{2}} \times 20 \text{ mV} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ mV} = 10\sqrt{2} \text{ mV}$।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए हमें $V_0 = 10 \times 1.414 \text{ mV} = 14.14 \text{ mV}$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $(Z)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$X_L = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Z = \sqrt{R^2 + \left(2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC}\right)^2}$
अनुनाद आवृत्ति $f_0$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$।
इस आवृत्ति पर,पद $(X_L - X_C)$ शून्य हो जाता है,और प्रतिबाधा अपना न्यूनतम मान $Z_{\min} = R$ प्राप्त करती है।
$f_0$ से कम आवृत्तियों के लिए,$X_C > X_L$ होता है,और $f_0$ से अधिक आवृत्तियों के लिए,$X_L > X_C$ होता है।
इस प्रकार,$Z$ बनाम $f$ का ग्राफ एक उच्च मान से शुरू होता है,$f_0$ पर न्यूनतम तक घटता है,और फिर से बढ़ता है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(D) दिए गए पैरामीटर:
$E = 10 \, V$, $\omega = 200 \, rad/s$, $R = 50 \, \Omega$, $L = 400 \, mH = 0.4 \, H$, $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$.
सबसे पहले, प्रेरक प्रतिघात $(X_L)$ और धारितीय प्रतिघात $(X_C)$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 200 \times 0.4 = 80 \, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200 \times 200 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.04} = 25 \, \Omega$.
अब, $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $(Z)$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (80 - 25)^2} = \sqrt{2500 + 55^2} = \sqrt{2500 + 3025} = \sqrt{5525} \approx 74.33 \, \Omega$.
परिपथ में rms धारा $(I)$ है:
$I = \frac{E}{Z} = \frac{10}{74.33} \approx 0.1345 \, A$.
प्रेरक के सिरों पर rms वोल्टेज $(V_L)$ इस प्रकार है:
$V_L = I \times X_L = 0.1345 \times 80 \approx 10.76 \, V$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $10.8 \, V$ प्राप्त होता है।

(C) $L-C-R$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{(X_L - X_C)^2 + R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोणीय आवृत्ति $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad/s}$,प्रेरकत्व $L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,और धारिता $C = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 7 \text{ } \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{70 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{70} \approx 14.28 \text{ } \Omega$.
चूंकि $X_C > X_L$,शुद्ध प्रतिघात धारितीय है $(X_C - X_L > 0)$।
इसलिए,परिपथ एक श्रेणी $R-C$ परिपथ के रूप में व्यवहार करता है।

(D) दिया गया emf $E = 200 \sin(50 \pi t)$ है।
$t = 1 \ s$ पर,तात्कालिक वोल्टेज $E = 200 \sin(50 \pi \times 1) = 200 \sin(50 \pi) = 0 \ V$ है।
हालाँकि,$LR$ परिपथ में एक प्रतिरोधक द्वारा व्ययित शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50 \ \Omega$ है।
परिपथ में धारा $I = I_0 \sin(50 \pi t - \phi)$ है,जहाँ $I_0 = E_0 / Z = 200 / 50 = 4 \ A$ है।
कला कोण $\phi$ का मान $\tan \phi = X_L / R = 40 / 30 = 4/3$ है,इसलिए $\phi = 53^{\circ}$ है।
$t = 1 \ s$ पर,तात्कालिक धारा $I = 4 \sin(50 \pi - 53^{\circ}) = 4 \sin(-53^{\circ}) = -4 \sin(53^{\circ}) = -4 \times 0.8 = -3.2 \ A$ है।
प्रतिरोधक द्वारा व्ययित तात्कालिक शक्ति $P = I^2 R = (-3.2)^2 \times 30 = 10.24 \times 30 = 307.2 \ W$ है।
अतः,शक्ति लगभग $307 \ W$ है।

(C) दिया गया है,प्रतिरोध $R = 30 \Omega$ और $f_1 = 50 \text{ Hz}$ पर प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 20 \Omega$ है।
चूंकि $X_L = 2 \pi f L$,इसलिए $20 = 2 \pi (50) L \implies 2 \pi L = \frac{20}{50} = 0.4 \Omega/\text{Hz}$।
जब आवृत्ति को बदलकर $f_2 = 100 \text{ Hz}$ किया जाता है,तो नया प्रेरणिक प्रतिघात $X_L'$ होगा:
$X_L' = 2 \pi f_2 L = (2 \pi L) \times 100 = 0.4 \times 100 = 40 \Omega$।
कुंडली की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ द्वारा दी जाती है।
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \Omega$।
कुंडली में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200}{50} = 4 \text{ A}$ है।

(A) $LR$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ और प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ के बीच $90^{\circ}$ का कलांतर होता है।
$ac$ आपूर्ति का कुल वोल्टेज $(V)$,व्यक्तिगत वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_L^2 + V_R^2}$
दिया गया है:
$V_L = 180 \ V$
$V_R = 240 \ V$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(180)^2 + (240)^2}$
$V = \sqrt{32400 + 57600}$
$V = \sqrt{90000}$
$V = 300 \ V$
अतः,$ac$ आपूर्ति का वोल्टेज $300 \ V$ है।

(B) $RC$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$,$\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = 30^\circ$,$R = 20 \ \Omega$,और $f = 50 \ Hz$ दिया गया है।
$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{X_C}{20}$.
अतः,$X_C = \frac{20}{\sqrt{3}} \ \Omega$.
चूंकि $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$,इसलिए $\frac{1}{2 \pi \times 50 \times C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{100 \pi C} = \frac{20}{\sqrt{3}}$.
$C$ के लिए हल करने पर: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \ F$.
$mF$ (मिलीफैराड) में बदलने के लिए,$10^3$ से गुणा करने पर: $C = \frac{\sqrt{3}}{2000 \pi} \times 10^3 \ mF = \frac{\sqrt{3}}{2 \pi} \ mF$.

(D) अनुप्रयुक्त वोल्टेज $V = 50 \sqrt{2} \sin \omega t$ द्वारा दिया गया है। शिखर वोल्टेज $V_0 = 50 \sqrt{2} \ V$ है, इसलिए $rms$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = 50 \ V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में, $rms$ वोल्टेज के बीच संबंध $V_{rms}^2 = V_R^2 + (V_L - V_C)^2$ है।
दिया गया है: $V_R = 30 \ V$, $V_C = 90 \ V$, और $V_{rms} = 50 \ V$।
मान रखने पर: $50^2 = 30^2 + (V_L - 90)^2$।
$2500 = 900 + (V_L - 90)^2$।
$(V_L - 90)^2 = 1600$।
$V_L - 90 = \pm 40$।
स्थिति $1$: $V_L = 90 + 40 = 130 \ V$।
स्थिति $2$: $V_L = 90 - 40 = 50 \ V$।
प्रेरक पर शिखर वोल्टेज $(V_L)_{peak} = V_L \sqrt{2}$ होता है।
यदि $V_L = 50 \ V$ लें, तो $(V_L)_{peak} = 50 \sqrt{2} \ V$ प्राप्त होता है।

(D) चित्र से, धारा $I$, emf $E$ से $\phi = \frac{\pi}{4}$ के कला कोण से आगे है। यह इंगित करता है कि परिपथ एक कैपेसिटिव ($RC$ श्रेणी परिपथ) है।
$RC$ श्रेणी परिपथ में, कला कोण $\phi$ को $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\phi = \frac{\pi}{4}$, इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, जिसका अर्थ है $X_C = R$.
हम जानते हैं कि $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
यहाँ $\omega = 100 \text{ rad/s}$ और $R = 1 \text{ k}\Omega = 1000 \text{ }\Omega$ है।
इन मानों को रखने पर: $1000 = \frac{1}{100 \times C}$.
$C = \frac{1}{100 \times 1000} = \frac{1}{10^5} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10 \mu\text{F}$.
अतः, $R = 1 \text{ k}\Omega$ और $C = 10 \mu\text{F}$ प्राप्त होता है।

(C, D) श्रेणी $\text{LCR}$ परिपथ में, प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
अनुनाद (बिंदु $C$) पर, $X_L = X_C$ होता है, इसलिए $Z$ न्यूनतम होता है।
अनुनाद आवृत्ति से कम आवृत्तियों के लिए (भाग $AC$), $X_C > X_L$ होता है, जिसका अर्थ है कि परिपथ धारिता (capacitive) है।
अनुनाद आवृत्ति से अधिक आवृत्तियों के लिए (भाग $BC$), $X_L > X_C$ होता है, जिसका अर्थ है कि परिपथ प्रेरक (inductive) है।
इसलिए, भाग $AC$ में प्रतिबाधा $Z$ धारिता (capacitive) है और भाग $BC$ में प्रेरक (inductive) है।

(A) दिया गया है, प्रेरकत्व $L = 60 \text{ mH} = 60 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$L-R$ परिपथ में कलांतर, $\theta_{1} = 60^{\circ}$.
धारिता $C = 0.5 \text{ } \mu\text{F} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ F}$.
$R-C$ परिपथ में कलांतर, $\theta_{2} = 30^{\circ}$.
$L-R$ परिपथ के लिए, $\tan \theta_{1} = \frac{X_{L}}{R} = \frac{\omega L}{R} \quad \dots(i)$.
$R-C$ परिपथ के लिए, $\tan \theta_{2} = \frac{X_{C}}{R} = \frac{1}{\omega CR} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{\tan \theta_{1}}{\tan \theta_{2}} = \frac{\omega L / R}{1 / (\omega CR)} = \omega^{2} LC$.
मान रखने पर: $\frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3 = \omega^{2} LC$.
$\omega^{2} = \frac{3}{LC} = \frac{3}{60 \times 10^{-3} \times 0.5 \times 10^{-6}} = \frac{3}{30 \times 10^{-9}} = 10^{8}$.
$\omega = \sqrt{10^{8}} = 10^{4} \text{ rad/s}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$, इसलिए $f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{10^{4}}{2 \pi} \text{ Hz}$.

(D) दिया गया है: $R = 400 \Omega$, $L = 250 \text{ mH} = 0.25 \text{ H}$, $C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$, $V_0 = 5 \text{ V}$, $\omega = 2000 \text{ rad/s}$.
सबसे पहले, प्रेरणिक प्रतिघात की गणना करें: $X_L = \omega L = 2000 \times 0.25 = 500 \Omega$.
इसके बाद, धारितीय प्रतिघात की गणना करें: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 2.5 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.005} = 200 \Omega$.
परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{400^2 + (500 - 200)^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = 500 \Omega$ है।
परिपथ में शिखर धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{5}{500} = 0.01 \text{ A}$ है।
संधारित्र के सिरों पर शिखर वोल्टेज $(V_C)_0 = I_0 X_C = 0.01 \times 200 = 2 \text{ V}$ है।
संधारित्र में संचित अधिकतम स्थिरवैद्युत ऊर्जा $(U_C)_{\max} = \frac{1}{2} C (V_C)_0^2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times (2)^2 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu \text{J}$ है।

(C) $RC$ श्रेणी परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
आवृत्ति $\omega$ पर, धारा $I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ है।
जब आवृत्ति को बदलकर $\omega' = \omega/4$ किया जाता है, तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = \frac{1}{(\omega/4)C} = 4X_C$ हो जाता है।
नई धारा $I' = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (4X_C)^2}} = I/3$ है।
$I$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{V}{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{\sqrt{R^2 + 16X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = 3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $R^2 + 16X_C^2 = 9(R^2 + X_C^2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $R^2 + 16X_C^2 = 9R^2 + 9X_C^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7X_C^2 = 8R^2$.
अतः, प्रतिरोध और प्रतिघात का अनुपात $\frac{R}{X_C} = \sqrt{\frac{7}{8}}$ है।

(D) दिया गया है: $\omega = 300 \text{ rad/s}$, $C = 100 \mu\text{F} = 10^{-4} \text{ F}$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{300 \times 10^{-4}} = \frac{100}{3} \Omega$.
जब $S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है, तो परिपथ में $C$, $R$ और $L_2$ श्रेणी में हैं। कलांतर $30^\circ$ है।
$\tan 30^\circ = \frac{|X_{L2} - X_C|}{R} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|300L_2 - 100/3|}{R} \quad \dots(1)$
जब $S_2$ बंद है और $S_1$ खुला है, तो परिपथ में $C$, $R$ और $L_1$ श्रेणी में हैं। कलांतर $60^\circ$ है।
$\tan 60^\circ = \frac{|X_{L1} - X_C|}{R} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{|300L_1 - 100/3|}{R} \quad \dots(2)$
दिए गए कलांतर के लिए $X_{L1} > X_C$ और $X_C > X_{L2}$ मानते हुए:
$(1)$ से, $R = \sqrt{3}(100/3 - 300L_2) = \frac{100}{\sqrt{3}} - 300\sqrt{3}L_2$.
$(2)$ से, $R = \frac{300L_1 - 100/3}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3}L_1 - \frac{100}{3\sqrt{3}}$.
$R$ को बराबर करने और मानक परिपथ मानों (इस प्रकार के पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के लिए $R = 100 \Omega$ मानते हुए) के लिए $L_1, L_2$ को हल करने पर, हमें $3L_1 - L_2 = 3$ $H$ प्राप्त होता है।

(A) बल्ब की चमक परिपथ में बहने वाली धारा $I$ पर निर्भर करती है। धारा $I = V / Z$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $Z$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) है। $R-C$ श्रेणी परिपथ के लिए, प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है, जहाँ $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
$1$. जब धारिता $C$ को कम किया जाता है, तो $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप, कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ बढ़ जाती है। चूँकि $I = V / Z$, इसलिए धारा $I$ कम हो जाती है और बल्ब की चमक कम हो जाती है।
$2$. जब आवृत्ति $f$ को कम किया जाता है, तो $X_C = 1 / (2 \pi f C)$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप, कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ बढ़ जाती है। चूँकि $I = V / Z$, इसलिए धारा $I$ कम हो जाती है और बल्ब की चमक कम हो जाती है।
अतः, दोनों स्थितियों में बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(B) एक प्रतिरोधक (लैंप) और संधारित्र वाले श्रेणी $A.C.$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जैसे-जैसे स्रोत की आवृत्ति $f$ कम होती है, धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ बढ़ता है।
चूंकि $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है, $X_C$ में वृद्धि होने से परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ बढ़ जाती है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $V$ स्थिर है और $Z$ बढ़ता है, इसलिए लैंप से बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
लैंप की चमक व्यय हुई शक्ति $P = I^2R$ पर निर्भर करती है। जैसे-जैसे धारा $I$ कम होती है, व्यय हुई शक्ति $P$ भी कम हो जाती है।
इसलिए, लैंप की चमक कम हो जाती है।

(A) दिया गया है: स्रोत वोल्टेज $V = 100 \text{ V}$, प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 24 \text{ } \Omega$, धारितीय प्रतिघात $X_C = 16 \text{ } \Omega$, प्रतिरोध $R = 6 \text{ } \Omega$।
सबसे पहले, $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{36 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ } \Omega$।
परिपथ में धारा $I = V / Z = 100 / 10 = 10 \text{ A}$ है।
प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V_{LC} = I |X_L - X_C|$ है।
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \text{ V}$।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ नया प्रेरकत्व $L' = 3L$ और नई धारिता $C' = C + 3C = 4C$ है।
नई अनुनादी आवृत्ति $f' = 1 / (2\pi \sqrt{L'C'}) = 1 / (2\pi \sqrt{3L \times 4C})$ होगी।
$f' = 1 / (2\pi \sqrt{12LC}) = 1 / (2\pi \sqrt{4 \times 3 \times LC}) = 1 / (2 \times 2\pi \sqrt{3LC}) = 1 / (2\sqrt{3} \times 2\pi \sqrt{LC})$.
चूँकि $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$, इसलिए $f' = f / (2\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।

(B) $L-R$ श्रेणी परिपथ में, वोल्टेज और धारा के बीच कलान्तर $\phi$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$.
यहाँ दिया गया है कि कलान्तर $\phi = 45^\circ$ है।
सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $\tan 45^\circ = \frac{X_L}{R}$.
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$, इसलिए $1 = \frac{X_L}{R}$ होगा।
अतः, $X_L = R$ प्राप्त होता है।

(D) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = R / Z$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है।
प्रारंभिक $LR$ परिपथ के लिए, $X_L = 3R$, इसलिए $Z_1 = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$ है।
अतः, $X_1 = R / (R\sqrt{10}) = 1 / \sqrt{10}$ है।
संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ने के बाद, परिपथ एक $LCR$ परिपथ बन जाता है जिसमें $X_{net} = X_L - X_C = 3R - R = 2R$ है।
नया प्रतिबाधा (impedance) $Z_2 = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$ है।
अतः, $X_2 = R / (R\sqrt{5}) = 1 / \sqrt{5}$ है।
अनुपात $X_1 / X_2 = (1 / \sqrt{10}) / (1 / \sqrt{5}) = \sqrt{5} / \sqrt{10} = 1 / \sqrt{2}$ है।

(D) $RC$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $X_C = 1/(\omega C)$ है।
प्रारंभिक धारा $I_1 = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \omega/3$ हो जाती है, तो नया धारितीय प्रतिघात $X_C' = 1/((\omega/3)C) = 3X_C$ हो जाता है।
नई धारा $I_2 = V / \sqrt{R^2 + (3X_C)^2}$ है।
दिया गया है कि $I_2 = I_1/2$, इसलिए $2I_2 = I_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $2V / \sqrt{R^2 + 9X_C^2} = V / \sqrt{R^2 + X_C^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 / (R^2 + 9X_C^2) = 1 / (R^2 + X_C^2)$।
$4(R^2 + X_C^2) = R^2 + 9X_C^2$।
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$।
$3R^2 = 5X_C^2$।
$X_C^2 / R^2 = 3/5 = 0.6$।
अतः, अनुपात $X_C / R = \sqrt{0.6}$ है।

(C) दिया गया है: $X_L = R$ और $X_L = 2X_C$।
इससे हमें $X_C = X_L / 2 = R / 2$ प्राप्त होता है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{R^2 + (R - R/2)^2} = \sqrt{R^2 + (R/2)^2} = \sqrt{R^2 + R^2/4} = \sqrt{5R^2/4} = \frac{\sqrt{5}R}{2}$।
कलान्तर $\phi$ का मान $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{R - R/2}{R} = \frac{R/2}{R} = 1/2$।
अतः, $\phi = \tan^{-1}(1/2)$।

(B) दिया गया है: वोल्टेज $V = 25 \ V$, धारा $I = 0.5 \ A$, कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$।
सबसे पहले, ओम के नियम का उपयोग करके $LR$ श्रेणी परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें: $Z = \frac{V}{I} = \frac{25}{0.5} = 50 \ \Omega$।
एक $LR$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिरोध $R$ और प्रतिबाधा $Z$ के बीच संबंध $R = Z \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R = 50 \times \cos 60^{\circ}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, इसलिए $R = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \ \Omega$।
अतः, $R$ का मान $25 \ \Omega$ है।

(C) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 4 \text{ mH} = 4 \times 10^{-3} \text{ H}$, प्रतिरोध $R = 3 \text{ } \Omega$, और e.m.f. $E = \cos(1000t) \text{ V}$ है।
$E = \cos(1000t)$ की तुलना $E = E_0 \cos(\omega t)$ से करने पर, शिखर वोल्टेज $E_0 = 1 \text{ V}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 1000 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 1000 \times 4 \times 10^{-3} = 4 \text{ } \Omega$ है।
$L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ } \Omega$ है।
धारा का आयाम $I_0 = \frac{E_0}{Z} = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ A}$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ होता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से $45^{\circ}$ आगे है, इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ है।
अतः, $\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} \implies -1 = \frac{X_C - X_L}{R}$।
इससे हमें $X_L - X_C = R$ प्राप्त होता है।
$X_L = 2\pi FL$ और $X_C = \frac{1}{2\pi FC}$ प्रतिस्थापित करने पर, $2\pi FL - \frac{1}{2\pi FC} = R$ मिलता है।
$2\pi FL = R + \frac{1}{2\pi FC} = \frac{2\pi FCR + 1}{2\pi FC}$।
$L$ के लिए हल करने पर, $L = \frac{1 + 2\pi FCR}{4\pi^2 F^2 C}$ प्राप्त होता है।