Word problem of Linear programming Questions in Hindi

(D) उद्देश्य फलन $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले प्रतिबंधों $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ और $x, y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं।
$1$. सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करें:
- रेखा $x + 2y = 80$,$x$-अक्ष को $(80, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 40)$ पर काटती है।
- रेखा $3x + y = 75$,$x$-अक्ष को $(25, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, 75)$ पर काटती है।
- $x + 2y = 80$ और $3x + y = 75$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ समीकरणों को हल करके प्राप्त होता है:
$x = 80 - 2y$
$3(80 - 2y) + y = 75 \implies 240 - 6y + y = 75 \implies 5y = 165 \implies y = 33$.
$x = 80 - 2(33) = 80 - 66 = 14$.
अतः,$B = (14, 33)$.
$2$. सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $A(80, 0)$,$B(14, 33)$ और $C(0, 75)$ हैं।
$3$. इन शीर्षों पर $z = 4x + 6y$ का मान ज्ञात करें:
- $A(80, 0)$ पर: $z = 4(80) + 6(0) = 320$.
- $B(14, 33)$ पर: $z = 4(14) + 6(33) = 56 + 198 = 254$.
- $C(0, 75)$ पर: $z = 4(0) + 6(75) = 450$.
अतः,न्यूनतम मान $254$ है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित एक अपरिबद्ध क्षेत्र है।
कोणीय बिंदुओं को खोजने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को हल करते हैं:
$1$) $5x + y = 5$ और $x + y = 3$। पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर $4x = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 0.5$। $x + y = 3$ में मान रखने पर $y = 2.5$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $P = (0.5, 2.5)$ है।
$2$) $x + y = 3$ का $x$-अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $C = (3, 0)$ है।
$3$) $5x + y = 5$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $B = (0, 5)$ है।
इन कोणीय बिंदुओं पर $Z = 7x + y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$C(3, 0)$ पर: $Z = 7(3) + 0 = 21$.
$P(0.5, 2.5)$ पर: $Z = 7(0.5) + 2.5 = 3.5 + 2.5 = 6$.
$B(0, 5)$ पर: $Z = 7(0) + 5 = 5$.
अतः,न्यूनतम मान $5$ है।

(D) सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम पहले सीमा रेखाओं के अंतःखंड निर्धारित करते हैं:

$\text{रेखा}$	$\text{अंतःखंड}$
$8x + 5y = 60$	$A(7.5, 0), B(0, 12)$
$4x + 5y = 40$	$C(10, 0), D(0, 8)$

समीकरणों $8x + 5y = 60$ और $4x + 5y = 40$ को एक साथ हल करने पर:
पहले में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(8x - 4x) = 60 - 40 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$.
$x = 5$ को $4x + 5y = 40$ में रखने पर: $4(5) + 5y = 40 \Rightarrow 20 + 5y = 40 \Rightarrow 5y = 20 \Rightarrow y = 4$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $E(5, 4)$ है।
प्रतिबंध $x \geq 0, y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र शीर्षों $O(0, 0)$,$A(7.5, 0)$,$E(5, 4)$,और $D(0, 8)$ द्वारा घिरा हुआ है।
चूंकि इसमें चार शीर्ष हैं,इसलिए सुसंगत क्षेत्र एक चतुर्भुज है।

(B) हल खोजने के लिए,हम सबसे पहले शर्तों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं:
$1$. $x+y \leq 30$
$2$. $x \leq 15$
$3$. $y \leq 20$
$4$. $x+y \geq 15$
$5$. $x, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित होते हैं:
- $x=15$ और $y=20$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $E(15, 20)$ है।
- $x=0$ और $y=20$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D(0, 20)$ है।
- $x=0$ और $x+y=15$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $F(0, 15)$ है।
- $x=15$ और $x+y=15$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(15, 0)$ है।
सुसंगत क्षेत्र चतुर्भुज $CDEF$ है।
हम इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $z=x+y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $C(15, 0)$ पर: $z = 15+0 = 15$
- $D(0, 20)$ पर: $z = 0+20 = 20$
- $E(15, 20)$ पर: $z = 15+20 = 35$
- $F(0, 15)$ पर: $z = 0+15 = 15$
$z$ का अधिकतम मान $35$ है,जो अद्वितीय शीर्ष $E(15, 20)$ पर प्राप्त होता है। इसलिए,दी गई $L$.$P$.$P$. का एक अद्वितीय हल है।

(D) $1$. रेखा $5x + 9y = 90$,$(18, 0)$ और $(0, 10)$ से गुजरती है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है,इसलिए अवरोध $5x + 9y \leq 90$ है।
$2$. रेखा $x + y = 4$,$(4, 0)$ और $(0, 4)$ से गुजरती है। छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है,इसलिए अवरोध $x + y \geq 4$ है।
$3$. रेखा $y = 8$ एक क्षैतिज रेखा है। छायांकित क्षेत्र इस रेखा के नीचे है,इसलिए अवरोध $y \leq 8$ है।
$4$. चूंकि क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x \geq 0$ और $y \geq 0$ है।
इन सबको मिलाने पर,अवरोध $5x + 9y \leq 90, x + y \geq 4, y \leq 8, x, y \geq 0$ प्राप्त होते हैं।

(C) $Z=3x+5y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले $x+4y \leq 24$,$y \leq 4$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0,0)$,$A(24,0)$,$D(8,4)$,और $C(0,4)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z=3x+5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$2$. $A(24,0)$ पर: $Z = 3(24) + 5(0) = 72$
$3$. $D(8,4)$ पर: $Z = 3(8) + 5(4) = 24 + 20 = 44$
$4$. $C(0,4)$ पर: $Z = 3(0) + 5(4) = 20$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $A(24,0)$ पर $72$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया उद्देश्य फलन $Z=10 x+25 y$ है,जिसके प्रतिबंध $0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के शीर्ष बिंदु $O(0,0), C(3,0), F(3,2), G(2,3), D(0,3)$ हैं।
प्रत्येक शीर्ष बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करने पर:
$1$. $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
$2$. $C(3,0)$ पर: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
$3$. $F(3,2)$ पर: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
$4$. $G(2,3)$ पर: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
$5$. $D(0,3)$ पर: $Z = 10(0) + 25(3) = 75$
अतः,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(2,3)$ पर $95$ है।

(A) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) प्रतिबंधों $2x + y \geq 16$,$x \geq 6$,और $y \geq 1$ द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होते हैं:
$1$. $x = 6$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(6, 1)$ है,लेकिन यह बिंदु $2x + y \geq 16$ प्रतिबंध को संतुष्ट नहीं करता है $(12 + 1 = 13 < 16)$।
$2$. $2x + y = 16$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन: $2x + 1 = 16 \implies 2x = 15 \implies x = 7.5$। अतः,बिंदु $E = (7.5, 1)$।
$3$. $2x + y = 16$ और $x = 6$ का प्रतिच्छेदन: $2(6) + y = 16 \implies 12 + y = 16 \implies y = 4$। अतः,बिंदु $F = (6, 4)$।
चूंकि क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है,हम कोणीय बिंदुओं पर $Z$ के मानों की जांच करते हैं:
$Z(E) = Z(7.5, 1) = 6(7.5) + 2(1) = 45 + 2 = 47$।
$Z(F) = Z(6, 4) = 6(6) + 2(4) = 36 + 8 = 44$।
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $44$ है।

(D) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) बाधाओं $x + y \leq 3$,$4x + y \leq 6$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $O(0, 0)$,$A(1.5, 0)$,$B(1, 2)$ और $C(0, 3)$ हैं।
हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z = 8x + 3y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0, 0)$ पर,$Z = 8(0) + 3(0) = 0$.
$2$. $A(1.5, 0)$ पर,$Z = 8(1.5) + 3(0) = 12$.
$3$. $B(1, 2)$ पर,$Z = 8(1) + 3(2) = 8 + 6 = 14$.
$4$. $C(0, 3)$ पर,$Z = 8(0) + 3(3) = 9$.
$Z$ का अधिकतम मान $14$ है,जो बिंदु $(1, 2)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,इष्टतम समाधान $x = 1, y = 2$ है।

(C) दी गई बाधाएँ $x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,और $y \geq 2$ हैं।
ग्राफ से,सुसंगत क्षेत्र $x + y = 5$,$x = 4$,और $y = 2$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करने के लिए:
$1$. $x + y = 5$ और $y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $y = 2$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$x = 3$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $P = (3, 2)$ है।
$2$. $x + y = 5$ और $x = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x = 4$ को $x + y = 5$ में रखने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है। लेकिन शर्त $y \geq 2$ है।
ग्राफ के अनुसार,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $P(3, 2)$ और $D(4, 2)$ हैं।
अब,इन बिंदुओं पर $Z = 5x + 8y$ का मान ज्ञात करने पर:
$Z(P) = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$.
$Z(D) = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$.
अतः,न्यूनतम मान $31$ है।

(C) सुसंगत क्षेत्र $3x+2y \leq 18$,$x \leq 4$,$y \leq 6$ और $x, y \geq 0$ बाधाओं द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0,0)$,$D(4,0)$,$Q(4,3)$,$P(2,6)$ और $C(0,6)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z=3x+5y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0,0)$ पर: $Z = 3(0) + 5(0) = 0$
$D(4,0)$ पर: $Z = 3(4) + 5(0) = 12$
$Q(4,3)$ पर: $Z = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$
$P(2,6)$ पर: $Z = 3(2) + 5(6) = 6 + 30 = 36$
$C(0,6)$ पर: $Z = 3(0) + 5(6) = 30$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(2,6)$ पर $36$ है।

(C) दी गई सीमाएं $x \leq 3, y \leq 3, x+y \leq 5, x \geq 0, y \geq 0$ हैं।
सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके हम सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष निर्धारित करते हैं:
$1$. $x=0, y=0 \Rightarrow O(0,0)$
$2$. $x=3, y=0 \Rightarrow A(3,0)$
$3$. $x=3, x+y=5 \Rightarrow P(3,2)$
$4$. $x+y=5, y=3 \Rightarrow Q(2,3)$
$5$. $x=0, y=3 \Rightarrow D(0,3)$
अब,प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z=10x+25y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) + 25(0) = 0$
- $A(3,0)$ पर: $Z = 10(3) + 25(0) = 30$
- $P(3,2)$ पर: $Z = 10(3) + 25(2) = 30 + 50 = 80$
- $Q(2,3)$ पर: $Z = 10(2) + 25(3) = 20 + 75 = 95$
- $D(0,3)$ पर: $Z = 10(0) + 25(3) = 0 + 75 = 75$
$Z$ का अधिकतम मान $95$ है,जो बिंदु $(2,3)$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1$) $x + y \leq 1$
$2$) $2x + 2y \geq 6 \implies x + y \geq 3$
$3$) $x \geq 0, y \geq 0$
पहली बाधा से,क्षेत्र रेखा $x + y = 1$ के लिए मूल बिंदु की ओर है।
दूसरी बाधा से,क्षेत्र रेखा $x + y = 3$ के लिए मूल बिंदु से दूर है।
चूंकि कोई भी बिंदु $(x, y)$ ऐसा नहीं है जो $x + y \leq 1$ और $x + y \geq 3$ दोनों को एक साथ संतुष्ट करे,इसलिए कोई सामान्य सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
अतः,दी गई $L$.$P$.$P$. का कोई हल नहीं है।

(D) दी गई बाधाएं $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $x + y = 5$ और $x = 4$ से $4 + y = 5 \implies y = 1$ प्राप्त होता है। बिंदु: $(4, 1)$।
$2$. $x + y = 5$ और $y = 2$ से $x + 2 = 5 \implies x = 3$ प्राप्त होता है। बिंदु: $(3, 2)$।
$3$. $x = 4$ और $y = 2$ से बिंदु $(4, 2)$ प्राप्त होता है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(4, 1)$,$(4, 2)$,और $(3, 2)$ हैं।
अब,इन शीर्षों पर उद्देश्य फलन $Z = 5x + 8y$ का मान ज्ञात करते हैं:
- $(4, 1)$ पर: $Z = 5(4) + 8(1) = 20 + 8 = 28$।
- $(4, 2)$ पर: $Z = 5(4) + 8(2) = 20 + 16 = 36$।
- $(3, 2)$ पर: $Z = 5(3) + 8(2) = 15 + 16 = 31$।
न्यूनतम मान $28$ है,जो बिंदु $(4, 1)$ पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दी गई असमिकाओं का विश्लेषण करते हैं:
$1$) $-x_{1} + x_{2} \leq 1$
$2$) $-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$
$3$) $x_{1}, x_{2} \geq 0$
इन रेखाओं को कार्तीय तल पर आलेखित करने पर:
- $-x_{1} + x_{2} = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
- $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
ऋणेतरता की शर्तें $x_{1}, x_{2} \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती हैं।
असमिकाओं द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन को देखने पर,हम पाते हैं कि यह क्षेत्र $x_{1}$ के बढ़ने की दिशा में अनंत तक विस्तृत है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र एक अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र है।

(A) मान लीजिए कि $x$ और $y$ क्रमशः खाद्य $A$ और खाद्य $B$ की इकाइयों की संख्या हैं।
उद्देश्य लागत $z = 4x + 3y$ को न्यूनतम करना है।
पोषक तत्वों के आधार पर बाधाएं इस प्रकार हैं:
$1$. विटामिन: $200x + 100y \geq 4000$
$2$. प्रोटीन: $x + 2y \geq 50$
$3$. कैलोरी: $40x + 40y \geq 1400$
$4$. गैर-ऋणात्मकता: $x \geq 0, y \geq 0$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ तैयार की गई बाधाओं और उद्देश्य फलन से मेल खाता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र (feasible region) बाधाओं $x + y \leq 7$,$2x + 3y \leq 16$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(0, 16/3)$,$B(5, 2)$ और $C(7, 0)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$O(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 2(0) = 0$
$A(0, 16/3)$ पर: $Z = 3(0) + 2(16/3) = 32/3 \approx 10.67$
$B(5, 2)$ पर: $Z = 3(5) + 2(2) = 15 + 4 = 19$
$C(7, 0)$ पर: $Z = 3(7) + 2(0) = 21$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $21$ है जो बिंदु $C(7, 0)$ पर प्राप्त होता है।

(C) सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(5, 0)$,$B(3, 4)$,और $C(0, 6)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 9x + 13y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0, 0)$ पर: $z = 9(0) + 13(0) = 0$
$2$. $A(5, 0)$ पर: $z = 9(5) + 13(0) = 45$
$3$. $B(3, 4)$ पर: $z = 9(3) + 13(4) = 27 + 52 = 79$
$4$. $C(0, 6)$ पर: $z = 9(0) + 13(6) = 78$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $79$ है।

(A) प्रतिबंध $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$,और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ हैं।
चूंकि $x_{1}, x_{2} \geq 0$,प्रतिबंध $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$ प्रथम चतुर्थांश में हमेशा संतुष्ट होता है।
सुसंगत क्षेत्र $x_{1} + x_{2} \leq 1$ और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है।
यह क्षेत्र $(0, 0)$,$(1, 0)$,और $(0, 1)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
चूंकि सुसंगत क्षेत्र एक बंद और परिबद्ध बहुभुज है,इसलिए $LPP$ का एक परिबद्ध हल है।

(B) व्यापारी चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल और गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है।
यह दिया गया है कि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है।
कुल लाभ $Z$ चावल और गेहूं से प्राप्त लाभ का योग है।
इसलिए,उद्देश्य फलन $Z = 40x + 25y$ है।

(A) सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $A, B, C, D$ हैं।
ग्राफ से,रेखाएं $y = 3$,$x = 4$,$y = x + 3$,और $2x + 3y = 12$ हैं।
$1$. बिंदु $A$,$y = 3$ और $2x + 3y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 3(3) = 12 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. अतः,$A = (1.5, 3)$.
$2$. बिंदु $B$,$y = 3$ और $x = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अतः,$B = (4, 3)$.
$3$. बिंदु $C$,$x = 4$ और $y = x + 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$y = 4 + 3 = 7$. अतः,$C = (4, 7)$.
$4$. बिंदु $D$,$y = x + 3$ और $2x + 3y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 3(x + 3) = 12 \implies 5x + 9 = 12 \implies 5x = 3 \implies x = 0.6$.
$y = 0.6 + 3 = 3.6$. अतः,$D = (0.6, 3.6)$.
अब,इन बिंदुओं पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात कीजिए:
$Z(A) = 3(1.5) + 5(3) = 4.5 + 15 = 19.5$.
$Z(B) = 3(4) + 5(3) = 12 + 15 = 27$.
$Z(C) = 3(4) + 5(7) = 12 + 35 = 47$.
$Z(D) = 3(0.6) + 5(3.6) = 1.8 + 18 = 19.8$.
$Z$ का न्यूनतम मान $19.5$ है।

(B) उद्देश्य फलन $z=6x+8y$ है। बाधाएं $x-y \geq 0$,$x+3y \leq 12$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं $x-y=0$ और $x+3y=12$ को आलेखित करते हैं।
$x-y=0$ और $x+3y=12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x=y$ को $x+3y=12$ में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है,जिससे $4y=12$ मिलता है,अतः $y=3$ और $x=3$ है। इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $B(3, 3)$ है।
सुसंगत क्षेत्र $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ ($x=0$ होने पर $x+3y=12$ से),और $B(3, 3)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
इन शीर्ष बिंदुओं पर $z=6x+8y$ का मान ज्ञात करने पर:
$O(0, 0)$ पर: $z = 6(0) + 8(0) = 0$.
$A(0, 4)$ पर: $z = 6(0) + 8(4) = 32$.
$B(3, 3)$ पर: $z = 6(3) + 8(3) = 18 + 24 = 42$.
अधिकतम मान $42$ है।

(C) अवरोध $x+y \leq 4$,$x \leq 2$,$y \leq 1$,$x+y \geq 1$,और $x, y \geq 0$ हैं।
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए,हम परिसीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को हल करते हैं:
$1$. $x+y=1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1,0)$ देता है।
$2$. $x=2$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(2,0)$ देता है।
$3$. $x=2$ और $y=1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(2,1)$ देता है।
$4$. $x+y=1$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $D(0,1)$ देता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(1,0), (2,0), (2,1), (0,1)$ हैं।

(D) दी गई बाधाएं $x + y < 5$,$x + y < 10$,$x > 0$,और $y > 0$ हैं।
चूंकि $x + y < 5$,$x + y < 10$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए प्रथम चतुर्थांश $(x > 0, y > 0)$ में प्रभावी बाधा $x + y < 5$ है।
सुसंगत क्षेत्र एक खुला त्रिभुजाकार क्षेत्र है जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(5,0)$,और $(0,5)$ के करीब हैं।
चूंकि क्षेत्र खुला है और इसमें सीमा बिंदु शामिल नहीं हैं (कठोर असमानता $<$ के कारण),उद्देश्य फलन $t = 7x + 3y$ का न्यूनतम मान क्षेत्र के भीतर किसी भी विशिष्ट बिंदु पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
जैसे-जैसे $x$ और $y$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,$t$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,लेकिन चूंकि $x > 0$ और $y > 0$ है,इसलिए $t$ हमेशा $0$ से बड़ा रहता है।
अतः,न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(D) दिए गए प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) x + y \geq 8$
$2) x + y \leq 5$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
प्रथम दो असमिकाओं का अवलोकन करें: $x + y \geq 8$ और $x + y \leq 5$।
ये दो असमिकाएं ऐसे क्षेत्रों को दर्शाती हैं जो एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
यदि $x + y$ का मान $8$ या उससे अधिक है,तो यह एक साथ $5$ या उससे कम नहीं हो सकता है।
इसलिए,ऐसे कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं हैं जो सभी दिए गए प्रतिबंधों को एक साथ संतुष्ट करते हों।
चूंकि कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र रिक्त है।
अतः,उद्देश्य फलन का न्यूनतमीकरण नहीं किया जा सकता क्योंकि कोई सुसंगत हल मौजूद नहीं है।

(C) उद्देश्य फलन $z=3x+4y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करते हैं:
$1$. $x+y \leq 40$
$2$. $x+2y \leq 60$
$3$. $x, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु इन रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
- $x+y=40$ और $x+2y=60$ का प्रतिच्छेदन: दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर $y=20$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x=20$ है। बिंदु: $(20, 20)$.
- $x+y=40$ का $x$-अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन: बिंदु $(40, 0)$.
- $x+2y=60$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन: बिंदु $(0, 30)$.
- मूल बिंदु $(0, 0)$ भी एक कोणीय बिंदु है।
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z=3x+4y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर: $z = 3(0) + 4(0) = 0$
- $(40, 0)$ पर: $z = 3(40) + 4(0) = 120$
- $(0, 30)$ पर: $z = 3(0) + 4(30) = 120$
- $(20, 20)$ पर: $z = 3(20) + 4(20) = 60 + 80 = 140$
अतः,अधिकतम मान $140$ है जो बिंदु $(20, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $x$ और $y$ क्रमशः खाद्य $X$ और $Y$ के पैकेटों की संख्या हैं। बाधाएं इस प्रकार हैं:
$12x + 3y \geq 240 \Rightarrow 4x + y \geq 80$
$4x + 20y \geq 460 \Rightarrow x + 5y \geq 115$
$6x + 4y \leq 300 \Rightarrow 3x + 2y \leq 150$
$x \geq 0, y \geq 0$
कोणीय बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$1$. $4x + y = 80$ और $x + 5y = 115$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 15, y = 20$ प्राप्त होता है।
$2$. $4x + y = 80$ और $3x + 2y = 150$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 2, y = 72$ प्राप्त होता है।
$3$. $x + 5y = 115$ और $3x + 2y = 150$ का प्रतिच्छेदन: हल करने पर,हमें $x = 40, y = 15$ प्राप्त होता है।
अतः,सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(2,72), (40,15), (15,20)$ हैं।

(A) सुसंगत क्षेत्र $(5, 5)$,$(0, 10)$,$(0, 20)$,और $(15, 15)$ शीर्षों वाला एक बहुभुज है।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 3x + 9y$ का मान ज्ञात करते हैं:
बिंदु $(5, 5)$ पर: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
बिंदु $(0, 10)$ पर: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
बिंदु $(0, 20)$ पर: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
बिंदु $(15, 15)$ पर: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $60$ है,जो बिंदु $(5, 5)$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया उद्देश्य फलन $z=x+4y$ और बाधाएं हैं:
$1) x+2y \leq 2$
$2) x+2y \geq 8$
$3) x, y \geq 0$
बाधाओं का विश्लेषण:
बाधा $(1)$ रेखा $x+2y=2$ के नीचे या उस पर के क्षेत्र को दर्शाती है,जो $(2,0)$ और $(0,1)$ से होकर गुजरती है। चूंकि $0+2(0) \leq 2$ सत्य है,इसलिए क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल है।
बाधा $(2)$ रेखा $x+2y=8$ के ऊपर या उस पर के क्षेत्र को दर्शाती है,जो $(8,0)$ और $(0,4)$ से होकर गुजरती है। चूंकि $0+2(0) \geq 8$ असत्य है,इसलिए क्षेत्र में मूल बिंदु शामिल नहीं है।
बाधा $(3)$ हल को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती है।
$(1)$ और $(2)$ द्वारा परिभाषित क्षेत्रों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x+2y \leq 2$ और $x+2y \geq 8$ को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र अलग-अलग हैं। ऐसा कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं है जो दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$LPP$ का कोई सुसंगत हल नहीं है।

(D) दिया गया है,$z=11x+7y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु रेखाओं और अक्षों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
$1$. $x+y=5$ और $x+3y=9$ का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x+3y)-(x+y) = 9-5 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$. $y=2$ को $x+y=5$ में रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B$ $(3,2)$ है।
$2$. $x+3y=9$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,3)$ है। अतः,बिंदु $A$ $(0,3)$ है।
$3$. $x+y=5$ का $y$-अक्ष $(x=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,5)$ है। अतः,बिंदु $C$ $(0,5)$ है।
अब,इन कोणीय बिंदुओं पर $z=11x+7y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A(0,3)$ पर: $z = 11(0) + 7(3) = 21$.
$B(3,2)$ पर: $z = 11(3) + 7(2) = 33 + 14 = 47$.
$C(0,5)$ पर: $z = 11(0) + 7(5) = 35$.
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $47$ है,जो $(3,2)$ पर प्राप्त होता है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों द्वारा निर्धारित होता है।
सबसे पहले, रेखा $3x + 5y = 15$ के अंतःखंड ज्ञात करें:
यदि $x = 0$ है, तो $5y = 15 \implies y = 3$। अतः, बिंदु $(0, 3)$ है।
यदि $y = 0$ है, तो $3x = 15 \implies x = 5$। अतः, बिंदु $(5, 0)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0), (5, 0)$ और $(0, 3)$ हैं।
अब, प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 5x + 3y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर: $z = 5(0) + 3(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर: $z = 5(5) + 3(0) = 25$।
$(0, 3)$ पर: $z = 5(0) + 3(3) = 9$।
अतः, $z$ का अधिकतम मान $25$ है।

(C) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: $x + 2y = 70$ और $2x + y = 95$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए समीकरण हल करें: $x = 70 - 2y$। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(70 - 2y) + y = 95 \implies 140 - 4y + y = 95 \implies 3y = 45 \implies y = 15$। तब $x = 70 - 2(15) = 40$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(40, 15)$ है।
चरण $3$: कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(47.5, 0)$, $(0, 35)$, और $(40, 15)$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ पर, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ पर, $Z = 35$।
$(40, 15)$ पर, $Z = 40 + 15 = 55$।
चरण $5$: अधिकतम मान $55$ है जो बिंदु $(40, 15)$ पर प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: बाधाओं $5x + 10y \leq 50$ (या $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करें। रेखाएं $x+2y=10$, $x+y=1$, $y=4$, $x=0$, $y=0$ हैं।
- $x+y=1$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 1)$ है।
- $x+y=1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन $(1, 0)$ है।
- $x+2y=10$ और $y=4$ का प्रतिच्छेदन $(2, 4)$ है।
- $x=0$ और $y=4$ का प्रतिच्छेदन $(0, 4)$ है।
कोणीय बिंदु $(0, 1), (1, 0), (2, 4), (0, 4)$ हैं।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 1)$ पर, $z = 3(0) + 5(1) = 5$।
- $(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 5(0) = 3$।
- $(2, 4)$ पर, $z = 3(2) + 5(4) = 26$।
- $(0, 4)$ पर, $z = 3(0) + 5(4) = 20$।
चरण $4$: अधिकतम मान $26$ है और न्यूनतम मान $3$ है।
चरण $5$: अंतर $26 - 3 = 23$ है। प्रश्न के अनुसार $3\lambda = 27$ लेने पर, $\lambda = 9$।

(C) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएँ $2x + 3y = 6$ (अंतःखंड $(3, 0)$ और $(0, 2)$) और $x + y = 1$ (अंतःखंड $(1, 0)$ और $(0, 1)$) हैं।
चरण $3$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(1, 0)$, $(3, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(1, 0)$ पर: $Z = 3(1) + 0 = 3$।
$(3, 0)$ पर: $Z = 3(3) + 0 = 9$।
$(0, 1)$ पर: $Z = 3(0) + 1 = 1$।
चरण $5$: मानों की तुलना करने पर, न्यूनतम मान $(0, 1)$ पर $1$ है।

(D) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $L_1: x + 3y = 60$, $L_2: x + y = 10$, और $L_3: x - y = 0$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु:
- $L_2$ और $L_3$: $x+x=10 \implies x=5, y=5$। बिंदु: $(5, 5)$।
- $L_1$ और $L_3$: $x+3x=60 \implies 4x=60 \implies x=15, y=15$। बिंदु: $(15, 15)$।
- $L_1$ और $L_2$: $x+3(10-x)=60 \implies -2x=30 \implies x=-15$ (प्रथम चतुर्थांश में नहीं)।
- अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन: $L_2$ $(10, 0)$ और $(0, 10)$ पर काटती है। $L_1$ $(60, 0)$ और $(0, 20)$ पर काटती है।
- सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $(5, 5)$, $(15, 15)$, $(0, 20)$, और $(0, 10)$ हैं।
चरण $4$: इन बिंदुओं पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 40$।
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 120$।
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
चरण $5$: अधिकतम मान $120$ है और न्यूनतम मान $40$ है।
चरण $6$: अंतर $120 - 40 = 80$ है।

(C) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
$(i)$ $x \leq 80$
(ii) $y \geq 60$
(iii) $x + y \leq 200$
(iv) $x, y \geq 0$
चरण $2$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं को ज्ञात करें।
$y = 60$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 60)$ है।
$y = 60$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(140, 60)$ है, लेकिन $x \leq 80$ है, इसलिए हम $(80, 60)$ का उपयोग करते हैं।
$x = 80$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(80, 120)$ है।
$x = 0$ और $x + y = 200$ का प्रतिच्छेदन $(0, 200)$ है।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 60)$ पर: $z = 3(0) + 5(60) = 300$।
$(80, 60)$ पर: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$।
$(80, 120)$ पर: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$।
$(0, 200)$ पर: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$।
चरण $4$: न्यूनतम मान $300$ है जो बिंदु $(0, 60)$ पर प्राप्त होता है।

(D) $1$. $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x, y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
$2$. $x + 2y = 10$ और $3x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु हल करने पर: $y = 12 - 3x$, अतः $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। तब $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$।
$3$. कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$, और $(0, 5)$ हैं।
$4$. प्रत्येक बिंदु पर $z = 5x + 10y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर, $z = 0$।
- $(4, 0)$ पर, $z = 5(4) + 10(0) = 20$।
- $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ पर, $z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
- $(0, 5)$ पर, $z = 5(0) + 10(5) = 50$।
$5$. चूँकि $z$ का अधिकतम मान $(50)$ $(0, 5)$ और $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ दोनों पर है, इसलिए अधिकतम मान इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर होगा।

(D) $1$. छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए गैर-ऋणात्मकता बाधाएं $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
$2$. यह क्षेत्र तीन रेखाओं द्वारा परिबद्ध है:
$(i)$ $(0, 12)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $2x + y = 12$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $2x + y \leq 12$ है।
(ii) $(0, 6)$ और $(12, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + 2y = 12$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $x + 2y \leq 12$ है।
(iii) $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $x + 1.25y = 5$ है। चूंकि क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है, इसलिए बाधा $x + 1.25y \geq 5$ है।
$3$. इन्हें संयोजित करने पर, बाधाओं की प्रणाली $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $3x + y = 15$ और $3x + 4y = 24$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु: पहली समीकरण को दूसरी से घटाने पर $3y = 9$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = 3$। $y=3$ को $3x + y = 15$ में रखने पर $3x = 12$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है।
चरण $4$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, और $(0, 6)$ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 4x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ पर, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ पर, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
चरण $6$: अधिकतम मान $31$ है।

(D) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
- $x+y=5$ और $2x+y=7$ से $(2, 3)$ प्राप्त होता है।
- $2x+y=7$ और $3x+2y=11$ से $(3, 1)$ प्राप्त होता है।
- $x=0$ और $y=0$ से $(0, 0)$ प्राप्त होता है।
- $x=0$ और $3x+2y=11$ से $(0, 5.5)$ प्राप्त होता है।
- $y=0$ और $2x+y=7$ से $(3.5, 0)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 4x + y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 0)$ पर, $z = 0$ है।
- $(3.5, 0)$ पर, $z = 4(3.5) + 0 = 14$ है।
- $(3, 1)$ पर, $z = 4(3) + 1 = 13$ है।
- $(2, 3)$ पर, $z = 4(2) + 3 = 11$ है।
- $(0, 5.5)$ पर, $z = 5.5$ है।
चरण $4$: अधिकतम मान $14$ है।

(D) चरण $1$: उद्देश्य फलन को परिभाषित करें। लाभ $z = 1500x_1 + 900x_2$ है। हमें इसे अधिकतम करना है।
चरण $2$: बाधाओं की पहचान करें। कुल क्षमता $x_1 + x_2 \leq 250$ है।
चरण $3$: एक्जीक्यूटिव क्लास आरक्षण: $x_1 \geq 30$।
चरण $4$: इकोनॉमी क्लास प्राथमिकता: $x_2 \geq 4x_1$।
चरण $5$: गैर-ऋणात्मकता बाधाएं: $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$।
चरण $6$: इन्हें मिलाकर, हमें $LPP$ प्राप्त होता है: Maximize $z = 1500x_1 + 900x_2$ subject to $x_1 + x_2 \leq 250, x_1 \geq 30, x_2 \geq 4x_1, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$।

(C) $1$. सुसंगत क्षेत्र व्यवरोधों $x + 2y \leq 70$, $2x + y \leq 95$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु परिसीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होते हैं: $(0, 0)$, $2x + y = 95$ से $(47.5, 0)$, $x + 2y = 70$ से $(0, 35)$, और $x + 2y = 70$ तथा $2x + y = 95$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
$3$. समीकरण निकाय को हल करने पर: $x = 70 - 2y$। इसे $2(70 - 2y) + y = 95$ में प्रतिस्थापित करने पर $140 - 4y + y = 95$ प्राप्त होता है, जिससे $3y = 45$, $y = 15$। तब $x = 70 - 30 = 40$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(40, 15)$ है।
$4$. कोणीय बिंदुओं पर $Z = x + y$ का मान ज्ञात करने पर:
$(0, 0)$ पर, $Z = 0$।
$(47.5, 0)$ पर, $Z = 47.5$।
$(0, 35)$ पर, $Z = 35$।
$(40, 15)$ पर, $Z = 40 + 15 = 55$।
$5$. अधिकतम मान $55$ है जो बिंदु $(40, 15)$ पर प्राप्त होता है।

(C) चरण $1$: बाधाओं $5x + 10y \leq 50$ (या $x + 2y \leq 10$), $x + y \geq 1$, $y \leq 4$, $x \geq 0$, और $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेदन को हल करके सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष ज्ञात करें: $(0, 0.5)$, $(0, 4)$, $(2, 4)$, $(10, 0)$, और $(1, 0)$।
चरण $3$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + 5y$ का मूल्यांकन करें:
$(0, 0.5)$ पर, $z = 3(0) + 5(0.5) = 2.5$।
$(0, 4)$ पर, $z = 3(0) + 5(4) = 20$।
$(2, 4)$ पर, $z = 3(2) + 5(4) = 26$।
$(10, 0)$ पर, $z = 3(10) + 5(0) = 30$।
$(1, 0)$ पर, $z = 3(1) + 5(0) = 3$।
चरण $4$: अधिकतम मान $30$ है और न्यूनतम मान $2.5$ है।
चरण $5$: अंतर $30 - 2.5 = 27.5$ है। चूँकि $3\lambda = 27.5$, $\lambda = 27.5 / 3 = 9.166...$ है।

(C) $1$. व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें:
$2x + 3y = 6$ रेखा $(3, 0)$ और $(0, 2)$ से गुजरती है।
$x + y = 1$ रेखा $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरती है।
$2$. सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(1, 0)$, $(3, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
$3$. प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + y$ का मान ज्ञात करें:
$(1, 0)$ पर: $Z = 3(1) + 0 = 3$।
$(3, 0)$ पर: $Z = 3(3) + 0 = 9$।
$(0, 1)$ पर: $Z = 3(0) + 1 = 1$।
$4$. मानों की तुलना करने पर, न्यूनतम मान $1$ है।

(D) चरण $1$: व्यवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
- $x + 3y = 60$ और $x - y = 0 \implies x=15, y=15$। बिंदु: $(15, 15)$।
- $x + 3y = 60$ और $x = 0 \implies y=20$। बिंदु: $(0, 20)$।
- $x + y = 10$ और $x - y = 0 \implies x=5, y=5$। बिंदु: $(5, 5)$।
- $x + y = 10$ और $x = 0 \implies y=10$। बिंदु: $(0, 10)$।
चरण $2$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें।
- $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 5(15) = 45 + 75 = 120$।
- $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 5(20) = 100$।
- $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 5(5) = 15 + 25 = 40$।
- $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 5(10) = 50$।
चरण $3$: अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें।
- अधिकतम मान $Z_{max} = 120$।
- न्यूनतम मान $Z_{min} = 40$।
चरण $4$: अंतर की गणना करें।
- अंतर $= Z_{max} - Z_{min} = 120 - 40 = 80$।

(C) चरण $1$: अवरोधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाओं $x=80$, $y=60$, $x+y=200$ और अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष हैं।
चरण $3$: शीर्षों को समीकरणों के निकाय को हल करके प्राप्त किया जाता है:
- $y=60$ और $x=0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 60)$ देता है।
- $y=60$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(140, 60)$ देता है, लेकिन $x \leq 80$ है, इसलिए हम $(80, 60)$ का उपयोग करते हैं।
- $x=80$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(80, 120)$ देता है।
- $x=0$ और $x+y=200$ का प्रतिच्छेदन $(0, 200)$ देता है।
चरण $4$: प्रत्येक शीर्ष पर $z = 3x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
- $(0, 60)$ पर: $z = 3(0) + 5(60) = 300$।
- $(80, 60)$ पर: $z = 3(80) + 5(60) = 240 + 300 = 540$।
- $(80, 120)$ पर: $z = 3(80) + 5(120) = 240 + 600 = 840$।
- $(0, 200)$ पर: $z = 3(0) + 5(200) = 1000$।
चरण $5$: न्यूनतम मान $300$ है जो बिंदु $(0, 60)$ पर प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 12$, $x \geq 0$, $y \geq 0$ द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: $x + 2y = 10$ और $3x + y = 12$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए समीकरण हल करें: $y = 12 - 3x$। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(12 - 3x) = 10 \implies x + 24 - 6x = 10 \implies -5x = -14 \implies x = \frac{14}{5}$। तब $y = 12 - 3(\frac{14}{5}) = \frac{60 - 42}{5} = \frac{18}{5}$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ है।
चरण $3$: कोणीय बिंदुओं पर $z = 5x + 10y$ का मान ज्ञात करें: $(0, 0) \implies z = 0$; $(4, 0) \implies z = 20$; $(0, 5) \implies z = 50$; $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5}) \implies z = 5(\frac{14}{5}) + 10(\frac{18}{5}) = 14 + 36 = 50$।
चरण $4$: चूंकि $z$ का अधिकतम मान $50$ बिंदुओं $(0, 5)$ और $(\frac{14}{5}, \frac{18}{5})$ पर प्राप्त होता है, इसलिए अधिकतम मान इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के प्रत्येक बिंदु पर होगा।

(D) $1$. छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए ऋणेतर बाधाएं $x \geq 0$ और $y \geq 0$ हैं।
$2$. यह क्षेत्र तीन रेखाओं द्वारा घिरा हुआ है:
$(i)$ $(0, 12)$ और $(6, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{6} + \frac{y}{12} = 1$ है, जो $2x + y = 12$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $2x + y \leq 12$ है।
(ii) $(0, 6)$ और $(12, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{12} + \frac{y}{6} = 1$ है, जो $x + 2y = 12$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु की ओर है, इसलिए बाधा $x + 2y \leq 12$ है।
(iii) $(0, 4)$ और $(5, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = 1$ है, जो $4x + 5y = 20$ या $x + 1.25y = 5$ में सरल होता है। चूंकि छायांकित क्षेत्र मूल बिंदु से दूर है, इसलिए बाधा $x + 1.25y \geq 5$ है।
$3$. इन सबको मिलाने पर, बाधाओं का निकाय $2x + y \leq 12, x + 2y \leq 12, x + 1.25y \geq 5, x \geq 0, y \geq 0$ है। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करें।
चरण $2$: रेखाएं $3x + y = 15$ और $3x + 4y = 24$ हैं।
चरण $3$: प्रतिच्छेदन बिंदु: पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर $3y = 9$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = 3$। $y = 3$ को $3x + y = 15$ में रखने पर $3x = 12$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = 4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ है।
चरण $4$: सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4, 3)$, और $(0, 6)$ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z = 4x + 5y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर, $Z = 4(0) + 5(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर, $Z = 4(5) + 5(0) = 20$।
$(4, 3)$ पर, $Z = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$।
$(0, 6)$ पर, $Z = 4(0) + 5(6) = 30$।
चरण $6$: अधिकतम मान $31$ है।

(D) चरण $1$: उद्देश्य फलन को परिभाषित करें। लाभ प्रत्येक एक्जीक्यूटिव टिकट $(x_1)$ पर $1500$ और प्रत्येक इकोनॉमी टिकट $(x_2)$ पर $900$ है। अतः, $z = 1500x_1 + 900x_2$ को अधिकतम करें।
चरण $2$: बाधाओं की पहचान करें। कुल क्षमता $250$ है, इसलिए $x_1 + x_2 \leq 250$ है।
चरण $3$: एक्जीक्यूटिव क्लास का आरक्षण कम से कम $30$ है, इसलिए $x_1 \geq 30$ है।
चरण $4$: इकोनॉमी क्लास की प्राथमिकता एक्जीक्यूटिव क्लास से कम से कम $4$ गुना है, इसलिए $x_2 \geq 4x_1$ है।
चरण $5$: ऋणेतर बाधाएं $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$ हैं। इन्हें मिलाने पर, विकल्प $D$ सही है।