Bisectors of the angle between the lines, Point of intersection of the lines Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ અને $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
પ્રથમ,છેદની કિંમત શોધીએ: $ab-h^2 = (3)(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = \frac{120-121}{4} = -\frac{1}{4}$.
હવે,$x$ માટે અંશની કિંમત શોધીએ: $hf-bg = (-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2}) = -\frac{143}{4} + 35 = \frac{-143+140}{4} = -\frac{3}{4}$.
તેથી,$x = \frac{-3/4}{-1/4} = 3$.
હવે,$y$ માટે અંશની કિંમત શોધીએ: $gh-af = (-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2}) = \frac{77}{4} - \frac{39}{2} = \frac{77-78}{4} = -\frac{1}{4}$.
તેથી,$y = \frac{-1/4}{-1/4} = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^3-4x^2y=0$
સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા: $y(y^2-4x^2)=0$
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $y(y-2x)(y+2x)=0$
આનાથી ત્રણ રેખાઓ મળે છે: $L_1: y=0$,$L_2: y=2x$,અને $L_3: y=-2x$.
આ ત્રણેય રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,ત્રણેય રેખાઓ એક સામાન્ય બિંદુ $(0,0)$ પર છેદે છે,તેથી તે સંગામી રેખાઓ છે.

(D) $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ છે.
પ્રથમ જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ એટલે કે $x^2-y^2+\frac{2 x y}{p}=0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દ્વિભાજકોની જોડી બીજી જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ જેવી જ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{p} = -2 q$.
તેથી,$p q = -1$.

(C) રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાઓની જોડી $x^2-2pxy-y^2=0$ માટે,આપણી પાસે $a=1, h=-p, b=-1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ અથવા $x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ દ્વિભાજકોની જોડી એ રેખાઓની જોડી $x^2-2qxy-y^2=0$ જેવી જ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{2}{p} = -2q$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $pq = -1$,અથવા $pq+1=0$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સીધી રેખાઓની જોડી $x^2-y^2+2y-1=0$ છે.
આને $x^2-(y-1)^2=0$ તરીકે લખી શકાય,જેનું અવયવીકરણ $(x-y+1)(x+y-1)=0$ થાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: x+y-1=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ દ્વારા મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
કિસ્સો $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
ત્રિકોણ રેખા $x+y=3$ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $y=1$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0,1)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે.
$3$. $y=1$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(2,1)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,1), (0,3),$ અને $(2,1)$ છે.
$y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $|3-1|=2$ એકમ છે.
શિરોબિંદુ $(2,1)$ થી $y$-અક્ષ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ $|2-0|=2$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2-y^2+2y-1=0$ છે.
$x^2 = y^2-2y+1$
$\Rightarrow x^2 = (y-1)^2$
$\Rightarrow x^2 - (y-1)^2 = 0$
$\Rightarrow (x+y-1)(x-y+1) = 0$
તેથી,રેખાઓ $l_1: x+y-1=0$ અને $l_2: x-y+1=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \pm \frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$\Rightarrow x+y-1 = \pm(x-y+1)$.
કિસ્સો $1$: $x+y-1 = x-y+1$ $\Rightarrow 2y = 2$ $\Rightarrow y=1$.
કિસ્સો $2$: $x+y-1 = -(x-y+1)$ $\Rightarrow x+y-1 = -x+y-1$ $\Rightarrow 2x = 0$ $\Rightarrow x=0$.
ખૂણાના દ્વિભાજકો $x=0$ ($Y$-અક્ષ) અને $y=1$ રેખાઓ છે.
ત્રિકોણ $x+y=4$,$x=0$,અને $y=1$ રેખાઓ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ $(0, 4)$ છે.
$3$. $y=1$ અને $x+y=4$ નું છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.
$x=0$ પર ત્રિકોણનો પાયો $|4-1| = 3$ છે.
$x=0$ થી $x=3$ સુધી ત્રિકોણની ઊંચાઈ $3$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 x^2-5 x y+4 y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=3$,$2 h=-5$,અને $b=4$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{x y}{-5/2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2 x y}{-5}$ થાય છે.
બંને બાજુ $-5$ વડે ગુણતા,આપણને $5(x^2-y^2) = 2 x y$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-2 m x y-y^2=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=-m, b=-1$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{x y}{-m}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2} = \frac{x y}{-m}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-m(x^2-y^2) = 2 x y$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $m x^2 + 2 x y - m y^2 = 0$ મળે છે.
$m$ વડે ભાગતા ($m \neq 0$ ધારીને),આપણને $x^2 + \frac{2}{m} x y - y^2 = 0$ મળે છે.
આને આપેલ દ્વિભાજક સમીકરણ $x^2-2 n x y-y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-2n = \frac{2}{m}$ મળે છે.
તેથી,$-n = \frac{1}{m}$,જે $mn = -1$ અથવા $mn+1=0$ આપે છે.

(B) રેખાઓની જોડી $a x^2+2 h x y+b y^2=0$ વચ્ચેના ખૂણાના દુભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b}=\frac{x y}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોડી $x^2-2 p x y-y^2=0$ માટે,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
દુભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)}=\frac{x y}{-p}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{2}=\frac{x y}{-p}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $-p(x^2-y^2)=2xy$,અથવા $p x^2+2 x y-p y^2=0$.
$p$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+\frac{2}{p} x y-y^2=0$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ જોડી $x^2-2 q x y-y^2=0$ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$-2 q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$-p q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p q = -1$.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ: $x^2+4xy-y^2=0$.
તેને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$b=-1$,અને $h=2$ મળે છે.
દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{2} \Rightarrow x^2-xy-y^2=0$.
$y=mx$ એ દ્વિભાજક હોવાથી,$x^2-x(mx)-(mx)^2=0$ મળે.
આમ,$m^2+m-1=0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
તેથી,$2m = -1 \pm \sqrt{5}$.

(A) ધારો કે આપેલ સમીકરણો છે:
$x^2-16pxy-y^2=0 \quad (i)$
$x^2-16qxy-y^2=0 \quad (ii)$
રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(i)$ માટે,$a=1, b=-1, h=-8p$. દ્વિભાજકો છે $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8p} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8p} \implies -8px^2-2xy+8py^2=0 \quad (iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માટે,$a=1, b=-1, h=-8q$. દ્વિભાજકો છે $\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-8q} \implies \frac{x^2-y^2}{2} = \frac{xy}{-8q} \implies -8qx^2-2xy+8qy^2=0 \quad (iv)$.
દરેક જોડી બીજી જોડી વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ એ સમીકરણ $(iv)$ જેવું જ હોવું જોઈએ અને સમીકરણ $(ii)$ એ સમીકરણ $(iii)$ જેવું જ હોવું જોઈએ.
$(i)$ અને $(iv)$ ની સરખામણી કરતા: $\frac{1}{-8q} = \frac{-16p}{-2} = \frac{-1}{8q}$. આનાથી $1 = -64pq$ મળે છે,તેથી $pq = \frac{-1}{64}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy-2ay^2+3x+15y-9=0$ છે.
રેખાઓ $(1,1)$ પર છેદતી હોવાથી,આંશિક વિકલન $f_x$ અને $f_y$ બિંદુ $(1,1)$ પર શૂન્ય થાય.
$f_x = 2ax+2hy+3 = 0 \implies 2a+2h+3=0$
$f_y = 2hx-4ay+15 = 0 \implies 2h-4a+15=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$a=2$ અને $h=-3.5$ મળે છે.
તેથી,$ah = 2 \times (-3.5) = -7$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 2hxy + 2y^2 - x + y - 1 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2h'xy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$h' = h$,$b = 2$,$g = -1/2$,$f = 1/2$,અને $c = -1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ છે.
$\tan \theta = 3/4$ આપેલ છે,તેથી $3/4 = |\frac{2\sqrt{h^2 - 4}}{2 + 2}| = \frac{\sqrt{h^2 - 4}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9/16 = (h^2 - 4)/4$,તેથી $h^2 = 25/4$,એટલે કે $h = 5/2$.
છેદબિંદુ $(x, y)$ શોધવા માટે $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલો.
$4x + 5y - 1 = 0$ અને $5x + 4y + 1 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $x = -1$ અને $y = 1$ મળે છે.
તેથી છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^2+7xy+2y^2+2gx+2fy+2=0$ એ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ મુજબ:
$6f^2 + 4g^2 - 14fg = -25$ ---$(i)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણનું $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા:
$6x+7y+2g = 0$ ---(ii)
$7x+4y+2f = 0$ ---(iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા,છેદબિંદુ $\left(\frac{8g-14f}{25}, \frac{12f-14g}{25}\right)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો વર્ગ $\frac{2}{5}$ હોવાથી:
$\left(\frac{8g-14f}{25}\right)^2 + \left(\frac{12f-14g}{25}\right)^2 = \frac{2}{5}$
સાદુરૂપ આપતા $26g^2 + 34f^2 - 56fg = 25$ મળે છે. ---(iv)
સમીકરણ $(i)$ અને (iv) ને ઉકેલતા:
$10g^2 + 10f^2 = 125$
તેથી,$f^2 + g^2 = \frac{25}{2}$

(C) સમીકરણ $2x^2 + 4xy - 6y^2 + 3x + y + 1 = 0$ માટે,અવયવ પાડતા $(2x - 2y + 1)(x + 3y + 1) = 0$ મળે છે.
બંને રેખાઓ $2x - 2y + 1 = 0$ અને $x + 3y + 1 = 0$ ને ઉકેલતા,છેદબિંદુ $\left(-\frac{5}{8}, -\frac{1}{8}\right)$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે. તેને $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ સૂત્ર $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
છેદબિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,આ બિંદુ $5x+ky-8=0$ નું સમાધાન કરશે.
$5(\frac{4}{3}) + k(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2k}{3} = 8$.
$20 + 2k = 24$.
$2k = 4 \Rightarrow k = 2$.

(D) રેખાઓની જોડી $f(x, y) = x^2+xy+2y^2-3x+2y+4=0$ નું છેદબિંદુ $f(x, y)$ ના $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરીને મેળવી શકાય છે.
$x$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3 = 0 \quad \dots (i)$
$y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા:
$\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y + 2 = 0 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y = 3 - 2x$.
તેને $(ii)$ માં મૂકતા: $x + 4(3 - 2x) + 2 = 0$
$x + 12 - 8x + 2 = 0$
$-7x + 14 = 0 \implies x = 2$
$x = 2$ ને $y = 3 - 2x$ માં મૂકતા:
$y = 3 - 2(2) = 3 - 4 = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(2, -1)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2+2xy-35y^2-4x+44y-12=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=1, b=-35, g=-2, f=22, c=-12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2} = \frac{(1)(22)-(-35)(-2)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{22-70}{-36} = \frac{-48}{-36} = \frac{4}{3}$.
$y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2} = \frac{(-2)(1)-(1)(22)}{(1)(-35)-(1)^2} = \frac{-2-22}{-36} = \frac{-24}{-36} = \frac{2}{3}$.
રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ એ રેખા $5x+\lambda y-8=0$ પર હોવું જોઈએ.
$5(\frac{4}{3}) + \lambda(\frac{2}{3}) - 8 = 0$.
$\frac{20}{3} + \frac{2\lambda}{3} - 8 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા: $20 + 2\lambda - 24 = 0$.
$2\lambda - 4 = 0$.
$2\lambda = 4$.
$\lambda = 2$.

(A) બીજી રેખાઓની જોડી $2x^2+xy-6y^2=0$ છે. તેના અવયવો પાડતા,$(2x-3y)(x+2y)=0$ મળે છે. રેખાઓ $2x-3y=0$ અને $x+2y=0$ છે.
પ્રથમ જોડી $ax^2-7xy-3y^2=0$ માં એક રેખા સામાન્ય હોવાથી,$2x-3y=0$ અથવા $x+2y=0$ એ $ax^2-7xy-3y^2=0$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
જો $2x-3y=0$ અવયવ હોય,તો $y = \frac{2}{3}x$ લેતા,$a=6$ મળે છે.
જો $x+2y=0$ અવયવ હોય,તો $a = -\frac{11}{4}$ મળે છે જે પૂર્ણાંક નથી.
તેથી $a=6$. સમીકરણ $6x^2-7xy-3y^2=0$ છે.
દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{A-C} = \frac{xy}{B/2}$ સૂત્ર દ્વારા મેળવતા,$7x^2+18xy-7y^2=0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી: $3x^2+7xy+2y^2+5x+5y+2=0$.
અવયવ પાડતા,$(3x+y+2)(x+2y+1)=0$ મળે છે.
રેખાઓ $L_1: 3x+y+2=0$ અને $L_2: x+2y+1=0$ છે.
છેદબિંદુ $(-3/5, -1/5)$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{5x+3}{\sqrt{10}} = \pm \frac{5y+1}{\sqrt{5}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$7(5x+3)^2-2(5x+3)(5y+1)-7(5y+1)^2=0$ મળે છે.

(C) નવી સ્થિતિમાં રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો તેમની જૂની સ્થિતિ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો સમાન જ રહે છે.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-1)} = \frac{xy}{-h}$
$\Rightarrow hx^2-hy^2 = -2xy$
$\Rightarrow hx^2-hy^2+2xy = 0$

(D) આપેલ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે: $f(x, y) = 2x^2 + 5xy - 3y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટે,છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ એ આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલીને મેળવી શકાય છે.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 5y + 2g = 0$.
છેદબિંદુ $(-1, -1)$ મૂકતા:
$4(-1) + 5(-1) + 2g = 0 \implies -4 - 5 + 2g = 0 \implies 2g = 9 \implies g = 4.5$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = 5x - 6y + 2f = 0$.
છેદબિંદુ $(-1, -1)$ મૂકતા:
$5(-1) - 6(-1) + 2f = 0 \implies -5 + 6 + 2f = 0 \implies 1 + 2f = 0 \implies f = -0.5$.
તેથી,$g + f = 4.5 + (-0.5) = 4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-y+1)(x+y-2)=0$ મળે છે.
આમ,રેખાઓ $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: x+y-2=0$ છે.
છેદબિંદુ $P$ શોધવા માટે:
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x-y+1) + (x+y-2) = 2x-1=0 \implies x=\frac{1}{2}$.
$x=\frac{1}{2}$ ને $x+y-2=0$ માં મૂકતા,$y=\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$P = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
$\alpha$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $P$ સુધીના અંતરનો વર્ગ છે:
$\alpha = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$\beta$ એ ઉગમબિંદુથી $L_1$ અને $L_2$ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર છે:
$d_1 = \frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$d_2 = \frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$\beta = d_1 \times d_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1$.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x, y) = 2x^2+axy+3y^2+bx+cy-3=0$. $(2,-1)$ એ છેદબિંદુ હોવાથી,આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x}$ અને $\frac{\partial f}{\partial y}$ બિંદુ $(2,-1)$ આગળ શૂન્ય થાય.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+ay+b = 0 \implies 4(2)+a(-1)+b = 0 \implies a-b=8$....$(i)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = ax+6y+c = 0 \implies a(2)+6(-1)+c = 0 \implies 2a+c=6$....(ii)
વળી,બિંદુ $(2,-1)$ મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$8-2a+3+2b-c-3 = 0 \implies 2a-2b+c = 8$....(iii)
$(i)$ પરથી,$b = a-8$. (iii) માં મૂકતા:
$2a-2(a-8)+c = 8 \implies c = -8$.
(ii) માં $c=-8$ મૂકતા:
$2a-8 = 6 \implies a = 7$.
$(i)$ પરથી,$b = 7-8 = -1$.
તેથી,$3a+2b+c = 3(7)+2(-1)+(-8) = 21-2-8 = 11$.

(A) ધારો કે રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2 - 13xy - 7y^2 + x + 23y - 6 = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $\frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 13y + 1 = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = -13x - 14y + 23 = 0$ ને ઉકેલીએ છીએ.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને છેદબિંદુ $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ મળે છે.
રેખા $L: x+y-1=0$ એ $O(0,0)$ અને $P(\frac{19}{15}, \frac{7}{15})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ગુણોત્તર $-\frac{L(O)}{L(P)} = -\frac{0+0-1}{\frac{19}{15} + \frac{7}{15} - 1} = \frac{15}{11}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $15:11$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણને $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=2 \lambda, h=-5, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ મળે છે.
સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,નિશ્ચાયક શરત મુજબ:
$\left|\begin{array}{ccc} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right|=0$ $\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 2 \lambda & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(-6 \lambda-64)+5(15+20)+\frac{5}{2}(40-5 \lambda)=0$.
$-12 \lambda-128+175+100-12.5 \lambda=0$ $\Rightarrow -24.5 \lambda = -147$ $\Rightarrow \lambda=6$.
હવે,$b=2 \lambda = 12$. છેદબિંદુ $(x, y) = \left(\frac{b g-f h}{h^2-a b}, \frac{a f-g h}{h^2-a b}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
છેદ $h^2-a b = (-5)^2 - (2)(12) = 25-24=1$.
$x = \frac{(12)(5/2) - (-8)(-5)}{1} = 30-40 = -10$.
$y = \frac{(2)(-8) - (5/2)(-5)}{1} = -16 + 12.5 = -3.5 = \frac{-7}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $\left(-10, \frac{-7}{2}\right)$ છે.

(C) રેખાઓની જોડી $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ ના છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ માટે,આંશિક વિકલન લેતા:
$ax+hy+g=0$
$hx+by+f=0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x_0 = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ અને $y_0 = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો વર્ગ $D^2 = x_0^2 + y_0^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે:
$D^2 = \frac{c(a+b)-f^2-g^2}{ab-h^2}$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $xy-x-y+1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $x(y-1)-1(y-1)=0$,જે $(x-1)(y-1)=0$ આપે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x=1$ અને $y=1$.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
આ રેખાઓ રેખા $ax+2y-3a=0$ સાથે સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ રેખા $ax+2y-3a=0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $a(1)+2(1)-3a=0$.
$a+2-3a=0$.
$-2a+2=0$.
$2a=2$.
$a=1$.

(B) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે. આ સમીકરણ સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A=a, H=2, B=-2, G=2, F=4, C=1$ મળે છે. કિંમતો મૂકતા: $a(-2)(1) + 2(4)(2)(2) - a(4)^2 - (-2)(2)^2 - 1(2)^2 = 0 \implies -2a + 32 - 16a + 8 - 4 = 0 \implies -18a + 36 = 0 \implies a = 2$। સમીકરણ $2x^2 + 4xy - 2y^2 + 4x + 8y + 1 = 0$ બને છે. ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $f_x = 4x + 4y + 4 = 0 \implies x + y = -1$ અને $f_y = 4x - 4y + 8 = 0 \implies x - y = -2$ મળે છે. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$ મળે છે. બાદબાકી કરતા: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$ મળે છે. છેદબિંદુ $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ છે.

(B) ધારો કે $f(x, y) = x^2 - ky^2 - 4x + 6y - 5 = 0$ છે.
સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે, છેદબિંદુ $(h, k_0)$ પર $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન શૂન્ય હોવા જોઈએ.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
$\frac{\partial f}{\partial y} = -2ky + 6 = 0 \implies ky = 3$.
વળી, રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
અહીં $a=1, b=-k, c=-5, h=0, g=-2, f=3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(1)(-k)(-5) + 2(3)(-2)(0) - 1(3)^2 - (-k)(-2)^2 - (-5)(0)^2 = 0$.
$5k - 9 + 4k = 0 \implies 9k = 9 \implies k = 1$.
$k=1$ ને $ky=3$ માં મૂકતા, આપણને $y=3$ મળે છે.
આમ, છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે. આની સરખામણી $kx^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ સાથે કરતા, આપણને $a=k, h=-5/2, b=6, g=1/2, f=-3/2, c=0$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $k(6)(0) + 2(-3/2)(1/2)(-5/2) - k(-3/2)^2 - 6(1/2)^2 - 0(-5/2)^2 = 0$.
$0 + 15/4 - 9k/4 - 6/4 = 0 \implies 9/4 - 9k/4 = 0 \implies k=1$.
સમીકરણ $x^2 - 5xy + 6y^2 + x - 3y = 0$ બને છે.
છેદબિંદુ $(x, y)$ એ $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષ આંશિક વિકલન દ્વારા મેળવવામાં આવે છે:
$\frac{\partial}{\partial x} = 2x - 5y + 1 = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = -5x + 12y - 3 = 0$.
આને ઉકેલતા: $2x - 5y = -1$ $(i)$ અને $-5x + 12y = 3$ (ii).
$(i)$ ને $5$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા: $10x - 25y = -5$ અને $-10x + 24y = 6$.
સરવાળો કરતા: $-y = 1 \implies y = -1$.
$(i)$ માં $y = -1$ મૂકતા: $2x - 5(-1) = -1 \implies 2x + 5 = -1 \implies 2x = -6 \implies x = -3$.
છેદબિંદુ $(-3, -1)$ છે.

(D) પગલું $1$: $x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. ધારો કે $f(x, y) = x^2 - 6xy + 5y^2 + 10x - 14y + 9 = 0$ છે.
પગલું $2$: $x$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 6y + 10 = 0 \implies x - 3y + 5 = 0$ $(i)$.
પગલું $3$: $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા: $\frac{\partial f}{\partial y} = -6x + 10y - 14 = 0 \implies -3x + 5y - 7 = 0$ (ii).
પગલું $4$: સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને ઉકેલો. $(i)$ પરથી, $x = 3y - 5$. તેને (ii) માં મૂકતા: $-3(3y - 5) + 5y - 7 = 0 \implies -9y + 15 + 5y - 7 = 0 \implies -4y + 8 = 0 \implies y = 2$.
પગલું $5$: $y = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x = 3(2) - 5 = 1$. છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે.
પગલું $6$: $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ $x = 1$ અને $y = 2$ છે.
પગલું $7$: સંયુક્ત સમીકરણ $(x - 1)(y - 2) = 0 \implies xy - 2x - y + 2 = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 24xy + 9y^2 - 8x + 6y - 35 = 0$ છે.
નોંધો કે $16x^2 - 24xy + 9y^2 = (4x - 3y)^2$ થાય.
ધારો કે $u = 4x - 3y$. તો સમીકરણ $u^2 - 2u - 35 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(u - 7)(u + 5) = 0$.
આનાથી બે રેખાઓ મળે છે: $L_1: 4x - 3y - 7 = 0$ અને $L_2: 4x - 3y + 5 = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ $ax + by + \frac{c_1 + c_2}{2} = 0$ રેખા છે.
અહીં $a = 4, b = -3, c_1 = -7, c_2 = 5$ છે.
બિંદુપથ $4x - 3y + \frac{-7 + 5}{2} = 0$ છે.
$4x - 3y - 1 = 0$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. અહીં, $a = 1$, $h = -p$, અને $b = -1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$.
$-p(x^2 - y^2) = 2xy$.
$-px^2 + py^2 = 2xy$.
$px^2 + 2xy - py^2 = 0$.
આને આપેલા સમીકરણ $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવેલા સમીકરણને $p$ વડે ભાગીએ છીએ:
$x^2 + \frac{2}{p}xy - y^2 = 0$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $-2q = \frac{2}{p}$.
$-q = \frac{1}{p}$, જેનો અર્થ છે $pq = -1$ અથવા $pq + 1 = 0$.